Анализ подходов к моделированию термодинамических процессов в газах при высоких давлениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.517+532.542

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2

Н. Н. Ермолаева, Г. И. Курбатова

АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ГАЗАХ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ

1. Введение. Технико-экономическое обоснование проектируемых газопроводов, оценка состояния эксплуатируемых газопроводов, разработка компьютерных тренажеров и целый ряд других задач требуют создания адекватных математических моделей транспортировки газа по трубопроводам. Особенностью современных морских газопроводов является их значительная протяженность без промежуточных подстанций и вызванная этим необходимость сверхвысоких давлений (примерно 25 МПа) на входе. При таких давлениях газ существенно неидеальный, что осложняет моделирование термодинамических процессов. От точности термодинамического описания во многом зависит адекватность математической модели. При таких давлениях возникает также вопрос о необходимости учета зависимостей коэффициентов теплоемкости, вязкости, гидравлического сопротивления от термодинамических величин.

2. Цель исследования. Целями настоящей работы являются анализ моделирования термодинамических процессов в газовых потоках и сравнение различных математических моделей транспортировки газа. В частности, показано, как упрощения математической модели могут приводить к качественно неверным выводам о поведении термодинамических характеристик потока. Исследования по созданию адекватных математических моделей морских газопроводов проводятся в Санкт-Петербургском государственном университете с середины 90-х годов ХХ в. Их результаты частично вошли в книгу «Модели морских газопроводов» [1]. Предложенная квазиодномерная модель установившегося неизотермического течения неидеальной многокомпонентной смеси газов по морским газопроводам сверхвысокого давления позволяет учесть профиль скорости, рельеф дна, конструкцию стенок, возможность оледенения. Она хорошо зарекомендовала себя при расчетах транспортировки газа от Штокмановского газо-конденсатного месторождения и при обосновании реализуемости Северо-Европейского газопровода. В работе [2] для больших чисел Рейнольдса (Re > 106) доказана допустимость перехода от квазиодномерной модели, содержащей учет профиля скорости, к одномерной модели течения. В [3] предложено обобщение модели на нестационарные процессы и приведено решение известной задачи о выходе газопровода на новый режим работы при изменении отбора газа. Огромное количество отечественных и зарубежных статей посвящено моделированию транспортировки газа по магистральным газопроводам. Краткий обзор содержится, например, в книгах [1, 4]. Большой вклад в решение этих задач внесли И. А. Чарный, С. К. Годунов, О. Ф. Васильев, А. Ф. Воеводин, Э. А. Бондарев, М. А. Каниболотский и многие другие ученые. Одна из достаточно общих математических моделей и алгоритмы ее численного решения были предложены в монографии О. Ф. Васильева, Э. А. Бондарева, А. В. Воеводина и М. А. Каниболотского [5], вышедшей в 1978 г. (Далее в статье эта модель названа

Ермолаева Надежда Николаевна — кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: blohinadja@yandex.ru.

Курбатова Галина Ибрагимовна — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: gi_kurb@mail.ru.

© Н. Н. Ермолаева, Г. И. Курбатова, 2013

моделью ВБВК.) Модель ВБВК используется во многих современных работах, например [6-8].

3. Общая модель. Предложенная в работах [1, 3] математическая модель отличается от модели ВБВК описанием термодинамических процессов. Уравнения неразрывности, движения и полной энергии с точностью до обозначений записываются одинаково и имеют следующий вид: уравнение неразрывности

др д .

уравнение движения

д(ри) д . 9ч , ulul

dt +1ъ(-Р + Р''") = -■+pg cos a(z), (2)

уравнение полной энергии

^ + Tz№ + l))=Ww<r-T)+pug cos «(*), (3)

связь полной, внутренней энергий и энтальпии

e = £ + и2/2, i = £ + р/р. (4)

Система уравнений (1)—(4) дополняется уравнением состояния

Р = Р(Р,Т) ()

и калорическим уравнением либо для энтальпии

i = i(P,T), (6)

либо для внутренней энергии

£ = £(P,T). (7)

Приняты следующие обозначения: и, р, р, T - скорость, плотность, давление и температура газовой смеси соответственно, являющиеся функциями времени t и координаты z, направленной вдоль оси газопровода; £, e, i - массовые плотности внутренней, полной энергий и энтальпии, которые также есть функции (t,z); R - внутренний радиус газопровода; W - функция, явно выражающаяся через коэффициенты внутреннего и внешнего теплообмена, толщины слоев обшивки газопровода, коэффициенты теплопроводности этих слоев и включающая в случае необходимости учет оледенения морского газопровода (ее вид приведен в книге [1]); g - ускорение силы тяжести; a(z) - угол между направлением силы тяжести и осью газопровода; Л - коэффициент гидравлического сопротивления, который выражается через число Рейнольдса Re и коэффициент относительной шероховатости к (Л = Л^е, к)), например, по эмпирическому уравнению Коулбрука-Уайта [1]; T* - температура окружающей среды.

Модель (1)-(7) теоретически эквивалентна модели, в которой вместо уравнения полной энергии (3) используется уравнение баланса внутренней энергии

d'e du 2 Хри2 \и\

p^+pd-z = mv{T ~Т) + ——• (8)

d' д д

(Здесь и далее — = — + и—--оператор материальной производной.)

Уравнение (8) выводится из уравнения полной энергии, уравнения движения и соотношений (4) с помощью известной процедуры [9]. В вычислительном плане модель с уравнением полной энергии предпочтительнее, так как допускает построение консервативных разностных схем.

4. Моделирование термодинамических процессов. Существуют два подхода к моделированию термодинамических процессов в газовом потоке.

В первом подходе в качестве независимых термодинамических переменных выбираются давление р и температура Т; уравнение состояния (5) записывается таким образом:

рУ = ^ (р, Т )ЕдТ (9)

(^(р, Т) - коэффициент сжимаемости, У - удельный объем), калорическое уравнение -в терминах энтальпии г(р, Т) и имеет вид [5]

т р

г(р, Т ) = У ср ^Т +

То ро

УТ

(10)

Здесь Нд - газовая постоянная, значение которой зависит от состава газовой смеси и равно Нд = Но/М, Но - универсальная газовая постоянная, М - молекулярный вес смеси; зависимость коэффициента удельной теплоемкости ср при постоянном давлении от температуры считается известной.

По найденному виду зависимости коэффициента сжимаемости Z(р,Ь) от давления и температуры может быть вычислена правая часть (10), что позволяет записать явное выражение для энтальпии г(р,Т). Многочисленные работы, использующие этот подход к моделированию термодинамических процессов, отличаются записью вида зависимости Z(р,Ь). В разных диапазонах изменения р и Т, как правило, используются различные зависимости коэффициента сжимаемости Z(р, ¿) (см., например, работы [5, 10, 11]).

В первом подходе уравнение баланса внутренней энергии (8) в терминах температуры преобразуется к виду

¿'Т т(дУ\ ¿'р 2

(Т* - Т) +

Хри2 |и| 4Д '

(11)

Вывод уравнения (11) из уравнения (8) основан на следующих равенствах:

д!е "ей"

ей

1--=

дг_ дТ

¿'Т "ей

+

<н

др

д!р "ей"

ей

(12)

др)т У Т ей

дУ дТ

1

Р

дг_\

ЭТ)Р

1 ди

р дх

(13)

(14)

Соотношение (12) следует из равенств (4), (6) и аддитивности материальной производной, соотношения (13) - известные термодинамические равенства [12], соотношение (14) вытекает из определения материальной производной и уравнения неразрывности (1).

Р

р

с

р

р

Уравнения (1), (2), (9), (11) представляют собой замкнутую систему уравнений относительно неизвестных функций р, и, р, Т, которая, будучи дополнена начальными и граничными условиями, позволяет рассчитать все характеристики газового потока.

Во втором подходе к описанию термодинамических процессов в качестве независимых термодинамических переменных выбираются плотность р и температура Т. Уравнение состояния записывается в виде аналитического уравнения, являющегося одним из обобщений уравнения Ван-дер-Ваальса. Предложено огромное количество подобных уравнений, наиболее известны из них уравнения состояния Редлиха-Квонга, Сааве, Пенга-Робинсона, Бенедикта-Уэбба-Рубина [7, 11, 13]. В работах [1, 3], а также, например, в [4, 7] используется двухпараметрическое уравнение состояния Редлиха-Квонга, признанное одним из наиболее точных в широком диапазоне изменений р, р и Т вплоть до сверхвысоких давлений. Для смеси газов оно записывается следующим образом [13]:

ЬрТ___СР2

р 1 (1 + гр)т1/2'

п п

Н = Е0/М, М = щши, ^Пк = 1, 1 1

6 = ПьЕ0Тс/Мрс, с = Па(Е0)2Т2'5/М 2рс,

где тк, Пк - молекулярный вес и доля к-й составляющей смеси газа из п компонент; Па, Пь - известные константы; рс, Тс - критические давление и температура смеси газа заданного химического состава. Величины рс и Тс находятся по таблицам [13].

Калорическое уравнение во втором подходе записывается в терминах внутренней энергии е(Т, V). Уравнение баланса внутренней энергии (8) преобразуется к виду

в!Т т(др\ ди 2 ^ , Ари2 Н

Вывод (16) из уравнения (8) основан на равенствах

д'е ( де \ ¿'Т ( де \ ¿' V

Л \дТ) у Л + \дУ )т Л

(!'V _ 1 ди сИ р дх'

в которых су - удельный коэффициент теплоемкости при постоянном объеме, для неидеальной смеси газов су является функцией р и Т. Вывод первого из равенств (17) приведен, например, в книге [1]. Для уравнения состояния Редлиха-Квонга (15) произ-др

ЭТЛ НР +-, ^ ,/9- (18)

водная -— равна

дТ у

дТ) у 1 - 6р 2(1 + 6р)Т3/2'

Уравнения (1), (2), (15), (16) представляют собой замкнутую систему уравнений относительно неизвестных функций р, и, р, Т.

Покажем, что тепловые уравнения (11) и (16) эквивалентны для любого уравнения состояния. Докажем равенство

ЛТ_т(дУ\ ¿!р = ЛТ,т(др\ ди

рСр1Г -т{дт)ррИ = рсу^Г + т{дт)уТг- (19)

Воспользуемся известными термодинамическими соотношениями [12]

др \ ( дУ \

дУ\ _ {др\ (дУ дт)р~~\дт)у\д^

(20)

учтем равенство (14) и преобразуем правую часть (19). Для облегчения записи введем обозначение

Ж-

Равенства (20) и (14) позволяют преобразовать правую часть (19) следующим образом:

¿'Т ди ¿'Т ¿'V

_г+Та- = Р(ср-ТаЬ)—+ТаР—

(22)

¿'Т ( ¿'Т а ¿'У\

= рс^~рТЬ

Для любого уравнения состояния У = У (р, Т) справедливо равенство

д!У _ (дУ\ (1'р (дУ\ д!Т

которое, с учетом (20) в обозначениях (21), преобразуется к виду

д!У _ Ъ (1'р д!Т Л а (И Л

и позволяет записать последнее равенство в (22) так:

(¿'Т ^ ( ¿'Т а ¿'У \ ¿'Т ^Л'р

рСр^Г-рТЬ{а^Г-ъ^Г)= рСр^Г ~ рТЬ

что доказывает равенство (19).

Таким образом, доказана эквивалентность тепловых уравнений (11) и (16), что свидетельствует о теоретической эквивалентности двух подходов к моделированию термодинамических процессов в газовом потоке. Выбор того или иного подхода связан с выбором уравнения состояния. Если используется уравнение состояния (9) с коэффициентом сжимаемости Z, то удельный объем У явно выражается через р и Т, это

позволяет легко найти производную ( ] и делает целесообразным первый подход.

\дТ) р

Если используется аналитическое уравнение состояния, то давление явно выражает-

( др\

ся через V (V = 1/р) и Т, это позволяет легко найти производную ( ) и делает

целесообразным второй подход.

Если уравнения состояния одинаково хорошо описывают связь р, р и Т, то оба подхода эквивалентны. Однако подобрать вид зависимости Z(р,Т), одинаково точно описывающий поведение коэффициента сжимаемости Z в широком диапазоне изменений р и Т, сложно. Поэтому предпочтительнее использование более точных аналитических уравнений состояния и соответственно второго подхода к моделированию термодинамических процессов, особенно в области сверхвысоких давлений.

5. Расчет зависимостей е и ву от р и Т. Найдем в рамках второго подхода явные выражения для зависимостей внутренней энергии и коэффициента теплоемкости при постоянном объеме от плотности и температуры. Представим внутреннюю энергию как функцию термодинамических переменных (Т, V) и запишем дифференциал ¿е в виде

& = 6У.

Как отмечалось выше, имеет место равенство (17), которое совпадает с известным уравнением Гельмгольца

=Т2 (— дУ )т \дТ\Т

(23)

Проинтегрируем уравнение (23):

е(ТV )= е(Т,П)

у

Уо

Т21 — (Р

дТ \т

¿V.

(24)

Устремим объем V) к бесконечности, при этом внутренняя энергия е(Т, V}) будет стремиться к внутренней энергии ео(Т) газа того же химического состава, но в состоянии идеального газа [14]:

при Vо е(Т, V)) ^ ео(Т).

Вычислим интеграл в правой части (24) для уравнения состояния Редлиха-Квонга. Легко проверить, что выполняется равенство

Т 2

д / р_

дТ \Т

3

у 2 V(V + 6)Т1/2 при котором величина интеграла с учетом равенства (18) равна выражению

у

( д

\дТ \Т

м=ъ- с

¿V

3

2 Т1/2 У V(V + 6) 2 6Т1/2

1п(1 + 6р),

а внутренняя энергия е(р,Т) газа, подчиняющегося уравнению Редлиха-Квонга, - выражению

3

£(р,Т) = £0(Т)---^щЫ(1 + 6р)

в

в

которое позволяет найти явную зависимость коэффициента удельной теплоемкости су от плотности и температуры:

, тч (де\ ¿£о 3 с , _ .

В состоянии идеального газа, как известно, внутренняя энергия £о является функцией только температуры: £о(Т) = СуТ, где Су - коэффициент удельной теплоемкости идеального газа того же химического состава.

В результате для уравнения состояния Редлиха-Квонга приходим к следующим выражениям для коэффициента теплоемкости при постоянном объеме и для внутренней энергии:

3с

су(р,Т) = Су +-^^111(1+ 6р), (25)

3с

е(р,Т) = суТ--^щ1п(1 + 5р). (26)

Расчеты ряда задач по модели (1), (2), (15), (16) свидетельствуют о том, что учет зависимости (25) коэффициента теплоемкости су от плотности и температуры в тепловом уравнении (16) больше всего сказывается на значениях температуры и может оказаться существенным при моделировании морских газопроводов в северных морях.

При численном решении предпочтительнее, как отмечалось выше, использование модели с уравнением полной энергии (3). При этом искомыми функциями являются р, и, £, р. Уравнение (26) позволяет выразить температуру Т, входящую в правую часть уравнения (3), как функцию р и е. Уравнение (26) есть кубическое уравнение относительно л/Т; физический смысл в рассматриваемых задачах имеет только один из корней, который легко находится стандартными методами.

В случае первого подхода к описанию термодинамических процессов искомыми функциями являются р, и, г, р. Из калорического уравнения (10) и уравнения состояния (9) находится зависимость энтальпии г от давления и температуры, что позволяет выразить температуру Т, входящую в правую часть уравнения полной энергии (3), как функцию энтальпии и давления.

6. Упрощения математических моделей. При решении практических задач часто используются упрощенные варианты модели (1)-(7). Упрощения основываются на предположениях о стационарности, изотермичности, адиабатичности процессов, на пренебрежении влиянием инерционных сил и силы тяжести. Допустимость упрощений требует обоснования и соответствующих оценок.

Остановимся подробнее на вопросе о допустимости пренебрежения силами инерции, которое используется во многих работах. Основные режимы эксплуатации газопроводов - установившиеся. При сверхвысоких давлениях плотность газа очень большая: ро ~ 160 кг/м, при массовых расходах Q « 450 кг/с и характерном диаметре газопровода Б « 1 м это приводит к весьма малым скоростям потока и « 3.5 м/с. Числа Маха при этом много меньше единицы, что свидетельствует о малости влияния сжимаемости газа. Однако полный отказ от учета сжимаемости в задачах о транспортировке газа недопустим, поскольку, как показано ниже, приводит к качественно неверным выводам о поведении температуры.

Рассмотрим модель установившегося течения газа по горизонтальному газопроводу при отсутствии теплообмена с окружающей средой. Воспользуемся первым подходом к описанию термодинамических процессов. Сделанные предположения позволяют упростить модель (1), (2), (9), (11) и записать

рпБ = Q = еопэ^ (27)

¿ 2. Хр |п|

пп

риСр=Рит(^) ± + (29)

Н р ¿г Н \дТ )рд,г 2В ' К '

р = рЕд Z (р,Т )Т. (30)

Здесь (27) - интеграл уравнения неразрывности (1); £, Б - площадь и диаметр поперечного сечения газопровода. Пренебрежем силами инерции в уравнении движения (28), а именно положим

р + рп2 « р (31)

и запишем упрощенное уравнение движения так:

¿р Хр |п| п

(32)

¿г 2Б

¿р

В тепловом уравнении (29) выразим — из уравнения (32) и преобразуем его:

¿г

(1г ср ^ (ЭТ) р ^ (1г Р (1г ' ^ ^

р - коэффициент Джоуля-Томпсона. Для уравнения состояния (30), как известно [12], коэффициент р равен

_ ядт2 (аг\ СрР Iдт);

что позволяет записать тепловое уравнение (33) следующим образом:

= ± (34)

¿г врр \дТ)р ¿г

Система уравнений (27), (30), (32), (34) представляет собой упрощенную модель процессов рассматриваемой задачи, основанную на предположении (31).

При втором подходе к описанию термодинамических процессов используется тепловое уравнение (16). В рассматриваемой задаче с учетом упрощенного уравнения движения (32) тепловое уравнение (16) преобразуется к виду

расу— = -Т (—-и— (35)

¿г у дТ у у ¿г ¿г

В качестве уравнения состояния во втором подходе выбирается одно из аналитических уравнений состояния, например Редлиха-Квонга (15). Тепловые уравнения (33) и (35) идентичны при любом уравнении состояния. Как и в общем случае, этот факт доказывается с помощью термодинамических тождеств (20), равенства

¿п п ¿р ¿г р ¿г '

которое следует из равенства (27), и очевидных соотношений

dV _ 1 dp dV _ (dV\ dT fdv\ dp dz p2 dz1 dz у dT J p dz \ dp J T dz

Существенно, что в обеих упрощенных моделях отчасти сохранен учет сжимаемости газа в тепловых уравнениях. Модель ((27), (30), (32), (34)) используется во многих работах, например [16]. В работе [15] представлены расчеты как по общей модели, так и по этим упрощенным моделям и обоснован вывод: при согласовании уравнений состояния (15) и (30) расчеты по моделям ((27), (30), (32), (34)) и ((15), (27), (32), (35)) совпадают и приводят к качественно правильному поведению температуры, а именно к ее понижению с падением давления за счет внутренних термодинамических процессов.

Покажем, к чему приводит полное пренебрежение силами инерции. Замена уравнения движения (28) на упрощенное уравнение (32) формально эквивалентно выполнению равенства

du dz

из которого следует для стационарных задач, в силу уравнения (27), постоянство скорости и плотности:

u = const, p = const. (36)

Если воспользоваться условиями (36) в тепловых уравнениях (33) и (35), то придем к качественно неверному выводу о поведении температуры. Особенно наглядно это видно из уравнения (35), т. е. в случае второго подхода к описанию термодинамических процессов.

du

Действительно, при — = 0 из уравнения (35) вытекает dz

dT 1 dp

dz pcv dz '

т. е. производные от давления и температуры имеют разные знаки и при падении давления температура должна расти. Именно к такому выводу приходят авторы ряда работ, например [10]. Но этот вывод противоречит известным экспериментальным данным и, кроме того, не согласуется ни с уравнением состояния, ни с расчетами по более общим моделям, в которых не используется предположение p + pu2 « p.

7. Заключение. На основании проведенного исследования приходим к следующим выводам:

1) доказано, что даже при малых скоростях потока недопустимы упрощения в тепловом уравнении, основанные на условиях постоянства плотности и скорости, какой бы подход к описанию термодинамических процессов не использовался;

2) расчет по более общей модели, содержащей учет сил инерции, не составляет труда, поэтому, на наш взгляд, вообще не имеет смысла применять дополнительные упрощения, вносящие неминуемую погрешность в расчет основных характеристик потока;

3) доказана теоретическая идентичность двух подходов к моделированию термодинамических процессов и эквивалентность соответствующих тепловых уравнений в общем случае, приведены аргументы в пользу второго подхода при моделировании течений газа при сверхвысоких давлениях. Получены явные аналитические зависимости внутренней энергии и удельного коэффициента теплоемкости при постоянном объеме от температуры и плотности газа для двухпараметрического уравнения состояния Редлиха-Квонга.

Литература

1. Курбатова Г. И., Попова Е. А., Филиппов Б. В. и др. Mодели морских газопроводов. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2005. 156 с.

2. Курбатова Г. И., Попова E. А. Проблемы учета профиля скорости в расчетах турбулентных течений в трубах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. C. 18-28.

3. Груничева Е. В., Курбатова Г. И., Попова Е. А. Нестационарное неизотермическое течение смеси газов по морским газопроводам // Mатем. моделирование. 2011. Т. 23, № 4. C. 141-153.

4. Селезнев В. Е., Клишин Г. С., Алешин В. В. и др. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа. M.: УРСС, 2003. 223 с.

5. Васильев О. Ф., Бондарев Э. А., Воеводин А. Ф., Каниболотский М. А. Неизотермическое течение газа в трубах. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1978. 128 с.

6. Зубов В. И., Котеров В. Н., Кривцов В. М., Шипилин А. В. Нестационарные газодинамические процессы в газопроводе на подводном переходе через Черное море // Mатем. моделирование. 2001. Т. 13, № 4. С. 58-70.

7. Селезнев В. Е., Алешин В. В., Прялов С. Н. Основы численного моделирования магистральных трубопроводов. M.: КомКнига, 2005. 495 с.

8. Chaczykowski Maciej. Transient flow in natural gas pipeline — The effect of pipeline thermal model // Applied Mathematical Modelling. 2010. Vol. 34. P. 1051-1067.

9. Седов Л. И. Mеханика сплошной среды: в 2 т. 4-е изд., испр. и доп. M.: Наука, Гл. ред. физ.-матем. лит., 1983. Т. 1. 528 с.

10. Лурье М. В., Пятакова О. А. Особенности теплового расчета магистральных газопроводов с учетом инверсии эффекта Джоуля-Томпсона // Газовая промышленность. 2010. № 2. C. 16-19.

11. Modisette J. L. Equations of State Tutorial // Proc. of the PSIG. The 32-nd Annual Meeting. Savannach, 2000. N 8. P. 1-21.

12. Сивухин Д. В. Общий курс физики: учеб. пособие для студентов физ. спец. вузов: в 5 т. 5-е изд. Т. 2: Термодинамика и молекулярная физика. M.: Физматлит, 2006. 544 с.

13. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / пер. с англ.; под ред. Б. И. Соколова. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Химия, Ленингр. отд., 1982. 592 с. (Robert C. Reid, John M. Prausnitz, Thomas K. Sherwood. The properties of gases and liquids.)

14. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика: От тепловых двигателей до дисси-пативных структур / пер. с англ. Ю. А. Данилова, В. В. Белого; под ред. Е. П. Агеева. M.: Mир, 2002. 461 с. (Лучший зарубежный учебник.) (Kondepudi D., Prigogine I. Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures.)

15. Курбатова Г. И., Попова Е. А. О различных математических моделях транспортировки газа по трубопроводам // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 3. C. 47-55.

16. Тевяшев А. Д., Смирнова В. С. Mетод приближенного решения задачи Коши для системы уравнений стационарного течения газа в трубопроводе // Радиоэлектроника и информатика. 2009. № 1. C. 81-87.

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.