CC BY
12Conf. on Math. Methods in Electromagnetic Theory (MMET'2010), Kyiv, 2010.
10. Shvets A. V., Gorishnya Y. V. Variations of the lower ionosphere height inferred from "tweek" records// Proc. 2nd International Radio Electronic Forum (IREF'2005), Kharkiv, 2005, Vol. II, 2005.
11. Ohtsu J. Numerical study of tweeks based on wave-guide mode theory// Proc. Res. Inst. Atmos. Na-goya Univ, Vol. 7, 1960.
12. Yano S., Ogawa T., Hagino H. Wave-form analysis of tweek atmospherics// Res. Lett. Atmos. Electr., Vol. 9, 1989.
13. Yano S., Ogawa T., Hagino H. Dispersion Characteristics and Waveform Analysis of Tweek At-mospherics// Environmental and Space Electromagnetics / ed. by H. Kikuchi. - Tokyo: Springer-Verlag, 1991.
14. Nickolaenko A. P., Rafalsky V. A., Shvets A. V., Hayakawa M. A time domain direction finding technique for locating wide band atmospherics// Journal of Atmospheric Electricity, Vol. 14, N 1, 1994.
15. Rafalsky V. A., Shvets A. V., Hayakawa M. One-site distance-finding technique for locating lightning discharges// J. Atmos. Terr. Phys., Vol. 57, N 11, 1995.
16. Brundell J. B., Rodger C. J., Dowden R. L. Validation of single station lightning location tech-nique// Radio Sci., Vol. 37, No 4, 2002.
17. Швец А. В., Горишняя Ю. В. Метод локации молний и оценки параметров нижней ионосферы с помощью твик-атмосфериков// Радиофизика и электроника, T. 15, № 2, 2010.
18. Gorishnya Y. V., Shvets A.V. The method for estimating of parameters of lower atmosphere through broadcast signals of tweek-atmospherics//Proc. Electromagnetic Methods of Environmental Studies (EMES'2012), Kharkiv, 2012.
19. Greifinger C., Greifinger Ph. Approximate method for determining ELF eigenvalues in the earth-ionosphere waveguide// Radio Sci., Vol. 13, N. 5, 1978.
20. Shvets A. V., Gorishnya Y. V. Polarization of atmospherics propagating under night-time ionosphere// MSMW '07, Symp. Proceedings. -Харшв, 2007. - Vol. 2.
21. Особенности распространения и структура поля твиков / Б. Е. Едемский, Б. С. Рябов, С. С. Та-раненко [и др.]// М. - 1988. - 31 с. - (Препринт / АН СССР. ИЗМИРАН: N6 (800)).
22. Wait J. R. Electromagnetic Waves in Stratified Media// Oxford, New York: Pergamon Press, 1962. -372 p.
23. Ryabov B. S. Tweek formation peculiarities// Geomagnetism and Aeronomy (English Translation), Vol. 34, N 1, 1994.
24. Reeve C. D., Rycroft M. J. The eclipsed lower ionosphere as investigated by natural very low frequency radio signals// J. Atmos. Terr. Phys., Vol. 34, 1972.
КОНТРОЛЬ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕС1В
Даниленко €.Л.
доктор техтчних наук, професор, професор кафедри прикладное математики та тформацтних технологт, Одеський нацюнальний полтехтчний ун1верситет
CONTROL OF RANDOM PROCESSES
Danilenko E.L.
doctor of technical sciences, professor, professor of the department of applied mathematics and information technologies Odessa National Polytechnic University
АННОТАЦ1Я
Розроблено математичш моделi контролю випадкових процеав, яш мають актуальне значення для широкого кола додатшв, наприклад, при управлшш багатоканальними комплексними i комп'ютерними мережами, оцшщ ïx ефективносл надшносп. Описано основи побудови контрольних карт i рiзнi додатки статистичного контролю якостг
ABSTRACT
Mathematical models of control of random processes that are relevant for a wide range of applications are developed, for example, in the management of multi-channel complex and computer networks, the scoring of their reliability efficiency. The bases of construction of control charts and various applications of statistical quality control are described.
Ключовi слова: контроль, випадковий процес, контрольований безлiч, марковские процеси, статис-тичний контроль якосп, контрольш карти.
Keywords: control, random process, controlled set, Markov processes, statistical quality control, control charts.
1. Передмова
Створення теорп надiйностi та контролю яко-сп стимулювало створення науковi школи, заснов-никами яких були видатнi математики та мислителi А.Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко та 1хш студенти. Упродовж короткого перiоду в Радянському Союзi була створена теорiя статистичного контролю яко-стi (див. книги Я.Б.Шор, Ю.К.Беляев, Б.В. Гнеденко). Створення теорп статистичного контролю якосп вплинуло на наступне формулювання про-блеми розробки математичних моделей контроля випадковими процесами [1-5].
Припустимо, що складна система працюе без-перервно час Ф i його стан в момент часу Ф опису-ються випадковим процесом £ ф з значеннями в множинi X. Ми називаемо комплексну систему, ке-ровану, якщо И набiр сташв дiлиться на набiр керо-ваних сташв Х0 i набiр неконтрольованих станiв Хг, тобто X = Хо и Х2, Хо П X1 = 0, Хо ф 0, Хг ф 0.
Контрольоване стан х0 6Х0 - це стан системи, що вщповщае заздалепдь встановленим нормам. Наприклад, у контрольних схемах [1, 5, 6] таю стани е тими, для яких показник карти лежить в межах допустимих областей (в межах керування), а для обчислювального комплексу вони можуть бути станами техшчно! зручностi його основш елементи Звернiть увагу, що серед неконтрольованих сташв х'Е Х1 можуть бути також вiдхиленi стани системи, що означае його невдачу, але передбачаеться, що таю стани можна вщшкодувати.
Ми позначаемо ймовiрнiсть того, що система залишаеться в наборi контрольованих станiв р (Ф) = Р{% (£) 6 Хо}, протилежна ймовiрнiсть д(Ф) = 1 - р(ф) перебування системи в безлiчi неконтрольованих станiв Хг. Проблема пошуку мае багато контрольованих станiв Х0 для фжсованого iмовiрнiсть рг (ф) називаеться прямим завданням управлiння складною системою (проблема встановлення контроль-них кордошв). Завдання пошуку ймовiрностi р(ф) з фжсованим набором Х0 називаеться зворотним завданням керування. Легко це побачити розрахунок iмовiрностей р(Ф), д(ф) залежить вщ типу випадко-вого процесу та множин Х0, Хг. Випадковий процес даеться його ймовiрнiсною мiрою Р(-) (у конкретному випадку функцiя розподiлу Е (х, ф) або деяке властивють випадкового процесу, наприклад, властивiсть властивостi Маркова або властивють зб№шення незалежностi , властивють стацюнарно-стi та ергодичносп). Можна дискретизувати час Ф , тобто представляти час t у формi юнцево! або не-сюнченно! послiдовностi {Фг , , ... , 4 }, {Фг , , ... , 4 , ... }. Може юнувати шший тип наборiв керова-них та неконтрольованих станiв. Для таких рiзних випадкiв (типи випадкових процесiв ^ (£) рiзнi на-бори Х вирiшують прямi та зворотш задачi керування складною системою, статистичш завдання та теорш керуючих графiкiв та !х застосування в рiзнi галузi [1,5]. Розглядаються оптимiзованi моделi уп-равлiння для складних систем та !х застосування
[5].
Основним способом визначення випадкового процесу е побудова його каношчного iмовiрнiсного
простору (П , Е, Р) i грунтуеться на теоремi Колмогорова, що е основою теорп випадкових процеав i суть яко! полягае в тому, що кожен Омейство си-метрично сумюних функцiй розподiлу (сiмейство функцiй кiнцевомiрних розподiлiв) визначае стоха-стичний процес однозначно до екывалентносл. Фу-нкци к1нцевого розмiру розподiлу вiдiграють ту ж роль для випадкового процесу, як функщя розпо-дiлу для випадково! величини, вони мiстять всю ш-формацiю про процес. Таким чином, випадковий процес ^(Ф) може бути представлений процесом Х = {Х(Ф), Ф 6 Т}, ця система координат вибираеться гауссовым вщображенням Х(Ф, ш) = Х(Ф, х()) = х(Ф), ш 6 П - множина елементарних подш. Тодi ми мо-жемо говорити про функци математичного оч^-вання та коварiацil процесу, ввдповщно, ^(t) = М(х($) i С(8Л) = Ы((Х(8) -ф))(Х(1) — КО) де Ы(^) - оператор математичного оч^вання. Реаль-ний випадковий процес Х = {Х(Ф),Ф е Я} вважаеться гауссовським, якщо його кiнцевi розмiрнi розпо-дiли Необхiдно зауважити, що гауссовський процес дае функщя математичного оч^вання ^(t) i функщя коварiацil С & Ф).
У нас е випадковий процес £(ф) як сiмейство випадкових величин Х = {Х (Ф), Ф 6 Т}, заданих на одному ймовiрному просторi (О, F, Р) залежно вiд де-якого параметра Ф ввд множини Т i беручи значения в деякий шший фшсований набiр Е. Якщо сукуп-нiсть значень випадкового процесу збтаеться з реальною лшею, то Е = Я, то для задано! елементар-но! подп тбО е вiдображення х = X (т): Т ^ R це функц1я х = {х (Ф), Ф 6Т} в звичайному значеннi, яка називаеться траекторiею випадкового процесу £ (ф).
Параметр часу Ф 6 Т може приймати числовi значення з облiкового чи безперервного множини або приймати значення в бшьш складних множи-нах. У зв'язку з цим для випадкових процеав вико-ристовуються рiзнi спещальш поняття. Якщо множина Т = N = {1, 2,...} являе собою набiр натураль-них чисел, то Х = {Х (п), п 6 N} називаеться випадковою послщовнютю i позначаеться через Х = {Х (п), п 6 Щ. Якщо множина Т е реальною лшею Т = Я = (-<х>, + ж) або Г! штервали (а, Ь), [а, Ь], (а, Ь], [а, Ь], -ж < а < Ь < + ж i штерпретуеться як час, то мова йде про випадковий процес.
Легко заметити, що при множит пгдконтро-льних стангв Х0 = [а, Ь], -<х < а < Ъ < вероятность ргвна Р(%(£) 6 Х0) = р(£) = ,Р(Ь,£:) — ,Р(а, Т) I можна просто виршити пряму та зворо-тну задачу контролю, користуючись функщею ро-зподшу F (х, ф).
2. Контроль марковских процессов
Розглянемо контроль марковських процеав [3]. Це породжуе завдання дослщження iмовiрнос-тей переходу мiж наборами керованих i неконтрольованих сташв, отримання ергодичних умов для керовано!' системи. Властивiсть ергодичносп керо-вано! системи мае першочерговий штерес для реа-льних застосувань, оск1льки вона полягае в асимп-тотичному сталiсть ймовiрностi перебування в наборах керованих i неконтрольованих сташв i
вщсутносп залежностi вiд початкового стану. Ба-гато дослiджень було присвячено обгрунтуванню використання ланцюгiв Маркова для моделювання багатомашинних асоцiацiй (наприклад, [10]).
Наприклад, у досить загальному випадку, коли £ (!) - це стохастично неперервний регулярний не-однорiдний ланцюжок Маркова з значениями в ви-мiрюваному дискретному просторi (X, B (X)), де B (X) - Борель алгебра тдмножин X i матриця безпе-рервних локальних iмовiрнiсних переходiв (iнфiнi-тезимальна матриця)
Q(t) = \\чар(*)\\, (а,Ю 6 *2, Чар(Ь) >0, аФ Р, Ър 6 X Чар (О = 0,а6Х.
Позначимо через
Q0(t)= УарШ Po(t,s)= \\рар&,8)\\ (а,р)6Х1хХ] (и] =0, 1);
П^,з) = \^ар(1,з)\,(а,р) 6 X2 (у =0, 1);
рар(*,з) = П^) = Р, I т = «},<вМ)
= р{^(Б) = р, %(и) 6 Х], £ < и
<5 | № = «}.
Будемо вважати, що поведшка системи, коли И функцiонуваиия починаеться з контрольованого (неконтрольованого) стану х° 6 Х0 (х0 6 Х0 ), вь домо, що ва стаии спiлкуються i з £дина вiрогiд-нiсть виходу з набору Х0 №) можиа повернути назад.
Запропоновано вивчення моделi випадкового керування процесом шляхом побудови двох ланцю-жюв Маркова i ^1(Ь), t 6 [0, ^)за умови, що !хне простору X залишаеться незмiнним, а ва стани х° 6 Х° для \°(г) , х1 6 Х1 (t),) для погли-нають. Таким чином, встановлюються ввдносини мiж матрицями ймовiрностей переходiв Р°(1,б) i
Л П°&
ПД^),у =0, 1. Зазначимо, що ПД^) е матрицями ймовiрностей переходу Маркова лаицюжки ^ ° (£) i (£), 16 [0, - ршення систем з прямих та зворо-тних рiвиянь Колмогорова
^тПМ = < Б,
дПЛь.э) ..
ПД^Ж=5 = \\5ар\\,(а,р)6Х}2,
де
а саме
}ар
={0:
1 ,а = р, 0, а Ф р,
П^з)
= ехР(|
Qjj(u)du
к!
,]■ = 0,1.
2.1. Нехай £(£:) = а 6 Х°,р 6 Х°. Тодi под1я {£ • = в} представляеться як об'еднания подш. Под1я {£ • = в, ЗыЕ(.% •), £ (и) 6X1} випливае з юнування таких сташв у 6Х°,5 6 Х1,е6 Х^^ 6 Х° та часо-вих сусщв t<u<v<s, що е под1я
{%(и - 0) = у, 6 Х° при ш 6 [С, и)} П {%(и + 0) = 5, 6 Х1 при ш 6 (и, р), ((V -0) = е} П ((р + 0) = (,№=№
Тодi, зазначивши, що
П°(£,и)@00(и),П1(и,v)Q10(v) - щшьтсть ймовiр-ностi переходу вщ множини Х° до множини Х1 i на-впаки, беручи до уваги маркованiсть ланцюга £ t6[0, ж) i вищезазначених формул з використаниям формули повно! ймовiрностi, ми маемо
и)^01(и)П1(и, у)0,10 (у)Р°°(у,з)йийу.
Це матричне рiвияння - це штегральне рiв-няння Вольтерра другого роду щодо неведомо! мат-рицi Р°°(£, 5). Доказ юнування та ушкальносп його рiшения може бути здшснений за допомогою стан-дартних методiв на основi принципу згущених мiр-
куваиь [8, с.88]. Ми вирiшуемо це рiвияния за допомогою резольвеипв, тобто у виглядi серп Неймаиа з повторюваними ядрами, яш пiдкоряються рекуре-нтним ввдносинам. Зазначимо, що збiжиiсть розв'я-зку (серiя Неймана) випливае з iмовiрнiсного значения И термшв.
У результатi ми маемо
Р°°(С,5) = П°(С,5) + Л П0(t,u)Q01(u)П1(u,v)Q10 (у)П°(у,з)йийу +
Ь<и<У<Б
Л Л П0(1,и^01(и)П1(и,у^10^)П0^,и1^01(щ)П1(и1,У1^10^1)
X П°(у1,5) йийуйи1йу1 + ■■■
Ь <U<V<U1<V1<S
с
З цього виразу ми бачимо, що матриця Роо(А 5) також задовольняе наступне iнтегральне рiвияння
P„o(t,s) = По(t,s) + U P00(t,v)Q01(u)n1(u,v)Q10 (р)П00(s,v)dudv,
t<u<v<s
об'еднання з початковим штегральним р1внян-ням. Припускаючи в останньому рiвняннi
л
l0(u,s) = Q01(u)J П 1(u,v)Q10(v)n0(v,s)dv
Тодi з цих рiвнянь ми знаходимо перетворення Лапласа невщомих iмовiрностей
Р00(1) = П0(г)(Е0 — Q01П1(z)Ql0 По(2))-1,
Р01(г) = П0(г)(Е0
Q01ÏÏ1(z)Q10 r\0(z))-1Q01r\1(z).
ми отримаемо iнтегральне рiвняння
л
P00(t,s) = n0(t,s) + J P00(t,u)L0(u,s)du. t
Зазначимо, що окр1м пошуку точних рiшень за допомогою резольвентiв, можна також знайти на-ближенi рiшення iнтегрального iнтегрального piB-няння.
2.2. Нехай Ç(t) = а £ X0,ß £ Х1. Аналопчно до pоздiлу 2.1, отримаемо
s
P01(t,s) = n0(t,s) + J P00(t,u) Q01(u)n1(u,s)du.
Аналогiчним чином ми отримуемо
Pw(z) = П1 (z) (^ -Ç10fÎ0(z)Ç01 01(z))-1Ç10n0(z) ,
Pn(z)= (E1- Ç10ff0(z)Q01 f1(z))-1f1(z). В останшх чотирьох формулах
Et = \\Saß\\,(a,ß) £ Xf,8ap = i = 0,1.
Зазначимо, що вищезгадане вираження для ш-версй' матриць мае очевидний сенс у випадку шнце-восп множини керованих станiв Х0 (саме цей набip рвний регулярний часовий однор1дний ланцюг Ма- мае практичний iнтеpес). Якщо Хо - це счетне мно-
2.3. Нехай £ (t), t£[0, m) - стохастично непере-
ркова з просторовим станом виду Х = Х0 и Хг, Х0 П Хг = 0, Х0 ф 0, Хг ф 0. Тодi матриц вiрогiдностi ло кального переходу не залежать вiд часу, тобто
(} = \\чар\\, (а,Ю 6 X2; ^ = \\Чар\\, (а,р) 6Х1Х X) ((,]■ = 0,1),
и матрицi Р0 (О, (О, 1° (О мають форму
Ро(0 = Р>(0,0,ПД0 = ПД0,0 = ехр (М}]),(1,]) = 0,1,
L0(t) = Q01
I
Ь
(и) Q10(t-u)du.
тод1 з р1внянь у розд1л1 2.1 випливае, що
I
00(О = П0(0 + J P00 (u)L0(t - u)du,
0
t
P01 (О = J Р00Ы Q01n1(t-u)du.
Давайте перейдемо цi iнтегральнi рiвняння до перетворення Лапласа
Роо(г) = По(г) + Ро(г)Ь°(г), де 1°(г) = Q01Пl(z)Q10 По(г),
РоЛг) = Pоl(z)Q01fíl(z).
жина, то зворотнiсть слiд розумiти як зворотнють в алгебри операторiв на просторi обмежених послiдо-вностей. Перетворення Лапласа однозначно (з точ-нiстю набору мiри 0) визначають матрицi iмовiрно-стей переходу Роо(0, Р01(0, Р10(0, Р:и(0, яш зна-ходять за допомогою типу Меллша теореми iнверсii.
2.4. Припустимо, що контрольована система описуеться однорщним локально регулярним лан-цюгом Маркова 4 (t) з безперервним часом i шнце-вим набором сташв X = {1, ...,п} = Хо фХ1,Х0 = {1,..., т}, Х1 = {т + 1,... ,п},т < п та матриця ло-кальних iмовiрностей переходу Q = >
0,1 * 7,1?=1 ?у = 0,1 = 1.....п.
Розбиття простору станiв на Х0 - контрольо-ване та неконтрольоване Х1 вiдповiдае розбиттю матрицi Q на блоки
Ç00 Ç01 Ç10 Q и
де Q00 е квадратним порядком m матpицi.
Ми називаемо контрольовану систему регулярною, якщо з'еднуються набори керованих i некон-трольованих сташв, тобто
P{3t> 0:((t) £Х1-кК(0) £Хк] >0,к = 0,1
i з будь-якого шдмножини Х1 с Х1 1ти можна перейти до його доповнення Х1 \ с Х1 , не вхо-дячи в набip X0, тобто
P{3t: Vt: [0, t] ((т) £ XuÇ(t) £ £ А^} > 0.
и
0
0
Цей стан штерпретуеться як умова для хорошо! пщсистеми в неконтрольованих станах.
Лемма. Якщо контрольована система з шнце-вим набором сташв регулярна, то
1. УЯ 6 о^^^еЯ < 0, де - це спектр матриц Q11; зокрема det Ф 0.
2. Всi елементи матрищ ф—1 е негативними.
3. Матриця Qо = Qоо - QоlQllQlо мае попере-дньо стохастичний порядок т i, як матрицю iмовiр-ностей локального переходу, генеруе однорщний ланцюг Маркова 6Х0.
Доказ лемми заснований на теори Перрона-Фробенiуса [8, р.339].
Теорема. Якщо ланцюг Маркова £ 0 (0 регулярно контрольовано! системи з к1нцевим набором станiв е ергодичним, то ланцюг Маркова £ ф також ергодичний, а вектор рядки його шнцевих iмовiрно-стей мае вигляд q = (Уд0ДУ1)"1д0Д, де Д = УЯ0 •
Q01Q-1t|| - вектор рядки кiнцевих iмовiрностей ла-нцюга Е0 - тоточна матриця порядок т,
||0оД !!1 - сума елементiв вектора рядка ц0Я.
Доказ теореми доступний у авторських роботах [2-5].
3. Розглянемо приклади рiзних випадкових процесiв, описаних складними системами.
3.1. Хай випадковий процес £ ф 6Х = {0,1, ... }, що описуе контрольовану систему, являе собою однорщний процес Пуассона [12]. Тодi дiагональна матриця з густинами ймовiрностi локального переходу мае форму
-Я Я
0
Я я
Роо 'Р1о(г)'Р11(г) у р°здш 2.3, викорис-
товуючи зворотш перетворення Лапласа, мають вигляд:
Роо(г) = е"Ят
1 Я 0 1
(Ят)2 2! "
Ят ...
(Ят)"
(ш-1)! (Лт)т-2 (т-2)!
(Ят)"
(ш-1)! (Ят)т-2
|0 0 0 . 1 |
Ро1(т) = Яте-Ят
(Лт)т (Лг)т+1 (т)! (т+1)! (Ят)т-1 (Ят)т
(т-2)! (ш-1)!
(т)!
1 Ят
Рц(т) = е-Ят
(Ят)2 2!
1 Ят
(Ят)2 2!
0 1 Ят
Q =
де 0 < X < да - це постшне число, рiвне штенси-вностi початку поди.
Нехай множини Х0 = {0,1, ..., т — 1} i Х1 = {т, т + 1,.}, то iмовiрностi переходу з безлiчi ке-рованих сташв Х0 до множин Х0 та Х1 i назад, отри-манi з формул для перетворень Лапласа
0,
де 0 - нулевая матриця.
3.2. Вбудована обчислювальна система космi-чного апарата розглядаеться як класична система масового обслуговування М/М/1 [11], тобто вона складаеться з одного обслуговуючого комп'ютера з потоком задач обробки Пуассона та законом експо-ненцшного розподiлу часу !х виконання. Давайте розглянемо як1сть бортово! обчислювально! тдси-стеми, яка буде характеризуватися к1льк1стю за-вдань обробки шформацп в черзi.
Нехай буде контрольована держава {0}, що вь дповщае вiдсутностi черги, а залишковi стани {1, ..., к, ... } - неконтрольоваш Тод^ використовуючи фо-рмули з роздiлу 2.3, ми отримуемо, що ймовiрностi того, що в час t в цш бортовiй пiдсистемi черга за-вдань збiльшиться з нуля до к > 0, одно-
значно визначаеться перетвореннями Лапласа
РооО) = 7Тоо 7Тоо
¿=1 к=1
Рок (*) = ттоо (*) 1Т=1401И1к (*) (1 — ИТ=1 Ик=1 -
7Тоо (г))-1 ,к> 0.
Якщо штенсившсть призначень менша за штенсившсть !хньо! роботи, бортова система е ергоди-чною системою, а стацюнарш iмовiрностi стану для всiх к > 0 знаходяться на основi теореми: рк = РоТ,<1=1Чо1'Л1к(0), де ро - це стащонарна ймовiр-нiсть вiдсутностi черг завдання, яка визначаеться iнтенсивнiстю присвоень та !х виконанням.
3.3. Бортова комп'ютерна система космiчного корабля складаеться з одного робочого та одного резервного обчислювального пристрою, яш обслу-говуються системою ремонту. Для простоти, при-пустимо, що час роботи основного обчислюваль-
ного пристрою та його час вщновлення розподшя-ються вщповщно до експоненцiального закону з параметрами а i в, вщповщно. У рядi випадк1в це справдi випадок у реальних умовах [10]. Природш примiщення дозволяють сказати, що вш шдтриму-ватиме однорщний ланцюг Маркова в часi.
Нехай набiр керованих станiв тако! бортово! системи Х0 = {х1, х2}, де х1 - це один обчислюваль-ний пристрiй, другий знаходиться в резерв^ х2 -працюе один обчислювальний пристрiй, а другий обчислювальний пристрiй обслуговуеться системою вщновлення , а безлiч неконтрольованих ста-
0
1
оэ
о
шв Х1 складаеться з одного стану хэ - двох несправ-них обчислювальних пристро!в, ввдновлюеться один комп'ютерний пристрiй (бортова система не працюе). Тодi вiдповiднi матриц мають вигляд:
випливае, що (0) =-. Тодь згiдно з п-
33 а(а+Р)
потезами теореми, стацюнарш ймовiрностi сташв х 1, х2 i х3 будуть записанi як
Q =
—а а 0
Р —(а + Р) а
0 Р —р
Оо1= ||0||,С1о = 1|0 рЦ
Р1
(а + р)п
(а + р)г1 + (а+р + 1 )г2 2
Л = 1,2;
Рь
(а + Р)г1 + (а+р + 1 )г2'
По(0 =
0 (О
о
11
п-
(О ^2 (О
0 (О
о
12
,ПЛ0 = 1Из(0Н
Пiсля простих перетворень з сшввщношень для перетворень Лапласа Ру (г), ¿,у = 1,2 у роздiлi 2.3 ми отримуемо перетворення Лапласа, яш визна-чають iмовiрнiснi переходи ру(0 ввд стану X; до стану х,:
ЙД5) = ЦФ — «^^^^(У),*,; = 1,2,
Р1зО) = ал3з(з)р12(5),р2з(5) = ал3з(5)р22($).
Ввд iснування однородного ланцюжка Маркова (£) в просторi керованих сташв з матрицею пере-х1дних локальних iмовiрностей
Q =
а а |
р —ар(а+р) тг1з(0)1
де г1 i г2 стацiонарнi iмовiрностi ланцюга оно-влення £0(£).
4. Математико-статистичний контроль
Тимчасовi ряди (реалiзацiя, траектор1я) дозво-ляють вiзуалiзувати зм^ будь-яко! контрольно! цiнностi в чаа. Це графiк залежностi ще! величини ввд часу. Данi для його побудови можна взяти, наприклад, з контрольних аркушiв. Шсля його побудови можна визначити, в який перюд ввдбулося щось, що вплинуло на це значення, i визначити, що це було. Наприклад: знос устаткування, змiна суб-тдрядника, використання iншого матерiалу, набiр нових сшвробггаишв тощо.
Аналiзуючи графiк, важливо вiдокремити не-значнi змiни, яш е нормальними для дослщжува-ного процесу, вщ значних. Найкраще використову-вати часовi ряди для виявлення змiн у середньому. При побудовi графiка важливо не плутати послщо-внiсть.
На рисунку 1 наведено приклад часових рядiв щотижневих втрат робочого часу та показуе ситуа-цп, коли щ втрати збшынилися.
Рис.1. ТимчасовI серИ втрат тижневого робочого дня
21
На рисунку 2 показано приклад тимчасового ряду одного з параметрiв телеметрп космiчного корабля та деяких контрольних меж для нього. З ана-
лiзу цього показника можна чгтко видно, що параметр телеметрп з 20-го спостереження показав тен-денцiю до ударiв i потрапляли до меж1 нижчого контролю, встановленого нормами.
35
30
5
0 4 » * t » t t v t » 7 t tttfvttttrrl
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2S 26 27 20 29 30
Рис. 2. Часовий ряд телеметричного параметра космiчного апарату
Часто проблема виявлення змш у iMOBiprncHux характеристиках спостережуваних процеав вирь шуеться, або так звана, проблема "порушення" [7]. Це завдання охоплюе широке розма!ття реальних ситуацш: порушення е порушенням однорiдностi даних, це порушення роботи або змша режимiв ро-боти, iмпульсний шум, несправшсть у роботi запи-суючого обладнання, вiдмова обладнання, атмос-ферш впливи в передача радiосигналiв тощо. Нехай "розлад" з'являеться у випадковий час в i вибирае споаб спостереження, визначений випадковим часом часу зупинки т. Наприклад, час зупинки т = inf (t: ф (x(t)) > h} е першим моментом, коли процес ф (х (t)) перевищуе деяку порогову величину h. При створеннi системи мониторингу, тобто сигналу три-воги, що процес ф (x(t)) > h, необх1дно враховувати природнi вимоги: 1. умовне математичне оч^-вання M (т - в / т > в) —^ 0, тобто пiсля появи "роз-биття" в момент часу в, сигнал треба зменшити як можна менше часу. 2. P (т < в) ^ 0, тобто "помил-ковий" сигнал (помилка першого роду) буде рвдко вказаний. Легко побачити, що щ вимоги супереч-ливi, що веде до варiацшно! проблеми:
знайти т * = arg inf M (т - в / т > в), т£(т: P (т < в) < а},
де а - задане позитивне число, яке обмежуе ймовiрнiсть «помилкового» сигналу (ймовiрнiсть помилки першого роду) P (т < в). Зазначимо, що наступи математичш очiкування рiвнi
M (т - в /т > в) P (т > в) = M (max (0, т - в)).
Це завдання не входить у рамки традицшно! математично! статистики, оскшьки вимагае послi-довних спостережень, що обгрунтовуе викорис-тання контрольних схем. За аналогiею з теорiею пе-ревiрки статистичних ппотез можна ввести ймовiр-ностi помилок першого та другого роду, але
потрiбно роздiлити час на окремi локальнi сегме-нти, пiсля кожного з яких приймаеться одне з двох ршень: iснуе "порушення" або вщсутшсть "пере-бо!в". Ефектившсть алгоритму для вирiшення варь ацшно! задачi буде залежати ввд штенсивносп "ро-зривiв" та априорного значення а, а оригiнальний випадковий процес повинен бути стацiонарним широким сенсом [7].
Контрольш карти використовуються для вщс-теження змш у будь-яких характеристиках випад-кового процесу, який описуе складну систему, наприклад, статистичш оцiнки, так як певнi функцп траектори випадкового процесу, як1 у свою чергу е певною функцiею часу, можуть бути такими. Практично контрольш схеми використовуються для ста-тистичного контролю та регулювання технолопч-них процеав. На контрольнiй картi даються значення деяко! статистично! оцшки (характеристики) у виглядi точки в певний час, обчислену за даними траекторiй у порядку !х надходження, верхнiй та нижнiй контрольнi меж1, а верхня i нижнi меж1 тех-нiчних допусков (якщо так1 е), яш взятi з техшчних регламентiв. Iнодi використовуються попере-дження. Приклад контрольно! схеми середнього арифметичного як об'ективно! оцiнки математич-ного оч^вання показаний на рисунку 3, 4. Верхня а також нижш меж1 керування, а також меж1 попе-редження, розрахованi для стацюнарного гауссова випадкового процесу (стацiонарнiсть у широкому сена та вузький сенс для гаусових процеав збиа-еться) за стандартною формулою: Ке,н = л ± Мрст, де математичний очiкування випадкового процесу (!) = ¡, дисперая D£ (!) = о2, ир-квантиль гаусового розподшу, яка залежить вiд ймовiрностi довiри р = 1 - а, а - рiвень значимостi (звершгь увагу, що значення а в вaрiaцiйних задачах також принципово вь дрiзняються.) Часто беруться шльшсш значення для меж попереджувальних кордошв и0.95 ~ 2, а для кордошв керування ио,99 ~ 3, що називаеться правило "двох сигм" i правило "три сигми".
Время
Рисунок 3. Контрольна карта середнгх значень точностг визначень
Рисунок 4. Контрольна карта середнгх значень амплтуди сигналу
В1дпов1дно до положення точок щодо меж, вважаеться, що технолопчний процес був скорек-тований або розбитий. Зазвичай цей процес вважаеться розбавленим у наступних випадках: 1. Деяш моменти виходять за меж1 контролю. 2. Сер1я з семи пункпв знаходиться на однш сторош серед-ньо! лши. Кр1м того, якщо на однш сторош серед-ньо! лши е: а) десять 1з серп одинадцяти пункпв, б) дванадцять з чотирнадцяти пункпв, в) шютнадцять 1з двадцяти бал1в. 3. 1снуе тенденщя (дрейф), тобто точки утворюють безперервно зростаючу або пос-тшно падаючу криву. 4. Два або три пункти виявля-ються запоб1жними двос1гматичними межами. 5. Наближення до центрально! лши. Якщо б1льшють точок знаходяться всередиш нашвсириграми, це означае, що даш з р1зних розподшв змшуються в шдгрупах. 6. 1снуе перюдичшсть, тобто пот1м зрос-
тае, а пот1м знижуеться приблизно з однаковими ш-тервалами часу. 7. Контрольш меж1 ширш1, шж то-лерантнють. В вдеал1, достатньо, щоб контрольш обмеження дор1внювали 3/4 в1д допустимих значень.
Якщо контрольна карта показуе, що технолопчний процес застарший, знайдиъ причини розбиття та внесггь змши.
Як м1ру контрольно! карти можна взяти будь-яку статистичну оцшку, але найпоширешше сере-дне арифметичне та стандартне вщхилення, як характеристики найбшьш в1ропдного значення та ва-р1ацп випадкового процесу (рис.5). Одночасне по-дання оцшок, розрахованих з реал1зацш (траекторш), середнього значення х, та стандартного вщхилення 5 дае майже повну картину для рь шення.
Рис 5. Контрольна карта оцшок середмх значень та середньоквадратичних значень амплтуди
радюсигналу
Використовуються як параметричш, так 1 непа-раметричш статистичш даш. Найкращим з точки зору !х актуальносп е контрольш схеми пстограми [5], побудоваш на основ1 траекторш. Пстограма -це метод граф1чного представления табличних да-них, що е граф1чним представленням залежносп частоти елеменпв траектори (виб1рка) ввд ввдповщ-ного Сервалу групування.
Контрольш д1аграми 1ндив1дуальних значень, мед ¡а на карт, штерва.ив. толерантних штервал1в
(приклад толерантно! контрольно! схеми наведено на рисунку 6), коефщенти асиметрп та куртозу, оцшки ковар1ацп, оцшки регресшно! модел1, параметричш параметри з'еднання, критери знаков, кри-терш серп , Тест В1лкоксона та шш1 (наприклад, Студент, Шрсон, Колмогоров-Смирнов, Фшер) та шш1 [1, 5].
Рисунок 6. Толерантна контрольна карта вгдносног похибки дозування (1 - толерантний ттервал, 2 - меж1 регулюючого контролю, 3 - графж середтх значень).
Литература
1. Даниленко, Е.Л. Математико-статистиче-ские методы оперативного контроля случайных процессов / Е.Л. Даниленко // Исследование операций и АСУ. — Киев: Вища школа, 1982. — Вып. 19. — С. 31-39.
2. Даниленко Е.Л. Вероятностные модели оперативного контроля дискретной системы / Е.Л. Да-ниленко // Автоматика и вычислительная техника -1983. - N01. - С. 66-71.
3. Даниленко Е.Л. Марковская модель опера-
тивного контроля сложной системы / Е.Л. Даниленко // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1983. N0 6. - С.176-182.
4. Даниленко Е.Л. Моделирование контроля сложной системы / Е.Л. Даниленко // Информатика и математические методы в моделировании. / Одесский национальный политехнический университет. - 2012. - Том 2. - N0 4. - С. 363-373.
5. Даниленко Е.Л. Теория и практика контроля сложных систем/ Е.Л.Даниленко. - Одесса: Освита Украины, 2014. - 44с.
6. Даниленко Е.Л. Эффективное применение математико-статистических методов / Е.Л. Даниленко // Информатика и математические методы в моделировании. / Одесский национальный политехнический университет. - 2013. - Том 3. - No 2. -С. 132-145.
7. Ширяев, А.Н. Статистический последовательный анализ / А.Н. Ширяев. - М.: Наука, 1976. -232 с.
8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -М: Наука, 1976. 544 с.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц/ Ф.Р. Гантма-хер. - М.: Наука, 1967. - 576 с.
10. Авен О.И. Управление вычислительным процесом в ЭВМ/ О.И. Авен, Я.А. Коган. - М.: Энергия, 1978. - 240 с.
11. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания/ Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. -432 с.
12. Кингман Дж. Пуассоновские процессы/ Дж. Кингман. М.: МцНМО, 2007. - 136 с.
О MAX-PLUS-ВЫПУКЛЫХ ПОДФУНКТОРАХ ФУНКТОРА 1р ИДЕМПОТЕНТНЫХ
ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Ишметов А.Я.
Ташкентский архитектурно строительный институт,
Ташкент
ON MAX-PLUS-CONVEX SUBFUNCTORS OF THE FUNCTOR Ip OF IDEMPOTENT
PROBABILITY MEASURES
Ishmetov A. Ya.
Tashkent institute of architecture and civil engineering,
Tashkent
АННОТАЦИЯ
Для метризуемого пространства X построена метрика на пространстве j(X) идемпотентных вероятностных мер, порождающей топологию поточечной сходимости на / (X), и являющейся продолжением метрики на X . Установлено, что для max-plus-выпуклого подфунктора F функтора I^ пространство F(X) является абсолютным ретрактом в классе метризуемых пространств тогда и только тогда, когда пространство X метризуемо. ABSTRACT
For a metrzable compact space X we will construct a metric on the space j (X) of idempotent probability measures, which generates pointwise convergence topology on jд (X), and is an extension of the metric on
X . We established that for a max-plus-convex subfunctor F of a space F(X) is absolute retract in a class
of metrizable space iff the space X is metrizable.
Ключевые слова: идемпотентная мера, абсолютный ретракт, A(N)R -пространство.
Keywords: idempotent measures, absolute retract, A( N) R -space.
матема-
2010 Mathematics Subject Classification. 52A30; 54C10; 28A33.
0. ВВЕДЕНИЕ
Теория идемпотентных мер принадлежит к идемпотентной математике, т. е. области математики, основанной на замене обычных арифметических операций идемпотентными (как, например,
X © y = max{x, y]. Идемпотентная
тика в настоящее время интенсивно развивается (см., например, [1], обзорную статью [2] и библиографию в ней). Ее связь с традиционной математикой описана неформальным принципом [2], согласно которому существует эвристическое соответствие между важными, интересными и полезными конструкциями последней и аналогичными результатами идемпотентной математики. В настоящей статье мы исследуем max-plus-
выпуклые подфункторы функтора идемпотент-ных вероятностных мер в категории тихоновских
пространств. Понятие идемпотентной меры (меры Маслова) находит многочисленные применения в различных областях математики, математической физики и экономики. В частности, такие меры возникают в задачах динамической оптимизации [3]; аналогия между интегрированием Маслова и оптимизацией отмечена также в [4]. В [5] утверждается, что использование мер Маслова для моделирования неопределенности в математической экономике может быть настолько же релевантным, насколько и использование классической теории вероятностей.
Пусть X - компакт, С(X) - алгебра всех непрерывных функций, определенных на X, с обычными поточечными алгебраическими операциями и БИр -нормой. Следуя [6] вводим следующие операции:
