CC BY
41
УДК 51-72
АНАЛИЗ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ НАТЯЖЕНИЯ
© И. М. Утяшев1,2
1 Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
E-mail: [email protected]
Рассматриваются линейные поперечные колебания нерастягиваемой струны в зависимости от заданного закона изменения по времени растягивающей силы. Один конец ее неподвижно закреплен, на другом приложена указанная сила. Анализ данного решения показал, что чем больше параметр растягивающей силы а, тем быстрее происходит процесс затухания, то есть с течением времени убывает амплитуда колебаний, а частота возрастает. При отрицательных значениях а происходит раскачка колебаний. Чем ближе параметр а к —1, тем быстрее возрастает амплитуда колебаний и уменьшается его частота. При а = 0 получаем гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой. Так же поставлена и решена обратная задача по определению параметра растягивающей силы по известным значениях периодов и амплитуд.
Ключевые слова: струна, обратная задача, изменяющееся натяжение, поперечные коле-баниял, амплитуда, период, Функция Бесселя.
В зависимости от заданного закона изменения по времени растягивающей силы изучаются режимы поперечных колебаний струны. Один конец ее неподвижно закреплен, на другом приложена указанная сила. Такая простейшая модель механического объекта имеет многочисленные применения, например, в динамике всевозможных растяжек, тросов, канатов, строп, шлангов и т.д. [1—5]. Во многих случаях необходимо рассматривать совместное возбуждение продольных и поперечных волн, влияние нелинейных факторов, в том числе вызванных разрывностью упругих характеристик при растяжении и сжатии [6,7].
В данной работе рассматриваются линейные колебания нерастягиваемой струны. Такое допущение приемлемо, если за один период поперечных колебаний происходит многократное отражение от концов струны продольных волн или низшие частоты спектра поперечных колебаний малы по сравнению с собственными частотами продольных колебаний. Основное внимание уделено анализу динамики системы при изменении значения растягивающей силы.
Уравнение поперечного движения струны имеет вид
Вводя обозначения
£ = x / L, т = t / t0, u = w / L, t0
из (1), (2) получаем
■4 P F/No
д^и д^и = 0 0^^! Эх2 Э^2 ' Граничные и начальные условия u(0, т) = 0, и(1, т) = 0, и&0) =Фодuft,0)/Эг = ф1(4) Решение задачи (3-5) дано в работе [8]
и(£т) =—^[4 J-p{lphzT'(2p))+Bk Jp(2pknnl'(2p))\x
k=1
(3)
(4)
(5)
: (6)
xsinkn^
A = 2Г(1 - p) ( knp)p J ф0 ©sin (krtj)d;,
B =
1
2Г(1 + p) (knpУ J 91(^)sin(kn^)dt'
1
, d2 w
pF— - N— = 0, dt dx
д 2w = 0 0 < x < L
(1)
где х, £ — координата вдоль струны, время, отклонение от прямой линии, р, Е, Ь — плотность, площадь поперечного сечения и длина струны. Растягивающая сила N принимается в виде
N = N (?Д0 )а (а>-1) (2)
где £0 — время, когда сила N достигает значение N0.
Р 2 + в' где Г — гамма-функция.
Проведем анализ данного решения.
Рассмотрим начальный профиль струны в виде гладкой формы ф0 = —0.4^2 + 0.4^ и равнобедренного треугольника ф0 = 0.1 — 0.2 — 0.5|. Начальная скорость в обоих случаях принимается нулевой ф1 = 0. Параметр а может меняться в широких пределах.
Построим график функции в зависимости от количества членов в сумме ряда уравнения (6) при а = 5. На рис. 1 сплошной линией показан начальный профиль струны, описываемый уравнением ф0
0
= -0.4^ + 0.4^, штрихом показано приближение, построенное по одному члену ряда (К = 1), пунктирной кривой показан результат с десятью членами (К = 10), в различные моменты времени.
Как видно из графиков, для гладкого начального профиля струны (рис. 1) достаточно брать один член в сумме ряда, хорошая аппроксимация достигается при К = 3.
Решение (6) для начального профиля струны острой формы показано на рис. 2-3. Здесь сплошной линией показан начальный профиль, описываемый уравнением ф0 = 0.1 - 0.2 - 0.5|, штрихом показано решение (6), построенное по одному члену ряда (К=1), пунктирной кривой показан результат с десятью членами (К=10), в различные моменты времени. Из рис. 2 (пунктирная линия) при т=0 видно, что даже при большом количестве членов (К = 10) в сумме ряда (6), не достигается высокая степень аппроксимации. То есть для острых профилей нужно брать как можно больше членов.
При т > 0 острый профиль струны постепенно сглаживается (рис. 2 и 3), поэтому разница аппроксимации при К = 1 и К = 10 для удаленных моментов времени постепенно минимизируется. Использование большого количества членов суммы ряда (6) важно для изучения динамики системы в начальный момент времени.
Рис. 1. Профили струны в различные моменты времени для ф0 = -0.4^2 + 0.4^.
На рис. 4 представлено изменение во времени для первой гармоники в средней точке (^ = 0.5) при различных значениях параметра а.
Из графика видно, что чем больше параметр а, тем быстрее происходит процесс затухания, то есть с течением времени убывает амплитуда колебаний, а частота возрастает. В начале процесса наблюдается малое изменение и, особенно для больших значений а. Этой особенностью объясняется малое изменение и при т = 0.6 на рис. 1. При отрицательных значениях а происходит раскачка колебаний
(рис. 5). Чем ближе параметр а к -1, тем быстрее возрастает амплитуда колебаний и уменьшается частота. При а = 0 получаем гармонические колебания с постоянной частотой и амплитудой.
Рис. 2. Профили струны в различные моменты времени для ф0 = 0.1 - 0.2 - 0.5|.
Рис. 3. Профили струны в различные моменты времени для ф0 = 0.1 - 0.2 - 0.5|.
На основе данного анализа можно поставить обратную задачу: определить параметр а по из-
вестным значениям времени и периода. Для простоты воспользуемся асимптотическими формулами для Бесселевых функций при малых и больших аргументах (такие случаи могут представлять наибольший интерес):
(уГ ,
J- р ( y)
(7)
y^ö 2-р Г(1 - р)
Рис. 4. Поперечные колебания струны в точке 4 = 0.5.
Рис. 5. Поперечные колебания струны в точке £ 0.5 для отрицательных значений а.
J- p (У)
Пу
рп П
cos i y + ----
1 2 4
(8)
где у = 2 ркт1'2 р.
На рис. 6 приведены графики асимптотических функций (7) и (8). Здесь 1 - функция Бесселя, 2 - асимптотическая формула при у ^ 0, 3 - асимптотическая формула при у ^ да . Из графика видно, что асимптотические формулы (7) и (8) достаточно хорошо аппроксимируют функцию Бесселя, кроме промежутка 0.2 < т < 0.8.
Заменяя функцию Бесселя асимптотической функцией при у ^ да, с учетом того, что начальную скорость мы считаем нулевой ф1(£) = 0, решение (6) для удаленного времени после начала действия силы приводим к виду:
г \
2р
=— Z
4
pk
cos
2pkr 2Р - П
Период функции (9) определяется периодом cos 2pknx1/(2p\ и равняется T = (2 + а)т-а/2. Но для вычисления параметра а нужно знать два значения периода в разные моменты времени.
Считая, что в два момента времени периоды равны T и T2 (рис. 7), можно получить формулу для нахождения а:
„ , „ч (i0)
а = _ 2 ( fa T - fa T2 )
ln Tj - ln т2
где т1, т2 - усредненные моменты периодов Т1 и Т2. Здесь за т1 и т2 принимаются значения т, когда и(т)=0.
Рис. 6. Сравнение функции Бесселя и асимптотических функций (7) и (8) в точке £ = 0.5.
Рис. 7. Периоды функции в точке £ = 0.5.
Можно поставить также другую обратную задачу: определить а по максимальным значениям отклонений и(£, т) в какой-нибудь точке в разные моменты времени, например, в средней точке. Такая постановка в [12, 13] называется обратной задачей Ильгамова.
Рис. 8. Амплитуды функции в точке £ = 0.5.
X
х sin kng
(9)
В данной задаче рассмотрим решение (9) более подробно. Функция sin отвечает за место-
положение измерения поперечного движения струны. Для K = 1 в середине струны (£ = 0.5) достигается максимум, равный единице. Множитель cos (2рпкт1/(2р) + рп - п/4) дает периодичность по времени, наибольшее значение функции равно единице. Амплитуда по длине струны и по времени равна:
х & т)S A
( _L 2 p
pk
(11)
Считая, что в моменты времени т1 и т2 амплитуды равны мшах1 и итах2 (рис. 8), получаем формулу
для нахождения а:
4(ln Umax1 - lnUmax2 ) .
(12)
ln т1 - ln т2
Построим численное решение (6) прямой задачи при а = 3, ф0 = -0.4£2 + 0.4£, ф1 = 0, K = 3. График функции данной задачи в точке £ = 0.5 приведена на рис. 7-8.
Обратная задача заключается в том, чтобы определить параметр а по показаниям приборов, то есть по значениям максимальных отклонений и периодов колебаний в определенные моменты времени. Так как в данной работе используются безразмерные величины, показания приборов заменены на результаты решения прямой задачи. С помощью математического пакета Maple решена прямая задача (рис. 7). Получены следующие результаты: в момент т1 = 2.12836 период равен T1 = 0.65994, а в
момент т2 = 3.07704 период равен Т2 = 0.37189. В результате подстановки значений в формулу (10) получаем а = 3.11190.
Получены также данные для второй обратной задачи (рис. 8): в момент времени т1 = 2.04197 максимальное отклонение равно мшах1 = 0.0351150, а в момент т2 = 3.02827 — равно мшах2 = 0.0261347. В результате подстановки значений в формулу (12) получаем а = 2.99809.
Найденные решения обратной задачи, позволяют определить закон изменения растягивающей силы, действующий на струну. Точного решения не достигается из-за использования асимптотических формул и ограниченности в выборе количества членов в сумме ряда (6).
В табл. 1 и 2 приведены результаты вычисления параметра а в зависимости от точности входных данных.
Более высокая точность второго метода по нахождения параметра натяжения а объясняется тем, что в первой обратной задаче используется усредненное значение периода. Из табл. 1 и 2 видно, что решение задачи сильно зависит от входных данных, то есть от точности измерения значений амплитуд и периодов. Поэтому при применении данного метода на практике следует использовать высокоточные измерительные приборы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Светлицкий В. А. Механика трубопроводов и шлангов.
М.: Машиностроение, 1982. 279 с.
Таблица 1
Результаты вычисления параметра а в зависимости от точности замеров периодов колебаний
u
к=1
Точность Т1 Т2 Ti T2 а
1 2.1 3.1 0.7 0.4 3.2
2 2.13 3.08 0.66 0.37 3.18
3 2.128 3.077 0.660 0.372 3.110
4 2.1284 3.0770 0.6599 0.3719 3.1114
5 2.12836 3.07704 0.65994 0.37189 3.11190
6 2.128360 3.077044 0.659946 0.371893 3.111910
Таблица 2
Результаты вычисления параметра а в зависимости от точности замеров амплитуд колебаний
Точность Ti Т2 umaxl umax2 а
1 2 3
2 1.96 2.99
3 1.962 2.987
4 1.9623 2.9870
5 1.96234 2.98698
6 1.962342 2.986980
0.05 0.03 5.24
0.0463 0.0334 3.10
0.04633 0.03383 2.992
0.046329 0.033838 2.9908
0.0463293 0.0338397 2.99092
0.04632925 0.0338399 2.990857
2. Thompson J. M. T., Bokaian A. R. and Ghaffari R. Subhar-monic resonances and chaotic motions of a bilinear oscillator. // IMA J. Appl. Math. 1983. V. 31, № 3, P. 207-234.
3. Virgin L. N., On the harmonic response of an oscillator with unsymmetric restoring force // Journal of Sound and Vibration. 1998. V.126 (1). P.157—165.
4. Ридель В. В., Гулин Б. В. Динамика мягких оболочек. М.:Наука, 1990.
5. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1992.
6. Ильгамов М. А., Ридель В. В. Режимы разрывных колебаний в абсолютно гибкой нити // ДАН - 1995. Том 343. №4. С. 478-481.
7. Ридель В. В., Ильгамов М. А. Нелинейные волны в абсолютно гибкой нити // ПМТФ. 1997. Т.38. №6. С. 139-146.
8. Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. М.:Наука, 1975. С. 81-82.
9. Демьянов Ю. А., Кокорева Д. В., Малашин А. А. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных инструментах // ПММ, 2003. Том 67. №2. С. 273-283.
10. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. С. 140-143.
11. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2004.
12. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий. Уфа: Гилем, 2007. С. 274
13. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит, 2009. С. 232-251.
Поступила в редакцию 19.06.2013 г.
