CC BY-NC
4Software systems and computational methods
Правильная ссылка на статью:
Dubanov A.A. — Velocity and Trajectory Analysis in Group Pursuit Problems // Программные системы и вычислительные методы. - 2021. - № 3. DOI: 10.7256/2454-0714.2021.3.35972 URL: https ://nbpublish.com№rary_read_artide.php?id=35972
Velocity and Trajectory Analysis in Group Pursuit Problems / Анализ скоростей и траекторий в задачах группового преследования
Дубанов Александр Анатольевич
кандидат технических наук
Бурятский Государственный Университет, Институт Математики и Информатики, кафедра "Геометрия и
методика преподавания математики"
670000, Россия, республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ранжурова, 5, каб. 1110
И alandubanov@mail.ru
Статья из рубрики "Компьютерная графика, обработка изображений и распознавание образов"
DOI:
10.7256/2454-0714.2021.3.35972
Дата направления статьи в редакцию:
20-06-2021
Дата публикации:
16-07-2021
Аннотация: Данная статья посвящена тому, как в задаче группового преследования добиться одновременного достижения преследователями своих целей. Предложенная модель преследования основана на том, что преследователь старается следовать прогнозируемой траектории движения. Прогнозируемая траектория движения выстраивается в каждый момент времени. Такая траектория является составной кривой, учитывающей ограничения по кривизне. Время достижения цели каждого преследователя есть зависимость от скорости движения и минимального радиуса кривизны траектории. Многофакторный анализ модулей скоростей и минимальных радиусов кривизны траекторий каждого из преследователей для одновременного достижения своих целей и есть цель для исследований, рассмотренных в данной статье. Данная статья посвящена тому, как в задаче группового преследования добиться одновременного достижения преследователями своих целей. Предложенная модель преследования основана на том, что преследователь старается следовать прогнозируемой траектории движения. Прогнозируемая траектория движения выстраивается в каждый момент времени. Такая траектория является составной кривой, учитывающей ограничения по кривизне. Время достижения цели каждого преследователя есть зависимость от скорости движения и минимального радиуса
кривизны траектории. Многофакторный анализ модулей скоростей и минимальных радиусов кривизны траекторий каждого из преследователей для одновременного достижения своих целей и есть цель для исследований, рассмотренных в данной статье.
Ключевые слова: Преследование, Преследователь, Цель, Кривизна, Линия, Траектория, Многофакторный, Достижение, Параллельный, Плоскость
принимает дискретны» значения из ряда € [ 1: JVJ. а радиус окружности из рисунков 1. 3 принимает значения € [l'Af],
Для дальнейших исследований применяется эпюр Радищ е&а [1], г да используются координатные плоскости 1 ff. V) и 1 £ [Рис. 4).
На рисунке 4 показано экспериментальное построение временных .зависимостей Г. j — FС t-p.,R. ). На плоскости GR. f * схематически показаны графики зависимостей времен достижения цели преследователем от радиуса окружности R при фиксированном значении скорости
Б качестве одного из оптимизирующих факторов [1] на плоскости LÄ» О выбирается равенство f — где Гф - требуемое время достижения цели. Далее, на плоскости, для решения нашей задачи, на плоскости (Jt.V) в качестве второго оптимизирующего фактора выбирается равенство Ур — где - это
постоянная скорость преследователя.
Хотя, в постановке задачи говорится о том. что модуль скор ости преследователя является неизменным, построенный ряд значений скоростей необходим для расчета радиуса овружности Äp на плоскости проекции
По линиям связи на плоскости проекции СЛ.V) находятся соответствующие точки пересечения с линиями уровня скоростей iji (Рис. 4). По полученным точкам в тестовой программе выполняется полиномиальная регрессия й, в итоге, получаем функцию зависимости скор ости преследователя от радиуса окружности, при которой происходит достижение цели за время
Затем щни точка пересечения функции V? = fUO (Рис, 4) с лившей уровня — Абсцисса точки пересечения Я? и есть искомый радиус окружности, чтобы достичь пели Т преследователем Р за ЕреМЯ tp со скоростью
Расчет идете л при уел овин тог о, что цель движется равномерно и прям о линейке. Если цель изменяет направление или скорость, то для достижения ее рассчитывается новый радиус окружности составной ба»о»ой линии [аналог линии nunp-osumi метода параллельного сближения), ставится новое время достижения при прежней скорости преследователя,
Ншший предел времени достижении пели при м риномерном и прямолинейном движении будет, когда скорость преследователя направлена в точку Аг на окружности Аполлония [2,3,4,5] (Рис, 5),
Рис. Окружность Апо.1.10нии
Ощ)>о»шостью Аполлония называется геометрическое место точек, отношение расстоянии от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не рзхная единице. На рисунке 5 это можно проиллюстрировать как: -"'А']/|ГА"1 = It^ l/|t«rl.
При рассмотрении множественного преследования группы целей, то е тестовой программе производится предварительный расчет траекторий движения преследователей при заданных начальных параметрах. Из Ер емен достижения цел ей для расч ета о дно Ер змзнного достижения выбирается наио олып ее время. И это время выбирается критерием для расч ета траекторий остальных преследователей. Этот момент
проиллюстрирован на рисунке рисунок 2 дополнен ссылкой на анпмир о едино е изображение. г да можно будет посмотреть на одновременное достижение цели двумя преследователями.
Рпс, € Достижение целей в различное назначенное время
На рисунке 6 показано, как для одного из преследователей было установлено более короткое время достижения цели. Рисунок 6 также дополнен ссылкой на янтгшгр о ванн о а- изображение. где можно посмотреть достижение целей в различное назначенное время.
IV. Результаты зксперам&втов
На рисунка 7 приведены некоторые результаты работы: многофакторного анализа в задача одновременного достижения цели двумя преследователями-. Цель движется прямолинейно и равномерно. Для каждого преследователя построили ряд допустимых скоростей. Ряд допустимых значений радиуса окружности варьируется при помогли дискретных, переменной а Я. На графиках рисунка 7 это шкала ¿Я.
На пл о скости лр о акций Ы-й1. О строим о дно парам етрич а-скую сеть линии. Каждая линия с о ответствует определенному тачанию скорости и выражает зависимость времени достижения цели от прнрашения радиуса окружности. На графике рисунка 7 показана однопараметрнческая сеть линий скоростей одного из преследователей. Для втор ого в тестовой программе многофакторного анализа построена аналогичная сеть.
Для каждого преследователя выбирается парвый оптимнзнруюший фактор [I]. отвечающий га о дно Ерем енное достижение. * = Где - наибольшее из времен достижения1 цели, если бы преследователи независимо догоняли цель при таких же начальных условиях. На плоскости с!й. г^1 ищутся точкн пересечения с линий уровня Е = ^ с линиями скоростей однопараметрнческой сети. Точки пересечения- находятся при помоши встроенных процедур решения уравнений. В системе компьютерной математики МаИхСАВ это может быть процедура гоог. Найденным точкам пересечения отвечают значения IЗй и I' на плоскости проекций УЙ. .
В данной статье предложен метод достижения группой преследователей множества целей, в котором может назначаться время достижения. Одновременное достижение целей есть частный результат данного метода. Данный метод является развитием метода параллельного сближения. Если данный метод реализовать в пространстве, то следует добиться того, чтобы векторы преследователя и цели находились в
Если задача преследования происходит в трехмерном пространстве, и мы хотим свести ее к методу параллельного сближения, но скорость преследователя направлена произвольно, то базовую линию прогнозируемых траектории движения преследователя следует строить в плоскости, образованной линией
Следуюгпнй шаг преследователя будет точка пресечения сферы с радиусом равным тля г у
преследователя и базовой линии параллельно пер енес енной так. чтобы: один ее конец совмещался с точкой
Теперь к вопросу нахождения окружности Аполлония- и точки А" в трехмерном пространстве. Сама окружность будет находиться в плоскости, образованной линией Еизир ования и скор остью цели. Параметры окружности Аполлония такие как центр окружности (т. QУ радиус окружности г. точка Аполлония (т. -4). точка А' определяются вектором скорости цели, модулем скорости преследователя, положениями преследователя и цели. Имеется аналитическое решение этой в плоской системе координат, показанной на рисунке 5. Центр координат находится в точке положения цели, вектор абсцисс будет единичным вектором вдоль линии визирования, соединяют ей положения преследователя и цели, а вектор ординат будет перпендикулярным вектору абсцисс, но в плоскости, образованной линией визирования и вектором
Методы многомерной начертательной геометрии, применяемые в статье, заключались в вариации
модулей скоростей и радиусов прилегающих к траекториям преследователей окружностям. Хотя по условиям задачи модули скоростей преследователей являются неизменными. Использование в качестве одного из оптнмнзруюших факторов фиксир о ванного значения модуля скорости преследователя является
Если анализировать модули скоростей, радиусы прилегающих, к преследователям окружностей и начальные направления движения преследователей, то следует прибегнуть к модели четырехмерного пространства, изложенного в работая Болотова {гиперэпюр Болотова)
Результаты исследовании приведенные в данной статье, могут быть востребованы разработчиками барражирующих беспилотных летательных аппаратов, которые выполняют групповые согласованные задачи. Роль оператора наведения может быть сведена к указанию целей и контролю над выполнением
Библиография
1. В. Я. Волков, М.А. Чижик. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов. / Монография, г. Омск, : Издательско-полиграфический центр ОГИС, 644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9, 101 с., 2009 г
2. Айзекс Р. Дифференциальные игры. Москва: Мир, 1967 г..
3. Л. С. Понтрягин. Линейная дифференциальная игра уклонения/ Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.
4. Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры/ М, Наука, 1974 г.
5. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования/ Изд-во ЛГУ, 222 с, 1977 г.
6. http://dubanov.exponenta.ru Раздел «Одновременное достижение цели на плоскости» (дата обращения 22.05.2021)
7. Видео, результаты программы моделирования одновременного достижения цели, https://www.youtube.com/watch?v=7VNHNwCbWrg (дата обращения 22.05.2021)
8. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями с визуализацией сети линий прогнозируемых траекторий, https://www.youtube.com/watch?v=NNJDJOJT34I (дата обращения 22.05.2021)
9. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями без визуализации сети линий прогнозируемых траекторий, https://www.youtube.com/watch?v=tdbgoNoby3A (дата обращения 22.05.2021)
10. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя пре с ле до в а те ля ми в на з на ч е нные з на ч е ния в ре ме ни,
https ://www.youtube.com/watch?app = desktop&.v= F6MTsWZL2BY&feature=youtu.be
(дата обращения 22.05.2021)
11. Вагин Д. А., Петров Н. Н. Задача по преследованию скоординированных беглецов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. Стр. 75-79.
12. Банников А. С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Труды Института математики и информатики УдГУ. 2013. Выпуск 1 (41), с. 3-46
13. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Труды Математического центра Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2006, Вып. 34, стр. 26-28.
14. Изместьев И.В., Ухоботов В.И. «Задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в виде кольца», Материалы международной конференции «Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественные теория »Рязань, 15-18 сентября 2016 г., Итоги науки и техники. Темат. обз., 148, ВИНИТИ РАН, Москва, 2018, 25-31
15. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями с визуализацией сети линий прогнозируемых траекторий, https ://www.youtube.com/watch?v=NNJDJOJT34I
16. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями без визуализации сети линий прогнозируемых траекторий, https ://www.youtube.com/watch?v=tdbgoNoby3A
17. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020665641. Кинематическая модель метода параллельного сближения
18. Болотов, В.П. Начертательная геометрия многомерного пространства [Электронный ресурс] : монография / В.П. Болотов // Валерий Болотов : авт. страница. - Режим доступа : http://vm.msun.ru/Autor/Dis_dokt/Ngeo_mng.htm. - Загл. с экрана.
Результаты процедуры рецензирования статьи
В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.
Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.
Предметом исследования рецензируемой статьи являются математические модели и компьютерные программы группового преследования целей.
Методология исследования базируется на обобщении литературных источников информации по рассматриваемой проблеме за продолжительный временной интервал, использовании методов математического моделирования и компьютерного экспериментирования.
Рецензируемый текст изложен с использованием научного стиля, общепринятые правила оформления материалов научных статей в целом соблюдены. Научная новизна представленного исследования, по мнению рецензента, заключается в результатах математического моделирования группового слежения, анализе времени достижения цели каждого преследователя есть зависимость от скорости движения и минимального радиуса кривизны траектории.
Статья надлежащим образом структурирована, в ней выделены следующие разделы: Введение, Постановка задачи, Теория, Результаты экспериментов, Обсуждение результатов, Выводы и заключение, Источник финансирования. Благодарности, Список литературы и Библиография.
Во введении приведена графическая модель расчета траектории преследователя на плоскости, изображены однопараметрические сети прогнозируемых траекторий
движения преследователей, представлен итерационный процесс расчета траектории пре с ле дов а те ля .
Во втором разделе сформулирована цель статьи - описание метода, при котором преследователь достигает цели в назначенное время из допустимых значений, том числе для одновременного достижения своих целей группой преследователей. Далее приведено описание разработанной автором тестовой программы, реализующей алгоритм итерационного расчета траектории преследователей для одновременного достижения ими целей и проведен анализ результатов экспериментов. При обсуждении результатов исследования рассмотрены перспективы развития представленного метода для реализации не только на плоскости, но и в трехмерном пространстве.
В тексте статьи имеются адресные ссылки на используемые литературные источники, что свидетельствует о наличии апелляции к оппонентам. Библиографический список включает 17 источников, среди которых научные статьи в периодических изданиях, Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, материалы сети инте рне т.
Однако, в рецензируемой статье имеются недостатки и спорные моменты. Во-первых, во введении не приведена вводная информация о теме статьи, не объяснено читателю, для чего проведено исследование, какие практические потребности побудили автора заняться изучением этого вопроса, не обоснована надлежащим образом актуальность работы, четко не обозначены объект и предмет исследования. Во-вторых, при оформлении материалов нарушены требования журнала по соблюдения анонимности авторов для проведения двойного слепого рецензирования, а также список используемых источников указан дважды: в разделах, названных автором «Список литературы» и разделе «Библиография». Представляется, что статью необходимо доработать.
Замечания главного редактора от 09.07.2021: "Автор не в полной мере учел замечания рецензентов, но, тем не менее, рукопись можно рекомендовать к публикации"
