О различных математических моделях транспортировки газа по трубопроводам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 532.517+532.542

Г. И. Курбатова, Е. А. Попова

О РАЗЛИЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ТРАНСПОРТИРОВКИ ГАЗА ПО ТРУБОПРОВОДАМ

Интерес к моделированию транспортировки газа по магистральным и морским трубопроводам не ослабевает со временем. За последние десятилетия появилось большое число отечественных и зарубежных публикаций, посвященных этим задачам. К сожалению, не все используемые математические модели корректны, что иногда приводит к качественно ошибочным выводам. Настоящая работа не носит обзорного характера, поводом для ее написания послужили ошибочные выводы ряда работ и намерение их авторов на основе полученных выводов «уточнить существующую методику расчетов газопроводов».

В Санкт-Петербургском государственном университете, начиная с 1996 г., проводятся работы по созданию математических моделей транспортировки газа по морским газопроводам (см., например, [1-4]). Математическая модель установившегося неизотермического течения смеси газов по морским газопроводам, учитывающая профиль скорости, рельеф дна, особенности термодинамического описания при сверхвысоких давлениях, конструктивные особенности трубопровода и его прокладки по дну моря [3], хорошо зарекомендовала себя при расчете транспортировки газа от Штокмановского газоконденсатного месторождения в центральной части Баренцева моря до Териберки, а также при выполнении работ для ОАО «ГИПРОСПЕЦГАЗ» по теме «Научное обоснование реализуемости проектных решений Северо-Европейского газопровода и определение технико-технологических параметров морского подводного газопровода сверхвысокого давления (до 20-25 МПа)». Эта модель позволила оценить условия, при которых наступает оледенение трубопровода, и рассчитать в установившемся режиме толщину слоя льда. Решение подобных задач требует максимально точного описания тепловых процессов в потоке газа, поскольку температура окружающей воды в северных морях часто близка к температуре замерзания и ошибка расчетов в 1° может привести к качественно неверным выводам.

Одномерная нестационарная математическая модель неизотермического течения смеси газов по трубопроводам, учитывающая рельеф трассы и конструктивные особенности трубопровода, была создана еще в середине ХХ в.; ее подробный вывод,

Курбатова Галина Ибрагимовна — доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: около 80. Научные направления: математическое моделирование, механика сплошных сред, гидромеханика. E-mail: gi_kurb@mail.ru.

Попова Елена Анатольевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики факультета фундаментальных и гуманитарных дисциплин Санкт-Петербургского государственного горного университета. Количество опубликованных работ: 12. Научные направления: математическое моделирование, механика сплошных сред, гидромеханика. E-mail: e-lena-05@mail.ru.

© Г. И. Курбатова, Е. А. Попова, 2011

а также методы численного решения уравнений модели содержатся в прекрасной книге О. Ф. Васильева, Э. А. Бондарева, А. Ф. Воеводина и М. А. Каниболотского [5] (далее эту модель будем сокращенно именовать модель ВБВК). Благодаря [5] проблему моделирования транспортировки газа можно было бы считать решенной в рамках одномерной постановки, если бы не сверхвысокие давления и сложные условия морской среды, характерные для современных задач.

При сверхвысоких давлениях усложняется термодинамическое описание процессов и возникает необходимость учета зависимости коэффициентов теплоемкости, вязкости, гидравлического сопротивления от температуры. Повышаются требования и к точности расчета самой температуры, что заставляет проводить дополнительные исследования по выбору уравнения состояния газовой смеси.

В последнее десятилетие появился ряд интересных работ, посвященных такого рода задачам. Отметим, например, исследования В. И. Зубова, В. Н. Котерова, В. М. Кривцова, А. В. Шипилина [6] и серию работ В. Е. Селезнева, Г. С. Клишина, С. Н. Прялова, В. В. Алешина [7], которые основаны на модели ВБВК.

На фоне этих фундаментальных исследований вызывает по меньшей мере недоумение появление некоторых работ (см., например, [8-11]). Остановимся подробнее на модели и выводах статьи [10], вышедшей в 2010 г. и содержащей все ошибки предыдущих работ этих авторов. В [10] исследуется известный эффект Джоуля-Томпсона в потоке газа при сверхвысоких давлениях. Из сказанного выше следует, что такая тема весьма актуальна. Какой же вывод сделан? Читаем: « Таким образом, в газопроводах, эксплуатируемых при давлениях, не превышающих 15 МПа, при понижении давления газ будет охлаждаться за счет эффекта Джоуля-Томпсона, а в трубопроводах, эксплуатируемых при давлениях, превышающих 15 МПа, - нагреваться» [10, с. 18, курсив наш. - Г. К., Е. П.]

Вывод впечатляющий. Если бы он оказался верным, то для морских газопроводов, эксплуатируемых при сверхвысоких давлениях, проблема оледенения вообще отпала бы. К сожалению, вывод ошибочен.

Мы повторили расчет варианта течения газа, приведенного в [10], по нашим программам и убедились, что газ будет не нагреваться, а остывать. Непосредственное сопоставление нашей модели [3] с моделью работы [10] затруднено тем, что в них используются разные термодинамические переменные. Это влияет на выбор формы записи уравнения состояния и калорического уравнения. Для переменных плотности р и температуры Т удобнее применять уравнение состояния Редлиха-Квонга [12], в котором давление явно выражается в виде простой зависимости от р и Т. Калорическое уравнение в таком случае записывается в терминах внутренней энергии е, т. е. в виде зависимости е = е(р, Т). Если в качестве независимых термодинамических переменных используются давление р и температура Т, то уравнение состояния удобнее задавать в форме рУ = RZ(р, Т)Т и записывать калорическое уравнение в терминах энтальпии 3 (р,Т).

Для удобства сравнения с [10] был повторен расчет этого варианта течения по модели ВБВК, записанной в тех же переменных, для установившегося режима с уравнением состояния, предложенным в работе [10].

Цель проводимых расчетов состоит в исследовании эффекта Джоуля-Томпсона, потому естественно исключить воздействие всех остальных факторов, влияющих на поведение температуры и давления потока, а именно, считать, что теплоизоляция трубопровода идеальна, т. е. теплообмен с окружающей средой отсутствует, и принять, что трасса горизонтальная. Так же поступили и авторы работы [10].

Запишем математическую модель ВБВК [5] для установившегося неизотермического течения газа по трубопроводу постоянного кругового сечения при отсутствии теплообмена для горизонтальной трассы с уравнением состояния, предложенным в [10].

Модель 1

puS = Q = const, (1)

du dp Xpu2

dx dx 4R

du dp Xpu2

Pu~r = --j----------T^T ’ (2)

(6)

dT T(dV\ dp Xpu3

1Л‘с^ = риТ[ат)р^ + Ж- ()

p = pRZ(p, T)T, (4)

Z(p, T) = 1 + (0, 886T - 1,468)p - (0, 28T - 0, 444)p2 + (0,024T - 0, 0367)p3, (5)

p = p/pk, T = T/Tk, p\b=o = pBX, T \l=0 = Tbx'

Здесь p, p,T,u - давление, плотность, температура и скорость газа; Q - массовый расход газа; Л - коэффициент гидравлического сопротивления; Д - внутренний радиус трубопровода; S - площадь поперечного сечения; ср = §^\ ~ коэффициент удельной теплоемкости при постоянном давлении; J - энтальпия, связанная с внутренней энергией газа равенством J = е + p/p; V = 1/р - удельный объем; R - газовая постоянная,

равная R = Ro/M, где Ro - универсальная газовая постоянная, M - молекулярный вес

заданного состава газа; pk,Tk - критические давление и температура, определяемые составом смеси газа; -PbX,TbX - давление и температура на входе в рассчитываемый участок газопровода. В модели 1 уравнение (1) - условие неизменности массового расхода газа в установившемся режиме, (2) - уравнение движения, (3) - уравнение баланса внутренней энергии (тепловое уравнение), (4) - уравнение состояния, (5) - зависимость коэффициента сжимаемости от температуры и давления, (6) - граничные условия задачи. Приведем нашу модель [3] для этого упрощенного варианта, назвав ее моделью 2, и модель работы [10], назвав ее моделью 3.

Модель 2

puS = Q = const, (7)

du dp Лри2

pudi = -^~ Up ()

dT f T\ f dp\ dp Xpu3

pucvd^ = {7)'mw)v^ iW ()

_ hpT__________cp2

p i -dp (i + адт1/2 ’ ^

p\L=0 = pвх, T\L=0 = TBX- (11)

В (7)—(11) для всех величин использованы обозначения, введенные в (1)-(6). В уравнении состояния Редлиха-Квонга (10) параметры h,S,c определяются составом газовой смеси, су - коэффициент удельной теплоемкости при постоянном объеме.

Модель 3

puS = Q, (12)

dp Xpu2 dx 4 R ’

dT Ti?(dZ

pUCp — = -pul ti —

dx \ op

p = pRZ(p, T)T,

Z(p, T) = 1 + (0, 886T - 1,468)p - (0, 28T - 0, 444)p2 + (0,024T - 0, 0367)p3, (13)

P = p/pk, T = T/Tk,

p\b=0 = pBX, T\ L=0 = Tbx-

Расчет давления, температуры, плотности и скорости потока газа по моделям 1— 3 не составляет труда. Он был проведен численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности по шагу интегрирования. Был выбран согласованный вариант параметров Q, X, R, R, Tk,pk,cp,cv, h, S, c, модельная трасса длиной 400 км и граничные условия: давление и температура на входе считались равными 24.5 МПа, 291 K соответственно. Результаты расчета этого эталонного варианта по моделям 1-3 представлены в табл. 1. В ней pi,Ti - давление и температура, рассчитанные по i-й модели (i = 1, 2, 3). Давление приведено в мегапаскалях, температура - в градусах Кельвина.

Таблица 1. Результаты расчета эталонного варианта по моделям 1—3

Параметр Длина трассы, км

100 200 300 400

Р1 23.006 21.451 19.820 18.095

Р2 23.015 21.465 19.835 18.107

РЗ 22.999 21.416 19.727 17.895

Ті 290.013 288.628 286.658 283.864

Т2 289.737 288.212 286.347 284.027

Тз 291.671 292.226 292.640 292.885

Как следует из проведенных расчетов, действительно при сверхвысоких давлениях модель 3 прогнозирует разогрев газа в потоке при падении давления. Однако это противоречит расчетам по моделям 1 и 2. Они дают практически одинаковые значения температуры и давления и абсолютно совпадают в отношении качественного поведения температуры, т. е. модели 1 и 2 прогнозируют понижение температуры при падении давления и в области сверхвысоких давлений. Незначительные отличия температуры, рассчитанной по моделям 1 и 2, обусловлены трудностью согласования уравнения состояния Редлиха-Квонга с уравнением состояния (4) во всем диапазоне изменения температуры и давления.

Выясним причину несоответствия в поведении температуры, рассчитанной по моделям 1-3. Сравним модели 1 и 3, это легко сделать, поскольку они записаны в терминах одних и тех же независимых термодинамических переменных. Первое очевидное отличие этих моделей состоит в пренебрежении инерционными слагаемыми в модели 3. На первый взгляд это оправданное упрощение, так как скорости потока обычно весьма незначительны (в принятом эталонном варианте средняя скорость потока порядка

3.5 м/с). Второе отличие моделей 1, 3 заключается в записи множителя при ^ в тепловом уравнении. Чтобы продемонстрировать это различие в явной форме, пренебрежем в модели 1 инерционными слагаемыми и повторим вывод уравнения энергии. Уравнение сохранения полной энергии Е = J + Ц^- (J - энтальпия, J = е +р/р) при отсутствии теплообмена в установившемся режиме записывается следующим образом:

Л ,Л ( т и2 \

di{E)=0^di{J+YJ=0■

Пренебрежем инерционным слагаемым и2 /2 и получим

т=°- (14)

Лх

Энтальпия является функцией независимых термодинамических переменных р и Т, это позволяет представить (14) в виде

дЗ\ (IТ (дЗ\ <1р_

дТ) р ¿х \др ) т ¿х

Учтем определение коэффициента удельной теплоемкости при постоянном давлении ср = (§т) и введем коэффициент Джоуля-Томпсона

_!/ал

(15)

В результате тепловое уравнение для этого упрощенного варианта запишется так:

(1Т ¿р

Лх Лх

Обычно [12-14] коэффициент Джоуля-Томпсона, характеризующий так называемый дроссель-эффект, выражается частной производной температуры по давлению при постоянной энтальпии

с=©/ (16)

Нетрудно убедиться в том, что при ЛЗ = 0 определения (15) и (16) совпадают, так как

т) =-(¥-

др ) ] ср \ др

Таким образом, в модели 1 без учета инерционных составляющих тепловое уравнение имеет вид

аТ _ 1 /<9,Л с1р

Лх ср у др у т Лх

Как известно [14], производная равна

= (17)

51

Это позволяет при уравнении состояния (4) записать коэффициент Джоуля-Томпсона Б в виде

ВТ2 ( дТЛ

°=------- Ь™ , (18)

срр \дТ)р

а само тепловое уравнение - как

ат _ кг2 {эг\ ф

¿х срр \дТ у р ¿х

Сравним уравнение (19) с полным тепловым уравнением модели 1. Преобразуем его, записав явное выражение для производной (§^) в соответствии с уравнением состояния

(4): Р

¿Т ¿р рпВТ2 /д^\ ¿р Хри3

1,ис>'^ = и^ + —^{ат)Г1И + Ж' 1 ]

Разделим обе части (20) на риср и представим его следующим образом:

ат кг2 (дг\ ф 1 ф л«2

) ~ + Т7" ~ + . ?; _ • (21)

р

¿х срр у дТ ) р ¿х рср ¿х 4Нс

Из сравнения уравнений (19) и (21) видно, что в правой части (21) сумма второго и третьего слагаемых моделирует влияние на тепловые процессы сил инерции, а первое слагаемое - дроссель-эффект.

Обратимся к работе [10]. Для коэффициента Джоуля-Томпсона Б* в этой работе дано такое выражение:

1 (дЛ\ ВТ (д2\ , ,

Судя по первому из этих равенств, речь действительно идет о коэффициенте Джоуля-Томпсона. Однако вызывает вопрос второе равенство в (22)

|)/ЙГ(1)т' <23>

С учетом формулы (17) левая часть в (23) при уравнении состояния (4) равна

ал = (гк вт

др)т \р Р \дт)р) р \дт)р■

Следовательно, соотношение (23) имеет место только в том случае, если выполняется равенство

-

Легко убедиться в том, что равенство (24) не выполняется. Для этого достаточно воспользоваться предложенной в работе [10] зависимостью (5) для Z(р,Т)

Z(р, Т) = 1 + (0, 886Т - 1, 468)р - (0, 28Т - 0, 444)р2 + (0, 024Т - 0, 0367)р3

и найти соответствующие производные. Однако допущенная в работе [10] ошибка, основанная на соотношении (24), не так тривиальна. Дело в том, что пренебрежение инерционными силами формально эквивалентно условию

du

dx ’

которое совместно с интегралом (12) уравнения неразрывности приводит к неизменности плотности потока

р = const.

Если найти производные (Щ;)р и из уравнения состояния (4) при условии

неизменности плотности, то придем к соотношению (24).

Причина такого несоответствия заключается в том, что модель 3, даже при правильной записи теплового уравнения в виде уравнения (19), является внутренне противоречивой. А именно, уравнение движения и тепловое уравнение модели формально удовлетворяют условию р = const, тогда как уравнение состояния этой модели ему противоречит. В моделях классической гидродинамики такая ситуация, вообще говоря, не редкость. Достаточно, например, вспомнить известную задачу о свободной конвекции в приближении Буссинеска [15]. Но применять такие модели надо крайне осторожно, а лучше, конечно, ими не пользоваться.

Покажем, как, оставаясь в рамках допущения о законности пренебрежения инерционными силами, прийти к упрощенной модели процессов, не приводящей к качественно неверным выводам о поведении температуры. Запишем упрощенный вариант модели 1, не содержащий учета сил инерции.

Модель 4

puS = Q,

dp Хри2 dx 4 R ’

dT _ RT2 (dZ\ dp dx cpp \dT J p dx'

p = pRZ(p, T)T,

Z(p, T) = 1 + (0, 886T - 1, 468)p - (0, 28T - 0, 444)p2 + (0,024T - 0, 0367)p3, p = p/pk, T = T/Tk, pL=o =TL=o = T:ex.

В отличие от модели 3 здесь упрощение р = const используется только в уравнениях движения и в тепловом, где это при определенных условиях оправданно.

В табл. 2 приведено сравнение расчетов эталонного варианта задачи по моделям 1 и 4, которые позволяют оценить влияние пренебрежения силами инерции в подобных задачах.

Таблица 2. Сравнение результатов расчетов эталонного варианта

по моделям 1 и 4

Параметр Длина трассы, км

100 200 300 400

Р1 23.006 21.451 19.820 18.095

Р4 23.0095 21.463 19.849 18.150

Т1 290.013 288.628 286.658 283.864

т4 289.387 287.463 285.073 282.032

При правильном выражении для коэффициента Джоуля-Томпсона (18) даже в упрощенной модели 4, не содержащей учет сил инерции, заявленный авторами работы [10] эффект повышения температуры с падением давления не возникает.

Из проведенных расчетов, представленных в табл. 2, следует, что использование упрощенной модели 4 вместо более общей модели 1 вносит сравнительно незначительные погрешности в расчет давления, однако для температуры погрешность достигает почти 2°, а это, как отмечалось в начале статьи, недопустимо при моделировании морских газопроводов. Потому при решении реальных задач следует пользоваться максимально адекватными моделями процесса, тем более, что современные вычислительные средства позволяют легко решить такие системы уравнений в полной постановке.

К сожалению, вынуждены констатировать, что в работе [10], кроме неправильного выражения для коэффициента Джоуля-Томпсона, содержатся и другие ошибки. Для реальных газов, не подчиняющихся уравнению состояния р = рКТ, внутренняя энергия £ не равна суТ, как написано в [10], а является довольно сложной функцией температуры и плотности. Вывод данной зависимости для реальных газов, подчиняющихся уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, приведен в учебниках по термодинамике (см., например, [14]), а для уравнения состояния Редлиха-Квонга рассмотрен, в частности, в нашей книге [3].

Следует отметить, что грешит ошибками не только цикл работ [8-10], но и работы К. А. Казак и А. С. Казак (см. [11]). В них отсутствует упоминание об уравнении состояния, а коэффициент Джоуля-Томпсона считается постоянной величиной.

Заключение. В работе исследован эффект Джоуля-Томпсона при сверхвысоких давлениях и представлен расчет установившегося неизотермического течения смеси газов при сверхвысоких давлениях для горизонтальной трассы при отсутствии теплообмена с внешней средой по четырем математическим моделям для различных уравнений состояния. Доказаны ошибочность модели работы [10] и несостоятельность сделанного в ней вывода о нагреве газа при падении давления для сверхвысоких давлений. Обоснован вывод о недопустимости пренебрежения в моделях силами инерции даже при малых скоростях потока для задач, в которых расчет температуры существенен, в частности для задач о течении газа по морским газопроводам в северных морях.

Литература

1. Дерцакян А. К., Курбатова Г. И., Неизвестнов Я. В., Филиппов Б. В. Некоторые научнотехнические проблемы освоения шельфа арктических морей России // Труды XIII сессии Междунар. школы по моделям механики сплошных сред. СПб., 1996. С. 99—109.

2. Курбатова Г. И., Филиппов Б. В., Филиппов В. Б. Неизотермическое турбулентное течение сжимаемого газа // Математическое моделирование. 2003. Т. 15, № 3. С. 92—108.

3. Курбатова Г. И., Попова Е. А., Филиппов Б. В. и др. Модели морских газопроводов. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2005. 156 с.

4. Груничева Е. В., Курбатова Г. И., Попова Е. А. Математическая модель нестационарного неизотермического течения смеси газов по морским газопроводам // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 42—49.

5. Васильев О. Ф., Бондарев Э. А., Воеводин А. Ф., Каниболотский М. А. Неизотермическое течение газа в трубах. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1978. 128 с.

6. Зубов В. И., Котеров В. Н., Кривцов В. М., Шипилин А. В. Нестационарные газодинамические процессы в газопроводе на подводном переходе через Черное море // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 4. С. 58-70.

7. Селезнев В. Е., Клишин Г. С., Алешин В. В. и др. Численный анализ и оптимизация газодинамических режимов транспорта природного газа. М.: УРСС, 2003. 223 с.

8. Лурье М. В., Пятакова О. А. Тепловые режимы газопровода, транспортирующего газ при температурах ниже температуры окружающей среды // Газовая промышленность. 2008. № 3. С. 80-82.

9. Пятакова О. А. Идентификация параметров эксплуатации участка газопровода в неизотермических режимах // Транспорт и подземное хранение газа. 2008. № 1. С. 36-40.

10. Лурье М. В., Пятакова О. А. Особенности теплового расчета магистральных газопроводов с учетом инверсии эффекта Джоуля-Томпсона // Газовая промышленность. 2010. № 2. С. 16-19.

11. Казак К. А., Казак А. С. Разработка метода расчета неустановившихся режимов транспорта газа по участку трубопровода при возникновении утечки // Системы управления и информационные технологии. 2007. № 2 (28). С. 237-240.

12. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / пер. с англ.; под ред. Б. И. Соколова. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Химия, Ленингр. отд., 1982. 592 с.

13. Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1950. 304 с.

14. Сивухин Д. В. Общий курс физики: учеб. пособие для студентов физ. спец. вузов: в 5 т. 5-е изд. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Физматлит, 2006. 544 с.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособие для физ. спец. ун-тов: в 10 т. Т. 6. Гидродинамика. 3-е изд., перераб. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 733 с.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 10 марта 2011 г.