АНАЛіЗ СКЛАДОВИХ ПОХИБКИ ВИМіРЮВАННЯ КУТіВ ВИСОКОТОЧНИМ ВИМіРЮВАЧЕМ КУТА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

В cmammi проаналiзовано c^adoei похиб-ки вимiрювання Kymie високоточним euMi-рювачем кута на основi готометра з кЫьце-вим лазером. Розглянуто розподт похибки, проведено ощнку ймовiрносmi густини роз-подту похибки

Ключовi слова: похибка вимiрювання, випадкова гаусова величина, густина випад-

ковог величини

□-□

В статье проанализировано составляющие ошибки измерения углов высокоточным измерителем углов на основе гониометра с кольцевым лазером. Рассмотрено распределение ошибки, проведено оценку вероятности плотности распределения ошибки

Ключевые слова: ошибка измерения, случайная гауссова величина, плотность случайной величины

□-□

In article it is analyzed making errors of measurement of corners by a precision measuring instrument of corners on the basis of gonio-metr with the ring laser. Distribution of an error is considered, lead an estimation of probability of density of distribution of an error

Key words: an error of measurement, a random gaussian variable, density of a random variable

УДК 531.383

АНАЛ1З СКЛАДОВИХ

ПОХИБКИ ВИМ1РЮВАННЯ КУТ1В

ВИСОКОТОЧНИМ ВИМ1РЮВАЧЕМ КУТА

О.М. Безвес1льна

Доктор техычних наук, професор* Контактний тел.: 8 (044) 236-09-26

С.С. Ткачен ко

Астрантка* *Кафедра приладобудування Нацюнальний техычний ушверситет УкраТни "КП1" пр. Перемоги, 37, м. КиТв, УкраТна, 03037 E-mail: tkachenkoss@ukr.net

1. Вступ

Дослвдження в данш статп ввдносяться до област високоточного вимiрювання купв у приладобудувант.

Аналiз публжацш та лиератури показав, що в лiтературi [1-4] вщсутнш аналiз складових похибки вимiрювань високоточним вимiрювачем кута на основi гонюметра з кiльцевим лазером, тому проведемо такий аналiз в данш статть

Задача полягае у дослщженш закону розподiлу похибки вимiрювання кутiв високоточним вимiрювачем кута на основi гонiометра з юльцевим лазером Аф та ймовiрностей розподшу густину Р{| Аф |> е}, е > 0 .

Мета статтк провести аналiз складових похибки вимiрювання кутiв високоточним вимiрювачем кута на основi гонiометра з кiльцевим лазером за допомогою методiв теорii ймовiрностей.

2. Вiдомостi про похибку

Похибка вимiрювання купв визначаеться вира-

N

Дф = ф-ф m = 2п—^,

N2n

де Ф - вимiряне значення кута, фц - штинне значення кута,

"■¿П "2ТС,2 "ф ' "ф,2

N2n = K J ffl0dt, N9 = K J ffl0dt,

+ t2n,1 to + Vl t2n 4

(1)

2n = J rn0dt, ф = J rn0dt,

t92,t92,t2ni,t2n2 - незалежт гаyсовi випадковi вели-чини з параметрами:

MV = Mt9j2 = Mt2ni = Mt2,2 = 0

Dt<p,1 =°9i-Dt9,2 =°9,2-Dt2ni = °L,1>Dt2n2 =°L,2>

3. Попередш вiдомостi про Аф

Перепишемо Аф у зручному виглядь

Лф = ф-фц = ф- 2п-

КФ + кЮо(^,2 - tфJ)

К2П+ КЮо^ - t2п,l) . ФЮ0 ^2п,2 - ) - 2пЮ0 (^ф,2 - _ е

2п + а0(г2ж2 -)

п

(2)

Де 9 = ф^О^ - t2пд) - 2пЮ0 (tф^ - V) - гаУсова ви-падкова величина М9 = 0 ,

De = фЧЧ^пД + ) + 4пЧ2(<1 + ) =

П - гаусова випадкова величина Мп = 2п Dn = М(п - 2п)2 = ю0(о2пд + °2п,2 ) = <

ТОУ(6, п) = МЭСп - 2п) = у2ю20(с22к1 + с22п2 ), cov(8, п)

Р =

___Ф (Р2п,1 +^2п2)

Т^К V Ф2 (°2п,1 + °2п,2 ) + 4п2 (оф,1 + оф,2 ) ,

(3)

(4)

(5)

РДф^) = | |у| р011^у,уМу =

1 -Р2

х I у ехр

де

1

2(1 -Р2)

й(2,у) = - 2р

22У2 - 2п) , (у - 2п)2

= А2|У + А I -

2 'В2

^г - С А2

А2 =

-, В =

, с = -

тобто

cov (8,п) - гаусов вектор, оскiльки його можна представити у виглядi лшшного перетворення гаусо-вого вектора з незалежними компонентами. Дшсно, нехай

_ ^2п,2 ^2и,1

^2 _ ^9,1.

(6)

6 П

фю0 -2лю0 Ю 0

^2,

2п

(7)

Тому сумшна густина випадкових величин, 8,п задаеться формулою [5]:

Ре,п(х,У) =

1

2по0о^71-Рг6ХР 1 2(1 -р2)

Рлф(г)=

—г - 2Р"

Х1 |У|ехР 2(1А-р2)(у + А I \аУ ■ ехР

с--

А2

2(1 -Р2)

С--

Зауважимо, що

А2

2(1 -р2) (z2o: - 2оеогр + о2)

(8)

Розглянемо iнтеграл:

Позначимо Ф(и) = ,— Г e2dt £

(10'

(11)

Зауваження 1.

У випадку, якщо оф1 = оф2 = о4 = о2п2 = о ,

то о2 = 2ю2о2[ф2 + 2п2], 0^ = 2ю2о2, .

11 ф + 4п

Зауваження 2. Випадкова величина 6 / п не мае

математич^ога очжування (i тим бiльше дисперсiю).

Дшсно М—= [ [—pe(x,y)dxdy , а цей штеграл розхо-

П -V У диться, тому що ре(0,0)ф 0 .

4. Розподш Аф

Знайдемо густину розподшу АфрДф(z). За формулою для густини вщношення двох випадкових величин [5]:

1(о,ь)ехр {-7 =

1 ° I I2 I

= Ь)ехрI- 2 I* + 1 1

Ь)ехр

( ^л 2

=-;/2п11ехр I-тг +т2г1ехр I-т

гжл!1ехр I-тг ехр {-тг=

t+

л/2П

= ^2ехр^^ | + 2Ьф|ь |-ь.

>(Ь)-ь.

Таким чином, з (8) i останньо! формули витiкае:

1

х

о

п

22 О „О.

2

о

П

1

Х

2

2

0

+

1

+

О

е

п

ь

ь

ь

2

2

РдФ О) = ехР I-

1

2(1 -Р2)

132 л

с - В

А2

^ {-2?2ьфьь

тод1 отримаемо

Р||Аф|>е}< 2

1 - Ф

2пе е8

1 - ф а

К;

(17)

(12)

А2

Де Ь = -т, о =

А

Значення А, В 1 С даш перед (10);

и ^

1 _ Ф(и) = Г е-

Застосування формули (12) тяжке, тому що вона гром1здка 1 РДф^) не виражаеться через елементарш функцп. Тому ймов1рност1 (х>0) можна обчислювати, використовуючи наближеш методи для обчислення штервал1в.

Р{|Аф|> x} = JpAф(z)dz + |рАф^^,

(13)

5. Оцiнка ймовiрностi Р{|Аф| > е}

З (1) маемо, що

. 0

АФ = ^-,

2п + П4

(14)

де п =П-2п - нормальна випадкова величина

Мп = 0 ,

Dn1 = а2Г1 = а20(а22л} + с22%,2).

Для заданого е>0 1 будь-якого 0<8<2п маемо:

Р(|ДФ|>£} = р ^

1е1

2п + П4|

>е^ = Р

1е1

|2п + П1

>е, п1 >-8^ +

2л-8

= р{|^>е(2п-5)}= 2 | -Л— ехр ]- -А \ ¿х =

З (17), враховуючи нер1вшсть (и>0) 1

1 - Ф(и) <- °

ц\р2к

отримаемо Р(|Дф|>е}<

12_1_

\п( 2пг

е8

ехР 1-

2гсе е8

\ 2 I

*2 1.(18)

ехр 2ОП

6. Оцшка ймовiрностi Р{|Афп| > е} при багатократних вимiрюваннях

Нехай здшснюеться п незалежних вим1рювань кута ф

фк = 2п

Яфк

N п

(19)

де Nфk, ^ - визначаеться як 1 рашше (к - номер вим1рювання к = 1,п ).

У якост1 значення вим1рюваного кута беремо

1 V

Тод1

Аф =1 £ Афк,

(20)

(21)

де Афк - незалежш випадков1 величини, розподь леш так, як Дф у попередньому пункту тобто

д _

Дфк =-к—,к = 1,п,

к 2п + П1к

(22)

+Р^ I > £,П < -8 [ < РI г-^т > 4 + Р(л, > -8}.(15) [ + 11 ! 1| 2п-8| ' 1,1 П

Осюльки

де 0к 1 Пш розподшет так само, як 0 1 П1 у попередньому пункть

Точно так, як у попередньому пункту для заданого £>0 1 будь-якого 2п>8>0 маемо

р{Н>4=р 1 -

> = Р1 -

V 9к

1к=-2п + п1к

= Р1 -

+Р1 -

V 9к

1к=12п + п-к

V ек

> е,тщ п1к > -8^ +

>^1? П-к <-8Ь

=ехр н к=2

е(2п-5)

1 - Ф

е(2п-8)

, (16)

0 П

Р{Ы >8} =

=I Тгк"ехр I-202 Iах=:ш I е-у^=

по„

2о2

' 42к

1 - ф а Ку

= р

1 жП

Хвъ

2п-8 к=т

>е,тщ п1к >-8

+р{т|пп1к <-8}< Р

Хвк

2п-8

>е

-р{пк=|пПк <-8}

(23)

х

+

>4 Ое Ое ;

х

х

0

2

О

П

уОе Ое)

кОе Ое)

к=1

к=1

Р

и

п

к=1

+

о

и

к=1

о

1 n

Осюльки — - гаусова випадкова величина

14-

D|-Zek = ^,

то як i у попередньому nyHKTi отримаемо:

2n-S

= 2

1 - Ф

2п£>/П eSVne

(24)

Далi

p[mi"т,и <-s} = 1 - f^Rk *-8} = 1 -[PRk *-8}]":

= 1 -[P|ntk <-8}]" = 1 -

Ф

З (23), (24), (25) отримуемо:

Р(Дф>е}< 2

1 - Ф

2reeVn esVne

+1 -

Ф

(25)

.(26)

Враховуючи нерiвнiсть

1 - Ф(и)<-^ехр

(

V 2,

,u > 0

можна отримати з (26): Р(Дф>е}< ^ 1

\[к\!к

2П ^ eXP I- 2

\2 I

+ 1 -

1 -

exp

(27)

Зауважимо, що формули (17), (18.), (26), (27) можна використовувати наступним чином: 8 обираеться так,

щоб

1 - ф

v°v

у формyлi (17) або

1 - Ф

/ W"

S

у

формyлi (26) було б малим. При цьому треба врахову-вати, що — у формyлi (17) або ^ у формyлi (26) також мають бути малими.

7. Спрощений пiдхiд до задач1

Передбачаеться, що tp1,t92,t2n1,t2n2 - yрiзанi гаyсовi випадковi величини, обмеженi постiйною S. Тад з пер-шого пункту цього параграфу випливае:

о

Аф = --, (28)

2п + п1

Де 9 = ФЮ0 (t2n,2 - t2n,1) - 2пЮ0 (%,2 - 4,1 ),

тобто |e| < 2S^rn0 + 2пю0 ] = Se, n = m0(t2n,2 - t2nj),

отже ^ 2Srn0 = Sn1.

Якщо Se < 2п i Sn < 2п , то, розкладаючи у збiжний ряд Тейлора, отримуемо:

Аф = —+> — ,

v 2п K=1 (2п)

Z enf(-i)K

Z ZI-\K+1

K=1 (2n)

Якщо

S SK (2n)K+1

SS

(2n)2

1 -

2n

(29)

S S

(2n)2

1 _ ^ 2n

мале наспльки, що цiею похиб-

кою можна знехтувати, то наближено можна вважати,

Q

що Дф = — - гаусова випадкова величина МДф = 0, 2п

DДф = o2/(2п)2.

Зауваження 3. У випадку виразу з реверсом, тобто коли визначають, крiм кута ф i додатковий кут 2п-ф , за яким поим обчислюють ф i результати спостере-жень усереднюють, справедливi всi попереднi результати, пльки треба брати настyпнi значення о;; i о2п :

4 ®0 [«i + )(2ф2 + 4П - 4яф) + 8%2 (тф, + ^ )]

,(30)

=4 ю'

^ = 1 < (т

2 ) .

(31)

Висновки

1. Похибку вимiрювання купв представлено у ви-глядi випадкових гаусових величин 8 та п . Приведено значення 1х моментiв M8 = 0, Mn = 2п , дисперсiй, гау-совий вектор, представлено у виглядi лшшного пере-творення гаусового вектора з незалежними компонентами. Виведено вираз для густини випадкових величин як у загальному випадку, так i у окремих випадках.

2. Виведено вираз для розпод^у густину рДф (z) ви-падково! величини Дф.

3. Проведено ощнку ймовiрностi густини розпод^у похибки використовуючи наближенi методи для об-числення iнтервалy.

4. Проведено ощнку ймовiрностi густини розподiлy похибки при багатократних вимiрюваннях.

Лiтератyра

1. Автоматизированный гониометр на основе кольцевого лазера. А.И. Вангорихин, И.И. Зайцев, «ОМП», 1982, №9, с. 28-31.

2. Афанасьев В.А. Оптические измерения: Учебник для вузов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1981. - 229 с.

3. Оптические приборы в машиностроении. Справочник. -М.: Машиностроение, 1974. - 238 с.

4. Кирилловский В.К. Оптические измерения. Часть 3. Функциональная схема прибора оптических измерений. Типовые узлы. Оптические измерения геометрических параметров. - СПб.: ГУ ИТМО. 2005.- 67 с.

5. Пхман Й.1.,Скороход А.В., Ядренко М. Теорiя ймовiрностей

i математична статистика, К.: Вища школа, 1988, - 408 с.

k=1

k=1

K=1

n

P

ö

ö

e

e

n

8

s

62 =

а

а

)

в

в

1

+

о

о

V ое ое)

\n

8

о

n