CC BY
71
2007
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
№ 117
УДК 621.396
АНАЛИЗ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФЛУКТУИРУЮЩИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ЦЕЛЕЙ
А.И. КОЗЛОВ, Д.А. ЕПИФАНЦЕВА
Проводится анализ взаимосвязи радиолокационных характеристик флуктуирующих радиолокационных целей в зависимости от поляризации облучающей волны через использование статистической матрицы рассеяния. Решается задача преобразования многомерных плотностей распределения вероятностей элементов матрицы рассеяния и показывается их инвариантность к смене поляризационного базиса (ПБ).
В статье приводятся уравнения для установления взаимосвязи между эффективными поперечниками рассеяния целей, в которых ЭПР выражены через инварианты матриц рассеяния. Рассмотрена динамика изменения ЭПР при варьировании поляризационных параметров, в частности степени анизотропии.
В отличии от характеристик стабильной радиолокационной цели, для которой считалось, что условия ее распространения остаются неизменными, характеристики флуктуирующей цели изменяются, поэтому представим матрицу рассеяния в виде четырехмерного комплексного
где индекс Т обозначает операцию транспонирования матрицы, что позволяет получить наиболее просто в аналитической форме радиолокационные характеристики флуктуирующего объекта.
Пусть компонентам 8С соответствует совместная плотность распределения вероятностей
где В 1 - якобиан перехода от старого базиса к новому.
В силу унитарности матрицы В ее якобиан равен единице. Отсюда следует, что совместная плотность распределения вероятностей четырехмерного комплексного вектора, компонентами
вектора 8:
(1)
В работе [1] показано, что при переходе к новому поляризационному базису (ПБ) вектор 8 подвергается преобразованию:
8 н = ВЭс,
(2)
где В - унитарная матрица вида
В =
(3)
(с с с с \ ^
5П, 512,521,522). Рассмотрим, как она изменяется при изменении ПБ. В соответствии с общим
правилом преобразования [1, 4] будем иметь:
которого являются элементы матрицы рассеяния, инвариантна к смене поляризационного базиса, что совпадает с результатами работы [1].
Для нахождения одномерных законов распределения выражение (4) необходимо проинтегрировать по остальным трем комплексным переменным.
Установленная инвариантность означает инвариантность и одномерных законов распределения, т.к. упомянутое интегрирование будет производиться с одной и той же функцией в одних и тех же пределах.
В общем случае прогнозировать характер закона распределения элементов матрицы 8 (г)
довольно сложно. В то же время плотность распределения вероятностей W(8,г1,г2) можно
установить, основываясь на физических соображениях. Покажем это на примере некоторой гипотетической флуктуирующей цели.
Пусть в разрешающем объеме радиолокационной системы находится цель, состоящая из большого числа отражателей с малыми и близкими по величине значениями эффективных площадей рассеяния.
Если положить, что случайный характер изменений элементов матрицы рассеяния такой цели обусловлен блужданием отражателей относительно центра масс и друг относительно друга, а также перемещением цели относительно РЛС, то естественно считать, что аргументы элементов матрицы рассеяния 8гу (г) (/,} = 1,2) будут распределены в интервале [0,2^]. Тогда,
при допущении, что характер перемещения элементарных отражателей в процессе наблюдения остается неизменным и отражающие свойства элемента цели с доминирующей ЭПР также постоянны на интервале наблюдения, можно считать, что флуктуации цели стационарны, а элементы ее матрицы рассеяния суть стационарные и стационарно связанные случайные функции времени.
В силу предположения о большом числе элементарных отражателей с соизмеримыми ЭПР для элементов 8гу (г) справедлива центральная предельная теорема теории вероятностей: число
слагаемых велико, каждое из них мало влияет на величину их суммы, и распределение элементов матрицы рассеяния можно считать нормальным. Параметрами нормального
распределения в этом случае являются вектор средних значений 8 (г) и корреляционная
матрица К.
С учетом сказанного запишем (4) в следующем виде:
В соответствии с [2] выражение (6) - корреляционная матрица, а обозначение “+” содержит две операции - транспонирование и комплексное сопряжение.
Проследим за изменением корреляционной матрицы К при смене ПБ:
где корреляционная матрица имеет вид:
(6)
(7)
(8)
к с = ёе1 ((8н8н) - (8н) (8н)) = аеі к н.
Преобразуем выражение в показателе экспоненты (5)
( §с-(8с) )* к с (8 с - (§с) ) =
В-1 (8
ВК н В
В1 (8 н-(8 „})
(§н -(§н))* Кн (8н -{8„)).
(10)
■'и \ и// АЖЫ 1 иы \ ну
Таким образом, форма закона (5) не изменяется при переходе к новому базису, а изменению подвергаются только средние значения и моменты второго порядка.
Нормальными будут в этом случае также любые одномерные законы распределения каждой из компонент элементов матрицы рассеяния (Яе , 1т ).
Рассмотрим еще одно свойство, вытекающее из преобразования (7). В соответствии с [2] матрица
к = 88+
- ковариационная матрица. Запишем равенство (6) в старом и новом базисе:
К
Кс - 8с)(8с
К н = Кн
8н 8н
(11)
(12)
и воспользуемся соотношениями (7), (8) и (2):
Кс = ВКнВ - В+ (8н (8н) В = ВКнВ -( 8с
Сравнение (12) и (13) позволяет установить, что
К
= В+Кн В
I Кн = ВКсВ+
(13)
(14)
т.е. как корреляционная матрица К (6), так и ковариационная матрица К при преобразовании поляризационного базиса подвергается преобразованию подобия при помощи одной и той же унитарной матрицы В (3). Из соотношений (12) и (13) также следует, что такому же
преобразованию подвергается и матрица, образованная произведением (8С)(8+), т.е.
К с = 8с 8+с = В+ 8н
8н) В = В+К нВ.
(15)
Рассмотрим, как изменяются средние значения МР при смене поляризационного базиса. Воспользовавшись [2], введём полную дисперсию:
^2 = ^2 + ^2 + 2^2 = /2 + /2 + 2 /2
'ї 1 11 “-1 22 ~ ^ 12 Jl1~J22~ Z■Jl2^
А также комплексную нормированную корреляционную функцию
*
’у^ЬБ
(16)
(17)
В этом случае можно записать:
Ри = & СОБ4 Ь+ У222 БІП4 Ь + У12 ^ 2Ь + /11/2211122 СОЭ(4Х-Ї1122 )
БІЙ2 2р
+
+2Ї11І1211112СО ( 2Х ^1112 ) СОБ Ь$Л-п2Р + 2/12/22^1222 СОБ ( 2Х ^1222 ) БІП Ь$Л-п2Р,
= Їі1 ^ Ь + /22 <°4 Ь + /12 ^ 2Ь + /11/2211122 ( 4Х-ГИ22 ) -
-'2/11^/1211112 СОБ(2^-?1112 ) БІП Р^^^2^-2/2/2211222 СОБ(2Х ^1222 ) СОБ Р^^^2^,
^ = (/11 + /22) /2 соб2 2Ь- /11/22^1122 соб (4Х-Г1122) 8іп2 2Ь
2/11/1211112СОБ (2Х У1112 ) ' 0 + /12/2211222 СОБ ( 2Х ^1222 )
2
біп4Ь
2 ,
(18)
+
8
с
2
где К. - дисперсия в новом ПБ; / . = (к
2 / \
\| 7 \ і/
- дисперсия в старом ПБ; яі7 = Ьі7 еҐ
кцЬБ, аііЬБ
- соответственно модуль и фаза комплексной
нормированной корреляционной функции между соответствующими элементами.
Введем коэффициент увеличения дисперсий элемента (11)
¥2
ТҐ _ 1 11
К¥ ,2 /11
/■» 2 _р 2 2
12 и /22 к /ц:
У =
Из выражения (38) получаем:
( / У
■/12 V /11 У
(/ у
■/22 V /11 У
К
К т1п
(20)
(21)
(22)
при этом, если из (22) получится Крт1п < 1, то надо брать КР т1п = 1. Семейство прямых линий, определяемых равенством (22), приведено на рис. 1
1
К
К тах
4
1+ 4Х + Л(1 -4х) + 47
Решая получившееся уравнение относительно У, найдем:
у=(4^-1)(,ктах -¡х).
На рис.1 показано также семейство кривых, определяемых равенством (24).
(23)
(24)
■і(*
|,к) 10
*7Е«шЗ-х)
ї^тпб-31) їг(ктт1.х) * 5
Ык™>5.х) 3
їп К™.й,Х|
\
\
\
\
К. \
\
\ N
1..
\
10 11 12 13 14 15
Рис. 1. Семейство кривых, определяемых равенством (24), и семейство отрезков прямых (22) при условии X, У > 0 для дисперсий элементов 511 и 522 :
К¥тах1 4, К¥тах2 6, К¥тах3 8, К¥тах4 9, К¥тах5 10,
К
= 16, К
1, К
2, К
= 2,5, К
3, К
= 3,5, К
2
4
Таким образом, зная в исходном, например, декартовом базисе дисперсии элементов к11, к22 и к12 , можно при помощи рис. 1 оценить границы коэффициента увеличения КК .
Например, если для некоторой цели
г / у
У 22 V /іі J
= 3, а
Г / У
Jl2 V/іі J
= 2, то для нее при правильном выборе
поляризации отношение
іі
V/іі J
может стать равным не менее чем 2, но и не более, чем 8. Для
целей с соответствующими параметрами 3 и 3 эти увеличения составят 2,5 и 10. Как видно, увеличение в сильной степени зависит от корреляции между элементами матрицы рассеяния. Поступим аналогичным образом для дисперсии элемента £12. В этом случае вновь
получится семейство двух кривых линий. С одной стороны, прямые линии для минимального увеличения
(25)
(26)
У = 4 Кр - X,
с другой, - парабола для максимального увеличения
У:
^Кр -1-4Х'
где X :
( / У
У 22 V /іі J
У:
( / У
Jl2 V/іі J
Названные семейства представлены на рис.2.
Рис. 2. Семейство кривых, определяемых равенством (26), и семейство отрезков прямых (25)
при условии X,У > 0 для дисперсий элемента 512:
К
а, к
= 2, К
3, К
4, К
5, К
К = іК = 2 К = 2 5 К = 3 К = 3 5 К
АКтіпі ’ АКтіп2 ’ АКшт3 А ^ АКшт4 АКшт5 ^ ^ АКштб
б,
=4
Если производить оценку суммарной дисперсии _/12 + /Ц, то, как это следует из [1], ее максимум достигается в собственном поляризационном базисе матрицы С0. Максимальное значение искомой величины очевидно будет
— 2
(^)_ =( ¿2 + ^)_ = fО + К-). (27)
а увеличение дисперсии:
г =
(/2 )т,„ _ К (і + КК )_ і + КГ (
/іі + /22 2 (/і2 + /222 )
і + /22 + /і2
, /іі+/і
2
і2 J
і +
/к + /2
/іі /іі
2
Или в обозначениях (20) и (2і)
г=
і + КК (і + Х±1 ] = (і + Кг)
2
і + У
і +
X -1 2 (У +1)
Линии постоянных Г(1 + Кр) в осях Хи У приведены на рис.3.
і+
/2
•/!2
/ 2
іі
Рис. 3. Зависимости увеличения дисперсии С{
------- С
(і+К,), і
(28)
(29)
і, С = і,5, С = 2, С = 2,5, С = 3
О0 =( 8*8 — в*) (8 = Г іі''/і2 • •
(30)
Введем обобщение:
/+/;2 Ли/:21...2е-,’[“ +/лте-'л* 1
./12 +./!2
Как видно, матрица С0 является эрмитово сопряженной матрицей. Рассмотрим, как она преобразуется при изменении поляризационного базиса. Для этого воспользуемся формулой [1]
(Сн) = (^(Сс)^ (31)
получим:
(С0 )н = ((8*(<т*)-((8*((т*) = ((С0 )с О*. (32)
Таким образом, при смене ПБ матрица С0 подвергается преобразованию подобия. Это означает, что всегда найдется такой ПБ, где матрица примет диагональный вид [1]. Естественно, что в общем случае этот ПБ не совпадает с ПБ, где диагонализируется С0 и
8*8^ . Такой базис называется нулевым [2].
Важное место при анализе радиолокационных целей занимает проблема оценки возможных значений нормированной корреляционной функции, т.е. величин 1]ЪБ и у^ш, входящих в
равенство (17). При изменении ПБ обе эти характеристики также изменяются. Рассмотрим, какими пределами ограничены значения названных величин. Для этого, прежде всего, воспользуемся представлениями (18) и (19). Очевидно, что при любых параметрах,
2
2
определяющих базис, каждый из Fj должен быть больше нуля, поэтому равенство (19) дает следующее условие
_( fu + f22 )- 2f11f2211122COS( 2X+g1l22 )] ^ [-/1l11112 C°S (X+gl12 )-f221222 COS (X+gl222 )]"• (33)
Введем следующие обозначения:
R = М 112 R = fA 222 R = 2fnUÁ
R F 2 ' R p 2 ’ Rl2 F !
122
2F1 ^1122 2a1112 , 2Ф2 a1122 2a1222 , (34)
P2 = f11 + f22 '
В этом случае исходное неравенство (33) будет представлено в виде:
R2 + R2 ( R2 cos2F1 + R cos2F2 - 2RR cos(F1 +Ф2 ))+( R + R ) -2RR cos(F1 -Ф2 ) -1< 0. (35)
Соотношение (35) накладывает ограничения на возможные значения нормированной корреляционной функции.
Неравенство (35) можно преобразовать к виду:
R122 + R12 (X2 - Y2 ) + (X2 + Y2 -1) < 0, (36)
где X = R1 cos Ф1 - R2 cos Ф 2, Y = R1 sin Ф1 - R2 sin Ф2.
Найдем корни трехчлена:
-( X2 - Y2 )±л/( X2 - Y2 )2 + 4 ( X2 + Y2 -1)
R12 = ----------------------------------------------------------------------—-^- --. (37)
Условие неотрицательности дает следующее неравенство:
X2 + Y2 < 1. (38)
На рис.4. показана зона допустимых значений величин Х и Y. Если X = X0, то значение Y
заключено в пределах 0 < Y 1 - X0.
XyÔ і Y
y \ x
X0 J '
Рис. 4. Зона допустимых значений величин X и У Неравенство (36) можно представить в виде:
cos (Fj-Ф2 ) = R R 1. (39)
V 1 21 2R1R2
При (R1 + R2 )< 1 никаких ограничений на разность фаз (Ф1 -Ф2) не накладывается. Условие cos (Ф1 -Ф 2 )> 1, то есть
R12 + R -1 > 2R1R2 (40)
выполнить невозможно ни при каких R1 и R2.
На рис.5 приведены кривые
R2 + R2 -1 ^ ^
—-------2---= const = C.
2RR
(41)
Таким образом, зная R1 и R2, при помощи графиков можно найти параметр C и оценить величину разности фаз
cos (qim -qU22 )> C • (42)
В частности, при R1 = R2 = 1 имеем cos (Ф1 - Ф2) > 0,5.
Рис. 5. Зависимости R2(R1, C) при различных константах C1 = 1, C2 = 2
Для определения предельных значений величины Я12 представим неравенство (36) в виде:
Y2
1 - R12 1 + R12
< 1.
(43)
На рис.6 представлено семейство элементов (43) при различных Я12, при помощи которых по известным Х и У можно определять предельные значения обобщенно-нормированной корреляционной функции Я12.
Наличие связи между дисперсией и средним значением случайных величин, распределенных по однопараметрическим законам (экспоненциальный, Релея, Райса и т.д.), позволяет установить ряд ограничений на нормированные корреляционные функции элементов матрицы рассеяния в различных поляризационных базисах.
Рис. 6. Семейство элементов (43) при различных значениях R12
В работе [1] показано, что всегда существует такой поляризационный базис, где все atj (фаза произведения ^S^ ) одновременно обращаются в нуль. Это означает, что в этом ПБ
11122 = 11112 = Л222 = 1 У1122 = g112 = g1222 = 0
Таким образом, для однопараметрических законов распределения всегда существует такой ПБ, в котором выполняются равенства (44).
1.Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.
2.Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. Поляризационная структура радиолокационных сигналов. М.: Радиотехника, 2005.
3.Козлов А.И. Некоторые свойства статистических параметров элементов матрицы рассеяния радиолокационных целей. // Радиоэлектроника, Т. XXII, №1, 1979.
ANALYSIS OF POLARIZATION CHARACTERISTICS OF FLUCTUATING RADAR TARGETS
Kozlov A.I., Epifantseva D.A.
In paper there is carried out the analysis of interrelation between radar characteristics of fluctuating radar targets from polarization of radiated wave using the statistical scattering matrix. The problem of transformation of multivariate probability density functions of scattering matrix elements is solved and their invariance at polarization basis change is shown.
Сведения об авторах
Козлов Анатолий Иванович, 1939 г.р., окончил МФТИ (1962), Заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Российской академии транспорта и Международной академии информатизации, профессор, доктор физико-математических наук, проректор по научной работе МГТУ ГА, заведующий кафедрой авиационных радиоэлектронных систем МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область научных интересов - радиофизика, радиолокация, радиополяриметрия, дистанционное зондирование окружающей среды.
Епифанцева Дарья Александровна, окончила МГТУ ГА (2004), аспирантка МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация средств РТОП и ЭС, радиолокация.
(44)
