Нестационарные модели теплообмена и транспортировки таза по морским газопроводам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Карельского научного центра РАН № 8. 2016. С. 3-10 DOI: 10.17076/mat398

УДК 532.517+532.542

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛООБМЕНА И ТРАНСПОРТИРОВКИ ГАЗА ПО МОРСКИМ ГАЗОПРОВОДАМ

Н. Н. Ермолаева

Санкт-Петербургский государственный университет

Предложены нестационарные модели транспортировки газа по морским газопроводам, включающие нестационарные модели теплообмена газа с окружающей средой. Представлены расчеты ряда нестационарных задач, приведены оценки допустимости упрощений модели теплообмена.

Ключевые слова: морские газопроводы; теплообмен; уравнение состояния; численное решение; схема Лакса-Вендроффа.

N. N. Ermolaeva. NON-STATIONARY MODELS OF HEAT EXCHANGE AND GAS TRANSPORTATION THROUGH A MARINE GAS PIPELINE

Non-stationary models of gas transportation through pipelines in the sea, including non-stationary models of heat exchange between the gas flow and the environment are suggested. The calculations for a number of non-stationary problems are presented. The admissibility of simplification of heat exchange models is assessed.

Keywords: marine gas pipelines; heat exchange; equation of state; numerical solution; Lax-Wendroff-type scheme.

Введение

Для протяженных морских газопроводов, работающих без промежуточных подстанций, характерны большие расходы и сверхвысокие давления [1]. В части газопровода температура газа может опускаться ниже температуры фазового перехода Т* вода-лед. Низкие температуры газа не приводят к оледенению газопровода, если температура морской воды существенно больше температуры Т*. Это имеет место, например, в Черном и Балтийском морях. Целью настоящей работы является моделирование нестационарных процессов транспортировки газа и анализ допустимости упрощения модели теплообмена между потоком и окружающей средой для морских газопроводов, эксплуатируемых в условиях, не допускающих возможности оледенения.

Запишем, следуя работе [2], одномерную нестационарную модель транспортировки смеси газов по морскому газопроводу. Для простоты опустим учет влияния силы тяжести, считая трассу горизонтальной, и положим, что коэффициент гидравлического сопротивления Л постоянный. Обобщение модели на учет этих зависимостей не вызывает принципиальной трудности.

Модель 1 Уравнение неразрывности

др + д (ри) = 0_ dt dz '

уравнение движения д(ри) д

dt

+ dZ (p + ри ) = -Ар

u|u| ~4Я'

(1)

(2)

уравнение энергии

д(ре) д ( ( р

+ а;{<>"\е + р

е = е + и2/2;

—ш,

калорическое уравнение

е = е(Т,р); уравнение состояния Редлиха-Квонга

р=

ср2

НрТ _

1 — 5 р — (гТбр^Т1/2:

(3)

(4)

(5)

(6)

Н = Кд /М, М = £

пгт

г=1

/

£ Пг

г=1

= 1,

5 = Ь/М, с = а/М2, Ь = ПьКд Тс/рс, а = Па(Кд )2 ТС2,5 /рс.

Здесь г — координата вдоль оси цилиндрического газопровода в цилиндрической системе координат (г, <р,г); Ь — время; р(г, Ь), и(г, Ь), р(г,Ь), Т(г,Ь) — плотность, скорость, давление и температура газа соответственно; е(г,Ь), е(г, Ь) — массовые плотности полной и внутренней энергии газа соответственно; ш(г,Ь) — мощность объемного источника (стока) внутренней энергии в потоке газа; Н, с, 5 — размерные постоянные в уравнении состояния (6); Кд — универсальная газовая постоянная; тг,пг — молекулярный вес и доля г-й составляющей газовой смеси соответственно; / — количество компонент газовой смеси; Оа, Оь — числа, определяемые для заданного химического состава газовой смеси по значениям критических температуры Т и давления р согласно таблицам, приведенным в [3].

Модель 1 написана на языке величин р, и, р, Т, е, е, осредненных по сечению газопровода. Система (1)—(6) должна быть дополнена начальными и граничными условиями, соответствующими рассматриваемой задаче.

В качестве уравнения состояния выбрано уравнение Редлиха-Квонга (6) — аналитическое уравнение состояния, одно из наиболее точных в широком диапазоне изменений р, р и Т, вплоть до сверхвысоких давлений [3]. Вывод калорического уравнения (5) приведен ниже. Для замыкания модели 1 необходимо найти выражение для слагаемого ш в уравнении энергии (3), моделирующее теплообмен газа с окружающей средой.

МОДЕЛИ ТЕПЛООБМЕНА, РАСЧЕТ ш

Для рассматриваемого круга задач характерны большие числа Рейнольдса: Ке ~ 108.

Интенсивность турбулентных пульсаций в газовом потоке приводит к тому, что в радиальном направлении лимитирующей стадией теплообмена с внешней средой является теплопроводность через многослойную боковую поверхность газопровода. Это позволяет учитывать теплообмен с окружающей средой интегрально. В уравнение энергии вводится слагаемое ш типа мощности объемного источника (стока) внутренней энергии. Величина ш выражается через дш — радиальную составляющую вектора плотности потока внутренней энергии (вектора потока тепла) на внутренней поверхности газопровода в г-м сечении:

ш йь = — ф д ■ п йв, ш йь = шпК25г,

п п

О — область, ограниченная поперечными сечениями газопровода, проходящими через г и г + 5г, и боковой поверхностью газопровода между этими сечениями. Тепловые условия на внешней поверхности газопровода на малых расстояниях 5г ~ К (К — внутренний радиус газопровода) допустимо считать неизменными по г и по Ь. Дополнительный пульсационный перенос внутренней энергии газа в направлении оси г пренебрежимо мал по сравнению с конвективным переносом внутренней энергии в этом направлении. Сказанное позволяет записать:

е [г, г + 5г], дш((,Ь) = дш(г,Ь) ^

2п х+&х

^ д ■ п йв = У У дш((,Ь)Кй(йр &

йЬ 0 г

& 2п К 5г дш(г, Ь) ^ ^ ш(г,Ь)пК25г & —2п К 5г дш(г,Ь),

ш(г, Ь) & —

2д-ш(г, Ь) К '

Величина дш(г,Ь) зависит от г параметрически через зависимость от г температуры газа (при неизменных внешних условиях) и определяется из решения уравнения теплопроводности в области многослойной боковой поверхности газопровода при соответствующих начальных и граничных условиях.

Для установившегося варианта модели 1 в книге [1] приведены явные выражения для потока тепла дш как при наличии слоя льда на боковой поверхности газопровода, так и при его отсутствии.

Для ряда нестационарных задач при отсутствии слоя льда представляется возможным использование квазистационарной модели теплообмена в нестационарной модели 1.

Анализ допустимости этого является актуальной задачей, например, [4]. В настоящей работе предложена методика оценки допустимости использования квазистационарной модели теплообмена в расчетах нестационарных неизотермических течений смеси реальных газов по морским газопроводам.

Запишем нестационарную модель (модель 2) теплообмена между потоком газа в z-м сечении газопровода и окружающей средой при наличии двух слоев обшивки - внутреннего, состоящего из стали, и внешнего — из бетона. Обобщение на большее количество слоев не вызывает трудности. Положим, что изменения как в окружающей среде, так и в потоке газа в направлении оси z на масштабах áz ~ R пренебрежимо малы (это имеет место для большинства практических задач).

Модель 2

При r е (R,Ri), t е (0,í) :

Pici = AiL(Ti); (7)

t = 0, Ti(r)= T0(r); (8)

при t е (0,í), r = R :

Ti = T (z, t), qw = Ai ; (9) при t е (0, í), r = Ri :

Ti = T2, Ai= a2f2; (10)

dr dr

при r е (Ri,R2), t е (0,í) : P2C2 ^ = A2L(T2);

t = 0, T2(r)= T° (r); при t е (0, í), r = R2 :

(11) (12)

T2 = Tv, A2 dT2 = Av dT^; (13)

dr dr

при r е (R2,R2 + á*), t е (0,í):

Pvcv dTt" = AvL(Tv); t = 0, Tv (r)= T°(r); при t е (0,í), r = R2 + á* : Tv = T *.

(14)

(15)

(16)

Здесь г — радиальная координата в цилиндрической системе координат (г, <£,£); £ — заданное время процесса; Т = 1 (гдТ) — оператор Лапласа в цилиндрической системе координат (г, г, при £ = = 0; ¿1, ¿2 —

толщины первого и второго слоев обшивки газопровода соответственно; К = К + ¿1; К2 = К + ¿1 + ¿2 — внешний радиус газопровода.

Индексы: 1 — область первого слоя обшивки (стали); 2 — область второго слоя обшивки (бетона); V — область эффективного теплового погранслоя воды; ¿* — толщина эффективного теплового погранслоя воды; Т* — температура морской воды на удалении от газопровода; Xi, рг, сг, Т0(г) — коэффициент теплопроводности, плотность, удельный коэффициент теплоемкости и начальное распределение температуры в г-м слое соответственно (г = 1, 2, V); Т = Тг(г,¿) — распределение температуры в г-м слое.

В модели 2 уравнения (7), (11) и (14) — одномерные линейные уравнения теплопроводности в слоях стали, бетона и в эффективном тепловом погранслое воды толщиной ¿*. В пределах этого погранслоя передача тепла моделируется линейным уравнением теплопроводности (14). Величина ¿* зависит от многих факторов, в частности от донных течений и от условий контакта газопровода с донным грунтом. Информация о ¿* может быть получена из решения обратной задачи. Оценка величины ¿* в установившихся режимах приведена в книге [1].

Расчет по модели 2 позволяет найти ¿):

2qw

2 dTi

W(Z,t) = "ir = "

(17)

r=R

Модель 2 входит составной частью в модель 1. В общем случае система уравнений модели 1 не расщепляется.

Если допустимо использовать квазистационарный вариант модели 2, в котором все величины только параметрически зависят от времени, то интегрирование уравнений общей модели 1 существенно упрощается, так как ш явно выражается через Т(г, ¿) и другие параметры задачи.

Решение системы уравнений модели 2 в квазистационарном варианте

При условии д = 0 решениями уравнений теплопроводности (7), (11) и (14) являются логарифмические профили температуры:

Тг(г) = Аг + В 1п г, г = 1, 2, V.

Величины Аг, Вг определяются из граничных условий (9), (10), (13), (16) и имеют следую-

щий вид:

В1 =

Т* — Т(г, г)

К1 Л^ К2 . К2 + 5* '

— + т— 1п ——+ — 1п —--

К Л2 К1 Лу К2

А1 = Т(г, Ь) — В11п К, В2 = (Л1/Л2)В1,

Ву = (Л1/Лу )В1,

Ау = Т* — Ву 1п(К2 + 5*),

А2 = Ау + (Ву — В2)1п К2.

Выражение для потока тепла дш = Л1^г1

аг \я

квазистационарной модели теплообмена находится в виде явной зависимости от температуры газа Т(г,Ь) и параметров задачи:

дш =

Л1В1 К

(18)

Численное интегрирование системы уравнений нестационарной модели 2 не представляет трудности и может быть проведено с использованием как явных, так и неявных разностных схем. В наших расчетах использовалась неявная разностная схема, основанная на монотонной схеме Самарского [5], аппроксимирующая задачу с первым порядком точности по АЬ и вторым по Ат.

Калорическое уравнение

Покажем, следуя работе [6], как связана внутренняя энергия реального газа, поведение которого удовлетворяет уравнению состояния (6), с его температурой и плотностью. Представим внутреннюю энергию е локально как функцию независимых термодинамических переменных (Т, V), где V = р — удельный объем. Дифференциал внутренней энергии имеет вид:

йе = йТ +(Iе ) йV =

дТ

V

сСV

т

= с*(Т,у)йТ + (П) т ^

где су (Т^) — коэффициент удельной теплоемкости реального газа при постоянном объеме.

Выражение для {-§^)т задается следующим соотношением:

= Т 2 ( А ( Р

СЖ )

т

дТ \Т

(19)

V

Из уравнения (19) следует:

V

)= + / Т 2( СТ ( Т )) V ^

Vo

При условии Vo ^ те плотность газа стремится к 0 и внутренняя энергия реального газа е(Т, Vo) стремится к внутренней энергии ег4 идеального газа, равной ега=с,иТ, где су — удельная теплоемкость при постоянном объеме идеального газа того же химического состава. Это позволяет записать выражение для внутренней энергии реального газа в следующем виде:

е(Т, V) = суТ + -

3 с

1п

V

V + 5

2 5 у/Т

или в терминах плотности: 3с

е(Т,р) = су Т — 2 — 1п(1 + 5р), (20)

где су — удельная теплоемкость при постоянном объеме идеальной газовой смеси того же химического состава.

Граничные и начальные условия

Рассмотрим нестационарную задачу транспортировки газа, в которой нестационарность обусловлена колебаниями газопотребления.

Начальные условия. Начальными условиями в этой задаче служат распределения плотности р0(г) и температуры Т0(г) в установившемся режиме:

Ь = 0 : у = ри = со^

п

К2,

р(г)= ро(г), Т (г) = То(г).

Функции ро(г), Т0(г) рассчитываются по стационарному варианту модели 1, Q — массовый расход газа, постоянный для установившегося режима. Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась численно методом Рунге-Кутты, значение внутренней энергии е0(г) находилось по плотности р0(г) и температуре Т0(г) из уравнения (20), давление р0(г) — из уравнения состояния (6).

Граничные условия. В рассматриваемой задаче течение газа является дозвуковым, на входе в газопровод задаются неизменные во времени давление и температура газа, по ним из уравнений (6), (20) определяются значения плотности и внутренней энергии газа. На выходе задается закон изменения удельного расхода у = ри, соответствующий колебаниям газопотребления. Таким образом, граничные условия записываются в следующем виде:

г = 0: р(Ь, 0) = ро, е(Ь, 0) = ео, г = Ь : у(Ь,Ь) = у*(Ь),

в

Т — длина газопровода, у*(£) - заданный закон изменения удельного расхода газа на выходе из газопровода (рис. 1).

1.08 1.06 1.04 1.02 1

Рис. 1. Закон изменения безразмерного удельного расхода газа у* (¿) на выходе из газопровода

Перейдем от скорости потока и к расходу у = ри и запишем в безразмерной форме модель 1 в переменных р, у, р, е, используя для безразмерных переменных те же обозначения.

Модель 1'

др + ду = 0 д£ дг '

ду д /у2 \ у2

-тгт + тг--+ Ш1Р = -т2 — ,

д^ ^ / р

д / у2 ,

дЛре + тз 71 +

,д( у3 , у

+д^ ( уе + тз + т4 р Р

ш5ш,

Р = Шб

рТ

— Ш7

(1 - шюр) 7 (1 + шюр)Т1/2 '

е(Т, р) = ш8Т — ш9^^ 1п(1 + ш10р). Т

Безразмерные комплексы ш1 — ш10 выражаются через физические параметры задачи и характерные величины по формулам:

= Рх = =

ржи2 , 4К , 2еж ,

ш4 =

Рх рже2

Ш5 =

2 А 1^2

р2 С^ Кг2 2

Ьр*Тл ср:

Шб = - , Ш7 = '

СИ Т2

Ш8

Р2

, Шд

Р2 Т2

1/2

3с

2¿еx\fT х

", Ш10 = ¿рх,

где ^ е2 - Т2, ^2, и2 -

^/(рхпК2) — характерные длина, плотность, давление, температура, внутренняя энергия, время и скорость соответственно, величины р2,Р2,Т2 связаны уравнением состояния (6).

Алгоритм численного решения системы уравнений модели 1'

Использовалась модифицированная схема Лакса-Вендроффа [7], которая по скорости счета и простоте реализации оказалась предпочтительнее других численных схем для рассматриваемых задач.

Алгоритм состоит из двух этапов. На каждом этапе искомые величины плотности, расхода, внутренней энергии, температуры и давления находятся явно. Введем обозначения:

2

А=

В=

С =

2

у

--+ Ш1Р,

р

у

ре + Шз —, р

з

уз у

уе + Шз 2 + Ш4 — р. з р2 4 р

На первом этапе решается следующая система конечно-разностных уравнений:

рГ+1/2 — 1 (рП + рП+1) + уП+1 1 + ■

уП

2 Т

А

0,

уп+й — 1 (Уп + уП+1) + А^+1 — А£

2 т

А

Ш2

р / к+1/2

В

п+1/2

А+1/2

— 2 (ВП + ВП+1)

+

/"»го /"»го Ск+1 — С

А

= —ш5шп+1/2.

Здесь т, п — величина и номер шага по времени; А, к — величина и номер шага по координате г.

Из системы уравнений первого этапа на временном слое (п + 1/2) в узлах к = 1,..., (Ж — 1) явно находятся значения плотно-

п+1/2 п+1/2

сти р^, , расхода у^, и внутренней энергии е^+1/2, затем по уравнению (20) и уравнению состояния находятся значения температу-

^га+1/2 п+1/2

ры Т к 'и давления Р^, .

В узле к =0 значения плотности р^+1/2

^га+1/2

и температуры Т0 известны из гранич-

п+1/2

ных условий, величина е0 определяется по

0

5

10

15

20

t. час

П

2

р

2 т

е

2

уравнению (20), р'^+1/2 — из уравнения состоит п+1/2

яния. Для определения расхода у0 используется линейная экстраполяция из внутренних узлов.

В узле к = N значения плотности р^+1/2

гглП+1/2 „

и температуры Т ^ определяются линейной экстраполяцией из внутренних узлов, по ним

п+1/2

находятся внутренняя энергия е^ и давле-

п+1/2 ^ -п+1/2

ние 'рм . Величина расхода ум известна из граничных условий.

На втором этапе решается следующая система конечно-разностных уравнений:

рТ1

п+1/2

рП + ук+1/2

п+1/2 ук-1/2

Т

А

0,

уп+1 — уп+Ак+1/2

Т

А п+1/2 _ А п+1/2 , 2 х п+1/2

Ак-1/2 (у

А-— = —т2 —

рк

+1/2 +1/2 туп+1 ту п С , — С ,

Вк — Вк , Ск+1/2 С к—1/2 п+1/2

—-- +---—х-— = —т шк 1 .

Т

А

О

Значения величин рк

п+1/2 п+1/2 п+1/2

у.к

к

+1/2 +1/2 ±к , рк , к = 0.. ^ известны из первого этапа. Из системы уравнений второго этапа на (п + 1)-м временном слое в узлах к = 1,..., (^ — 1) явно находятся значения плотности рп+1, расхода уп+1 и внутренней энергии еп+1, затем по уравнениям (20), (6) находятся значения температуры Тк +1 и давления ррп +1.

Значения всех величин в граничных узлах к = 0 и к = N определяются аналогично схеме первого этапа.

Приведенная модифицированная схема Лакса-Вендроффа имеет второй порядок точности по шагу т и по шагу Д, кроме граничных узлов, где использовалась линейная экстраполяция. По заданной точности расчета по пространственной переменной в результате численного эксперимента выбирался оптимальный шаг по времени и была доказана практическая сходимость метода.

Пример расчета нестационарного течения газа по модели 1'

Были проведены расчеты ряда вариантов неизотермического нестационарного течения газа по морскому газопроводу для квазистационарного (18) и нестационарного (модель 2) процессов теплообмена газа с окружающей средой. Рассчитанная погрешность такой замены позволила оценить допустимость замены

нестационарной модели теплообмена ее квазистационарным вариантом. Переход к квазистационарной модели теплообмена при численном интегрировании системы уравнений модели 1' позволил существенно упростить алгоритм вычисления.

В модельной задаче приняты следующие параметры морского газопровода: неизменный внутренний радиус К = 0,5 м; параметры первого слоя обшивки: толщина 51=0,04 м, теплопроводность Л1 = 24 Вт/(м-К), параметры второго слоя: толщина 52=0,12 м, теплопроводность Л2 = 1,7 Вт/(м-К); массовый расход Q газа в начальный момент времени равен 400 кг/с; температура Т* окружающей морской воды считается неизменной вдоль газопровода и равной 278,15 К; длина газопровода Ь принята равной 300 км. Значения характерных величин: рх = 138, 02 кг/м3, Тх = 283,15 К, 1х = 10 км, им соответствуют характерное давление рх = р(рх, Тх) = 155, 2 МПа и характерная скорость их = Q/(пК2рх) = 3, 69 м/с.

Значения параметров Н, с, 5, р, су выбирались характерными для смеси газов с преобладанием метана, коэффициент гидравлического сопротивления Л принят равным 0,00829. Для указанного варианта параметров значения безразмерных комплексов т1 -Ш10 равнялись:

Ш1 = 8087, 414, Ш2 = 41, 488, шз = 0,12 ■ 10—6,

Ш4 = 0,194, Ш5 = 125,199, Шб = 1, 293,

ш7 = 0, 916, Ш8 = 0, 856,

ш9 = 1, 056, ш10 = 0, 2553.

В исследуемых режимах для температуры Т(г, Ь) газовой смеси, как показали расчеты, выполняется условие: Т (г,Ь) > Т* У г е [0, Ь], где Т* = 271 К — температура фазового перехода морская вода-лед. При этом условии оледенение внешней поверхности газопровода невозможно.

3.05 3

2.95

150 z, км

Рис. 2. Изменение размерной величины скорости потока и вдоль газопровода в момент Ь = 10 часов

0

50

100

200

250

300

На рисунке 2 приведено изменение скорости потока (м/с) вдоль газопровода в момент времени Ь = 10 часов, рассчитанное по модели 1 при нестационарной модели теплообмена. На рисунке 3 приведено изменение температуры (К) потока вдоль газопровода в момент Ь = 10 часов, рассчитанное по модели 1 при нестационарной модели теплообмена (1) и при квазистационарной модели (2).

315 31o 3o5 3oo -295 29o 285

28o

275

o

15o z, км

10

t, час

10

t, час

Рис. 3. Изменение температуры Т потока вдоль газопровода в момент Ь =10 часов: 1 — при нестационарной модели теплообмена; 2 — при квазистационарной модели теплообмена

На рисунке 4 приведена зависимость от времени потока тепла [Дж/(с-м2)] в сечении газопровода г = 10 км для варианта нестационарной модели теплообмена (2) и квазистационарной модели (1).

Рис. 4. Изменение потока тепла в сечении газопровода г = 10 км: 1 — при квазистационарной модели теплообмена; 2 — при нестационарной модели теплообмена

На рисунке 5 приведено изменение во времени потока тепла [Дж/(с-м2)] при г = 200 км.

Рис. 5. Изменение потока тепла в сечении газопровода г = 200 км: 1 — при квазистационарной модели теплообмена; 2 — при нестационарной модели теплообмена

Выводы

Предложена методика оценки допустимости использования квазистационарной модели теплообмена в расчетах нестационарных неизотермических течений смеси реальных газов по морским газопроводам. Приведен пример расчета нестационарного течения смеси газов по участку модельного морского газопровода при нестационарной и квазистационарной моделях теплообмена. Результаты компьютерного моделирования рассмотренной задачи позволяют определить область допустимости использования квазистационарной модели теплообмена.

Литература

1. Курбатова Г. И., Попова Е. А., Филиппов Б. В. и др. Модели морских газопроводов. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2005. 156 с.

2. Ермолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Квазиодномерная нестационарная модель процессов в морских газопроводах // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 2015. № 3. C. 55-66.

3. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей / пер. с англ.; под ред. Б. И. Соколова. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Химия, Ленингр. отд., 1982. 592 с.

4. Helgaker J. F., Oosterkamp A., Ytrehus T. Transmission of Natural Gas through Offshore Pipelines — Effect of Unsteady Heat Transfer Model [Conference] // MEKIT '13. Trondheim: Tapir, 2013.

5. Самарским А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384 с.

6. Ермолаева Н. Н., Курбатова Г. И. Анализ подходов к моделированию термодинамических

2

0

5

15

20

5o

1oo

2oo

25o

3oo

1

2

0

5

15

20

процессов в газах при высоких давлениях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2013. Вып. 1. С. 35-45.

References

1. Kurbatova G. I., Popova E. A., Filippov B. V. et al. Modeli morskih gazoprovodov [Models of sea gas-pipelines]. St. Petersburg: S.-Peterb. gos. un-t, 2005. 156 p.

2. Ermolaeva N. N., Kurbatova G. I. Qvasiodnomernaja nestacionarnaja model' processov v morskih gazoprovodah [Quasi-one-dimensional non-stationary model of processes in a sea gas-pipeline]. Vestnik S.-Peterb. un-ta [Vestnik of St. Petersburg University]. Ser. 10. 2015. No. 3. P. 55-66.

3. Reid Robert C., Prausnitz John M., Sherwood Thomas K. The properties of gases and liquids. MeGraw - Hill Book Company, New York. St. Louis, San Francisco, 1977. 592 p.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Ермолаева Надежда Николаевна к. ф.-м. н., доцент

Санкт-Петербургский государственный университет Университетский пр., 35, Петергоф, Санкт-Петербург, Россия, 198504 эл. почта: n.ermolaeva@spbu.ru тел.: (812) 4287159

7. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1976. 618 с.

Поступила в редакцию 02.06.2016

4. Helgaker J. F., Oosterkamp A., Ytrehus T. Transmission of Natural Gas through Offshore Pipelines - Effect of Unsteady Heat Transfer Model [Conference]. MEKIT '13. Trondheim: Tapir, 2013.

5. Samarskij A. A., Gulin A. V. Ustojchivost raznostnich shem [Stability of difference schemes]. Moscow: Editorial URSS, 2005. 384 p.

6. Ermolaeva N. N., Kurbatova G. I. Analiz podhodov k modelirovaniju termodinamicheskih processov v gazah pri visikih davlenijah [The analysis of the approaches to the modeling of thermodynamic processes in gas flow at hyperpressure]. Vestnik S.-Peterb. un-ta [Vestnik of St. Petersburg University]. Ser. 10. 2013. No. 1. P. 35-45.

7. Roach P. J. Vichislitelnaja gidrodinamika [Computational Fluid Dynamics]. Moscow: Mir, 1976. 618 p.

Received June 2, 2016

CONTRIBUTOR:

Ermolaeva, Nadeczda

Saint Petersburg State University 35 Universitetskii pr., Petergof, Saint Petersburg, Russia 198504 e-mail: n.ermolaeva@spbu.ru tel.: (812) 4287159