CC BY
2
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
BUILDING AND CONSTRUCTION
Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2024. Т. 26. № 3. С. 118-133.
Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta -Journal of Construction and Architecture.
ISSN 1607-1859 (для печатной версии) ISSN 2310-0044 (для электронной версии)
2024; 26 (3): 118-133. Print ISSN 1607-1859 Online ISSN 2310-0044
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
УДК 624.014 + 624.047.2
DOI: 10.31675/1607-1859-2024-26-3-118-133
EDN: JWJSUT
АНАЛИЗ РАБОТЫ ПОД НАГРУЗКОЙ ДВУХПОЯСНЫХ ВАНТОВЫХ ФЕРМ
Андрей Владимирович Чесноков, Виталий Витальевич Михайлов
Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Россия
Аннотация. Актуальность. Вантовые фермы обладают рядом преимуществ по сравнению с конструкциями из бетона и стали, широко применяемыми в покрытиях зданий и сооружений. Они позволяют перекрыть пролеты до 60 м и более, обладают малым собственным весом и не требуют использования монтажной техники большой грузоподъемности. Вместе с тем разработка проектных решений вантовых конструкций затруднена из-за отсутствия в имеющихся программных комплексах конечно-элементного анализа специализированных инструментов для выполнения вариантной проработки. Аналитические методы расчета вантовых конструкций требуют интегрирования эпюр поперечных сил в фиктивной балке и решения систем нелинейных уравнений, что осложняет выполнение статического анализа. Таким образом, разработка упрощенных полуаналитических методов расчета, реализуемых в общедоступных математических программных комплексах, является важной и актуальной задачей, позволяющей повысить качество проектных решений за счет использования встроенных инструментов численного моделирования и оптимизации.
Цель настоящей работы - разработка усовершенствованной методики статического анализа двухпоясных вантовых ферм.
Методы исследования и результаты. В основе разработанной методики лежит разложение функции формы вантового пояса и внешней нагрузки в тригонометрические ряды. С учетом условия совместности деформаций поясов, вытекающего из предположения о неизменности длин связей между ними, а также предположения о малости вертикального перемещения фермы в центре пролета, получена система двух уравнений. Одно из них является квадратным и имеет известное решение при заданном коэффициенте изменения формы вантовой фермы, который определяется из второго уравнения методом хорд.
Выводы. Предложенная расчетная методика позволяет определить вертикальные перемещения вантовой фермы, контактную нагрузку между поясами и усилия в поясах
© Чесноков А.В., Михайлов В.В., 2024
при действии внешней нагрузки, равномерно загружающей левую и правую половины пролета. Применение метода одномерного поиска для решения системы нелинейных уравнений требует меньших вычислительных ресурсов по сравнению с общим случаем решения нелинейных систем.
Ключевые слова: вантовая конструкция, вантовая ферма, пологая ванта, гибкая нить, обратно симметричная нагрузка, деформация, тригонометрический ряд
Для цитирования: Чесноков А.В., Михайлов В.В. Анализ работы под нагрузкой двухпоясных вантовых ферм // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2024. Т. 26. № 3. С. 118-133. DOI: 10.31675/1607-1859-2024-26-3-118-133. EDN: JWJSUT
ORIGINAL ARTICLE
STRUCTURAL ANALYSIS OF LOADED CABLE TRUSSES
Andrei V. Chesnokov, Vitalii V. Mikhailov
Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia
Abstract. Cable trusses are far superior to ordinary roof structures of buildings made of steel or reinforced concrete. They are applicable for spans up to 60 meters or more and do not need heavy-duty installation equipment due to their low weight. On the other hand, design solutions for cable structures are hampered because software packages for the finite element analysis, are not intended for study of alternative solutions. Evaluation methods for the cable truss structure include integration of the shear force distribution in auxiliary beam and solution of a set of non-linear equations. It complicates the implementation of static analysis. The development of simplified evaluation methods suitable for general-purpose mathematical software packages, is an important task to be solved. It will enhance the quality of design solutions via specialized tools for numerical simulation and optimization.
Purpose: The purpose of the work is to develop evaluation methods of cable trusses. Methodology: The proposed technique is based on the sine-series expansion of the external load and shape function of the cable truss. The assumption of small relative displacement at the center of the truss span and constant length of links between the chords yield a set of two equations. The first one is quadratic. Its solution is given in terms of the cable truss shape alteration determined from the second equation by means of the secant method. ^O Research findings: The proposed technique allows to determine vertical displacements of
the cable truss, the link load between the chords and axial forces under the external load uniformly distributed over left and right parts of the span. Nonlinear equations solved by the plane
Tt
solution technique, requires much less computations in contrast to the general analysis of nonlinear systems. О
Гч
Keywords: cable truss, shallow cable, flexible cable, antisymmetric load, defor- ^ mation, trigonometric sequence qj
For citation: Chesnokov A.V., Mikhailov V.V. Structural analysis of loaded cable ^ trusses. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universi-teta - Journal of Construction and Architecture. 2024; 26 (3): 118-133. DOI: ^
10.31675/1607-1859-2024-26-3-118-133. EDN: JWJSUT В
=
Введение
tu
Вантовые строительные конструкции предназначены для большепро- РЗ летных зданий, обеспечивают свободную планировку внутреннего простран-
ства. В работе [1] выделены области их эффективного применения. Вантовые конструкции включают большую группу так называемых tensegrity-систем, в которых отдельные распорки объединяют непрерывные растянутые элементы [2]. За счет создания предварительного напряжения tensegrity-системы проявляют намного меньшую деформативность, по сравнению с одиночными вантами. Двухпоясные вантовые фермы являются типом tensegrity-систем. Имея плоскую структуру и упрощенное конструктивное решение, вантовые фермы активно используются на практике.
Совершенствование методики расчета вантовых конструкций способствует развитию методов численного моделирования создания предварительных напряжений сложных комбинированных систем, а также вносит вклад в процесс оценки их работоспособного состояния [3, 4].
Для численного анализа вантовых конструкций, проявляющих нелинейное поведение под нагрузкой, предложено использование метода конечных элементов [5, 6]. Итерационные методики, позволяющие получить требуемую точность решения за конечное число шагов, находят широкое применение на практике для расчета нелинейных систем [7, 8].
К числу итерационных подходов принадлежит метод Ньютона -Рафсона, включающий построение касательной матрицы жесткости деформированной конструкции. В работе [9] метод Ньютона - Рафсона применен для определения равновесного состояния вантовой фермы, состоящей из элементарных модулей. Для учета криволинейных вантовых элементов, физически нелинейной работы материала и вариации температуры предложена уточненная матрица жесткости [10].
В работе [11] для получения численного решения нелинейной системы применен итерационный алгоритм Левенберга - Марквардта, который совместно с модифицированным методом Ньютона использован для определения начальных напряжений элементов tensegrity-купола в работе [12]. с^ Применение численных методов требует предварительного задания
основных параметров конструкции, к числу которых относятся геометрические размеры, а также площади поперечных сечений и величина предвари-^ тельного напряжения вантовых элементов. Таким образом, совершенствова-^ ние аналитических методов расчета вантовых систем является важной и актуальной задачей.
сч Получение аналитического решения для пространственной вантовой
® конструкции вместе с тем сопряжено с существенными сложностями и пред-^ ставляет трудоемкую задачу. В работах [13, 14] предлагается переход к эквивалентным плоским моделям тросового купола с получением упрощенного решения. Разбиение вантовой конструкции на подсистемы верхнего и нижне-^ го поясов, объединенные связями, предложено в работе [15]. ^ В работе [16] даны выражения для определения исходных длин ванто-
Я вых элементов и остаточной контактной нагрузки между поясами равномерно ^ загруженных вантовых ферм. Нахождение распора поясов вантовой фермы производится из решения системы нелинейных уравнений [17, 18]. Для опре-С0 деления коэффициентов нелинейной системы предлагается интегрирование эпюр внутренних усилий в фиктивной балке.
В работе [19] для получения аналитического решения системы нелинейных уравнений предлагается пренебречь изменением распора поясов от действия обратно симметричной нагрузки. Вместе с тем неучет изменения распора ведет к неточностям, допустимым только в упрощенных расчетах.
Из приведенного литературного обзора следует вывод о том, что численные методы расчета вантовых систем проработаны с достаточной полнотой для выполнения практических расчетов в специализированных программных комплексах нелинейного анализа. Тем не менее задание параметров ван-товой конструкции и оценка правильности принятых расчетных схем требуют разработки так называемых полуаналитических подходов, реализуемых в программных комплексах математических расчетов общего назначения, обладающих инструментами оптимизации и аппроксимации.
Аналитические подходы к статическому расчету вантовых конструкций, разработанные к настоящему времени, сопряжены с трудоемкими процедурами расчета коэффициентов, включающими построение и интегрирование эпюр поперечных сил или изгибающих моментов в фиктивной шарнирно опертой балке, а также с решением систем нелинейных уравнений. Это представляет сложность при выполнении практических расчетов, затрудняя проработку вариантов на этапе эскизного проектирования.
Целью настоящей работы является разработка усовершенствованной полуаналитической методики статического анализа двухпоясных вантовых ферм, предназначенной для использования в программных комплексах математических расчетов общего назначения.
Методы исследования
Вантовые фермы состоят из гибких пологих поясов, объединенных связями в виде растяжек или распорок. Расчетная схема вантовой фермы приведена на рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема двухпоясной вантовой фермы:
1 - несущий пояс; 2 - стабилизирующий пояс; 3 - связь между поясами; 4 - неподвижная опора Fig. 1. Structural model of cable truss:
1 - bearer chord; 2 - restraining chord; 3 - tie; 4 - fixed support
Приняты следующие предпосылки для выполнения расчетов. Материал исследуемых вантовых ферм работает в линейно-упругой стадии. Опорные
m чо
Tt
о
и <
U Н
bt =
=
н
CJ
<v PQ
узлы неподвижны и расположены в одной горизонтальной плоскости. Пояса исследуемых ферм являются пологими гибкими вантами, способными воспринимать только растяжение. Отношения ординат в центре пролета (стрел поясов) f к размеру пролета L принадлежат к диапазону 1/24-1/8. На размер перекрываемого пролета ограничения не наложены. В исходном условно ненапряженном состоянии между поясами создается бесконечно малая равномерная контактная нагрузка, задающая их начальную форму в виде квадратной параболы с начальной стрелой fo.
Связи между поясами обладают бесконечной жесткостью. Внешние нагрузки действуют вертикально, а узлы вантовых ферм перемещаются только в вертикальном направлении. Таким образом, ординаты поясов f в деформированном состоянии могут быть выражены через перемещения вантовой фермы Af следующим образом:
fb 1/2 = fob -Af1/2 ; (1а)
fr 1/2 = f0r +Af1/2 , (1б)
где b и r - индексы, обозначающие несущий и стабилизирующий пояс соответственно.
Принято, что внешняя нагрузка Q на вантовую ферму состоит из двух частей, равномерно загружающих левую и правую половины пролета: Ql и Qr. Положительные направления нагрузок приведены на рис. 1. Нагрузка слева неотрицательна QL > 0, а нагрузка справа не превышает нагрузку слева Qr < Q. При этом суммарная нагрузка на вантовую ферму положительна
(Qr + Ql ) > 0.
Внешняя нагрузка Q, действующая на вантовую ферму, полностью передается на несущий пояс. Таким образом, нагрузки на пояса составят: - несущий пояс:
Г) qb = Q + P; (2а)
— стабилизирующий пояс:
Чг = Р, (2б)
где Р - контактная нагрузка между поясами.
По аналогии с внешней нагрузкой контактную нагрузку можно предста-^ вить в виде двух составляющих Рь и Рд. Внешняя и контактная нагрузки раз® биваются на сумму равномерной и обратно симметричной частей (индексы Ед ^ и 1пу соответственно):
и <2ь = QEq + Qыv; QR = QEq - QInv; (3)
[_ р = РЕч + РП ; р = РЕч - Р1т . (4)
Н
Ы
Величины равномерной и обратно симметричной составляющих внеш-
Я ней нагрузки QEq и QInv находятся из (3) при заданных значениях Qь и QR. Со® ставляющие контактной нагрузки между поясами РЕд и Рп неизвестны и подлежат определению.
И С учетом (2а) и (2б) суммарная равномерная и обратно симметричная
нагрузки на пояса составят:
несущий пояс:
Чъ,Бч = + РЕц и = QInv + Р1т ; (5)
— стабилизирующий пояс:
Цг,Ец = РЕц и Яг,1т = РП . (6)
Авторы работы [20], применяя аппроксимацию формы ванты и внешней нагрузки при помощи тригонометрических рядов, получили уравнение равновесия:
ко Т^ т
У(х) =ъл — -ГТ^(х), (7)
ЕА АЬ
где у (х) - ордината ванты в локальной системе координат (начало координат
находится на левой опоре ванты, локальная ось У направлена в сторону увеличения ординаты: для стабилизирующего пояса - вверх, для несущего пояса - вниз) в сечении х при х е [0...Ь], где Ь - пролет ванты; ЕА - продольная жесткость ванты; АЬ - удлинение ванты, равное разности между ее геометрической длиной под нагрузкой Ь и начальной длиной Ьс0 ; у - номер элемента ряда (так называемый базовый индекс, принимаемый в дальнейших расчетах равным единице); kqj - коэффициент разложения внешней нагрузки
(х), распределенной по длине пролета ванты, определяемый при помощи интеграла Фурье [21]; ¥(х) - функция, зависящая от внешней нагрузки:
bL = Lg -1,0 ; (8)
2 jL (
LJo
1 2 fL \ f \ ■ (j kqj =-J0 I qg(x)sm
V L / j
dx ; (9)
"Mkmi (mx ^
m
3
чо
4(x) = 1"^sin m-^~x , (10)
m=1 m V L /
где km j - приведенные коэффициенты разложения нагрузки, полученные в [20] для j = 1 в виде суммы приведенных коэффициентов равномерной части нагрузки ^q и обратно симметричной части k^l :
N
км)=kEmq+с (л), (11)
где л - отношение интенсивности обратно симметричной нагрузки, действую- ^ щей на пояс вантовой фермы qInv, к интенсивности равномерной нагрузки qEq :
л = qinv / qEq. (12)
Отношение (12) выражено через ординаты пояса в четверти и середине
пролета fu4 и fin [20]:
Л = 4fy4¡ fi/2 - 3 . (13)
s =
н cj <v
PQ
Упрощенное выражение для определения геометрической длины ванты по ординате (стреле) в центре пролета в зависимости от соотношения
Ь ^ 2 ^ М + * . (14)
В свою очередь, начальная недеформированная длина представляет собой разность геометрической длины пояса в исходном положении и заданного натяжения АЬр, необходимого для создания предварительных напряжений в вантовой ферме:
Ьс0 = 0 -АЬр. (15)
Длина пояса в исходном положении Ь 0 находится из (14) при заданной
начальной стреле / и соотношении ^ = 0, соответствующем равномерной нагрузке.
Результаты
В соответствии с (9), коэффициенты разложения нагрузки, состоящей из суммы равномерной Ед и обратно симметричной 1пу частей, ч = че + ч1т
являются суммой коэффициентов:
кч] = кчЕч + Ч" . (16)
В свою очередь, все нечетные коэффициенты разложения обратно симметричной нагрузки, включая кд(п", равны нулю, а для базового индекса (у = 1) можно записать:
кцх = кчЕ41 • Чеч , (17)
С) где Чщ - интенсивность равномерной части нагрузки, действующей на ванту; кчЕч1 = 4 / л - коэффициент разложения (9) равномерно распределенной
чо
нагрузки единичной интенсивности, имеющий индекс у = 1.
Учитывая (17) и значение функции (10) для центра пролета, равное
тТ ^1/2 = л3 / 32, уравнение (7) запишем в виде с*
® Лп = , (18)
^ Чеч аь
^ где р - коэффициент: <
Н р = ¿ТЬТ. (19)
^ ¿2 • ¿со
8 • ЕА
Я Учитывая (5) и (6), запишем (18) и (12) для поясов фермы в центре пролета:
— для несущего пояса:
| /ь1/2 ; (20а)
Ш QEq + Ре, АЬь
% = Q'nv + Pr ; (20б)
QEq + PEq
- для стабилизирующего пояса:
/r1/2 _ Pr .
PEq 4L ;
(21а)
Л = Pnv/PEq, (21б)
где Рь и pr - коэффициенты, определяемые для несущего и стабилизирующего поясов по (19).
Из (20б) и (21б) получим зависимость между соотношениями Лъ и Лг :
Qlnv + Лг • PEq
Ль =-- . (22)
QEq + PEq
Из (13), учитывая (1), выразим отношения обратно симметричной к равномерной нагрузке для несущего и стабилизирующего поясов в зависимости от вертикальных перемещений вантовой фермы в середине и четверти
пролета A/l/2 и 4/1/4 :
À
Ль = ——— 4/1/2 ; (23а)
4/1/2 - / 0Ь à
Лг = 77-^4/1/2, (23б)
4/1/2 + /0 r
где À - коэффициент изменения формы вантовой фермы:
À = 44/1/4/4/1/2 - 3. (24)
Из (20а), с учетом (8), (14), (21а), (23а) и (23б), получено кубическое уравнение от неизвестного вертикального перемещения вантовой фермы в середине пролета 4/1/2 :
чо
Л/1/23 + ^2 • А/1/22 + 4 • 4/1/2 + A = 0. (25а) ^
H
Вертикальное перемещение в середине пролета 4/1/2 определяется упругими деформациями поясов, а не изменением формы вантовой фермы. § Таким образом, величина данного перемещения существенно меньше ее габа- ^ ритных размеров, а кубическое уравнение может быть редуцировано до урав- ^ нения второй степени: U
A2 (À) • 4/1/22 + 4 • 4/1/2 + A = 0. (25б) £
H
где A), A1 - коэффициенты; A2 - функция, зависящая от параметра À : ^
В
A2(à) = 2 рь • /оr -pr • /оь (à2 +12) ; (26а) g
3 L аЗ
4 = 8 Рь •^ +Pr •/0ь + L(Pb + Pr ) - (Рь • LC0 + Pr • LbC0 ) ; (26б) М
m
A = 8 Pb • f0.-Pr • fOb + L(pb . for -Pr • fob ) +...
••• + Pr • f0b • Lc0 - Pb • f0r • Lc0 + QEq " Pb " Pr . (26в)
Коэффициенты Pb и Pr для несущего и стабилизирующего поясов определяются по (19).
При условии A2 Ф 0, которое обеспечено при
Pb • f0r Ф Pr • f0)b , (27а)
а также при условии
q(X) = A12 - 4A2 (X) A > 0, (27б) решение (25б) запишем в следующем виде:
Afi/2(X) = -A1 . (28)
1/2 2A2(X)
При невыполнении условий (27) вертикальное перемещение вантовой фермы в середине пролета Af1/2 не зависит от параметра X и определяется из решения линейного уравнения, полученного из (25б) при A2 = 0 :
A/1/2 =-4/ A. (29)
Равномерная часть контактной нагрузки между поясами PEq, а также отношения ц и ц должны удовлетворять равенству (22), которое запишем в виде нелинейного уравнения одной переменной X :
F (X) = 0, (30)
_ QInv + Ц (X)PEq(X)
где F(X) = —--——q--ц (X). (31)
QEq + PEq (X)
^ Здесь ць (X) и цг (X) - функции (23а) и (23б); PEq (X) - функция, полученная
3
-Г
гч
из (21а) при учете, что входящие в (21а) элементы fr 1/2 и AL зависят от вер-
ч©
сч тикального перемещения вантовой фермы в центре пролета А//2, которое, в свою очередь, определяется из (28) при заданном X; QEq, QInv - симметричная и обратно симметричная составляющие заданной внешней нагрузки. О Для решения уравнения (30) предлагается применить метод хорд. Поиск
. решения производится в диапазоне ХЬ ...XR, где границы диапазона принимаются из условия
^ ¥(Хх ) < 0. (32)
^н В случае если значение функции (31) на одной из границ равно нулю,
¥(X ) = 0 , решение найдено: X = Х , иначе - производится итерационный по-
5
И иск. На каждой итерации определяется промежуточная точка Хм .
= |¥(Х R)| + |¥(Х,)| . (33)
Границы диапазона поиска меняются следующим образом. При F (kR )F (kM) > 0 отбрасывается часть интервала, находящаяся правее точки
Хм (т. е. принимается XR = км), в противном случае отбрасывается левая часть интервала (принимается kL = км). Итерационный процесс поиска решения завершается при достижении заданной степени точности:
IF (км )|<ц6, (34)
где - величина допустимой ошибки.
В качестве решения принимается к = км .
Невозможность задания начального диапазона поиска kL ...кд по условию (32) означает, что решение к стремится к ±», а вертикальное перемещение вантовой фермы в центре пролета, с учетом (24), стремится к нулю: 4/1/2 ^ 0. В этом случае задача нахождения параметра к заменяется задачей определения вертикального перемещения вантовой фермы в четверти пролета 4f/4 при отсутствии перемещения в центре:
4/1/2 = 0. (35)
Учитывая (24), при условии (35), запишем отношения (23а) и (23б) в виде функций от перемещения 4/1/4 :
л (4/1/4)=-44/1/4/ fob; (36а)
Лг(4/1/4) = 44/1/4 / for . (36б)
Поиск решения производится методом хорд с использованием функции (31), выраженной через искомое перемещение:
F(4/1/4) = 4/1/4 + C1 • 4/1/4 + Co ^ 0, (37)
(о Л \
; (38а)
3
где C =— L
1 32
V
/0r
3 L /0 r + /0 b
„ J + QEq f Г г +L Lc0
ГП 2
С0 = _!- ь /(0ь 'Р/ . (38б) ^
0 128 /о г + /о ( )
Рассмотрена двухпоясная вантовая ферма пролетом Ь = 60 м. В каче- ^ стве материала поясов приняты высокопрочные стальные ванты с модулем § упругости Е = 1,48 • 104 кН/см2. Площади поперечных сечении несущего и стабилизирующего поясов: Аь = 20,0см2 и Аг = 13,0см2. На стадии предварительного напряжения распоры и стрелы поясов фермы составляют: Нрг,ь = НрГг = 588,6 кН и /12 = Ж/2 = 4,02 м [18, 22].
Геометрические длины поясов на стадии предварительного напряжения
Ь г ж ог
Ьё рг и Ь& рг найдены по (14) при заданных стрелах /ьР/2, //Р/2 и коэффициенте, соответствующем равномерной нагрузке ^ = 0 . Приняв равномерное рас-
пределение усилий по длине вант, находим относительные деформации поясов
РЭ
при преднапряжении: ергЬ = ИргЪ / ЕАЬ = 1,987 -10 3 и ергг = Нрг г / ЕАг =
3
= 3,056• 10-3. По закону Гука найдены начальные недеформированные длины поясов в исходном (ненапряженном) состоянии Ьс0 = Ьё рг / (1 + ерг) при известных длинах и относительных деформациях на стадии преднапряжения: 40 = 60,59785 м и 1Тс0 = 60,53322 м.
Принято, что предварительное напряжение вантовой фермы создается натяжением несущего пояса. Таким образом, геометрическая длина стабилизирующего пояса в исходном состоянии совпадает с начальной недеформиро-
ванной длиной ^0 = Ьс0 . Стрела стабилизирующего пояса в исходном состоянии найдена из (14) при ^ = 0 : /0г = 3,4637 м.
Стрела несущего пояса в исходном состоянии найдена из условия недеформируемости распорок, объединяющих пояса, и, как следствие, сохранения неизменным расстояния между поясами: = 4,5763 м. Геометрическая длина несущего пояса в исходном состоянии = 60,93076 м найдена по (14)
при известной стреле и коэффициенте ^ = 0 . По разности геометрической и начальной недеформированной длины несущего пояса найдено его натяжение, необходимое для создания предварительного напряжения вантовой фермы: АЬр = 0,3329 м (15).
Выполнено сравнение полученных результатов (обозначены индексом g) с результатами расчета вантовой фермы в специализированном программном комплексе МАУ^гисШге [23] (индекс М). Вертикальное перемещение в центре пролета при преднапряжении: А/рг ё = /рг г - /0г = 0,5563 м. Расхождение с результатом МАУ^гисШге А/рг м = 0,5709 м составляет 2,6 %. О Принято загружение только левой половины пролета вантовой фермы
^ & = 0,0 (см. рис. 1). Интенсивность нагрузки выражена параметрически [18]:
QL = Ч0 • кы, (39)
где ,0 = 8,91 кН/м; кы - параметр (коэффициент увеличения нагрузки).
Для удобства сравнения вычислены вертикальные перемещения относись тельно преднапряженного состояния вантовой фермы А%:
£ ^ = /,я -А/рг,г, (40)
и где А/рГ^, А/ы^ - вертикальные перемещения при преднапряжении и при дей-^ ствии внешней нагрузки относительно исходного состояния вантовой фермы, ^ полученные по предложенной методике.
2Й При кы = 8,0 расхождения полученных по предложенной методике пере-
мещений в четверти и центре пролета Аг1/4£ =-1822,9 мм и =-975,4 мм
и от результатов программного комплекса МАУ.81;гис1иге Аг1/4м =-1770,1 мм Р5 и А1/2д/ = -977,9 мм составляют 2,94 и 0,26 % соответственно. Усилия в поясах вантовой фермы получены исходя из условия их упругой работы:
чо гч
Ыъ = 3534,5 кН и N = 287,8 кН. При этом длины поясов под нагрузкой
получены по (14), с учетом (1) и (13), при найденных перемещениях. Расхождения с результатами MAV.Stmctнre Мь м = 3373,2 кН и Ыг м = 285,1 кН составляют 4,67 и 0,94 % соответственно.
Сравнение перемещений вантовой фермы с результатами работ других авторов приведено на рис. 2. На оси абсцисс обозначены вертикальные перемещения на расстоянии Ь /3 от левой опоры. На оси ординат приведены значения внешней нагрузки, соответствующие коэффициенту к^ = 1—8 (39). Графики 1 и 2 иллюстрируют результаты, полученные в [18, 22]. Перемещения, приведенные на графике 3, найдены по предлагаемой в настоящей работе методике (40).
80 С?,.к11/ч
70
60 50 40 30 20 10 0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200
Дг: мм
Рис. 2. Вертикальные перемещения вантовой фермы:
1, 2 - решения, полученные в [18] и [22] соответственно; 3 - значения, полученные по предлагаемой методике
Fig. 2. Vertical displacements of cable truss:
1, 2 - works [18] and [22], respectively; 3 - this work
Приведенное сравнение показывает хорошее соответствие результатов статического расчета двухпоясной вантовой фермы, полученных по предложенной методике, работам других авторов, а также результатам специализированного программного комплекса MAV.Structure. Таким образом, разработанная полуаналитическая методика расчета позволяет получить достаточно точные с практической точки зрения результаты.
Заключение
Двухпоясные вантовые фермы относятся к числу основных несущих элементов облегченных строительных конструкций большепролетных покрытий зданий и сооружений. Их применение способствует освоению отдаленных и труднодоступных территорий с недостаточно развитой инфраструктурой. Таким образом, совершенствование методов их расчета и проектирования является важной и актуальной задачей.
Предложена упрощенная полуаналитическая методика статического анализа двухпоясных вантовых ферм, усовершенствованная в части применения метода одномерного поиска для решения системы нелинейных уравнений, использование которого требует меньших вычислительных ресурсов в сравнении с общим случаем решения нелинейных систем.
Методика применима для широко распространенного на практике случая действия внешней нагрузки, равномерно загружающей левую и правую половины пролета и представленной в виде суммы равномерной нагрузки по всему пролету и обратно симметричной нагрузки.
Методика основана на применении уравнения равновесия гибкой ванты, полученного методом разложения функции формы ванты и внешней нагрузки в тригонометрические ряды. Предложены уравнения для нахождения перемещений в центре и четверти пролета. По найденным перемещениям определяются нагрузки на пояса вантовой фермы и усилия в поясах.
Результаты применения предложенной методики находятся в близком соответствии с результатами, полученными другими авторами, а также с результатами геометрически нелинейного статического анализа в специализированном программном комплексе MAV.Structure.
Предложенная усовершенствованная методика позволит повысить глубину вариантной проработки вантовых конструкций на ранней стадии разработки проекта за счет ее реализации в общедоступных математических программных комплексах, обладающих широким набором инструментов численного моделирования, оптимизации и обработки полученных результатов.
Дальнейшее совершенствование предложенной методики находится в области учета произвольных нагрузок на вантовую ферму, смещений опор и температурных воздействий.
Список источников
Еремеев П.Г. Висячие конструкции // Строительные материалы. 2022. № 10. С. 62-67. DOI: 10.31659/0585-430X-2022-807-10-62-67
Еремеев П.Г. Вантовая комбинированная конструктивная система «Тенсегрити» // Промышленное и гражданское строительство. 2021. № 1. С. 21-27. DOI: 10.33622/08697019.2021.01.21-27
Yu Z., Jiamin G., Zhiyu J., Weigang C., Guangen Z. Control method for determining feasible pre-stresses of cable-struts structure // Thin-Walled Structures. 2022. V. 174. Article 109159. DOI: 10.1016/j.tws.2022.109159
Yuan P., He B., Nie R., Zhang L., Yu H., Wang W., Ma X. Member importance prediction and failure response analysis for cable network antennas // Engineering Structures. 2022. V. 266. Article 114642. DOI: 10.1016/j.engstruct.2022.114642
Talvik I. Finite element modelling of cable networks with flexible supports // Computers and Structures. 2001. V. 79. I. 26-28. P. 2443-2450.
Zhang A., Shangguan G., Zhang Y., Zou M., Luo C. Structural behavior of a fully assembled cable-piercing ridge-tube cable dome with modular assembly ring truss // Journal of Constructional Steel Research. 2023. V. 211. Article 108193. DOI: 10.1016/j.jcsr.2023.108193 Дроздов В.В., Пшеничкина В.А., Строк С.И. Расчет несущих строительных конструкций уникальных высотных и большепролетных зданий с учетом физической и геометрической нелинейности. Волгоград : ВолгГТУ, 2020. 100 с.
Gasparini D., Gautam V. Geometrically nonlinear static behavior of cable structures // Journal of Structural Engineering. 2002. № 128 (10). P. 1317-1329.
ЧО
о
и <
U
H =
=
н cj <v
PQ
9. Ma S., Yuan X.F., Deng M., Yang L. Minimal mass design of a new cable truss in two states // Mechanics Research Communications. 2022. V. 125. Article 103995. DOI: 10.1016/j.mechres-com.2022.103995
10. Costa R.S., Lavall A.C.C., Lanna da Silva R.G., Porcino dos Santos A., Viana H.F. Cable structures: an exact geometric analysis using catenary curve and considering the material non-linearity and temperature effect // Engineering Structures. 2022. V. 253. Article 113738. DOI: 10.1016/j.engstruct.2021.113738
11. Xue Y., Luo Y., Wang Y., Xu X., Wan H.P., Shen Y., Fu W. A new configuration of Geiger-type cable domes with sliding ridge cables: computational framework and structural feasibility investigation // Engineering Structures. 2023. V. 286. Article 116028. DOI: 10.1016/j.engstruct. 2023.116028
12. Feng Y., Yuan X.F., Samy A. Analysis of new wave-curved tensegrity dome // Engineering Structures. 2022. V. 250. Article 113408. DOI: 10.1016/j.engstruct.2021.113408
13. Krishnan S. Structural design and behavior of prestressed cable domes // Engineering Structures. 2020. V. 209. Article 110294. DOI: 10.1016/j.engstruct.2020.110294
14. Wang Z., Yuan X., Dong S. Simple approach for force finding analysis of circular Geiger domes with consideration of self-weight // Journal of Constructional Steel Research. 2010. V. 66. I. 2. P. 317-322. DOI: 10.1016/j.jcsr.2009.09.010
15. LiX., Xue S. Prestress design and geometric correction method of cable-truss structures based on equivalent equilibrium force model // Thin-Walled Structures. 2023. V. 191. Article 111058. DOI: 10.1016/j.tws.2023.111058
16. ТрущевА.Г. Пространственные металлические конструкции. Москва : Стройиздат, 1983. 215 с.
17. Sadaoui A., Lattari K., Khennane A. A novel analytical method for the analysis of a biconcave cable-truss footbridge // Engineering Structures. 2016. V. 123. P. 97-107. DOI: 10.1016/j.engstruct.2016.05.025
18. Kmet S., Kokorudova Z. Non-linear closed-form computational model of cable trusses // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2009. V. 44. I. 7. P. 735-744. DOI: 10.1016/j.ijnon-linmec.2009.03.004
19. Москалев Н.С. Конструкции висячих покрытий. Москва : Стройиздат, 1980. 336 с.
20. Chesnokov A.V., Mikhailov V.V. Analysis of cable structures by means of trigonometric series // Structural membranes 2017 : материалы Международной конференции, 9-11 октября 2017 г. Мюнхен, Германия, 2017. С. 455-466. URL: http://congress.cimne.com/ membranes2017/frontal/Doc/Ebook2017.pdf (дата обращения: 13.02.2024).
21. Tolstov G.P. Fourier Series. New York : Dover Publications, 2012. 352 p.
22. Kassimali A., Parsi-Feraidoonian H. Strength of cable trusses under combined loads // Journal of Structural Engineering. 1987. № 113. I. 5. P. 907-924.
23. MAV.Structure. Расчет конструкций методом конечных элементов. URL: http://www.brid- ^ geart.ru/cad/59-cad/519-mavstructure.html (дата обращения: 13.02.2024).
О
References
fM
Eremeev P.G. Suspended structures. Stroitel'nye materialy. 2022; 10: 62-67. DOI 10.31659/0585-430X-2022-807-10-62-67 (In Russian) Eremeev P.G. Hybrid cable structural system "Tensegrity". Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2021; 1: 21-27. DOI: 10.33622/0869-7019.2021.01.21-27 (In Russian) Yu Z., Jiamin G., Zhiyu J., Weigang C., Guangen Z. Control method for determining feasible pre-stresses of cable-struts structure. Thin-Walled Structures. 2022; 174: 109159. DOI: 10.1016/j.tws.2022.109159
Yuan P., He B., Nie R., Zhang L., Yu H., Wang W., Ma X. Member importance prediction and
u H
a s
failure response analysis for cable network antennas. Engineering Structures. 2022; 266: 114642. DOI: 10.1016/j.engstruct.2022.114642
Talvik I. Finite element modelling of cable networks with flexible supports. Computers and Structures. 2001; 79 (26-28): 2443-2450.
m
ЧО
Tt
о
U <
U H
a =
=
н cj
PQ
6. Zhang A., Shangguan G., Zhang Y., Zou M., Luo C. Structural behavior of a fully assembled cable-piercing ridge-tube cable dome with modular assembly ring truss. Journal of Constructional Steel Research. 2023; 211: 108193. DOI: 10.1016/j.jcsr.2023.108193
7. Drozdov V.V., Pshenichkina V.A., Strok S.I. Structural analysis of unique high-rise and longspan buildings with respect to physical and geometric nonlinearity. Volgograd, 2020. 100 p. (In Russian)
8. Gasparini D., Gautam V. Geometrically nonlinear static behavior of cable structures. Journal of Structural Engineering. 2002; 128 (10): 1317-1329.
9. Ma S., Yuan X.F., Deng M., Yang L. Minimal mass design of a new cable truss in two states. Mechanics Research Communications. 2022; 125: 103995. DOI: 10.1016/j.mechrescom. 2022.103995
10. Costa R.S., Lavall A.C.C., Lanna da Silva R.G., Porcino dos Santos A., Viana H.F. Cable structures: An exact geometric analysis using catenary curve and considering the material non-linearity and temperature effect. Engineering Structures. 2022; 253: 113738. DOI: 10.1016/ j.engstruct.2021.113738
11. Xue Y., Luo Y., Wang Y., Xu X., Wan H.P., Shen Y., Fu W. A new configuration of Geiger-type cable domes with sliding ridge cables: computational framework and structural feasibility investigation. Engineering Structures. 2023; 286: 116028. DOI: 10.1016/j .engstruct.2023.116028.
12. Feng Y., Yuan X.F., Samy A. Analysis of new wave-curved tensegrity dome. Engineering Structures. 2022; 250: 113408. DOI: 10.1016/j.engstruct.2021.113408
13. Krishnan S. Structural design and behavior of prestressed cable domes. Engineering Structures. 2020; 209: 110294. DOI: 10.1016/j.engstruct.2020.110294
14. Wang Z., Yuan X., Dong S. Simple approach for force finding analysis of circular Geiger domes with consideration of self-weight. Journal of Constructional Steel Research. 2010; 66 (2): 317-322. DOI: 10.1016/j.jcsr.2009.09.010
15. Li X., Xue S. Prestress design and geometric correction method of cable-truss structures based on equivalent equilibrium force model. Thin-Walled Structures. 2023; 191: 111058. DOI: 10.1016/j.tws.2023.111058
16. Trushchev A.G. Spatial metal structures. Moscow: Stroiizdat, 1983. 215 p. (In Russian)
17. Sadaoui A., Lattari K., Khennane A. A novel analytical method for the analysis of a bi-concave cable-truss footbridge. Engineering Structures. 2016; 123: 97-107. DOI: 10.1016/ j.engstruct.2016.05.025
18. Kmet S., Kokorudova Z. Non-linear closed-form computational model of cable trusses. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2009; 44 (7): 735-744. DOI: 10.1016/j.ijnon-linmec.2009.03.004
19. Moskalev N.S. Suspended roof structures. Moscow: Stroiizdat, 1980. 336 p. (In Russian)
20. Chesnokov A. V., Mikhailov V. V. Analysis of cable structures by means of trigonometric series. In: Proc. Int. Conf. 'Structural Membranes 2017', Munchen, Germany, 9-11 October 2017. P. 455-466. Available: http://congress.cimne.com/membranes2017/frontal/Doc/Ebook2017.pdf (accessed February 13, 2024).
21. Tolstov G.P. Fourier Series. New York: Dover Publications, 2012. 352 p.
22. Kassimali A., Parsi-Feraidoonian H. Strength of cable trusses under combined loads. Journal of Structural Engineering. 1987; 113 (5): 907-924.
23. MAV.Structure. Finite element analysis of structures. Available: www.bridgeart.ru/cad/59-cad/519-mavstructure.html (accessed February 13, 2024). (In Russian)
Сведения об авторах
Чесноков Андрей Владимирович, канд. техн. наук, доцент, Липецкий государственный технический университет, 398055, г. Липецк, ул. Московская, 30, [email protected]
Михайлов Виталий Витальевич, докт. техн. наук, профессор, Липецкий государственный технический университет, 398055, г. Липецк, ул. Московская, 30, [email protected]
Authors Details
Andrei V. Chesnokov, PhD, A/Professor, Lipetsk State Technical University, 30, Mos-kovskaya Str., 398055, Lipetsk, Russia, [email protected]
Vitalii V. Mikhailov, DSc, Professor, Lipetsk State Technical University, 30, Moskovskaya Sir., 398055, Lipetsk, Russia, [email protected]
Вклад авторов
Все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Authors contributions
The authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 15.02.2024 Одобрена после рецензирования 25.02.2024 Принята к публикации 05.03.2024
Submitted for publication 15.02.2024 Approved after review 25.02.2024 Accepted for publication 05.03.2024
m
ЧО
H
U <
u H
a =
=
н cj <v
PQ
