Анализ пространственного распределения примесей, поступающих в атмосферу от автомобилей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 504.3.054

АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ, ПОСТУПАЮЩИХ В АТМОСФЕРУ ОТ АВТОМОБИЛЕЙ

Е.Ф. Еремина, доцент, к.т.н., И.Н. Кудрявцев, доцент, к.ф.-м.н., А.И. Пятак, профессор, д.ф.-м.н., ХНАДУ

Аннотация. Поставлена и решена аналитически задача о пространственном распределении примесей, поступающих в атмосферу при выхлопе автомобиля. Рассчитаны зависимости концентрации от расстояния до источника, скорости ветра и других факторов.

Ключевые слова: концентрация примесей, пространственное распределение, диффузия, точечный источник.

Введение

В связи с быстрым ростом численности автомобилей одним из основных источников загрязнения атмосферы в крупных городах и вблизи автодорог становится автотранспорт. Отличительными особенностями такого источника можно считать, во-первых, быстрый рост выброса вредных веществ в атмосферу; во-вторых, автомобили, в отличие от промышленных предприятий, широко встречаются в жилых районах и местах отдыха; в-третьих, выбросы автомобильных двигателей представляют собой сложную и недостаточно изученную смесь различных компонентов.

Возникает вопрос о пространственном распределении концентрации примесей, поступающих в атмосферу, зависимости их концентрации от расстояния до источников выбросов, скорости ветра и других факторов. Знание этих зависимостей может оказаться полезным, например, при решении вопросов о месте расположения автостоянок, прокладки дорог и других вопросов использования автотранспорта.

Анализ публикаций

Исследования состава отработанных газов двигателей внутреннего сгорания показывают [1], что к основным загрязняющим веществам, обладающим наибольшей токсичностью, относятся: оксид углерода СО, оксиды азота ^х СпНт и др.

В общем случае изменение концентрации загрязняющих атмосферу веществ во времени и пространстве описывается, как известно, уравнением переноса примесей [2]:

г1 = -1 и * + V * |-(,,,+,, иа

дt і дх ду 1 ' '

дх

да

™ + уя )^Т + ді

+D.

(д2 а д2 ал дх2 ду2

(1)

где q - концентрация примеси; и, V, w - проекции скорости частиц на оси х, у, 2 соответственно, при этом оси х и у расположены в горизонтальной плоскости; - коэффициент диффузии в горизонтальной плоскости; - коэффициент диффузии по вертикали.

Первое слагаемое в правой части уравнения (1) описывает адвективный приток примеси, т.е. приток в горизонтальной плоскости. Второе слагаемое - это конвективный приток примеси (по вертикали). Третье слагаемое описывает распространение примеси за счет диффузии в горизонтальной плоскости, а четвертое слагаемое - это вертикальная диффузия.

В общем случае концентрация примесей в атмосфере является сложной функцией координат. Исследовать эту зависимость, решая уравнение (1) в общем виде, достаточно сложно, однако, можно выполнить оценку загрязнения атмосферы для некоторых частных случаев, воспользовавшись известным в математической физике решением задачи для уравнения теплопроводности [3, 4].

Цель и постановка задачи

Целью настоящей работы было аналитическое решение задачи о распределении примесей по высоте и по расстоянию от источника выбросов

при различных скоростях ветра, а также численный расчет концентрации примесей для конкретных значений параметров, характерных для автотранспортных средств.

Результаты исследований

Выбросы примесей осуществляются, как правило, в течение длительного времени. Это значит, что процесс выброса и распространение примеси из источника можно рассматривать как установившийся, и в уравнении (1) положить = 0. Если

считать вертикальную скорость воздуха малой, то

да

в уравнении (1) можно пренебречь членом w—.

дг

Направим ось х вдоль ветра, направление которого считается постоянным. Тогда адвективный приток примеси будет описываться лишь слагае-

За

мым и-

дх

В перпендикулярном к ветру направлении (на оси у) концентрация изменяется по закону Г аусса, так что исходную концентрацию примесей можно представить в виде

сей, так что их гравитационной скоростью vg пренебрежем.

Следовательно, задачей является поиск решения уравнения

дх

(4)

Выберем систему координат, в которой начало координат лежит на земной поверхности, ось х направлена вдоль скорости ветра и, а источник примесей имеет координаты х=0, г=Н. Учтем, что при наличии ветра диффузией вдоль оси х можно пренебречь по сравнению с адвективным потоком в этом направлении. По этой причине задачу следует рассматривать только при х>0.

Преобразуем уравнение (4) к виду

да=^д 2 а

дх и ді2

(5)

Это уравнение формально имеет тот же вид, что и известное в математической физике однородное уравнение теплопроводности

а(

у2

ехР(-^г)

Л у * (

х, у, і, t) =-.— а (х, і,

а

,72П

t),

(2)

где оу - среднеквадратичное отклонение частиц по оси у. При этом следует учесть диффузию примеси лишь в поперечном к ветру направлении (т.е. только по оси г), т.к. в продольном направлении роль диффузии мала по сравнению с адвективным переносом по оси х (диффузия - процесс медленный по сравнению с потоком по оси х).

ди

дt

дх

(6)

что позволяет воспользоваться известным для это го случ ая р е шением [3, 4]. При этом следует учесть граничные условия, характерные для задачи о распространении примесей над земной поверхностью. Одно из этих условий - это задание концентрации а при х=0, т.е.

а( х 2)\х=о = Ф( 2')-’

Таким образом, уравнение (1) для концентрации а (х, г,) примет вид

где ф(г) - функция распределения концентрации по высоте над земной поверхностью.

дд*

и^~ = —| D2

дх д.і

да

дг

*

где и совпадает со скоростью ветра.

В данном случае этой функцией является острая , (3) фу нкция источ ника примесей, который мы будем

считать практически точечным, т.е. ф(г) является острой функцией координаты г в узкой окрестности АН (АН<<Н) точки г=Н

да* ді

Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным условиям: стремиться к нулю на бесконечности (а ——0 при х—да, г^ж; при у—да а(х,у,х)—0 благодаря закону Гаусса), а также концентрация а(х,у,г) при г=Н, (где Н - высота источника примеси на земной поверхности) равна примеси на выходе источника.

ф00 = х, і) х = ан (е

_ (і-н )2 (Дн )2

+ е

_ (і+н )2 (дн )2

), (7)

где аН - концентрация примеси на выходе из источника; Н - высота, на которой расположен источник.

_ V

я

Уравнение (3) решим в модели постоянного ко- Вт°р°е граничн°е условие следует задать на зем-

эффициента диффузии Dг=const. Кроме того, ог- ной поверхности (г=0). Здесь возможны два слу-

раничимся распределением только легких приме- чая: поверхность земли не поглощает (отражает)

примеси, и поверхность земли является поглощающей. Первая модель относится к легким (газообразным) примесям, если они не вступают в химическую реакцию с землей. Тогда граничное условие имеет вид

да

ді

= 0

(8)

т.е. поток примесей через поверхность г равен нулю.

В этом случае решением краевой задачи на основе уравнения (5) является функция

а = -

Чн Дн

V

4Дх 2

—— + (Дн )2

(і_н )2

(і+н)

^*+(Дн )2 ^х+ідн )2

и + е и

. (9)

Эта функция описывает величину легких (газообразных) примесей на различных высотах над поверхностью земли и на различных расстояниях от источника, расположенного на высоте Н. Как следует из (9), эта функция удовлетворяет и исходному уравнению диффузии (5), и граничным условиям (7) и (8).

Отметим, что в практически интересных случаях

4Б

величина АН значительно меньше, чем —— х.

Например, для автомобиля АН~5 см, коэффициент диффузии в приземном слое, как известно [2], _0г~0,1 м2/с, и даже на коротких расстояниях (х ~ 1 м) это условие выполняется. Следовательно, выражение (9) можно записать в более простом виде

а(х, і) =

Чн дн

Dzx

(і _н )2 и 4 ^іх

(і+н )2

+ е

(10)

График зависимости на высоте 1,5 м концентрации примесей, поступающих в атмосферу с выхлопными газами автомобиля (Н ~ 1 м), от расстояния до автомобиля при различных скоростях ветра и приведен на рис. 1.

Выбор расчетной высоты Н ~ 1 м учитывает добавочную высоту, на которую поднимаются разогретые выхлопные газы.

Рис. 1. График зависимости концентрации от расстояния до источника (сплошная линия -и=10 м/с, пунктирная и= 1 м/с)

Выводы

Таким образом, поставленная задача о пространственном распределении концентрации газообразных примесей, поступающих в атмосферу от одиночных источников, в частности, выхлопов автомобиля, сведена к решению задачи Коши в уравнении турбулентной диффузии. Получены аналитические зависимости концентрации примесей от расстояния до источника выбросов, скорости ветра и других факторов. Выполнены расчеты распределения примесей при конкретных значениях параметров, характерных для автотранспортных средств, и графики, отражающие такие зависимости.

Литература

1. Охрана окружающей среды / Под ред. С.В. Бе-

лова. - М.: Высшая школа, 1983. - 263 с.

2. Владимиров А.М., Лахтин Ю.И., Матвеев Л.Г.

и др . Охрана окружающей среды. - Ленинград: Гидрометиоиздат, 1991.

3. Соболев С.Л. Уравнения математической фи-

зики. - М.: Наука, 1986.

4 . Линейные ур авнения математической физики / Под ред. С.Г.Михлина. - М.: Наука, 1984. -368 с.

Рецензент: В.П.

ХНАДУ.

Волков, профессор, д.т.н.,

Статья поступила в редакцию 10 января 2007 г.

і=0

е

и

и

и

е

2