CC BY
25
-□ □-
Розглянута нова нелтшна задача поширення хвиль в системi «ридкий шар з твердим дном - рид-кий шар з вЫьною поверхнею». Для дослиджен-ня застосовано метод багатомасштабних розви-нень. Отримаш розв'язки перших наближень та еволюцшт рiвняння обвгдних хвильових пакетiв на поверхнях поширення хвиль. Проведено аналiз форми хвиль на поверхш контакту та на вшь-нш поверхт. Вказаш областi, в яких хвилi мають затуплений гребть i загострену тдошву i навпаки Ключовi слова: нелтшш хвилi, двошарова риди-
на, форма хвильового пакету, вшьна поверхня □-□
Рассмотрена новая нелинейная задача распространения волн в системе «жидкий слой с твердым дном - жидкий слой со свободной поверхностью». Для исследования применен метод многомасштабных разложений. Получены решения первых приближений и эволюционные уравнения огибающих волновых пакетов на поверхностях распространения волн. Проведен анализ формы волн на поверхности контакта и на свободной поверхности. Указаны области, в которых волны имеют затупленный гребень и острую подошву и наоборот
Ключевые слова: нелинейные волны, двухслойная жидкость, форма волнового пакета, свободная поверхность
-□ □-
УДК 532.59
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.48282]
АНАЛ1З ПОШИРЕННЯ СЛАБКОНЕЛ1Н1ЙНИХ
ХВИЛЬ В ДВОШАРОВ1Й Р1ДИН1 З В1ЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ
О. В. Авраменко
Доктор фiзико-математичних наук, професор, завщувач кафедри* E-mail: oavramenko@rambler.ru В. В. Нарадовий Викладач*
*Кафедра прикладноТ математики, статистики та економки Юровоградський державний педагопчний ушверситет iм. В. Винниченка вул. Шевченка, 1, м. Юровоград, УкраТна, 25002 E-mail: naradvova1986@gmail.com
1. Вступ
Дослвдження хвильових pyxiB в рвдинах в залежносп ввд рiзних титв стратифжацп е одшею з важливих при-кладних задач сучасно! науки. Це обумовлено, напри-клад, тим, що щ рухи е невiд'емною складовою вивчення динамжи Свiтового океану. Також дослвдження хвиль в стратифiкованих системах скшченного об'ему (резер-вуари рiзного типу) мае багато практичних застосувань.
Моделювання хвильових рyхiв в шаруватих рщ-ких системах, стратифiкованих за густиною, потребуе досить складного математичного апарату та громiзд-ких аналiтичних перетворень та чисельних обчислень. Тому для задач такого класу використовують, як допо-мiжнi шструменти, комп'ютернi математичнi пакети спецiального призначення, як то MatLab, Maple та ш.
Таким чином, актуальним е дослщження та аналiз проблеми про поширення внутршшх та поверхневих хвильових пакепв в гiдродинамiчнiй системi «шар з твердим дном - шар з в^ьною поверхнею» iз застосу-ванням методу багатомасштабних розвинень з враху-ванням сили поверхневого натягу на вшьнш поверхш та на поверхш контакту.
2. Аналiз лкературних даних та постановка проблеми
Вивчення внутршшх хвиль скшченшл амплггу-ди отримало велику увагу численних дослщниюв: Останш дослiдження довгих поодиноких хвиль як в
©
атмосфер^ так i в океанi надали додатково! защкавле-ностi до цього явища. Б^ьша частка виконано! теоретично! роботи була пов'язана з аналiзом хвильових ру-хiв в системах, де внутршш хвилi е слабколiнiйними i довгими по вiдношенню до повно! товщини рiдини. Подiбнi процедури приводять до рiвняння Кортеве-га-де Врiза, що описують еволюцiю хвильових рухiв та баланс мiж нелiнiйнiстю i дисперсiею. Це рiвняння було досить добре вивчене, а також знайдеш методи, що дають точнi розв'язки для дов^ьно визначених початкових умов.
З шшого боку, моделi для двовимiрних хвиль були виведеш лише для мшко! води (рiвняння Буссiнеска). Рiвняння Кадомцева-Петвiашвiлi для слабконелшш-них двовимiрних хвиль були запропоноваш для гли-боко! води. Всi цi моделi придатш лише для певного iнтервалу вщношень товщини i довжини хвилi.
Аналiзом поширення хвиль-вбивць та хвиль типу цунамi активно займаеться Доценко. Зокрема, у робот [1] на основi даних спостережень в пiвнiчно-захiднiй частиш Чорного моря виконано аналiз аномальних вь трових хвиль (хвиль убивць). В [2] у рамках нелшшно! теорп методом скiнченних рiзниць виконано аналiз розповсюдження хвиль цунамi з басейну в прямоль нiйний канал сталого прямокутного поперечного пере-рiзу. Виявлено, що максимальна висота хвиль у каналi реалiзуеться для осередюв цунамi, розташованих на материковому схилi навпроти входу в канал.
У [3, 4] експериментально дослщженш профШ стоячих гравiтацiйних двовимiрних хвиль. Показано, що
для даних хвиль мае м1сце система вторинних цирку-ляцшних течш, як1 охоплюють всю товщину рщини.
Найфе [5] використовував метод багатомасштаб-них розвинень для виведення пари диференщальних р1внянь у частинних похщних, як1 описують еволющю хвильових пакет1в скшченно! амплиуди на поверхш контакту двох натвнескшченних рщин з р1зними густинами, враховуючи ефект поверхневого натягу. В результат! було отримано два альтернативш нелшшш р1вняння Шредшгера та дослщжено стшюсть хвильових пакет1в скшченно! амплиуди.
Аналопчна задача про поширення хвильових па-кет1в на поверхш контакту рщкого твпростору 1 рщ-кого шару над ним вивчалась в [6]. Цими авторами дослвджувалась проблема стшкост1 хвильових пакет1в в систем! «шар - твпрост1р» методом багатомасштаб-них розвинень до третього порядку [7]. В статтях, що опублжоваш в останнш час, розглянут1 р1зш аспекти четвертого наближення проблеми еволюцп нелшш-них хвильових пакет1в [8]. Також виведене еволюцшне р1вняння для хвильових чисел близьких до критичного [6], дослщжено стшк1сть розв'язюв указаних р1внянь [7]. Област1 резонансу друго1 гармошки, на-прямок поширення хвиль, форма хвильового пакету в систем1 «шар - твпрост1р» описаш в статт [9].
В приведеному нижче анал1з1 представлен в основному сучасш дослщження. В [10] доведено виникнення вертикальних в1брацш при взаемодп верхньо! рвдини з нижшм селевим потоком. Даш в1брацп обумовлеш гене-руванням внутршшх хвиль в шкноклиш. В робоп [11] в рамках другого наближення теорп м1лко1 води дослвджу-еться поширення внутршшх хвиль в двошаровш рвдиш, яка обмежена зверху 1 знизу. В [12] в рамках катлярх но-грав1тацшно1 постановки дослвджуеться поширення двох хвильових пакепв в одному напрямку але р1зно1 довжини хвиль. Експериментальне дослвдження поширення хвиль в двошаровш рвдиш представлене в [13]. Хвил1 генеруються розрвдженням зверху, що призводить до формування стру1 вздовж дна. В [14] представлен експерименти по поширенню хвиль в двошаровш рвдиш з урахуванням скшчено! товщини поверхш контакту. В [15] отримаш аналиичш розв'язки задач1 про поширення хвиль в кусково-постшнш двошаровш рвдиш, обмежено! зверху 1 знизу жорсткими границями.
Представлене в данш робой дослвдження присвячене анал1зу поширення хвиль в двошаровш рвдкш систем1 скшченно! глибини. Зокрема, в статт виведеш еволю-цшш р1вняння обввдних хвильових пакепв та проведено анал1з форми внутршшх та поверхневих хвиль.
3. ЦЫ та задачi дослщження
Метою проведених дослвджень було отримання яюс-них та юльюсних характеристик поширення внутршшх та поверхневих хвиль в двошаровш систем! «рвдкий шар з твердим дном - рвдкий шар з в1льною поверхнею».
Сформулюемо основш завдання дослщження:
- вивщ еволюцшних р1внянь обввдних хвильових пакет1в для пдродинам1чно1 системи «шар з твердим дном - шар з в1льною поверхнею»;
- анал1з форми хвильових пакет1в на поверхш контакту та на в1льнш поверхш;
- ф1зична штерпретащя результат1в.
4. Постановка та методи дослщження поширення хвиль в системi «рщкий шар з твердим дном - рщкий шар з вшьною поверхнею»
Розглянемо поширення хвильових пакет1в в двошаровш г1дродинам1чнш систем^ яка склада-еться з двох шар1в □1 = {(х^):|х|<~-Ь4 <<0} та □2 = {(х^):|х| <~0 <<Ь2}. Густини шар1в позначи-мо як р1 та р2 ввдповвдно. Дану задачу розглядаемо в плоскому вар1анть Функцп, що описують вщхилення поверхш контакту двох шар1в та в1льно1 поверхш вве-демо як z = п(х^) та z = п0(х^). Наведемо математичну постановку задача
Э2ф ■ Э2ф ■
(1)
—а^^ при z =ап (x,t), (' = 1,2) (2)
Л да Эх Эх
Эпо-Эф, =-аЭпо дф2 при z =ап0 (x,t),
дt дz дt дz
^-рЭ^ + (1 -р )п + 2а^ф )2-2ар (Уф2)2-
(3)
- Т
1+1 а
Эп
"ЭХ"
Л 2 Л2
2 Э2п
Эх
2 = 0 при z =ап (х^), (4)
^ф^2+п +1 а(уФ2 )2 - Т0
z =ап 0(x,t),
Эф1 А к Ь1
—1— = 0 при z = -п1 = —1, дz L
1 +
2
а^П
V Эх ,
2 = 0 при Эх 2
(5)
(6)
тут ф^ 0 = 1,2) потенщали швидкост1 в Qj, п - в1д-хилення поверхш контакту, п0 - вщхилення в1ль-но1 поверхн1, Т та Т0 - коефщ1енти поверхневого натягу на поверхш контакту та на в1льнш поверхш, а - коефщ1ент нелшшност1, р = р1/ р2 - в1дношення густин рщких шар1в. Вважаемо, що коефщ1ент не-л1н1йност1 а значно менший за одиницю, тому дана модель описуе слабконелшшну двошарову систему з дисперс1ею.
Для розв'язування задач1 використаемо метод багатомасштабних розвинень до третього порядку. Представимо шукаш функц11 вщхилення поверхн1 контакту, в1дхилення в1льно1 поверхш та потенщали швидкостей у вигляд1
П(х^) = ^ап 1пп (х0,х1,х2^0^1^2)+ 0(а3),
(7)
П0(хЛ) = ^а n-1non(Хo,Хl,Х2,to,tl,t2)+ 0(а3), (8)
п=1
3
= n-1фJn(Хo,Хl,Х2,z,to,tl,t2) + 0(а3), ] = 1,2, (9)
п=1
де xj = а-'х та tj = (j=0, 1, 2).
3
5. Результати дослщження поширення хвиль в двошаровш гщромехашчнш системi
5. 1. Першi лшшш наближення та ¡х розв'язки
Шдставляючи (7)-(9) у (1)-(6) та прир1внюючи вирази при однакових степенях а, отримаемо три наближення дослщжувано! задача
задача першого наближення (при а0)
ф'1,х0х0 + ф'1да =0 в ^
ПЦо -фд* =0 на z = 0 П01Л -фц* =0 на Z = ^
фщ0 -рф2и0 +(1 -Р)П1 -ТП1,х0х0 =0 на z = 0,
ф21^0 +П01 -Т0П01,х0х0 =0 на Z = ^2,
ф1и = 0 на z = -Ь1. (10)
Задача другого наближення (при а)
ф'2,х0х0 +Фj2,zz = -2флх0х, в
П2Л -ф'2^ = -Пц, -П1,х0 ф'1х0 + П' на Z = 0
П02^0 -фц* =-П0и, -П01,х0 ф21,х0 + Пиф21да на Z = Ь2, ф12-Рф22 +(1 -Р)П2 -ТП2 ,х0х0 =-ф11 , -
+ Р(ф2«, + П1ф21 )-0.5 (ф121,х0 +ф21^ ) +
+0.5р(ф21 хо +ф22и) + 2ТП1 ,х0х, на z = 0,
ф22 ¿0 + П02 - Т0П02х0х0 =-ф21 ,, - П01ф21 ,t0z --°.5(ф21х0 +ф21^ )+2Т0П01,х0х, на Z = Ц
ф12^ = 0 на z = -Ь1. (11)
Задачу третього наближення не наводимо через гром1здк1сть аналиичного запису [16, 17].
Розв'язок задач1 першого наближення (10) одержано у вигляд1 хвиль, що б1жать
П1 = Ле1е+Ле-,е,
ф11 = -™ (Ае'е-Ле-'е ,
к sh(kh1)
ф21 =-
1Ю
ю^Ь(к(Ь2 - z)) - (к + Т0к3)сЬ(к(Ь2 - z))
ю2сЬ(кЬ2) - (к + T0k3)sh(kh2)
х(Ле1е- Ле-1е),
П01 =
ю2 сЬ(кЬ2) - (к + Т0к3 )sh(kh2)
пакету Л та обвщною хвильового пакету на в1льнш поверхш Л0
Л0 =-
ю2сЬ(кЬ2) - (к + T0k3)sh(kh2)
-А.
(13)
Шдставляючи розв'язки (12) у динам1чну умову на в1льнш поверхш задач1 першого наближення (10), отримуемо дисперсшне р1вняння
ю2cth(kh1) + рю2 = (1 -р)к + Тк3.
ю2 - (к + Т0к3)сА(кЬ2)
т^^Ь^к^У-(к+Тк3)
(14)
Частинний розв'язок системи (11) будемо шукати у вигляд1, записаному через нев1дом1 коефщ1енти
ф21 = B11(z + + Ь1))е1е+ B10ch(k(z + Ь1))е,е+
+В20 ch(2k(z + Ь1))е21е+сс,
ф 22= (С10 + С^У^1^+С20 е21е+2к(Ь2+ +(Е10 + Е^^18-1^1^+Е20 е21е-2к(Ь2 ^ + сс,
П2 = D0 + D1e1е + D2 е21е+сс,
П02 = F0 + F1 е,е + F2 е2,е+сс,
(15)
де В,', С,', Е,', D1, F1 - невизначеш коефщ1енти, сс - оз-начае комплексно спряжену величину до попередшх вираз1в.
Шдставляючи дал1 (12) та (15) в (11) 1 прир1внюючи вирази при однакових функщях, приходимо до двох незалежних систем р1внянь вщносно шших невщомих коефщ1ент1в.
Система вщносно коефщ1ент1в В10, С10, Е10, D1, F1, отримана прир1внюванням вираз1в при функцп е,е е несум1сною [16], причому 11 умова розв'язуваност1, за умови, що D1 = 0, мае вигляд
Л,. +ю'Лх = 0,
(16)
(Ле1е+Ле-,е), (12)
де Л(х1, х2, tl, t2) 1 Л(х1, х2, ,2) - обвщна хвильового пакету на поверхш контакту 1 комплексно спряжена до обвщно! хвильового пакету А, 8 = кх0 -ю,0, к - хви-льове число центру хвильового пакету та ю - частота центру хвильового пакету. З формул (12) неважко по-бачити зв'язок м1ж обввдною внутршнього хвильового
де ю' = dю/dk - групова швидюсть. В результат! знай-дено неаналиичш вирази для вс1х невщомих коефь щент1в [16]. Нижче наведемо вирази для вщхилення поверхш контакту та в1льно1 поверхш у другому на-ближенш
0.5ю2
П2 = 0ГРХ
1 -р-с.Ь2(кЬ1) + р
+Л е21е Л2 + сс,
п02 =Л0е2,еЛ2 + ^---;-г-+сс.
102 0 ю2сЬ(кЬ2) - (к + Т0к>Ь(кЬ2)
Умова розв'язуваност1 третього наближення мае вигляд
(1 -р)к + Тк3-ю2с.Ь(кЬ1)
рю
ЛЛ+ (17)
0.5ю2 (ю4 - (к + Т0к3)2)
^Л^ + W2Л,X2 + ^^зЛ,х1х1 + W4Л2Л = 0,
(18)
2
ю
де Wi(i = 1,4) коеф^енти, що залежать вщ (k, р, га, h1, h2, T, T0), якi мають досить громiздкий ви-гляд i отриманi за допомогою пакетiв символьних обчислень.
5. 2. Еволюцшш рiвняння обвiдних
Знайшовши вираз для га'' = d2rn/dk , умову розв'язува-ностi третього наближення (18) можна записати у виглядi
At +ra'Ax -0.5rn"Axx = iIA2A. (19)
Частинш похiднi A t, A x, A xx запишемо у виглядi сум
A,t = t«"A,tn + O(a3), A, =
n=1
= tanA,xn + O(a3), Axx =a2AXix, + O(a3), (20)
n=1
де похщш Л^пта Ax визначають внесок члешв порядку an у загальне значення похщних A t та x.
Помножимо спiввiдношення (16) та (19) на a та a2 вщповщно, та додамо одне до одного. Враховуючи (20), отримаемо шукане еволюцшне рiвняння обвiдноi на поверхш контакту двох рщких шарiв
A t +ra'A x -0.5rn"A „ = ia2IA2A.
(21)
Враховуючи стввщношення (13) та використовую-чи рiвняння (21) легко отримати еволюцiйне рiвняння на вiльнiй поверхнi. Воно матиме вигляд
A0t + rn'A0x -0.5rn''A0xx = ia2I0(A0)2 A0,
(га2 ch(kh2) - (k + T0k3 )sh(kh2 ))2 I0 = < I.
(22)
де ¿0 =
Ю'
Таким чином, виведеш еволюцiйнi рiвняння об-вiдних хвильових пакепв на поверхнi контакту та на в^ьнш поверхнi для дослщжувано! задачi [18].
6. Обговорення результаив проведеного дослщження та аналiз форми хвиль
Вщхилення поверхнi контакту враховуючи (7), (12) та (17) можна записати у виглядi
r|(x,t) = 2acos(kx -cot)+aa2 [2B + Лcos2(kx -cot)], (23)
Графжи L1 = 0 та L2 = 0 зображеш на рис. 1 для фжсованого значення товщини верхнього шару Ь2 = 1 i товщини нижнього шару Ь1= 10. Як бачимо, кривi розбивають площину (р, к) на чотири область В областях , S3, S4 - Л(р, к, Ь^ Ь2, Т, Т0)> 0, а в обласи S1 - Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) <0. Це означае, що в областях, де Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)> 0, вщбуватиметься затуплення пiдошов та загострення гребешв хвильового пакету, а в областях, де Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)< 0 - навпаки.
Рис. 1. Обласп знакосталостi Л
На рис. 2, 3 представлеш першi двi гармошки П1(х, t) та П2(х, ^ та вiдхилення вiльно'i поверхнi п(х, t) за таких значень параметрiв а = 0.1, Ь1 = 10, Ь2 = 1, Т0 = 0.001, Т = 0, t = 0, а = 1, р = 0.96, к = 1.96 (рис. 2) та р = 0.1, к = 1 (рис. 3).
Якщо розглядати розв'язок (23) за умови модуля-цшнш стшкоси в момент, коли вже вщбувся баланс ль нiйностi i дисперсп, тодi вщхилення поверхнi контакту (x,t) е сумою двох косинусо!д, амплiтуда першо! гармонiки значно бiльше за амплиуду друго!. Якщо Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)> 0, то максимуми П^, t) та t) спiвпадають (рис. 2, а), а мжмум П^, ^ накладаеть-ся на наступний максимум t). Отже, в областях S2, Sз, S4 хвиля мае и-образну форму, як на рис. 2, б. Як бачимо на рис. 2, б накладання мiнiмумiв першо! гармошки та максимумiв друго! гармошки призводить до затуплення тдошов та загострення гребешв.
де
п 0.5га2
B =-х
1 -Р
1 -p-cth2(kh1) +р
(1 -p)k + Tk3-ra2cth(kh1)
рга
Видно, що для визначення форми поверх-нi контакту т^Л) важливий знак коеф^енту
Л(р, к, Ь1, Ь2,Т, Т0) = —, який е дробом [17]. Знак вели-L2
чини Л змiнюеться за умови переходу через криву L1=0, вздовж яко! Л(р, к, Ь1, Ь2, Т,Т0)=0, або при переходi через криву L2 = 0, вздовж яко! Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) .
X 10
Рис. 2. Вщхилення noBepxHi контакту при Л(р,k,h1,h2,T,T0)> 0: а - першi двi гармонiки n1(x,t) та n2(x,t); б - n(x,t) = n1(x,t)+an2(x,t)
а
Якщо Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) <0, то максимум п1(х, .) ствпадае з м1шмумом п2(х,.) (рис. 3, а), а м1шмум П1(х, .) ствпадае з наступним м1шмумом п2(х, ,). Таким чином, в област1 S1 поверхня контакту п(х, .) мае П-образну форму (рис. 3, б). Отже, накладання мшь мум1в перших двох гармошк веде до загострення тдо-шов та затуплення гребешв.
Рис. 3. Вiдхилення поверхш контакту при Л(р,к,Ь1,Ь2,Т,Т0) <0: а - першi двi гармошки r|i(x,t) та n2(x,t); б - n(x,t) = n1(x,t) + an2(x,t)
Рiвняння, яким визначаеться форма хвильово-го пакету на в1льнш noBepxHi
n0(x,t) = 2a0 cos(kx -cot) + +a(a0 )2 [2B0 + Л0 cos 2(kx - cot)],
де a =
c
ra2 ch(kh2) - (k + T0k3 )sh(kh2)
a,
B =-
0.5ю2 (га4 - (k + T0k3)2) ra2 ch(kh2) - (k + T0k3 )sh(kh2)'
Як бачимо, крив1 розбивають площину(р, к) на шкть областей. В областях Sl, Sз, S5 - Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)> 0, а в областях S2, S4, Sg - Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0)< 0.
Якщо Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) <0, то максимум п01(х, .) ствпадае з м1тмумом п02(х,.), а м1тмум п01(х,.) ствпадае з наступним мш1мумом п02(х,,). Таким чином, в областях S2, S4, Sg поверхня контакту п0(х, .) мае П-образну форму.
Якщо Л(р, к, Ь1, Ь2, Т, Т0) > 0, то максимуми п01(х, .) та п02(х, .) ствпадають, а м1тмум п01(х, .) накладаеть-ся на наступний максимум п02(х, ,). Отже, в областях S1, S3, S5 хвиля мае У-образну форму.
Рис. 4. Обласп знакосталостi Л0
7. Висновки
(24)
Як i в випадку поверхш контакту, на вшьнш поверх-Hi для визначення форми вшьно'! поверхнi n0(x,t) важ-
M1
ливий знак величини Л(р, k, h, h„, T, T„) = —-, який
°VK, > ^ 2> > м2
змiнюеться за умови переходу через криву Mi=0, вздовж яко1 Л0(р, k, h1, h2, T, T0)=0, або при переходi через криву M2=0 вздовж яко! Л0(р, k, h1, h2, T, T0) Графiки M1 = 0 та M2 = 0 зображенi на рис. 4 для фжсованого значення товщини верхнього шару h2 = 1 i товщини нижнього шару h1= 10.
Шд час анал1зу поширення хвильових пакет1в в двошаровш пдродинам1чнш систем1 «шар з твердим дном - шар з в1льною поверхнею» були отримаш еволю-цшш р1вняння обвщних хвильових пакет1в на поверхш контакту двох рщких шар1в та на в1льнш поверхш. Ви-ведеш еволюцшш р1вняння е нелшшними р1вняннями типу р1вняння Шредшгера другого порядку.
Анал1зуючи форму внутршшх та поверхневих хвиль було виявлено вплив урахування другого наближення, що призводить до появи областей, в яких хвил1 мають р1зну форму. Так, наявш обласп, в яких е затупленою тдошва та загострений гребшь, а також обласп, де спо-стер1гаеться протилежна картина. В1дм1тимо, що даш ефекти ввдповвдають натурним спостереженням.
Лиература
1. Доценко, С. Ф. Связь образования волн-убийц и метеорологических условий в северо-западной части Черного моря [Текст] / С. Ф. Доценко, В. А. Иванов, Ю. А. Побережный // Доповщ НАН Украни. - 2010. - № 12. - С 105-109.
2. Доценко, С. Ф. Анализ двумерного распространения волн цунами из эллиптического очага в прямолинейный канал [Текст] / С. Ф. Доценко, Н. К. В. Санникова. - МГИ НАН Украины, 2011. - С. 419-428.
3. Килиниченко, В. А. Экспериментальное исследование волн Фарадея максимальной высоты [Текст] / В. А. Килиниченко, С. Я. Секерж-Зенькович // Изв. РАН МЖГ. - 2007. - № 6. - С. 103-110.
4. Килиниченко, В. А. Экспериментальное исследование вторичных стационарных течений в поверхностных волнах Фарадея [Текст] / В. А. Килиниченко, С. Я. Секерж-Зенькович // Изв. РАН МЖГ. - 2008. - № 1. - С. 141-148.
5. Nayfeh, A. H. Nonlinear propagation of wave-packets on fluid interface [Text] / A. H. Nayfeh // Journal of Applied Mechanics. -1976. - Vol. 43, Issue 4. - P. 584-588. doi: 10.1115/1.3423936
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
V
Селезов, И. Т. Структура нелинейных волновых пакетов на поверхности контакта жидких сред [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко // Прикладна гщромеханика. - 2002. - Т. 4 (76). - С. 3-13.
Селезов, И. Т. Устойчивость волновых пакетов в слоистых гидродинамических системах с учетом поверхностного натяжео
ния [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко // Прикладна гщромеханика. - 2001. - Т. 3 (75), № 4. - С. 38-46.
Селезов, И. Т. Эволюционное уравнение третьего порядка для нелинейных волновых пакетов при околокритических волс
новых числах [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко// Динамические системи. - 2001. - Вып. 17. - С. 58-67.
Селезов, И. Т. Эволюция нелинейных волновых пакетов в гидродинамической системе «слой-полупространство» с учетом
поверхностного натяжения [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко // Математичш методи та ф1зико-мехашчш поля. -
2001. - Т. 44, № 2. - С. 113-122.
Vincze, M. Amplified internal pulsations on a stratified exchange flow excited by interaction between a thin sill and external seiche [Text] / M. Vincze, P. Kozma, B. Gyure, I. M. Janosi, K. G. Szabo, T. Tel // Physics of Fluids. - 2007. - Vol. 19, Issue 10. - P. 108108-1-108108-4. doi: 10.1063/1.2796182
Макаренко, Н. Н. Асимптотические модели внутренних стационарных волн [Текст] / Н. Н. Макаренко, Ж. Л. Мальцева // Прикл. механика и тех. фiзика. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 151-161.
Debsarma, S. Fourth-order nonlinear evolution equations for a capillarygravity wave packet in the presence of another wave packet in deep water [Text] / S. Debsarma, K. P. Das // Physics of Fluids. - 2007. - Vol. 19, Issue 9. - P. 097101-1-097101-16. doi: 10.1063/1.2772252 Carr, M. The motion of an internal solitary wave of depression over a fixed bottom boundary in a shallow, two-layer fluid [Text] / M. Carr, P. A. Davies // Physics of Fluids. - 2006. - Vol. 18, Issue 1. - P. 016601-1-016601-10. doi: 10.1063/1.2162033 Sutherland, B. S. Intrusive gravity currents propagating along thin and thick interfaces [Text] / B. S. Sutherland, J. T. Nault // Journal of Fluid Mechanics. - 2007. - Vol. 586. - P. 109-118. doi: 10.1017/s0022112007007288
Haciyev, B. I. Unstationary waves in two-layered fluid caused by normal loading at the interface [Text] / B. I. Haciyev // Proc. IMM (Inst. Mathematics and Mechanics) NAS of Azerbaijan, 2006. - P. 119-126.
Селезов, И. Т. Нелинейное взаимодействие внутренних и поверхностных гравитационных волн в двухслойной жидкости со свободной поверхностью [Текст] / И. Т. Селезов, О. В. Авраменко, Ю. В. Гуртовый, В. В. Нарадовый // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. - 2009. - Т. 52, № 1. - С. 72-83.
Селезов, И. Т. Математические методы в задачах распространения и дифракции волн [Текст] / И. Т. Селезов, Ю. Г. Кривонос. - К: Наукова думка, 2012. - 232 с.
Naradovyy, V. Interaction of internal and surface waves in two-layer fluid with free surface [Text] / V. Naradovyy // Challenges of Modern Tehnology. - 2013. - Vol. 3, Issue 4. - P 103-106.
