АНАЛИЗ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СХЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ УСТРОЙСТВА

УДК 621.3

Анализ параметрической чувствительности схем электрических активных фильтров с положительной обратной связью

А.В. Фролов

Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет

Представлены результаты исследования влияния изменения номиналов пассивных элементов активных фильтров нижних и верхних частот 1-го и 2-го порядков с положительной обратной связью на частоту среза, коэффициент усиления, относительную ширину переходной области. Показано, что оптимальный подбор типов пассивных элементов позволяет полностью компенсировать изменение параметров фильтров, вызванных температурными погрешностями номиналов их элементов.

Ключевые слова: чувствительность, электрические фильтры, схемы Саллена-Кея.

Несмотря на активное развитие цифровых технологий, аналоговые схемы играют значительную роль в современной схемотехнике. Не являются исключением и схемы аналоговых электрических фильтров, которые используются в радиотехнике, измерительных системах, бытовой аппаратуре и т.д. Схемотехника аналоговых фильтров постоянно модернизируется, в результате появились схемы на переключаемых конденсаторах, интегрированные универсальные схемы фильтров и другие решения. Но классические схемы .RC-фильтров с использованием операционных усилителей, а также схемы на их основе в настоящее время широко распространены. Для упрощения процесса настройки фильтра и снижения чувствительности его характеристик к изменению номиналов элементов схемы на практике используются схемы фильтров 1 и 2-го порядков, а при необходимости получения схемы более высокого порядка - каскадное соединение указанных звеньев. Из всего разнообразия схем активных фильтров благодаря простоте наибольшее распространение получили схемы с положительной обратной связью (ПОС), частным случаем которых являются схемы Саллена-Кея и Рауха (с многопетлевой отрицательной обратной связью).

При проектировании электрических схем необходимо учитывать, что характеристики реально выполненной схемы будут отличаться от расчетных. Основные причины этого заключаются в отклонении номиналов элементов схемы от расчетных значений. Погрешности номиналов элементов можно условно разделить на ограниченную точность расчетов, дискретность номиналов элементов, погрешности изготовления элементов, температурную погрешность и др. Первые три погрешности минимизируются повышением точности расчетов, выбором прецизионного типа радиоэлементов с номинальными значениями из ряда Е192 (по ГОСТ 28884-90), последовательным либо па© А.В. Фролов, 2013

раллельным включением элементов, включением в схему подстроечных элементов и т.д. Погрешности, связанные с изменением параметров окружающей среды, главным образом температуры, компенсируются за счет использования более сложных технических решений [1]. Поэтому для оценки необходимости применения специальных мер по стабилизации параметров схем надо оценить степень чувствительности схемы к изменению параметров ее элементов.

В настоящей работе исследована параметрическая чувствительность наиболее распространенных схем активных фильтров с ПОС 1-го и 2-го порядков.

В ходе исследований анализировались следующие схемы фильтров: фильтры верхних частот (ФВЧ); фильтры нижних частот (ФНЧ) с ПОС (Саллена-Кея). Исследовались фильтры 1-го и 2-го порядков [2, 3]. Во время экспериментов исследовались следующие наиболее важные параметры передаточных характеристик фильтров: коэффициент усиления в полосе пропускания Ки; частота среза/с; относительная ширина переходной области ТЖ.

Относительная чувствительность параметра Г к изменению значения х рассчитывалась по формуле ^ = — ■ [4].

— дх

Анализ чувствительности параметров фильтров к изменению номиналов элементов схемы выполнялся аналитически по передаточным функциям схем с использованием программы Mathcad. В расчетах не учитывались параметры применяемого операционного усилителя, предполагалось, что его параметры близки к идеальным. Для проверки правильности расчетов проводилось моделирование работы схемы в программе Multisim с использованием моделей реальных элементов.

Расчет чувствительности ФНЧ 1-го порядка с ПОС. Анализируемая схема представлена на рис.1,а. Передаточная функция фильтра в комплексном виде после преобразования Лапласа записывается как

Н (» =-1-,

ЯЬС1jw +1

где Ш, С1 - номиналы элементов схемы; w = 2к/- круговая частота (/"- частота); 7 = 4—1 - мнимая единица.

Рис.1. Схемы ФНЧ (а) и ФВЧ (б) 1-го порядка с ПОС

Коэффициент усиления фильтра равен модулю передаточной функции на частоте 0 Гц: Ки = |Н (0)| = 1, тогда чувствительность коэффициента усиления равна:

„к Л1 ¿К

V и _

=

^ аК С1 йК„

= 0, аналогично Ъс{ = ■

= 0.

К ¿Ш с1 Ки йС1

Частота среза фильтра соответствует частоте, на которой амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) снижается на 3 дБ относительно своего максимального значе-

ния, что

К

соответствует |Н ) = . Подставляя в эту формулу выражения передаточной

у 2

функции и коэффициента усиления, получаем следующее соотношение: ^ = ^ с\'

Чувствительности частоты среза представлены в табл. 1.

Относительная ширина переходной области определяется следующим образом:

ТЖ = 1---, где - частота, на которой АЧХ снижается на заранее оговоренную ве-

личину аз. После преобразований передаточной функции фильтра получаем выражение для ширины переходной области: ТЖ = 1 -

-1

Я1- С1

1

ч-1

Я1- С1

=1 -

л/ш0

0,1а,

-1

т.е. относительная ширина переходной области не зависит от номиналов элементов схемы.

Расчет чувствительности ФВЧ 1-го порядка с ПОС. Анализируемая схема представлена на рис. 1,6. Передаточная функция фильтра имеет вид

Н =

К1-С1 уп К1-С1 ^ +1

Коэффициент усиления, частота среза и переходная область фильтра определяются аналогично параметрам ФНЧ. Их чувствительности представлены в табл. 1.

Таблица 1

Относительные чувствительности параметров схем фильтров 1-го порядка к изменению номиналов их элементов

Параметр Ф] НЧ Ф] ВЧ

Я1 С1 Я1 С1

Ки 0 0 0 0

™с -1 -1 -1 -1

ТЖ 0 0 0 0

Расчет чувствительности ФНЧ 2-го порядка с ПОС. Анализируемая схема представлена на рис.2,а. Передаточная функция фильтра имеет вид

Н О) =

1

1

С1-С2- К1-КЗ , . ч2 , . ч

М К1 + К2

С1 [К1 + К2 + Кз ) + С1-С2 - К1-К2 - КЗ

К2

Коэффициент усиления фильтра на постоянном токе равен: =

К1 + К2

а о

Рис.2. Схемы ФНЧ (а) и ФВЧ (6) 2-го порядка с ПОС

Выразить частоту среза непосредственно из формулы передаточной функции достаточно затруднительно, а получаемое выражение относительно громоздко. Поэтому частоту среза можно выразить через коэффициенты передаточной функции ФНЧ 2-го порядка. Передаточная функция ФНЧ в общем случае определяется следующим обра-

К. 2

зом: Н=-г---с--, где В и С - коэффициенты передаточной функции,

(jw)2 + Bwc + Cw¿c

зависящие от вида аппроксимации передаточной функции и неравномерности АЧХ [5]. Для монотонной аппроксимации Баттерворта С = 1. Сопоставляя передаточную функцию ФНЧ с анализируемой передаточной функцией, получаем следующее выражение

' Л1 + Л2

для частоты среза: ^ = —

с \С ■ С1С 2 • Я1-Я2 ■ Я3

Начальные частоты полосы задерживания фильтров Баттерворта и Чебышева определяются следующим образом [5]:

2-m/i п0,1а, л

W3 = wc -v10 3 -1

w = W ■ ch

f f arch

V v

ViO07

0,1а,

-1

■Y\

Vio07

0,1а

-1

■ m

-1

J J

где т - порядок фильтра; ап - амплитуда пульсаций АЧХ в полосе пропускания.

Тогда относительная ширина переходной области для этих фильтров будет опреде-

ляться выражениями

TW = 1 -

0,1а,

-1.

TW = 1 - ch

arch

л/100Даз -1 л/100Дап -1

m

-1

Расчет чувствительности ФВЧ 2-го порядка с ПОС. Анализируемая схема представлена на рис.2,6. Передаточная функция фильтра имеет вид

H (w) =

C1

(W)2

C1 + C2 (W)2 + (jw)R1

C1 + C 2 + C3

1

R1 R2 ■ C 3(C1 + C 2) R1- R2 ■ C3(C1 + C 2)

C1

Коэффициент усиления фильтра в полосе пропускания равен: Ки = ^ ^^ Передаточная функция ФВЧ в общем виде имеет следующий вид:

К- т2

Н = —

о Bw w'

О)2 + )+^

Сопоставляя выражения передаточной функции ФВЧ, определяем частоту среза:

Wc =

C

R1 ■ R2(C1 + C 2)C3

Г 1 I"1

Относительная ширина переходной области [5] ТЖ = 1 н--, где ТЖн - отно-

V ТЖн)

сительная (нормированная) ширина переходной области ФНЧ прототипа.

Из приведенных данных видно, что исследованные схемы фильтров чувствительны к номиналам элементов их схем (табл.2, рис.3). При этом у фильтров 1-го порядка к номиналам элементов схемы чувствительна только частота среза. Чувствительности частоты среза одинаковы для обоих элементов схемы. Относительная ширина переходной области и коэффициент усиления этих фильтров к изменению номиналов элементов не чувствительны.

Таблица2

Относительные чувствительности параметров ФНЧ и ФВЧ 2-го порядка к изменению номиналов элементов

Тип фильтра Параметр Я1 Я2 Я3 С1 С2 С

ФНЧ

Все фильтры К К-1 1-Ки 0 0 0 -

Баттерворта »с Ки 2 Ки _ 1 2 -0,5 -0,5 -0,5 -

Чебышева -0,5

Баттерворта ТЖ 0 0 0 0 0 -

Чебышева См. рис. 3

ФВЧ

Все фильтры Ки 0 0 1-Ки Ки-1 0 -

Баттерворта »с -0,5 -0,5 _ 2 ки _1 2 -0,5 -

Чебышева -0,5

Баттерворта ТЖ 0 0 0 0 0 -

Чебышева См. рис. 4

Рис. 3. Зависимость относительной чувствительности ширины переходной области от неравномерности АЧХ в полосе пропускания ФНЧ (а) и ФВЧ (б) Чебышева 2-го порядка при различных значениях минимального затухания АЧХ в полосе задерживания

У фильтров 2-го порядка чувствительность частоты среза меньше по сравнению со схемами 1 -го порядка. Но эта чувствительность различна для разных элементов схемы и зависит от коэффициента усиления фильтра. Минимальная чувствительность дости-

гается при коэффициенте усиления Ки = 0,5 и сохраняет приемлемое значение при коэффициенте усиления не более 1. Коэффициент усиления фильтров 2-го порядка чувствителен только к номиналам двух элементов (Ш и К2 у ФНЧ и С1 и С2 у ФВЧ) и зависит от коэффициента усиления схемы. Минимальная чувствительность наблюдается при коэффициенте усиления К = 0,5. Относительная ширина переходной области чувствительна только к неравномерности АЧХ в полосе пропускания и имеет достаточно сложное аналитическое описание. Чувствительность относительной ширины переходной области возрастает с увеличением неравномерности АЧХ и уменьшением минимального затухания в полосе задерживания. Приемлемые значения чувствительности соответствуют неравномерности АЧХ не более 1 дБ и минимальному ослаблению сигнала в полосе задерживания не менее 30 дБ.

Приведенные рассуждения справедливы для раздельного анализа чувствительно-стей параметров схем к номиналам их элементов и позволяют выявить элементы, оказывающие максимальное воздействие на параметры схемы и, следовательно, требующие применения более жестких мер по обеспечению стабильности параметров. Но в реальных схемах из-за действия внешних факторов происходит одновременное изменение параметров всех элементов. Поэтому при анализе чувствительности реальных схем к изменению условий окружающей среды необходимо учитывать комплексную чувствительность, определяемую в соответствии с принципом суперпозиции, т.е. относительное изменение параметра схемы определяется суммой погрешностей, вносимых каждым элементом:

ёх,

где п - количество элементов схемы; - относительная чувствительность параметра

77 ёх,

Г к изменению номинала элемента х/; —- относительное изменение номинала /-го

х,

элемента схемы.

Для определения влияния наихудшего сочетания отклонений номиналов элементов на параметры схемы можно модифицировать приведенную формулу до вида

ИР "

™ я V X 1 I ^ —

тах

= 7 I, Л

х,

- ,=1

Ж

Х,

где dFmax и тах - максимально возможные отклонения параметра схемы и номинала /-го элемента схемы.

При анализе сложных схем, для которых аналитическое представление чувстви-тельностей трудоемко и громоздко, можно использовать численные методы с применением статистического анализа Монте-Карло.

Статическая составляющая отклонения номиналов элементов от расчетных значений (вызванных низкой точностью расчетов, необходимостью округления номиналов элементов до значений из номинального ряда, погрешностью изготовления элементов и т.д.) может быть нивелирована при настройке схемы за счет применения подстроечных элементов. А динамическая составляющая, вызванная изменением параметров окружающей среды (главным образом температуры), минимизируется с применением более сложных схемотехнических решений. Поэтому наибольший практический интерес

представляет анализ чувствительности параметров схемы к изменению температуры окружающей среды.

Относительное изменение номиналов элементов, обусловленное изменением температуры, зависит от температурных коэффициентов емкости (ТКЕ) и сопротивления

(ТКС) элементов: ^ = СТ ■ ТКС; = сТ ■ ТКЕ, где ёТ - изменение температуры. Если

в схеме используются элементы одного типа (с одинаковыми ТКС и ТКЕ), то выражения для комплексных погрешностей схем к изменению температуры преобразуются до следующего вида:

- для ФНЧ и ФВЧ 1-го порядка

^ = 0, жж = 0, с = + ТКЕ) ■ ат;

Ки тж /с ( )

- для ФНЧ и ФВЧ 2-го порядка

^ = о, ^ = _(ТКС + ТКЕ) ■ с1Т . Ки Л

Анализ температурной погрешности ширины переходной области фильтров 2-го порядка в аналитическом виде затруднителен в связи со сложным аналитическим выражением этой погрешности, расчет которой необходимо проводить для конкретной схемы с использованием численных методов.

Температурные коэффициенты для большинства широко распространенных радиоэлементов не превышают 0,2%/К. При изменении температуры на ±40 °С относитель-

А « К п Л /

ные изменения параметров фильтров будут следующими: ^ = 0, ^^ = 0 (для

фильтров 1-го порядка); —- = ±16%. Таким образом, применение элементов одного

типа обеспечивает полную компенсацию температурной погрешности коэффициента усиления и ширины переходной области, но обуславливает значительную погрешность частоты среза.

Анализ выражений для температурных погрешностей показывает, что полностью компенсировать погрешность частоты среза можно за счет применения резисторов и конденсаторов с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку температурными коэффициентами: ТКЕ = -ТКС. При этом температурная погрешность частоты среза будет равна нулю.

Анализ чувствительности параметров схем к изменению номиналов их элементов является необходимым этапом проектирования схем. Он позволяет не только определить требования к точности подбора номиналов элементов и необходимость применения специальных мер по их стабилизации, но и стабилизировать параметры схемы при изменении условий окружающей среды путем эффективного подбора типов пассивных элементов.

У схем активных фильтров с положительной обратной связью (схемы Салена-Кея) 1-го порядка к изменению номиналов элементов чувствительна частота среза, а коэффициент усиления и относительная ширина переходной области нечувствительны. У схем фильтров 2-го порядка все исследованные параметры чувствительны к изменению номиналов элементов. При этом чувствительности схем 2-го порядка в среднем в два раза

ниже по сравнению со схемами 1-го порядка, но количество элементов у схем 2-го порядка больше. Поэтому при использовании пассивных элементов одного типа чувствительности схем 1-го и 2-го порядков одинаковы. Чувствительности параметров фильтров 1-го порядка постоянны, а фильтров 2-го порядка зависят от номиналов элементов схемы, определяющих коэффициент ее усиления. Минимальная чувствительность обеспечивается при коэффициенте усиления 0,5.

Температурная чувствительность параметров фильтров полностью нивелируется при использовании пассивных элементов с одинаковыми по величине, но разными по знаку температурными коэффициентами сопротивления и емкости.

Анализ чувствительностей параметров фильтров высоких порядков и с относительно сложной передаточной функцией в аналитическом виде затруднен. В связи с чем наибольший практический интерес представляет анализ чувствительностей параметров конкретных схем с применением численных методов решений и статистического метода Монте-Карло.

Интересен анализ чувствительностей других широко используемых схем активных фильтров с целью решения вопроса выбора оптимальных схем и разработки требований к выбору их элементов.

Литература

1. Христич В.В. Справочник по расчету низкочувствительных активных фильтров. - Ростов н/Д.: Изд-во СКНЦ ВШ, 2005. - 348 с.

2. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 128 с.

3. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983. - 752 с.

4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. - М.: Мир, 1984. - 320 с.

5. Расчет активных фильтров / А.В. Фролов, В.В. Лановенко, В.А. Чекалов и др. - Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО «КнАГТУ», 2011. - 131 с.

Статья поступила 12 января 2012 г.

Фролов Алексей Валерьевич - кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. Область научных интересов: анализ существующих схемотехнических решений в аналоговых устройствах и их оптимизация. E-mail: AFrolov_kms@Mail.ru

Информация для читателей журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника»

Вы можете оформить подписку на 2013 г в редакции с любого номера. Стоимость одного номера - 800 руб. (с учетом всех налогов и почтовых расходов).

Адрес редакции: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ, коми. 7231. Тел./факс: 8-499-734-62-05. E-mail: magazine@miee.ru http://www. miet. ru/structure/s/894/e/12152/191