Анализ проектных инвариантов для анаморфотных контрольных элементов оптико-электронных систем определения деформаций скручивания Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПТИЧЕСКИЕ И ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ

УДК 536.8:621.384

И. А. Коняхин, А. Д. Мерсон, А. Н. Тимофеев

АНАЛИЗ ПРОЕКТНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ АНАМОРФОТНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ СКРУЧИВАНИЯ

Рассматриваются инварианты, позволяющие упростить методику расчета параметров оптико-электронной системы с анаморфотным контрольным элементом. Исследована зависимость чувствительности системы измерения угла скручивания от параметров анаморфирования.

Ключевые слова: проектные инварианты, анаморфотные контрольные элементы, оптико-электронные системы, деформации скручивания.

Многие задачи в производственной и научной деятельности предусматривают измерение специфической угловой координаты объекта — деформации скручивания. При этом под углом скручивания подразумевается поворот контролируемого объекта (блока или элемента конструкции) относительно линии, соединяющей объект и некоторый базовый пункт (оси скручивания).

Примером задачи на измерение угла скручивания является контроль углового положения блоков систем навигации, передачи референтного направления, определения деформаций натурных образцов и моделей, скручивания осей, труб и цилиндрических опор.

Известные автоколлимационные системы для измерения угла скручивания с контрольными элементами в виде тетраэдрических призм формируют специальный световой пучок, распространяющийся под определенным углом к оси, что не позволяет их использовать в условиях малого (десятки миллиметров) светового диаметра трассы между контролируемым объектом и базовым пунктом, например, при размещении системы непосредственно внутри деформируемой цилиндрической опоры или вала [1]. Для измерения угла скручивания автоколлимационным методом в условиях узкой трассы были предложены анаморфотные контрольные элементы (КЭ) [1, 2]. При повороте контролируемого объекта вместе с анаморфотным КЭ изменяется форма изображения марки в плоскости анализа автоколлиматора. Параметры формы изображения определяются в результате микропроцессорной обработки видеокадра, сформированного матричным анализатором автоколлиматора, что позволяет найти величину угла скручивания.

Проблема проектирования таких измерительных систем обусловлена сложностью аналитического описания анаморфирования, в частности, неявным и нелинейным характером зависимости характеристик формы изображения от параметров КЭ и величины измеряемого угла скручивания. Для создания инженерной методики проектирования анаморфотных КЭ

необходимо разработать и исследовать проектные инварианты, под которыми понимаются расчетные выражения, аналитическая форма которых не изменяется при варьировании структуры КЭ и параметров анаморфирования.

Определим выражение для статической характеристики системы измерения скручивания с анаморфотным КЭ (рис. 1).

Система включает автоколлиматор, установленный на базовом пункте, и отражатель, расположенный на контролируемом объекте. Объектив 1 автоколлиматора формирует излучение марки 2, расположенной в его фокальной плоскости, в параллельный пучок лучей, падающий на отражатель.

Отражатель включает ретрорефлектор 3, например, призму БКР-180° и КЭ, в наиболее простом варианте являющийся одиночной анаморфотной системой 4, выполненной в виде двух оптических клиньев [2—4] и расположенной на половине апертуры ретрорефлектора (компонент 7 полагаем отсутствующим). Пучок автоколлиматора после трансформации анаморфотным КЭ 4 и отражения от ретрорефлектора 3 формирует в фокальной плоскости приемного канала, образованного светоделителем 5, изображение марки 6, которое анализируется видеосистемой в составе матричного фотоприемника и обрабатывающего микропроцессора (на рисунке не показаны).

Под действием анаморфотной системы 4 изменяется расходимость (увеличивается или уменьшается) пучка в сечениях, параллельных некоторой плоскости, проходящей через ось пучка (так называемая плоскость анаморфирования, на рис. 1 заштрихована). Коэффициент

3

7

Рис. 1

анаморфирования А численно равен отношению углов расходимости пучка после и до анаморфотной системы. Примем для рассматриваемой системы A >1 (угол расходимости пучка увеличивается).

Пусть координаты y и x точек линии контура излучающей марки 1 связаны некоторой функцией y = fx) в системе координат XYZ, ось OZ которой совпадает с оптической осью объектива 1 (осью скручивания).

Координаты xa, ya точек контура изображения 6 марки в системе координат XaYaZa, оси которой при условном совмещении фокальных плоскостей были бы сонаправлены осям системы XYZ, связаны функцией fa, зависящей от исходной функции fx), коэффициента анаморфирования А и величины 0 поворота КЭ на угол скручивания:

ya = fa(Xa,&) = fa(f(x)A, 0). (1)

После обработки видеокадра и определения координат xa, ya контура изображения марки в результате решения уравнения (1) находится угол 0.

Для построения проектных инвариантов используем наиболее простую характеристику формы изображения марки, соответствующую линейному виду функции fx), описывающей какую-либо часть контура марки (марка может быть треугольной, четырехугольной, многоугольной формы). Тогда контур марки определяется отрезками прямой, заданной уравнением видаy = kx + b (рис. 2).

Рис. 2

Характеристикой формы марки является угол в между прямыми контура:

в = arctg

k1 - k2

1 + k^2

(2)

или, при определенных условиях, разность Ак угловых коэффициентов прямых

Ак = к1 - к2, (3)

где к1 = tga1, к2 = tga2 (см. рис. 2).

Выразим характеристики формы в и Ак через параметры анаморфотного КЭ. Координаты точек ха, уа прямых контура изображения марки при повороте КЭ на угол скручивания 0 определяются выражением (действие ретрорефлектора, не влияющего на расходимость пучка, не учитывается):

х _ х

(4)

xa = xa = MM AMr x

_ ya _ _xaka + ba _ kx + b

M =

где матричный сомножитель Ма определяет анаморфирование, M и M — прямая и транспонированная матрицы поворота на угол 0 относительно оси OZ. Эти матрицы задаются выражениями:

cos 0 - sin 0 sin 0 cos 0

Решив уравнение (4) относительно ka углового коэффициента прямой контура анаморфированного изображения, получим для изображения первого прямолинейного края марки (рис. 2, 1):

A sin a1 + (A -1) cos(a¡ + 0) sin 0

"1 0"

; м A =

7 yl 0 A

(5)

k1A =■

(6)

cos a1 + (A -1) sin(a1 + 0) sin 0

где a1 = arctgk1 — угол между первой прямой контура исходной марки и осью OX.

Выражение для углового коэффициента контура изображения второго края марки (рис. 2, 2) аналогично (6) при подстановке вместо a1 угла a2 между второй прямой контура исходной марки и осью OX.

Статическая характеристика измерительной системы при использовании Ak как регистрируемого параметра формы изображения определяется при подстановке полученных выражений в соотношение (3), при использовании угла в — в соотношение (2):

4A(k -k2)

Ak (0) =

cosp(20)2 - k1k2sinp(20)2 + (k1 + k2)cosp20sinp20

(7)

Ak( ©) P( ©+90°; рад

5

где вспомогательные функции: cosp20 = 2 + (A -1)(1 - cos 20), sinp20 = (A -1) sin 20 .

При следующем соотношении между угловыми коэффициентами:

k = tga =k; k2 = tg(-a) = -k (8)

выражение для статической характеристики упрощается, в частности, мультипликативное слагаемое в знаменателе будет равно нулю. Условие (8) может быть реализовано поворотом исходной системы координат относительно оси OZ на некоторый угол к (см. рис. 2).

В соответствии с выражением (7) статическая характеристика является гармонической функцией аргумента 0 с периодом T = 180°, что определяет диапазон однозначного измерения угла скручивания, равный интервалу [0, 90°].

На рис. 3 приведены графики статической характеристики для величины параметра контура k = 1 и двух значений коэффициента анаморфирования A = 1,2 (кривая 1) и 1,6 (2). Для A = 1,6 также построен график (5) статической характеристики в(0+9О°) вида (2), его аналитическое выражение не приведено по причине сложности. Вид статических характеристик при использовании двух рассмотренных параметров формы аналогичен, при этом статическая характеристика Ak(0) описывается более простым аналитическим выражением.

Статическая характеристика нелинейна, ее крутизна S, определяющая чувствительность измерения, зависит от величины 0О исходного разворота КЭ на угол скручивания. Графики зависимости S(0), полученные дифференцированием функции Ak(0) с

\4

2 3

• ta i ; ' N * * -

5 i' -

■

20

40

Рис. 3

60

80 0,

последующим взятием абсолютной величины, приведены на рис. 4 (параметры анаморфотного КЭ и обозначения те же, что и на рис. 3).

6,4

4,8

3,2

1,6

4 45 1 ! 1

'! <1 <1 к 1 » 1

1

2 — ■

V - 3

- ■

20

40 Рис. 4

60

80 ©,

Из графиков следует, что наибольшей чувствительности измерения 8т соответствует угол, величина ©о которого в зависимости от величин параметров к, А находится в интервале [30°—40°].

Величина 8т на 20—25 % превышает значение $45 чувствительности, соответствующей углу ©0 = 45°. Значение £45 определяется выражением

32кА( А -1)

^45 - ~ п2 •

(А +1)2 - к2( А -1)2

(9)

Полученные соотношения соответствуют КЭ с анаморфотной системой в виде пары клиньев. Для этого типа анаморфотов практически трудно получить величину коэффициента анаморфирования, большую А = 1,5 [4], что определяет невысокую чувствительность измерения скручивания.

Для увеличения чувствительности возможно использовать КЭ, включающий две (и более) последовательно установленные по ходу луча анаморфотные системы. Например, вторая анаморфотная система 7 может устанавливаться на другой половине апертуры ретрорефлек-тора 3 (см. рис. 1).

При этом для уменьшения расходимости пучка эффективно использовать пару систем с рассогласованным анаморфированием, при котором плоскости анаморфирования взаимно перпендикулярны, а величины коэффициентов анаморфирования взаимно-обратны. В частности, для второй системы коэффициент анаморфирования равен Ах (угол расходимости пучка уменьшается в плоскости анаморфирования).

Такая система рассчитывается по выражению, аналогичному (4), с добавлением после Ма сомножителя М , вида:

Ма-, -

/а 0 0 1

(10)

Полученные в результате расчетные выражения имеют тот же вид, что и выражения (6) и (7) для одиночной анаморфотной системы с заменой соответственно величин а, = аге1§(к,)

0

о

и а2 = аге1§(£2) описания прямых контура исходной марки на величины а1А = аге1§(£1А), а2 = аг^^^) для прямых контура изображения марки, определяемых действием первой системы.

Значение £45 определяется выражением вида (9), но с заменой величины А на А . Графики статической характеристики и зависимости чувствительности измерения для параметров анаморфирования А = 1,2 (кривая 3) и 1,6 (4) приведены на рис. 3, 4. Из рассмотрения следует, что использование КЭ в виде композиции пар анаморфотов позволяет значительно повысить точность измерения.

По результатам исследования можно сделать следующие выводы:

1) найдены соотношения, определяющие статическую характеристику и чувствительность измерения скручивания по известным параметрам анаморфотного КЭ;

2) полученные выражения являются инвариантами, позволяющими проектировать системы с требуемой чувствительностью измерения и видом статической характеристики при использовании КЭ в виде композиции анаморфотных систем.

Статья подготовлена по материалам исследований, выполняемых при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям РФ в рамках аналитической ведомственной целевой программы „Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 гг.)" и федеральной целевой программы „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Джабиев А. Н., Коняхин И. А., Панков Э. Д. Автоколлимационные углоизмерительные средства мониторинга деформаций. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000.

2. Коняхин И. А., Мерсон А. Д. Оптико-электронная система измерения угла скручивания на основе анаморфирования // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51, № 9. С. 10—14.

3. Коняхин И. А., Мерсон А. Д. Исследование возможности построения трехкоординатной анаморфотной системы измерения параметров угловой пространственной ориентации // Оптич. журн. 2009. Т. 76, № 1. С. 28—30.

4. Бегунов Б. Н. Трансформирование оптических изображений. М.: Искусство, 1965.

Игорь Алексеевич Коняхин

Алексей Дмитриевич Мерсон

Александр Николаевич Тимофеев —

Рекомендована кафедрой оптико-электронных приборов и систем

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: igor@grv.ifmo.ru

аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: mad777@grv.ifmo.ru канд. техн. наук; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра оптико-электронных приборов и систем; E-mail: timofeev@grv.ifmo.ru

Поступила в редакцию 26.04.10 г.