МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ПРЕСЛЕДОВАТЕЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРИ МЕТОДЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СБЛИЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Программные системы и вычислительные методы

Правильная ссылка на статью:

Дубанов А.А. — Моделирование траектории преследователя в пространстве при методе параллельного сближения // Программные системы и вычислительные методы. - 2021. - № 2. DOI: 10.7256/24540714.2021.2.36014 URL: https://nbpublish.com'Hbrary_read_article.php?id=36014

Моделирование траектории преследователя в пространстве при методе параллельного сближения

Дубанов Александр Анатольевич

кандидат технических наук

Бурятский Государственный Университет, Институт Математики и Информатики, кафедра "Геометрия и

методика преподавания математики"

670000, Россия, республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ранжурова, 5, каб. 1110

И alandubanov@mail.ru

Статья из рубрики "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент"

DOI:

10.7256/2454-0714.2021.2.36014

Дата направления статьи в редакцию:

25-06-2021

Дата публикации:

02-07-2021

Аннотация: В данной статья рассматривается модель задачи преследования, когда преследователь, двигаясь в пространстве, придерживается стратегии параллельного сближения. Модули скоростей преследователя и цели являются неизменными. Цель движется равномерно и прямолинейно, для определенности модели, поскольку по материалам статьи написана тестовая программа. Векторы скоростей цели и преследователя в момент начала преследования направлены произвольно. Итерационный процесс состоит из трех частей. Расчет траектории преследователя в пространстве. Расчет траектории преследователя на плоскости. Расчет перехода траектории из пространства на плоскость. Все части итерационного процесса должны удовлетворять поставленным условиям задачи. Важным условием является то, что минимальный радиус кривизны траектории не должен превышать определенного заданного значения. Научная новизна геометрической модели состоит в том, что есть возможность регулировать время достижения цели изменяя длину траектории преследователя, а также ориентацию плоскости преследования. Расчет точки следующего положения преследователя в пространстве есть точка пересечения сферы, конуса и плоскости параллельного сближения. Плоскость параллельного сближения перпендикулярна плоскости преследования. В модели, рассматриваемой в статье, плоскость преследования определятся вектором скорости цели и прямой, соединяющей

преследователя и цель (линия визирования). Радиус сферы равен равен шагу преследователя за промежуток времени, на которое разбито время итерационного процесса. Угол раствора конуса есть угол, на который может повернуться вектор скорости преследователя.Математическая модель, изложенная в статье, может быть интересна разработчикам БПЛА с автономным управлением.

Ключевые слова: Преследование, Преследователь, Цель, Кривизна, Линия, Траектория, Конус, Достижение, Параллельный, Плоскость

Работа выполнена при финансовой поддержке инновационного гранта Бурятского государственного университета в 2021 году «Управление четырехзвенным манипулятором по сигналам, полученным с нейроинтерфейса». Научный руководитель Дубанов А.А.

I. Введение

В методе расчета траектории преследователя на плоскости вектор скорости преследователя в точку на окружности Аполлония.

Рис.1 - Окружность Аполлония

На рисунке 1 точка р - это положение преследователя, а точка 7 - это положение цели. Окружностью Аполлония называется множество точек для которых характерно то, что отношение расстояний до двух фиксированных точек (точки р и к на рисунке 1).

Применительно к задаче преследования это будет выглядеть так:

где ^ - это скорость преследователя, ^ - скорость цели. Фиксированное направление движения цели выделяет на окружности Аполлония единственную точкук и единственное направление скорости ^р преследователя.

Тогда, для задачи преследования на плоскости, где преследователь и цель движутся прямолинейно и равномерно, имеет место быть итерационная схема, представленная на рисунке 2:

где дт - это интервал времени дискретной задачи преследования.

Для случая, когда вектор скорости цели 7 известен, то положение следующего шага цели 71+1 предопределено:

Координаты точки ^ являются решением системы уравнений относительно параметра Радиус и центр окружности Аполлония рассчитываются следующим образом:

Рис.2 - Итерационная схема

Или, следуя итерационной схеме, изображенной на рисунке 2, шаг траектории преследователя удовлетворяет решению системы уравнений (1), относительно параметра ь:

Р1 - Т; .

(1)

II. Постановка задачи

Рис. 3 - Итерационная схема в пространстве

Целью данной статьи является описание модели задачи преследования в пространстве, когда вектора скоростей преследователя и цели, на рисунке 3 ^ и ^т, соответственно, не лежат в одной плоскости. Задачей является расчет точек траектории преследователя при определенной траектории цели.

Будем считать, что в любой момент времени движение цели можно представить, как прямолинейное и равномерное.

Плоскость, образованную линией визирования в момент начала преследования (на рисунке 3 это прямая Срт)) и вектором скорости ^т, будем считать координатной плоскостью XV с началом в точке р, осью абсцисс направленной вдоль прямой

Необходимо в итерационном процессе добиться того, чтобы координаты точки

преследователя располагались в координатной плоскости ху, на рисунке 3 это плоскость п. При этом точка положения преследователя р принадлежала соответственной моменту времени плоскости Е. ПлоскостьЕ содержит следующий шаг цели (точка в), перпендикулярна плоскости п и параллельна линии визирования .

Кроме того, траектория преследователя должна удовлетворять ограничениям на кривизну, то есть радиус кривизны траектории не может быть меньше некоторого порогового значения.

III. Теория

1. Расчет траектории преследователя в пространстве

В кинематической модели параллельного сближения в пространстве, рассматриваемой в данной статье траектория преследователя рассчитывается для двух случаев. В первом случае сегмент траектории расположен в пространстве. Во втором случае задача превращается в преследование на плоскости. Преследователь на рисунке 3 движется по плоскости п. Также рассчитывается плавный переход из пространства на плоскость.

Модель преследования является дискретной, поэтому вводится промежуток времени за который участники итерационного процесса совершают шаг. Преследователь, находясь в точке pi (Рис. 3), имеет возможность совершить шаг в пределах сферы радиуса vPii>-T с центром в точке pi. vp - модуль скорости равномерного движения преследователя. Это возможность ограничена правильным конусом с углом раствора к и вершиной в точке pi.

Угол раствора конуса равен к-ш,дт, ш - максимальная частота углового вращения

преследователя равная ш ~ где минимальный радиус кривизны траектории

преследователя. Кроме того, следующая точка ^¡+1 положения преследователя должна принадлежать плоскости^ (Рис. 3). В дальнейшем, при переходе на плоскость11 (Рис. 3), принадлежность к плоскости ^ преобразуется в итерационную схему, представленную на рисунке 2.

Ось конуса направлена в направлении текущего вектора скорости преследователя, выходящего из точки pi. Таким образом, имеется геометрическая задача расчета точки, принадлежащей трем поверхностям: сфере, конусу и плоскости.

Модель задачи преследования данной статьи позволяет произвести замену правильного конуса плоскостью. Линия пересечения правильного конуса и сферы принадлежит

Фг ПяПЛМРТПк! ПППГк'ПГТМ Фг fS\/n\/T ТД KTtR ; i^p

плоскости Параметры плоскости будут таковы: ~'1 - единичный вектор нормали

плоскости ф>, вектор скорости для текущего положения преследователя ру, ^ - модуль

скорости равномерного движения преследователя, сферы, равный шагу преследователя ^ ^ (Рис. 3).

где

радиус

Расчет точек пересечения плоскостей и ^ со сферой радиуса я с центром в точке р( более предпочтителен, чем расчет точек пересечения сферы, конуса плоскости с точки зрения вычислительных трудностей.

У плоскости ^ опорной точкой является точка нормалью является вектор ^ (Рис. 3):

"О

Ь, = (Р-Т)х О [1

где

начальные положения преследователя и цели.

и

В тестовой программе, написанной по материалам статьи, находится прямая (2), являющаяся пересечением плоскостей ф> и

1;М = Я; + Н

[о; X Й;]

|[о; X Й;]Г

где ^ - точка пересечения плоскостей ф; , ^ и п (рис. 3).

(2)

Далее, выражаем точку ^¡+1 из первого уравнения системы (3) и подставляем его во второе уравнение системы (3):

!1.П| X

(3)

Найденное значение ь подставляем в первое уравнение системы (3), определив тем

самым следующую точку ^¡+1 траектории преследователя.

Таким образом, итерационный процесс расчета траектории движения преследователя в пространстве можно считать сформированным.

2. Расчет траектории движения преследователя на плоскости

В случае перехода преследования на плоскость необходимо свести задачу к параллельному сближению, как это изображено на рисунке 1. В этом случае скорость преследователя всегда направлена в точку на окружности Аполлония (на рис. 1 это точка к). Тогда используется итерационная схема, представленная системой уравнений (1).

Если скорость преследователя при переходе на плоскость направлена не на точку к, как на рисунке 1, то при соблюдении некоторых условий по направлению движения преследователя, можно применить такую же итерационную схему, описанную системой уравнений (1).

Рис. 4 - Дополнения к итерационной схеме

Условие по направлению движения заключается в следующем. Необходимо, чтобы угол у

(Рис. 4) между скоростями и

был меньше или равен угла

где

допустимая скорость вращения итерационного процесса.

пре с ле до в а те ля ,

дт

временной промежуток

Если угол у больше к, но модуль скорости преследователя Ъ больше модуля скорости цели Ут, то в качестве итерационной схемы можно предложить следующее (Рис. 5).

1^(11

ш _

Рис. 5 Расчет следующего шага преследователя

В качестве однопараметрического множества параллельных линий визирования (Рис. 4) предложено множество составных параллельных линий ^¡Ы}, которое формируется следующим образом: ¿¡+1Й = ^¡М + Следующий шаг преследователя

^¡+1 есть точка пересечения окружности радиуса ^ 1 ЛТ с центром в точке р( с линией (Рис. 5).

Первая линия однопараметрического множества линий {¿¡М} формируется из окружности минимального радиуса и прямой касательной линии, проходящей через точку7 (Рис. 7).

На рисунке 7 показано взаимное расположение начальных положений преследователя и цели, вектора скорости преследователя ^ и указанной окружности.

Рис. 7 - Взаимное расположение преследователя, цели и окружности

На рисунке 7 показано, что центр указанной окружности находится в точке с-? + ямл,л, Где р - это начальное положение преследователя, - минимальный радиус кривизны траектории преследователя, п - единичный вектор, перпендикулярный вектору скорости преследователя V Составная линия состоит из дуги и прямолинейного сегмента [^«Ч Где т . это начальное положение цели, а - точка касания с окружностью.

3. Критерий перехода к плоскому движению

На рисунке 8 показаны результаты расчета точек траектории преследователя в пространстве без учета перехода процесса преследования на плоскость п.

Рис. Я — Расчет траектории преследователя в пространстве

На экран выведены точки ^ пересечения плоскости п (плоскость -3(Т), плоскости Е и плоскости ф (Рис. 3) и точки пересечения конуса, сферы и плоскости Е (плоскости параллельного сближения).

В течении всего итерационного процесса производится анализ взаимного расположения точек положения преследователя ^ и плоскости п движения цели. Поскольку плоскость п

движения цели совпадает с координатной плоскостью

XV

то достаточно произвести

анализ аппликаты преследователя на знак. Как только изменяется знак аппликаты, то происходит возврат на предыдущую рассчитанную точку траектории и производится расчет по другой итерационной схеме.

Показано, что аппликата точки имеет положительное значение, а аппликата точки имеет отрицательное значение. Координаты точки ^ получены в результате пересечения сферы ■ йт)г конуса с осью вращения вдоль вектора ^¡-1 с углом раствора

как на рисунке 3, и плоскости параллельного движения

Происходит возврат в точку^-1. и ищется точка пересечения^ с плоскостью параллельного движения ^ и плоскостью п движения цели.

В тестовой программе, написанной по материалам статьи, реализован именно такой критерий перехода на плоскость.

Рис. 9 - Пересечение сферы, плоскости движения цели и плоскости

параллельного сближения

IV. Результаты экспериментов

На рисунке 10 показаны результаты работы программы расчета траектории преследователя, преследующего цель, двигающуюся равномерно и прямолинейно. Траектория переходит из движения в пространстве в движение на плоскости.

Рис. 10 - Расчет траектории преследователя

Рисунок 10 дополнен ссылкой на анимированное изображение, где возможно посмотреть на процесс преследования.

V. Обсуждение результатов

В предложенной модели расчета траектории преследователя плоскость п движения цели определена начальной линией визирования и вектором скорости ^ движения цели. Плоскость п в этом случае служит ограничивающей поверхностью. В тестовой программе реализована такая модель преследования: переход от преследования в пространстве к преследованию на плоскости без захода за плоскость ограничения и с ограничениями по кривизне траектории движения преследователя.

В тестовом режиме также при переходе на плоскость было испробовано использование точки ^ в качестве центра сферы, пересекающей плоскости п и и построение траектории преследования от нее.

VI. Выводы и заключение

В данной статье была предложена кинематическая модель задачи преследования в пространстве. С развитием технологий, систем искусственного интеллекта, технологий спутникового позиционирования движущихся объектов моделирование задач преследования приобрело значимость.

Задач и условий, в которых требуются преследования множество. Результаты разработчиками беспилотных летательных интеллекта.

моделирование итерационных процессов исследований могут быть востребованы аппаратов с элементами искусственного

Библиография

1. В. Я. Волков, М.А. Чижик. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов. / Монография, г. Омск, : Издательско-полиграфический центр ОГИС, 644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9, 101 с., 2009 г.

2. Айзекс Р. Дифференциальные игры. Москва: Мир, 1967 г..

3. Л. С. Понтрягин. Линейная дифференциальная игра уклонения/ Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.

4. Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры/ М, Наука, 1974 г.

5. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования/ Изд-во ЛГУ, 222 с, 1977 г.

6. http://dubanov.exponenta.ru Раздел «Одновременное достижение цели на плоскости» (дата обращения 22.05.2021)

7. Вагин Д. А., Петров Н. Н. Задача по преследованию скоординированных беглецов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. Стр. 75-79.

8. Банников А. С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Труды Института математики и информатики УдГУ. 2013. Выпуск 1 (41), с. 3-46

9. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Труды Математического центра Лобачевского. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2006, Вып. 34, стр. 26-28.

10. Изместьев И.В., Ухоботов В.И. «Задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в виде кольца», Материалы международной конференции «Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественные теория »Рязань, 15-18 сентября 2016 г., Итоги науки и техники. Темат. обз., 148, ВИНИТИ

РАН, Москва, 2018, 25-31

11. Видео, результаты моделирования задачи преследования в пространстве, https ://www.youtube.com/watch?app = desktop&.v=JШmh6DTrA4&feature=youtu.be

12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020665641. Кинематическая модель метода параллельного сближения

Результаты процедуры рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.

Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Предметом исследования рецензируемой статьи являются математические модели траектории преследователя в пространстве при методе параллельного сближения. Методология исследования базируется на обобщении литературных источников информации по рассматриваемой проблеме за временной интервал с 70-х годов двадцатого века по настоящее время, использовании методов математического моделирования и компьютерного экспериментирования. Текст статьи подготовлен с использованием научного стиля, с соблюдением общепринятых правил оформления материалов научных публикаций. Научная новизна представленного исследования, по мнению рецензента, заключается в результатах математического моделирования задачи преследования в пространстве, когда вектора скоростей преследователя и цели не лежат в одной плоскости. Структурно в рецензируемом материале выделены следующие разделы: Введение, Постановка задачи, Теория, Результаты экспериментов, Обсуждение результатов, Выводы и заключение и Библиография. Во введении представлены окружность Аполония и итерационная схема для задачи преследования на плоскости, где преследователь и цель движутся прямолинейно и равномерно.

В следующем разделе сформулирована цель статьи - описание модели задачи преследования в пространстве, когда вектора скоростей преследователя и цели, не лежат в одной плоскости. Излагая теорию, автор статьи уделяет внимание расчету траектории преследователя в пространстве и на плоскости, а также обоснованию критерия перехода к плоскому движению - каждому из этих моментов посвящены отдельные подразделы. В разделе, посвященном результатам экспериментов, показаны результаты работы программы расчета траектории преследователя, преследующего цель, двигающуюся равномерно и прямолинейно со ссылкой на анимированное изображение. В тексте статьи имеются адресные ссылки на используемые литературные источники, что свидетельствует о наличии апелляции к оппонентам. Библиографический список включает 12 источников, среди которых научные статьи в периодических изданиях, Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ, а также видео с результатами моделирования задачи преследования в пространстве, размещенное в сети интернет.

Следует отметить имеющиеся в статье недостатки, устранение которых можно рассматривать в качестве резервов ее улучшения. Во-первых, введение не содержит надлежащего обоснования актуальности темы, к сожалению, здесь не отражена вводная информация и не приведены объяснения: для чего проводится исследование, какие практические задачи вызвали необходимость изучения этого вопроса. Во-вторых, разделы «Обсуждение результатов» и «Выводы и заключение» изложены слишком кратко, обсуждение результатов работы практически не приведено, выводы не дают представления о конкретных направлениях использования полученных результатов исследования, после фразы «Задач и условий, в которых требуются моделирование

итерационных процессов преследования множество», сказано лишь о том, что «Результаты исследований могут быть востребованы разработчиками беспилотных летательных аппаратов с элементами искусственного интеллекта». В-третьих, у ряда формул, приводимых в статье, отсутствует нумерация. Все это свидетельствует о необходимости доработки представленного материала.