В cmammi проаналiзовано c^adoei похиб-ки вимiрювання Kymie високоточним euMi-рювачем кута на основi готометра з кЫьце-вим лазером. Розглянуто розподт похибки, проведено ощнку ймовiрносmi густини роз-подту похибки
Ключовi слова: похибка вимiрювання, випадкова гаусова величина, густина випад-
ковог величини
□-□
В статье проанализировано составляющие ошибки измерения углов высокоточным измерителем углов на основе гониометра с кольцевым лазером. Рассмотрено распределение ошибки, проведено оценку вероятности плотности распределения ошибки
Ключевые слова: ошибка измерения, случайная гауссова величина, плотность случайной величины
□-□
In article it is analyzed making errors of measurement of corners by a precision measuring instrument of corners on the basis of gonio-metr with the ring laser. Distribution of an error is considered, lead an estimation of probability of density of distribution of an error
Key words: an error of measurement, a random gaussian variable, density of a random variable
УДК 531.383
АНАЛ1З СКЛАДОВИХ
ПОХИБКИ ВИМ1РЮВАННЯ КУТ1В
ВИСОКОТОЧНИМ ВИМ1РЮВАЧЕМ КУТА
О.М. Безвес1льна
Доктор техычних наук, професор* Контактний тел.: 8 (044) 236-09-26
С.С. Ткачен ко
Астрантка* *Кафедра приладобудування Нацюнальний техычний ушверситет УкраТни "КП1" пр. Перемоги, 37, м. КиТв, УкраТна, 03037 E-mail: [email protected]
1. Вступ
Дослвдження в данш статп ввдносяться до област високоточного вимiрювання купв у приладобудувант.
Аналiз публжацш та лиератури показав, що в лiтературi [1-4] вщсутнш аналiз складових похибки вимiрювань високоточним вимiрювачем кута на основi гонюметра з кiльцевим лазером, тому проведемо такий аналiз в данш статть
Задача полягае у дослщженш закону розподiлу похибки вимiрювання кутiв високоточним вимiрювачем кута на основi гонiометра з юльцевим лазером Аф та ймовiрностей розподшу густину Р{| Аф |> е}, е > 0 .
Мета статтк провести аналiз складових похибки вимiрювання кутiв високоточним вимiрювачем кута на основi гонiометра з кiльцевим лазером за допомогою методiв теорii ймовiрностей.
2. Вiдомостi про похибку
Похибка вимiрювання купв визначаеться вира-
N
Дф = ф-ф m = 2п—^,
N2n
де Ф - вимiряне значення кута, фц - штинне значення кута,
"■¿П "2ТС,2 "ф ' "ф,2
N2n = K J ffl0dt, N9 = K J ffl0dt,
+ t2n,1 to + Vl t2n 4
(1)
2n = J rn0dt, ф = J rn0dt,
t92,t92,t2ni,t2n2 - незалежт гаyсовi випадковi вели-чини з параметрами:
MV = Mt9j2 = Mt2ni = Mt2,2 = 0
Dt<p,1 =°9i-Dt9,2 =°9,2-Dt2ni = °L,1>Dt2n2 =°L,2>
3. Попередш вiдомостi про Аф
Перепишемо Аф у зручному виглядь
Лф = ф-фц = ф- 2п-
КФ + кЮо(^,2 - tфJ)
К2П+ КЮо^ - t2п,l) . ФЮ0 ^2п,2 - ) - 2пЮ0 (^ф,2 - _ е
2п + а0(г2ж2 -)
п
(2)
Де 9 = ф^О^ - t2пд) - 2пЮ0 (tф^ - V) - гаУсова ви-падкова величина М9 = 0 ,
De = фЧЧ^пД + ) + 4пЧ2(<1 + ) =
П - гаусова випадкова величина Мп = 2п Dn = М(п - 2п)2 = ю0(о2пд + °2п,2 ) = <
ТОУ(6, п) = МЭСп - 2п) = у2ю20(с22к1 + с22п2 ), cov(8, п)
Р =
___Ф (Р2п,1 +^2п2)
Т^К V Ф2 (°2п,1 + °2п,2 ) + 4п2 (оф,1 + оф,2 ) ,
(3)
(4)
(5)
РДф^) = | |у| р011^у,уМу =
1 -Р2
х I у ехр
де
1
2(1 -Р2)
й(2,у) = - 2р
22У2 - 2п) , (у - 2п)2
= А2|У + А I -
2 'В2
^г - С А2
А2 =
-, В =
, с = -
тобто
cov (8,п) - гаусов вектор, оскiльки його можна представити у виглядi лшшного перетворення гаусо-вого вектора з незалежними компонентами. Дшсно, нехай
_ ^2п,2 ^2и,1
^2 _ ^9,1.
(6)
6 П
фю0 -2лю0 Ю 0
^2,
2п
(7)
Тому сумшна густина випадкових величин, 8,п задаеться формулою [5]:
Ре,п(х,У) =
1
2по0о^71-Рг6ХР 1 2(1 -р2)
Рлф(г)=
—г - 2Р"
Х1 |У|ехР 2(1А-р2)(у + А I \аУ ■ ехР
с--
А2
2(1 -Р2)
С--
Зауважимо, що
А2
2(1 -р2) (z2o: - 2оеогр + о2)
(8)
Розглянемо iнтеграл:
Позначимо Ф(и) = ,— Г e2dt £
(10'
(11)
Зауваження 1.
У випадку, якщо оф1 = оф2 = о4 = о2п2 = о ,
то о2 = 2ю2о2[ф2 + 2п2], 0^ = 2ю2о2, .
11 ф + 4п
Зауваження 2. Випадкова величина 6 / п не мае
математич^ога очжування (i тим бiльше дисперсiю).
Дшсно М—= [ [—pe(x,y)dxdy , а цей штеграл розхо-
П -V У диться, тому що ре(0,0)ф 0 .
4. Розподш Аф
Знайдемо густину розподшу АфрДф(z). За формулою для густини вщношення двох випадкових величин [5]:
1(о,ь)ехр {-7 =
1 ° I I2 I
= Ь)ехрI- 2 I* + 1 1
Ь)ехр
( ^л 2
=-;/2п11ехр I-тг +т2г1ехр I-т
гжл!1ехр I-тг ехр {-тг=
t+
л/2П
= ^2ехр^^ | + 2Ьф|ь |-ь.
>(Ь)-ь.
Таким чином, з (8) i останньо! формули витiкае:
1
х
о
п
22 О „О.
2
о
П
1
Х
2
2
0
+
1
+
О
е
п
ь
ь
ь
2
2
РдФ О) = ехР I-
1
2(1 -Р2)
132 л
с - В
А2
^ {-2?2ьфьь
тод1 отримаемо
Р||Аф|>е}< 2
1 - Ф
2пе е8
1 - ф а
К;
(17)
(12)
А2
Де Ь = -т, о =
А
Значення А, В 1 С даш перед (10);
и ^
1 _ Ф(и) = Г е-
Застосування формули (12) тяжке, тому що вона гром1здка 1 РДф^) не виражаеться через елементарш функцп. Тому ймов1рност1 (х>0) можна обчислювати, використовуючи наближеш методи для обчислення штервал1в.
Р{|Аф|> x} = JpAф(z)dz + |рАф^^,
(13)
5. Оцiнка ймовiрностi Р{|Аф| > е}
З (1) маемо, що
. 0
АФ = ^-,
2п + П4
(14)
де п =П-2п - нормальна випадкова величина
Мп = 0 ,
Dn1 = а2Г1 = а20(а22л} + с22%,2).
Для заданого е>0 1 будь-якого 0<8<2п маемо:
Р(|ДФ|>£} = р ^
1е1
2п + П4|
>е^ = Р
1е1
|2п + П1
>е, п1 >-8^ +
2л-8
= р{|^>е(2п-5)}= 2 | -Л— ехр ]- -А \ ¿х =
З (17), враховуючи нер1вшсть (и>0) 1
1 - Ф(и) <- °
ц\р2к
отримаемо Р(|Дф|>е}<
12_1_
\п( 2пг
е8
ехР 1-
2гсе е8
\ 2 I
*2 1.(18)
ехр 2ОП
6. Оцшка ймовiрностi Р{|Афп| > е} при багатократних вимiрюваннях
Нехай здшснюеться п незалежних вим1рювань кута ф
фк = 2п
Яфк
N п
(19)
де Nфk, ^ - визначаеться як 1 рашше (к - номер вим1рювання к = 1,п ).
У якост1 значення вим1рюваного кута беремо
1 V
Тод1
Аф =1 £ Афк,
(20)
(21)
де Афк - незалежш випадков1 величини, розподь леш так, як Дф у попередньому пункту тобто
д _
Дфк =-к—,к = 1,п,
к 2п + П1к
(22)
+Р^ I > £,П < -8 [ < РI г-^т > 4 + Р(л, > -8}.(15) [ + 11 ! 1| 2п-8| ' 1,1 П
Осюльки
де 0к 1 Пш розподшет так само, як 0 1 П1 у попередньому пункть
Точно так, як у попередньому пункту для заданого £>0 1 будь-якого 2п>8>0 маемо
р{Н>4=р 1 -
> = Р1 -
V 9к
1к=-2п + п1к
= Р1 -
+Р1 -
V 9к
1к=12п + п-к
V ек
> е,тщ п1к > -8^ +
>^1? П-к <-8Ь
=ехр н к=2
е(2п-5)
1 - Ф
е(2п-8)
, (16)
0 П
Р{Ы >8} =
=I Тгк"ехр I-202 Iах=:ш I е-у^=
по„
2о2
' 42к
1 - ф а Ку
= р
1 жП
Хвъ
2п-8 к=т
>е,тщ п1к >-8
+р{т|пп1к <-8}< Р
Хвк
2п-8
>е
-р{пк=|пПк <-8}
(23)
х
+
>4 Ое Ое ;
х
х
0
2
О
П
уОе Ое)
кОе Ое)
к=1
к=1
Р
и
п
к=1
+
о
и
к=1
о
1 n
Осюльки — - гаусова випадкова величина
14-
D|-Zek = ^,
то як i у попередньому nyHKTi отримаемо:
2n-S
= 2
1 - Ф
2п£>/П eSVne
(24)
Далi
p[mi"т,и <-s} = 1 - f^Rk *-8} = 1 -[PRk *-8}]":
= 1 -[P|ntk <-8}]" = 1 -
Ф
З (23), (24), (25) отримуемо:
Р(Дф>е}< 2
1 - Ф
2reeVn esVne
+1 -
Ф
(25)
.(26)
Враховуючи нерiвнiсть
1 - Ф(и)<-^ехр
(
V 2,
,u > 0
можна отримати з (26): Р(Дф>е}< ^ 1
\[к\!к
2П ^ eXP I- 2
\2 I
+ 1 -
1 -
exp
(27)
Зауважимо, що формули (17), (18.), (26), (27) можна використовувати наступним чином: 8 обираеться так,
щоб
1 - ф
v°v
у формyлi (17) або
1 - Ф
/ W"
S
у
формyлi (26) було б малим. При цьому треба врахову-вати, що — у формyлi (17) або ^ у формyлi (26) також мають бути малими.
7. Спрощений пiдхiд до задач1
Передбачаеться, що tp1,t92,t2n1,t2n2 - yрiзанi гаyсовi випадковi величини, обмеженi постiйною S. Тад з пер-шого пункту цього параграфу випливае:
о
Аф = --, (28)
2п + п1
Де 9 = ФЮ0 (t2n,2 - t2n,1) - 2пЮ0 (%,2 - 4,1 ),
тобто |e| < 2S^rn0 + 2пю0 ] = Se, n = m0(t2n,2 - t2nj),
отже ^ 2Srn0 = Sn1.
Якщо Se < 2п i Sn < 2п , то, розкладаючи у збiжний ряд Тейлора, отримуемо:
Аф = —+> — ,
v 2п K=1 (2п)
Z enf(-i)K
Z ZI-\K+1
K=1 (2n)
Якщо
S SK (2n)K+1
SS
(2n)2
1 -
2n
(29)
S S
(2n)2
1 _ ^ 2n
мале наспльки, що цiею похиб-
кою можна знехтувати, то наближено можна вважати,
Q
що Дф = — - гаусова випадкова величина МДф = 0, 2п
DДф = o2/(2п)2.
Зауваження 3. У випадку виразу з реверсом, тобто коли визначають, крiм кута ф i додатковий кут 2п-ф , за яким поим обчислюють ф i результати спостере-жень усереднюють, справедливi всi попереднi результати, пльки треба брати настyпнi значення о;; i о2п :
4 ®0 [«i + )(2ф2 + 4П - 4яф) + 8%2 (тф, + ^ )]
,(30)
=4 ю'
^ = 1 < (т
2 ) .
(31)
Висновки
1. Похибку вимiрювання купв представлено у ви-глядi випадкових гаусових величин 8 та п . Приведено значення 1х моментiв M8 = 0, Mn = 2п , дисперсiй, гау-совий вектор, представлено у виглядi лшшного пере-творення гаусового вектора з незалежними компонентами. Виведено вираз для густини випадкових величин як у загальному випадку, так i у окремих випадках.
2. Виведено вираз для розпод^у густину рДф (z) ви-падково! величини Дф.
3. Проведено ощнку ймовiрностi густини розпод^у похибки використовуючи наближенi методи для об-числення iнтервалy.
4. Проведено ощнку ймовiрностi густини розподiлy похибки при багатократних вимiрюваннях.
Лiтератyра
1. Автоматизированный гониометр на основе кольцевого лазера. А.И. Вангорихин, И.И. Зайцев, «ОМП», 1982, №9, с. 28-31.
2. Афанасьев В.А. Оптические измерения: Учебник для вузов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1981. - 229 с.
3. Оптические приборы в машиностроении. Справочник. -М.: Машиностроение, 1974. - 238 с.
4. Кирилловский В.К. Оптические измерения. Часть 3. Функциональная схема прибора оптических измерений. Типовые узлы. Оптические измерения геометрических параметров. - СПб.: ГУ ИТМО. 2005.- 67 с.
5. Пхман Й.1.,Скороход А.В., Ядренко М. Теорiя ймовiрностей
i математична статистика, К.: Вища школа, 1988, - 408 с.
k=1
k=1
K=1
n
P
ö
ö
e
e
n
8
s
62 =
а
а
)
в
в
1
+
о
о
V ое ое)
\n
8
о
n