Анализ напряженно-деформированного состояния пористой нелинейно-деформируемой круглой пластины в конструкционно-связанной задаче чистого изгиба Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.3

А.В. Мозжилин

аспирант, кафедра «Теория сооружений и строительных конструкций», ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.»

С.М. Шляхов

д-р физ.-мат. наук, профессор, кафедра »Теория сооружений и строительных конструкций», ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.»

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОРИСТОЙ НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ В КОНСТРУКЦИОННО-СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ЧИСТОГО ИЗГИБА

Аннотация. Представлено решение конструкционно-связанной задачи чистого изгиба и анализ напряжений пластины при нелинейном характере деформирования. Показано изменение напряженно-деформированного состояния с различной пористостью, зависящей от напряженно-деформированного состояния при малых и больших деформациях.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, пластина, пористость, изгиб.

A.V. Mozzhilin, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

S-М. Shlyakhov, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

ANALYSING STRESS-DEFORMED CONDITIONS OF THE POROUS NONLINEAR DEFORMABLE ROUND

PLATE IN THE CONSTRUCTION-RELATED PROBLEM OF THE PURE BEND

Abstract. There presented solution of the construction-related problem of the pure bending and stress analysis of plate in the nonlinear nature of the deformation. Shows the change of the stress-strain state with different porosity dependent from of stress-strain state, for small and large deformations.

Keywords: stress-deformed conditions, plate, porosity, bend.

Рассмотрим круглую пластину пористой структуры, пронизанную капиллярными каналами цилиндрической формы и перпендикулярными её срединной поверхности в состоянии чистого изгиба моментами интенсивности т (рис. 1).

Z

R

Рисунок 1 - Круглая пластина в состоянии чистого изгиба моментами интенсивности т

Здесь и ^ - размеры пластины; V - угол наклона нормали к срединной поверхности пластины; т - момент интенсивности; ог ,ав - радиальные и угловые напряжения.

Начальный диаметр поры - а0. В силу симметрии нагружения пластины пора остается круглой, но с диаметром переменным по толщине пластины. Нагружение пластины осуществляется статическим образом по шагам. Материал пластины подчиняется нелинейному закону

деформирования а = f(е). Для представления диаграммы в случае малых нелинейных деформаций выбираем поленом нечетной степени вида:

а = Ае + А^3 + Л5е5.

(1)

Для случая больших нелинейных деформаций - в виде полинома по дробным степеням:

а = А1е + Ае3 + А5е5.

(2)

Рисунок 2 - Ориентация напряжений в полярных координатах сегмента

пластины под углом в

Найдем изменение пористости при двухосном напряженном состоянии (рис. 3):

Рисунок 3 - Двухосное напряженное состояние поры Старая и новая пористость равна:

2 2 р • э л р • э

р = /-1 ■ О — / стар ~

; Р =:-

4' нов л

4

При условии, что ах = а = а, диаметр поры после ¡-го шага нагружения будет равен:

2а,

Е

=э

1 +

2Аа, Е

при /=1,2,..., п.

р • э 4

Р = Р ---—

нов стар л

р 4 р• э,.-1

( а

V э/-1 J

(3)

(4)

На основании (3) и (4) получаем выражение для нового значения пористости Рнов через предыдущий шаг нагружения.

Р =Р

нов стар

V Е, у

(5)

где Е, = —--секущий модуль.

у=1

Схема пошагового нагружения на диаграмме а-е. отражена на рисунке 4 [2]:

а

А(5з< / / / Р ы х \Ра

/ /7 ' У у / А Ез

Ро? 4// Е2 / V 1 /4Е1 1

ЛСТ1'

0 \ Д82 Абз Ав1 8

Рисунок 4 - Схема пошагового нагружения

Вследствие нагружения, внутри пластины возникают окружные ав и радиальные аг напряжения. Для описания напряженно-деформированного состояния при нелинейных законах деформирования используем зависимости для интенсивности деформаций:

Ч (Чг + К - Ч )2 + К )2 ,

42 42

\2 Г- \2 / \2 / \2

е =^тч(£г) +(ев-е2) +(е) .

3

о п ^У

Здесь из условия симметрии имеем: аг =ав, а2 = 0 , ег = ев = 2 — ,

(6) (7)

где

V - угол наклона нормали к срединной поверхности пластины; е2 - деформация по оси 2 в случае больших нелинейных деформаций определяется из условия несжимаемости материала:

ег = -2ег = -2ев . (8)

Диаграмму деформирования -е: представим полиномом вида (1) или (2) со своими коэффициентами А'. Для начального шага нагружения зададим угол V, соответствующий началу пластических деформаций.

тг

У=

0(1+т)'

(9)

где 0 =

ЕП3

, аТ, т , Е - соответствует начальной пористости Ро.

12(1 -т2)

Для определения напряжений, соответствующих заданному моменту т, применим по-

У

следовательное приращение угла V на величину Ду =

, где п - количество шагов нагруже-

п

ния. На каждом из малых шагов нагружения решаем линейную задачу, считая, что сохраняется

закон Гука с секущим модулем Е,..

Опишем последовательность решения задачи.

1. Строим диаграммы а-е , а-е, взяв начальную пористость Р0 (рис. 5):

Рисунок 5 - Диаграммы деформирования а и а/е , где индекс (1) - шаг нагружения Расчетные формулы следующие:

а = а; е = 2(1+т*)е, (10)

где т= 0,5 - ЕР(0,5 + т(Р)).

2. Аппроксимируем диаграммы нормального вида (1) или (2).

2 • ат (1

3. Задаем максимальный угол п >

ЕЬ

п

4. Задаем шаг нагружения Дп = (п - количество шагов).

п

5. Принимаем для первого шага к, = Дп .

6. Определим е ,(1) = е в(1) = .

7. Для каждого слоя 1 определяем е„, ет , е,.

8. Вычисляем е: для первого шага нагружения.

9. По найденной интенсивности е{ находим Де1 на диаграмме а-е.

10. Находим секущий модуль Е. = Да-.

Де1

11. Определим напряжение (приращение) в слоях: Др , Дав.

12. Определим приращение момента для первого шага нагружения:

%

ДМ1 = | Да^ гбг. (11)

13. Определяем пористость по формуле (5).

14. Пересчитываем диаграммы а-е , а: -е: для новой пористости Р1.

15. Даём приращение угла Дп , т.е. получим к2 =п1 +Дп .

16. Определяем положение нейтральной оси из условия равенства нулю продольной силы в сечении и повторяем весь цикл наклона:

ЕМ

х=

17. Находим значение момента:

т = X Щ.

+X

1=2

Е1 • Л

п=1 -1

X Л*

ЛХ Е1 • Л

1=1

(12)

(13)

18. Повторяем расчёт.

По формуле (13) можно последовательными шагами нагружения добиться совпадения т и тзад. или их близкого значения.

В качестве примера расчета были использованы следующие исходные данные: радиус алюминиевой пластины Я=0,5 м и толщина Л=0,01 м.

Рассмотрим три варианта начальной пористости Ро - 0.313, 0.344, 0.411. Задаёмся моментами интенсивности, соответствующими данным показателям начальной пористости, при которых стремимся достичь 2% деформации: т=2,9 [кН], т=2,7 [кН], т=2,2 [кН]. Задаём начальную угловую деформацию v=0.3939 при а-^р=0313) = 150,14 [МПа], v=0.3883 при 0.(р=°,344) = 142,43[МПа], v=0,3442 при а<р=0'411) = 111,64[МПа].

т (кПа) 3.5

Момент т

з

2.5 2 1.5 1

0.5 0

_ —

. - - "

^ ¿г

/

" 1 11 1 1111 II 1111

20 40 60 80 100 -Р=0,313---Р-0,344 ---Р=0,411

Рисунок 6 - Изменение момента интенсивности т от количества шагов нагружения

1ч (м) Изменение пористости Р

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

/ 1 1 ! 1

/ / 1 1 1

::::г " ыфя лгал 7 7 ш 1 1

/ 1 1 1

1 !

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

■Р=0,313---Р-0,344 ---Р=0,411

Рисунок 7 - Распределение пористости по высоте сечения

При выполнении пошагового нагружения алюминиевой пластины для Ро =0,313 получаем заданный момент на 79 шаге, где сам момент равен т=2,952 [кН], что соответствует кривизне vмах=2,5v=0,9848. Для пористости Ро =0,344 достигаем необходимый момент на 81 шаге, рав-

1

+

2

2

к=1

ный т=2,709 [кН], которой соответствует кривизне vмах=2,5v=0,9707, а для Ро =0.411 - на 92 шаге с моментом равным т=2,709 [кН], где кривизна соответствует значению vмах=2,5v=0,8605.

На рисунке 6 представлена диаграмма изменения величины краевого момента т от количества шагов при трёх значениях пористости - до достижения относительной деформации £~0,02. На рисунке 7 представлен график изменения пористости по толщине пластины (отсчёт ведётся от нижнего основания). На рисунке 8 изображены изменения напряжений по высоте сечения, где пористость зависит от напряжений. На рисунке 9 наглядно представлено влияние пористости на напряжения в сжатой и растянутой зоне.

Рисунок 8 - График изменения напряжений по высоте сечения

Рисунок 9 - Влияние конструкционной связанности на НДС Таблица 1 - Результаты исследования пористого материала

Пористость Р0 Пористость Р1 £ о при Р^сог^ о при Р=сопэ1 % влияния кон. связ. Зона сжатия (-) растяжения (+)

1 2 3 4 5 6 7

0,313 0,325 0,0205 265,6 272,5 2,55 +

0,301 -0,0193 -277,44 -272,6 -1,75 -

0,344 0,357 0,0199 240,81 247,6 2,76 +

0,331 -0,0193 -256,79 -247,7 -3,64 -

0,378 0,393 0,0201 216,85 226,7 4,34 +

0,363 -0,0197 -236,36 -226,7 -4,22 -

0,411 0,428 0,0207 194,34 204,0 4,73 +

0,395 -0,0194 -212,86 -204,0 -4,34 -

В таблице 1 наглядно отображено, как за счёт конструкционной связанности пористость изменяется под действием НДС (столбец 2) и оказывает влияние на напряжения по всей высоте пластины. При больших пластических деформациях (столбец 4) наглядно видим, как изменяются напряжения в крайних волокнах пластины. При расчете малых пластических деформаций по формуле (1) было выявлено незначительное влияние изменения пористости на напряжения (достижение максимальной деформации не превышает £~0.008) и составило ~1%.

Как показали расчеты, учет конструкционной связанности в максимальных значениях напряжений даёт в среднем 4,535%, а также с ростом пористости влияние конструкционной связанности увеличивается.

Список литературы:

1. Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешней нагрузки на поры в твердых телах / В.И. Бетехтин, С.Ю. Веселков, Ю.М. Даль, А.Г. Кадомцев, О.В. Амосова // Физика твердого тела. 2003. Т. 45, вып. 4. С. 618-624.

2. Королев В.И. Упругопластические деформации оболочек. М.: Машиностроение, 1971.

304 с.