Статистическое моделирование радиолокационных целей Текст научной статьи по специальности «Физика»

НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника

УДК 621.396

Статистическое моделирование радиолокационных целей

А.И. КОЗЛОВ, Д.А. ЕПИФАНЦЕВА

В статье рассматриваются статистические характеристики флюктуирующих радиолокационных целей. Определены законы распределения инвариантов матрицы рассеяния таких целей.

Наиболее полной характеристикой радиолокационных целей является многомерная плотность распределения вероятностей элементов матрицы рассеяния. Более того, это утверждение относится и к случаю стационарных и стационарно связанных случайных процессов. При этом останутся в силе и все свойства корреляционной и ковариационных матриц. Покажем это вкратце.

Пусть вектору рассеяния вида ЦХ, t2) ° и соответствует ансамбль статистических характеристик, достаточный для описания его свойств в рамках корреляционной теории при условии стационарности и стационарной связности компонент вектора. Введем вместо двух

моментов времени t1 и t2 текущее время 1 и временной сдвиг г. Обозначим через W (и, г) -

плотность распределения вероятностей, через ио - вектор математического ожидания, а через

К (т) - корреляционную матрицу.

Из работ [1- 4, 34] вытекает, что при изменении поляризационного

базиса ион (t) = Виос ^). С учетом этого при переходе к новому базису корреляционная

матрица подвергается преобразованию подобия при помощи унитарной матрицы В (свойство инвариантности), определяемой равенством.

В

_21£

СОБ2 р

¿(8+т) БШ2Ь 1(£+т) БШ2Ь

_21т

2

-е

1(з-т) ып2р

2

-е

1(я-т) вт2Ь

соб2 р - Бт2 р

2

- Бт2 р е

Бт2 р

соб2 р

1(т-3) Б1п2р 2

1(т-*) Бт2р

-е

-е

1(е+т) Б1п2р 2

-2\5

СОБ2 р

(1)

относительно смены

а1(5+т) ып2р 2

Аналогично можно доказать и инвариантность W (и, г)

поляризационного базиса, а поэтому, если в каком-то базисе многомерный закон Г ауссов, то он им останется в любом другом базисе. Это же относится и к одномерным законам распределения вероятностей.

При решении ряда задач знание только вектора математического ожидания процесса и его матрицы вторых начальных моментов Ми (t1, t2) статистически связывающих элементы

матрицы 8 ^) в различные моменты времени ^, t2, недостаточно. В связи с этим возникает необходимость в получении явного вида функции распределения вероятностей матрицы рассеяния в два или в несколько моментов времени W(и,^,t2,...,tn). В общем случае эта

функция описывает свойства вектора рассеяния и (t) (4 х п) -мерном комплексном

пространстве. В рамках корреляционной теории оказывается достаточным изучение функции

2

распределения вероятностей статистической матрицы рассеяния в два фиксированных момента времени W(и, t2). При таком ограничении свойства матрицы описываются совместной

восьмимерной функцией распределения вероятностей компонент вектора и (^, t2). В общем случае прогнозировать характер этой функции распределения вероятностей элементов матрицы 8 (t) не представляется возможным; в тоже время плотность распределения W (и, ^, t2) можно

установить, основываясь на некоторых общих физических соображениях.

Широкое распространение получила модель флюктуирующего объекта в виде системы независимых отражателей: в разрешающем объеме радиолокационной системы находится цель, состоящая из большого числа отражателей с малыми и близкими по величине значениями эффективных площадей рассеяния. Если положить, что случайный характер изменений элементов матрицы рассеяния такой цели обусловлен блужданием отражателей относительно центра масс и друг относительно друга, а также перемещением цели относительно РЛС, то естественно считать, что аргументы элементов матрицы рассеяния 8/ (t) (г, j = 1,2) будут

распределены в интервале [0, 2р]. Тогда, при допущении, что характер перемещения

элементарных отражателей в процессе наблюдения остается неизменным и отражающие свойства элемента цели с доминирующей ЭПР также постоянны на интервале наблюдения, можно считать, что флуктуации цели стационарны, а элементы ее матрицы рассеяния суть стационарные и стационарно связанные случайные функции времени.

Выражение

w (8 ) = ( 2р)-2 (ёй к )"2 ехр {-2 (8-(8))+ к (8-(8))}, (2)

свидетельствует о том, что все двумерные законы W (sij,т) будут представлять собой законы

Г аусса, в которых в качестве переменных будут фигурировать действительные и мнимые части элементов sij. Равномерность функции распределения вероятностей аргументов sij с

необходимостью дает как статистическую независимость между собой Яе s ij, 1т Э/, так и

равенство их дисперсий. Элементарно можно показать, что распределение модулей элементов матрицы рассеяния в рамках рассматриваемой модели в общем случае будет подчиняться закону Райса:

£

W (| £/| ) = ^ехР

2

а + к

2 а

V

2

а2

(3)

где а2 - дисперсия случайной величины Яе ; а - среднее значение Яе , при этом среднее

значение 1т равно нулю.

При отсутствии элементов, дающих устойчивое отражение, а = 0, закон Райса переходит в закон Релея:

( \ |2 Л

(4)

£

W (I к/ 1) = 02еХР

к\

2а2

Представление радиолокационной цели в виде системы независимых отражателей, хотя и является, судя по многочисленным литературным источникам, одной из наиболее распространенных моделей, однако далеко не всегда может охватить все возможные типы радиолокационных объектов. Здесь можно привести в качестве примера классификацию Сверлинга, рассматривающую четыре типа флуктуирующих целей. Четвертый случай этой

классификации соответствует модели такой цели, которую можно свести к одному большому и нескольким малым отражателям или к одному большому отражателю, который практически не подвергается изменениям в ориентации, а если эти изменения и существуют, то они достаточно малы [8].

Причин такого положения вещей, на наш взгляд, много. Главными из них являются исключительная сложность, связанная с решением соответствующих дифракционных задач, крайняя бедность имеющихся экспериментальных данных по одновременному измерению всей матрицы и рассеяния, и, наконец, отсутствие каких-либо единых принципов одновременного моделирования статистических законов, описывающих изменение всех элементов матрицы рассеяния. Последнее связано с отсутствием аналитических соотношений, связывающих между собой эти элементы.

Принципиально новый путь в построении статистических зависимостей мы видим в возможностях, которые открывают формулы [4]:

sne-2'x = e2'de2'0 (ue-2'0 cos2 b + u2e2'0 sin2 b) ,

s12e-2'x = (-u1e-2'q + u2e2'0) sinbcosb , (5)

„ ~-2'X -2'd -2'0 {.. Л-2'е • 2a. ^ 2'9 „2 o\

s22e - e e (U1e sin b + u2e cos b) .

и

s22 = 0,25sS (l -V1 -e2 cos4q)sin2 2b,

s2 = 0,5sS (1 + e cos 2b) - sf2, (6)

&12 = 0,5sS (1 - e cos 2b) - s122.

Их достоинство состоит, прежде всего, в том, что все Sj описываются через одни и те же параметры u1, u2, e, d, b, 0, имеющие достаточно простую геометрическую интерпретацию. Сказанное открывает следующий принцип построения статистических моделей радиолокационных целей: задавая те или иные законы распределения названных величин, определять соответствующие законы для S j . Однако возможность прямых вычислений здесь

наталкивается на столь серьезные трудности, что "лобовой" метод вряд ли может быть применим. Перспективнее представляется несколько иной подход, когда находится будут первые несколько моментов, например, четыре, случайных stj и по ним подбираться

соответствующая функция распределения вероятностей. Именно этот путь и использован ниже для построения соответствующих статистических моделей.

Анализу подвергались следующие величины.

1) Действительные и мнимые части элементов матрицы рассеяния (stj - комплексные величины)

Re s11 = u cos2 b cos 2d + u2 sin2 b cos (40 + 2d)

Im s11 = u cos2 b sin 2d + u2 sin2 bsin (40 + 2d)

Re s12 = (u2 -u1) cos 20 sin bcos b (7)

Im s12 = (u2 + u) sin 20 sin b cos b

Re s22 = v2 cos2 b cos 2d + u sin2 b cos (20 + 2d)

Im s22 = -u2 cos2 bsin2d-u1 sin2 bsin (20 + 2d)

2) Фазы элементов матрицы рассеяния:

Xj = arctg (Im sj/Re sj) (8)

Х22 Х11; Х11 + Х 22 2х12;

3) Комбинации фаз:

4) Модули элементов матрицы рассеяния и их квадраты:

5) Полная ЭПР цели:

6) Инварианты матрицы рассеяния:

а) определитель

б) степень анизотропности

СТ«-

е =

ЬЬ;

ь -ь

2 2 Ь2 + Ь2

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

В общем случае флуктуирующей цели ц, и2, ¡, в и £ являются случайными величинами.

Можно выделить два подхода к выбору соответствующей статистической модели. Первый представляет собой физико-статистический подход, предполагая выбор предельного распределения случайной величины на основе определенных физических предпосылок, при этом обычно выбирается некоторая базовая величина, распределение которой известно и функциональная зависимость которой с исследуемой величиной также известна. Второй метод заключается в выборе некоторого аппроксимирующего распределения, которое обычно подбирается или из семейства кривых Джонсона, или из семейства распределений Пирсона.

В связи с тем, что, исходя из физических соображений и руководствуясь результатами работ [1-3, 9, 10] можно задать плотность распределения вероятностей параметров

ц, и2, ¡, в и 8, при моделировании может быть использован комбинированный метод.

Дня каждой из перечисленных исследуемых величин генерируется массив из 5 тысяч точек и проверяется на соответствие тому или другому закону распределения.

В качестве аппроксимирующего выбирается семейство кривых Пирсона, так как нормальное, гамма-, бета-, %2 - распределения, распределение Стьюдента и т.п.,

соответствующие определенным физическим моделям, являются частными случаями этого семейства.

В общем случае система кривых Пирсона задается дифференциальным уравнением

ё/ (х) (х - а) / (х)

Ь0 + Ъ1х + Ь2 х

(14)

Решение этого уравнения при различных значениях параметров дает 12 типов кривых. Все семейство характеризуется следующими общими свойствами [7, 11].

Во-первых, возможностью определения параметров через три центральных момента:

а =

-у (у4 + 3//2) = -У^Я(«2 + 3)

А А1

У2 (4УУ - 3Уз2) _ -у (4« - 3«!)

Ъ1 = а

Ъ2 =

-(-3У2 -6У3) = -(2« -3а, -6)

Ъ

0

2 4

hh hh

где A = 10h4h2 - 18h2 - 12h32, A1 = 10a2 -18 - 12a, a a1 = —3, a2 = — являются предложенными

h2 h2

Пирсоном для характеристики асимметрии и эксцесса параметрами, в плоскости которых строится диаграмма распределений.

Во-вторых, для всего семейства мера асимметрии распределения, предложенная Пирсоном как

среднее - мода

sk =—------------- (16)

s

имеет вид

= fa3) '

2 (5a2 - 6a - 9)

Это выражение может быть выбрано для определения меры асимметрии любого распределения, у которого существуют все моменты до четвертого включительно.

В-третьих, при а = 0 имеем:

d xf (x> 2 f(x) b-biX2) (18)

dx dxb0 + bx x + b2 x (b0 + b1 x + b2 x2 )V '

Поэтому точки перегиба графика плотности распределения вероятностей определяются соотношением:

xJ = ^ (19)

2

и, следовательно, распределения из семейства кривых Пирсона имеют не больше двух точек перегиба, причем, если их две, то они расположены на одинаковом расстоянии от моды.

В работах [7, 11] показано, что решение дифференциального уравнения (18), которое можно представить в виде:

f (х )= y exp (f( х)), (20)

где f (х) = f------Х----- dx, х = x - а определяется корнями уравнения

J b0 + bjX + b2x

b0 + bjX + b2 x2 = 0 (21)

и поэтому, в качестве критерия, определяющего тип соответствующего распределения из семейства кривых Пирсона, выбирается величина

b,2 a (a + з)2 „ ч

£? = ^^ = ^----------1V J------------г. (22)

4b0b2 4(2a2 -3a -6)(4a2 -3a)

В соответствии с этим критерием в качестве основных выделим следующие типы распределений (табл. 1).

Границы, соответствующие этим типам распределений, представлены на диаграмме в координатах a и a2 (рис. 1), где также отмечена и критическая область, которой, как доказано

в работе [11], не может соответствовать ни одно из распределений, в том числе и распределений семейства Пирсона, т.к. всегда выполняется условие

a ^a +1. (23)

При аппроксимации первым этапом при помощи кривых Пирсона, вычислялись оценки первых четырех моментов полученных статистических распределений по следующим формулам:

1 n in

X=nZx ,sx2 = n-гКх,-<x>)\

1nn= n 1 *=\ n „ (24)

h =-Z(хЧХ) Л =-Z(x-<x).

n i=1 n ,.=!

Таблица 1

Классификация распределений Пирсона

Тип распределения Значение критерия

I - бэта-распределение II, III, IX, XII - частные случаи Р< 0

III - гамма-распределение Х - частный случай (экспоненциальное распределение) Р = ±¥

IV - распределение, расположенное на диаграмме ниже кривой логнормального распределения 1- частный случай (распределение Стьюдента) 0 <р< 1

VII - предельный для ЬГУ - нормальное распределение —

V - логарифмическое нормальное распределение, граница между IV и VI распределениями Р=1

VI - бэта-распределение II рода XI - частный случай Р> 1

Как известно, формулы (24) дают состоятельные, эффективные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

В работе [6] доказано, что для третьего и четвертого центральных моментов несмещенными являются следующие оценки:

€ =

п

О

€ =-

п

1)(п —2 )€

(п2 -2п + 3)

€4 -

3п (2п - 3)

(25)

(п -1)( п - 2)( п - 3) (п - 1)(п - 2)( п - 3)

При больших объемах выборки, например при п = 5000, разница между значениями, получаемыми по формулам (24) и (25), незначительна. Действительно, при п = 5000: $ = 1,0006$, а € = 1,0008$ - 0,0012$.

На следующем этапе статистического анализа проводят вычисление оценок параметров а1 и а2, характеризующих асимметрию и эксцесс, по следующим формулам:

\-3

(26)

« = $ ($2 )"

« =€(£)-2 >

а затем осуществляют проверку выполнения неравенства (23)

Поэтапное определение параметров распределения через величины « и а2 сопровождается

одновременной проверкой условий, при которых справедливы те или иные соотношения для типов распределений из семейства кривых Пирсона, а затем вычисляется значение критерия р. В зависимости от значений того или иного из вычисленных по формуле (15) параметров или в зависимости от значения критерия определялся возможный тип распределения.

Для остальных исследуемых величин при различных параметрах исходного двумерного нормального закона получаем не отдельные соответствующие типы распределений из семейства кривых, а определенные области соответствующих типов кривых с неравномерным расположением зон возможных распределений по всей области. Для модулей диагональных элементов матрицы рассеяния |5П| и |,у22| эти области совпадают и простираются от гамма-распределений и выше до и -образного бэта-распределения включительно. Области распределений величин |5П| и |,у22| приведены на рис.2(б). Для степени анизотропности область

возможных типов распределений распространяется от критической области до гамма-распределения (рис.2, а). Здесь наблюдается неравномерность расположения зон возможных распределений по всей области. Так при небольших значениях «(< 0,5) распределение е

концентрируется около нормального распределения, распределения Рэлея и, в равной степени, всех возможных типов бета-распределения 1-го рода. С ростом значений параметра «

наиболее вероятным для степени анизотропности является ХП тип распределения Пирсона, являющийся частным случаем бета-распределения 1-го рода. Для полной ЭПР цели результат является наиболее определенным I - образное бета-распределение, которому величина соответствует практически при любых из возможных значениях изменяемых параметров.

Если расписать выражение для действительных и мнимых частей элементов ^, то прямые вычисления покажут, что в предположении о независимости между собой всех случайных величин и, и2, Ь, в, равномерного закона распределения вероятностей для Х01, Х02, в, Ь и закона Релея для и1 и и2 , независимо от поляризационного базиса Яе sIJ и 1т 5^ будут иметь гауссовский закон распределения вероятностей.

Рис.2. Область возможных типов распределений: а) е, б)|5п|, |,у12| — зоны большей вероятности типов

распределений

Названная статистическая независимость, как это следует из прямых вычислений, приведет к независимости sn, s12, s22. Таким образом, для рассеивателей, моделируемых системой независимых отражателей, будет иметь место равенство:

(S1l4 ) = (S11S1*2 ) = ( S12 4 ) = °. (27)

К такому же результату приведет и отмена ограничения на статистическую независимость случайных величин u1 и и2.

Сказанное позволяет описывать исследуемый класс рассеивателей на основе следующей многомерной функции распределения вероятностей:

w (4,u,b,q,#°1,&) = w (uu ) w (p)w (q)w (x°1 )w (X°2 ) =

4uu

exp

1

u

и U2 ° U2

(28)

1 - K2 ff ),

соответственно; K -

(2р) (1 - к2) у

р 2 р 2 __ I

где у , J2 дисперсии случайных величин и1 ° \ь1

нормированная корреляционная функция.

Выражение (28) дает возможность найти плотность распределения вероятностей полной

эпр цели <г?2 = и2+и2.

Громоздкие вычисления приводят к следующему результату:

w (s2 )

Sh y+j ) exp (-(1 - K2 )-1 ( K-2 + K-2 )s )

2+j

(29)

(1 - к2 )Л2Л2 ’

где г = (1 - к2 )_’ (у,:1 - тт2), 9 = к ((1 - к2)/Л )-1

При равенстве дисперсий Т1 = /2 = / и в отсутствии корреляции (к = 0) формула (29) преобразуется к виду:

w (s2 )=ÿ1

4ЄХР

f 2

(3°)

Соответствующие плотности распределения вероятностей приведены на рис. 3 . Из равенства (30) элементарно находятся среднее значение и дисперсия полной ЭПР:

Рис.3. Плотность распределения вероятностей полной ЭПР цели: ^(а.) при /2 = 1, W2 (о.) при /2 = 2,

Wз (а.) при /2 = 3, W4 (а.) при /2 = 4

Большой практический интерес представляет плотность распределения вероятности степени анизотропии объектов, моделируемых системой независимых отражателей. Если

воспользоваться определением е = |и2 - и | / и правилами преобразования законов

распределения, можно показать, что в этом случае:

Ж (є) = 20(1 - К2)

(1 + 0)-є(1 -0)

+-

((1 + 0)-є(1 -0)) -40К2(1 -є2) (1 + 0) + є(1 -0)

1.5

+

(32)

((1 + 0) + е(1 -0)) -40К2(1 -е2)

где 0 = У17 /22 - степень асимметрии цели.

В частном случае поляризационно-изотропного рассеивателя (0 = 1) среднее значение степени анизотропии будет определяться равенством:

V! - К

К2

(1 -V1 - к 2)

а дисперсия

є

2 1 - К2

є) = -

К2

1 , 1 + К

------1п-----------

2К 1 - К

-(1 -V1 - к 2)

(33)

(34)

2

1

Соответствующие кривые распределений приведены на рис. 4.

2.5 -----------------------------------

IV !<£>

Рис. 4. Плотность распределения вероятностей степени анизотропии при различных значениях нормированной корреляционной функции: Ж1 (е) при К = 0, Ш2 (е) при К = 0,25 , W3 (е) при К = 0,5, (е) при К = 0,7 , (е)

при К = 0,9

ЛИТЕРАТУРА

1.Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

2.Поликарпов С.Н. Метод статистических измерений абсолютной матрицы рассеяния радиолокационных целей. // Радиотехника, № 5, 1984.

3.Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. Поляризационная структура радиолокационных сигналов. М.: Радиотехника, 2005.

4.Козлов А.И. Некоторые свойства статистических параметров элементов матрицы рассеяния радиолокационных целей. // Радиоэлектроника, Т. ХХІІ, № 1, 1979.

5.Поздняк С.И., Мелитицкий В.А. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. М.: Сов. радио, 1974.

6.Справочник по радиолокации; Под ред. М. Сколника. М.: Сов. радио, 1976.

7.Лобач В.Т., Афанасьев Ю.К. Вероятностные характеристики поляризационных параметров радиосигнала. // Вопросы формирования и обработки сигналов в радиотехнических системах, № 5. Таганрог, 1981.

A.I. Kozlov, D.A. Epifantseva Statistical modeling of radar targets

В статье рассматриваются статистические характеристики флюктуирующих радиолокационных целей. Определены законы распределения инвариантов матрицы рассеяния таких целей.

In paper the statistical characteristics of fluctuating radar targets are considered. There are determined the statistical distributions of scattering matrix invariants of such targets.

Сведения об авторах

Козлов Анатолий Иванович, 1939 г.р., окончил МФТИ (1962), Заслуженный деятель науки и техники РФ, академик Российской академии транспорта и Международной академии информатизации, профессор, доктор физико-математических наук, проректор по научной работе МГТУ ГА, заведующий кафедрой авиационных радиоэлектронных систем МГТУ ГА, автор более 300 научных работ, область научных интересов - радиофизика, радиолокация, радиополяриметрия, дистанционное зондирование окружающей среды.

Епифанцева Дарья Александровна, окончила МГТУ ГА (2004), аспирантка кафедры авиационных радиоэлектронных систем МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация средств РТОП и ЭС, радиолокация.