Анализ производительности узла сети в условиях нестационарного трафика Текст научной статьи по специальности «Математика»

--------------------□ □------------------------

Стаття присвячена огляду підходів до аналітичного моделювання процесів, що мають місце у чергах телекомунікаційного вузла у випадках, коли тривалість обслуговування має розподіл з «важким хвостом» Ключові слова: СМО, СКВ, функція розподілу

□---------------------------------------□

Статья посвящена рассмотрению подходов к аналитическому моделированию процессов, происходящих в очередях телекоммуникационного узла в случаях, когда длительность обслуживания имеет распределение с «тяжелым хвостом»

Ключевые слова: СМО, СКО, функция распределения

□---------------------------------------□

Article is dedicated to overview approaches of queueing processes analytical modeling in cases when service duration has «heavy tail» distribution

Key words: QS, MSD, distribution function --------------------□ □------------------------

УДК 261.391

АНАЛИЗ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ УЗЛА СЕТИ В УСЛОВИЯХ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТРАФИКА

Ю.В. Андрушко

Аспирант

Кафедра телекоммуникационных систем Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина 14, г. Харьков, Украина, 61000 Контактный тел.: (057) 702-13-20 Е-mail: ya@kture.kharkov.ua

1. Введение

Неотъемлемой составляющей проектирования, эксплуатации и модернизации телекоммуникационных систем является аналитическое моделирование процесса их функционирования. Для этого активно используются модели и методы теории массового обслуживания [1 - 2].

На вход системы массового обслуживания (СМО) с накопителем конечной емкости т, 1 <т<~ . поступает пуассоновский поток заявок интенсивности X. Длительности обслуживания заявок имеют гамма-распределение с плотностью распределения

вида [3]: B(x) =

1

Р“Г(а)

или эквивалентно:

F(x) =

Г(а)

-, x > 0,

(1)

где и = ац ;

ц-1 = t - среднее время обслуживания; а = 1/о , о - СКО времени обслуживания.

Если при переполнении накопителя поступающая на систему заявка теряется и вновь не возобновляется, а так же t <~ и о<~, такая СМО в классификации Кендалла может быть описана как М / Г /1/m .

В рамках задачи аналитического моделирования процессов в телекоммуникационных системах особого внимания заслуживает моделирование процессов, происходящих в очередях телекоммуникационного узла. Большое внимание при моделировании этих процессов уделяется ситуациям, когда длительности обслуживания имеют распределение с так называемыми «тяжелыми хвостами» [2]. Основное свойство

распределения такого типа заключается в том, что его дополнительная функция распределения (ФР) медленно убывает при t . Распределения с «тяжелыми хвостами» также характеризуются тем, что имеют большие или неограниченные дисперсии. В рамках данного раздела будут проанализированы свойства процесса ограниченной очереди при пуассоновском или марковском входящем потоке заявок и гамма-распределении времени их обслуживания в условиях, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) времени обслуживания неограниченно растет.

Несмотря на то, что гамма-распределение не является распределением с «тяжелым хвостом», однако при стремлении СКО (при фиксированном среднем значении) к бесконечности также неограниченно растет и дисперсия. Это позволяет предположить что результаты для процесса очереди, полученные в условиях неограниченного роста СКО, могут в той или иной мере отражать поведение характеристик очереди для случая ФР с «тяжелыми хвостами».

2. Аналитические выражения для сетевых характеристик

Если обозначить через рк стационарную вероятность того, что в системе М / Г /1/т в произвольный момент времени находится к заявок, для вычисления стационарного распределения вероятностей {рк,к = 1,М} (М = т +1 ), можно использовать следующие формулы:

Р1 = - Ро, Pk = -^k,k = 2,m Рм =1 - Г

(2)

(3)

Интенсивность выхода обслуженных заявок XD :

x

З

Хо = ц(1- рс).

(4)

Рассмотрим моменты распределения. Если плотность распределения времени обслуживания определяется формулой (1), то величины Рк = Рк(Х) вычисляются по следующим рекуррентным формулам:

Рс = (■

Х +V

(5)

Рассмотрим ситуацию, когда о ^ ~ . В этом случае, нельзя утверждать, что вероятности {рк,к = 0,М} задают стационарное распределение вероятностей, так как формулы получены в предположении, что ^р и

о конечны. Однако, исходя из них, можно получить выражения для некоторых показателей производительности СМО в условиях, когда о^~. Далее, предельные значения (при о ^ ~ ) исследуемых величин обозначены «*».

Выражение для Р0 в (5) приводится к виду:

1 4

Ро = (^)0 , (6)

где р = Х / ц=Х^.

Переходя в (6) к пределу при о^^, с учетом (5) получим:

Рк = ИтРк = с,к > 1.

Исходя из (3) при о ^ ~ : С** = X, с|* = 0,і = 2,т.

(7)

ностеи:

Рс =

1 + р’

р°к = с,к = 1,т,

Рм =

1+ Р'

(10)

(11)

Проанализировав (9) - (11) можно сделать вывод, что при о^~ СМО М/Г/1/т функционирует как система с двумя состояниями: состоянием (С), отвечающим ситуации, когда система М/М/1/С полностью свободна, и состоянием ( М ), соответствующим случаю, когда система занята обслуживанием и в неи находится М заявок.

Используя полученные формулы, можно получить предельные выражения для ряда других показателеи производительности СМО.

Из (9) - (11) для среднего числа заявок в системе

Г:

Мр

N = МрМ =

1+р

Для среднеИ длины очереди П*:

* * тр

п = тгрМ = —

(12)

(13)

Для интенсивности обслуженного потока - интенсивности выхода Х^ из (4) и (9):

Х (14)

х;=

1+р

Вероятности потерь я* определяется как: р

п = Рм =

1+Р

(15)

Приняв во внимание формулы Литтла ( Х(1 - п^ = П, Х(1 -п)у = N ), которые описывают связь среднеИ длины очереди П со средним временем ожидания w и среднее число заявок в системе N со средним временем пребывания заявки в системе V, для предельных значении w* и V* можно получить:

*т w =—, Ц

V = М

Ц

(16)

(17)

Основываясь на формулах (9) - (13), получим выражения для значении среднеквадратичных отклонений длины очереди Оп и числа заявок в системе о*т :

* т^/р

Оп =--------,

п 1+р

* М^/р Ок = 1+р .

(18)

(19)

Для получения выражения предельных значений показателей производительности, примем р = 1:

♦ ♦ ♦ 1

(8) Рс: = Рм = Я : ” У

п* N* М

вероят- =т = У = У’

(9) М

оП =т = У =У

(2С)

Если на вход рассмотренной системы поступает Марковский поток, который характеризуется матрицами Ли N порядка 1. Элемент Л ^ матрицы Л есть интенсивность перехода процесса генерации заявки с фазы 1 на фазу ] без поступления новой заявки, а элемент N матрицы N есть также интенсивность перехода процесса генерации заявки с фазы 1 на фазу ], но с поступлением новой заявки. Предполагается, что матрица N отлична от нулевой матрицы, а матрица Л = Л+ N неразложима.

Можно обозначить стационарную вероятность того, что в произвольный момент времени в системе нет заявок, а процесс генерации заявок находится на фазе 1 как р10, в таком случае р1к будет представлять стационарную вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится к заявок, а генерируемая заявка проходит фазу 1. Введем векторы Рл =(Р1к>Р2к>...>Р1к) ,к = 0,М. Для вычисления стационарного распределения вероятностей {рк,к = 0,М} состояний системы МАР/G/1/m можно использовать алгоритм, изложенный [4].

Для СМО МАР/ Г /1/т плотность распределения времени обслуживания определяется формулой (1). Прежде всего можно отметить, что выражения для предельных значений экспоненциальных моментов Рл

V

о

1

р

€

не зависят от параметра X. Поэтому для вычисления предельных (при о^~ ) значений вероятностей состояний системы МАР/ Г /1/т можно использовать (6) и (7) для вычисления предельных значений РС(а)

и РС(а):

в0(а) = в0 = 1, P0(a) = Pk = 0, k > 1;

P0(a) = в0 = 1, P0(a ) = Pk = 0, k > 1.

(21)

Используя полученные ранее результаты, можно показать, что:

1

C=

1 + p’

и, следовательно, p* 1

Po =n------,

0 1+ P

Р’кл——.

K 1+ P

(22)

(23)

Вероятности p0 = P0T1 и pM = PMT1 определяются формулами:

а)

p0 = pM

1

1+P, p

1 + p’

(24)

(25)

т.е. p0 и pM совпадают с аналогичными вероятностями для СМО MAP/Г/1/m .

Вероятность потери п для СМО MAP/G/1/m определяется формулой [4]:

п = -Р^ (26)

Предельное значение вероятности потерь п* для СМО MAP/Г/1/г вычисляется по той же формуле, что и для M / Г /1/m :

Р

п = pm =

1+p'

(27)

3. Численный анализ результатов

Далее приводятся результаты, полученные для СМО М/Г/1/т , иллюстрирующие сходимость по-

б)

Рис. 1. Вероятность простоя системы p0

а)

б)

Рис. 2. Вероятность потери заявки п

Рис. 3. Среднее число заявок в системе N

б)

3

казателей производительности системы при о^~ к их предельным значениям. На рис. 1 - 5 (в логарифмическом масштабе) приведены зависимости различных сетевых параметров от среднеквадратического отклонения времени обслуживания. Рис. 1 - 5 а) -иллюстрируют значения сетевых параметров при Х = 0,1, ц = 2 и т = 1000 для малых (р = 0,05), а рис.

1 - 5 б) - при Х = 1,8, ц = 2 и т = 500 для больших (р = 0,9) нагрузок.

ными ( о^~ ) значениями. Это также подтверждается расчетами, выполненными по формулам для (теоретических) предельных значений данных показателей. Следует заметить, что приведенные показатели производительности отражают поведение СМО в условиях малой загрузки (р = 0,05). Однако, как следует из графиков, при больших значениях СКО (о> 1000) вероятность потери заявки достаточно велика (п>0,04), что при значении емкости

б)

Рис. 4. Среднеквадратическое отклонение числа заявок в системе оп

Рис. 5. Среднее время пребывания заявки в системе V

б)

4. Выводы

В статье проведен анализ подходов к аналитическому описанию процессов очередей телекоммуникационного узла. Основное внимание при этом уделялось случаю, когда длительности обслуживания имеют распределение с так называемыми «тяжелыми хвостами». Был затронут ряд фундаментальных свойств и характеристик таких распределений, а так же показано, что, несмотря на то, что гамма-распределение не является классическим примером распределения с «тяжелым хвостом», в случаях когда СКО времени обслуживания заявки в узле о^~ , гамма-распределение приобретает свойства таких распределений. Используя известный математический аппарат для гамма-распределения, были получены формулы для нахождения значений важнейших показателей производительности сети для различных СМО. Кроме прочего, отдельно были затронуты ситуации с варьированием параметров загрузки и времени обслуживания заявки. В заключительном параграфе статьи был проведен численный анализ полученных результатов. На рис. 1 - 5 а) показано, что значения показателей производительности при о = 105 и о = 106 (два последних отсчета) для заданной точности вычислений совпадают, т.е. эти значения фактически можно считать предель-

накопителя т = 1000 порождает вопросы к достоверности. Также значительны среднее число заявок в системе, равное примерно 47 (с учетом среднеквадратичного отклонения число заявок в системе может быть более 260), и среднее время пребывания заявки в системе, которое при столь малой загрузке системы превышает 500 единиц времени.

Тем не менее, эти факты не кажутся неправдоподобными, если принять во внимание, что СМО рассматривается в условиях большого СКО времени обслуживания, что при фиксированном среднем времени обслуживания эквивалентно большой его дисперсии.

По результатам второго моделирования, СМО исследуется в условиях большой загрузки (р = 0,9). Так же как и для малой загрузки, при о> 10 значения показателей производительности, приведенные в двух предпоследних отсчетах, можно считать (при заданной точности вычислений) совпадающими с их предельными значениями, что также подтверждается расчетами для (теоретических) предельных значений этих показателей, которые представлены последним отсчетом на графиках. Для большой загрузки также наблюдается эффект значительного увеличения вероятности потерь с ростом СКО о , что опять же объясняется большой дисперсией времени обслуживания.

Е

Литература

1. Башарин Г.П. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета / Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Я.А. Коган

- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 336 с.

2. Шелухин О.И. Фрактальные процессы в телекоммуникациях : учеб, пособие / О.И. Шелухин, А.М. Тенякшев, А.В. Осин ; Под ред. Шелухина О.И. М.: Радиотехника, 2003. - 479с.

3. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами : пер. с англ.

- М.: Наука, 1979. - 835с.

4. Бочаров П.П Теория массового обслуживания : учеб, пособие / П.П Бочаров, А.В. Печинкин М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529с.

---------------------□ □------------------------

У статті розглянуто проблему спаму в соціальних мережах, класифікація легітимних і нелегітимних користувачів

Ключові слова: соціальні мережі, класифікація, спам, алгоритм

□---------------------------------------□

В статье рассмотрена проблема спама в социальных сетях, классификация легитимных и нелегитимных пользователей Ключевые слова: социальные сети, классификация, спам, алгоритм

□---------------------------------------□

The problem of spam in social networks, legitimate and non-legitimate users’ classification is considered in this article

Key words: social networks, classification, spam, algorithm ---------------------□ □------------------------

УДК 001.891:65.011.56

ПОДХОД К КЛАССИФИКАЦИИ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ

А.А. Куликова

Кафедра искусственного интеллекта Харьковский национальный университет радиоэлектроники пр. Ленина,14, г. Харьков, Украина, 61166 Контактный тел.: (057) 337-27-53, 093-776-41-20 E-mail: ganna.kulikova@gmail.com

1. Введение

Социальные сети, привлекающие сегодня к себе всеобщее внимание пользователей Интернета, сформировались за очень короткий промежуток времени. Они объединяют в себе блоги (сетевые дневники), сети медиа-ресурсов, сети персональной информации (Му-Space, LinkedIn, Facebook, Вконтакте), системы закладок (del.icio.us), wiki-энциклопедии и другие. Данные Web-сайты представляют собой автоматизированную социальную среду для обеспечения коммуникации как отдельных, так и групп пользователей, объединенных общими интересами. Количество пользователей в этих сетях увеличивается с беспрецедентной скоростью, вызывая интерес у представителей науки, бизнеса и 1Т-индустрии [1]. Такие Web-сайты фактически представляют собой большое хранилище общедоступной информации, в первую очередь, персонального характера.

Однако в то же время развитие 1П;ете^ технологий проектирования социальных сетей привело к тому, что одной из основных проблем пользователей стал избыток информации, в том числе и незапрошенной,

- спама.

Спам представляет собой масштабную рассылку коммерческой, политической и иной рекламы (информации) или иного вида сообщений лицам, не выражавшим желания их получать. Значительная часть атак основана на методах социальной инженерии (привлечение пользователей недобросовестной рекламой и т.д.), другая - на использовании уязвимостей в механизмах работы социальных сетей. Существует достаточно много видов спама, распространяемого в социальных сетях, но, прежде всего, стоит отметить рекламу, некоторые виды мошенничества, фишинг, распространение вредоносного программного обеспечения.

Технологии рассылки спама в социальных сетях совершенствуются: спаммеры отмечают пользователей социальной сети на фотографиях, видеозаписях, добавляются в друзья, приглашают в группы и так далее, в целом используют все возможности социальной сети в корыстных целях.

Борьба со спаммерами в социальных сетях важна для улучшения сервисов, предоставляемых социальной сетью для участников, уменьшения количества нежелательного и опасного контента, а так же для развития самих социальных сетей.

3