CC BY
31
Шамровский А.Д., Шевченко В.А., Радченко В.В., Кучер В.Г., Кобец В.А. Влияние совместных колебаний лопастей поворотно-лопастной гидротурбины на движение ее рабочего колеса
На основе дискретной модели рабочего колеса поворотно-лопастной гидротурбины рассмотрены несамоуравновешенные формы колебаний системы вал с лопастями. Проанализированы движение вала и возникающие при закреплении вала реакции опорных подшипников на всех несамоуравновешенных формах колебаний.
Ключевые слова: поворотно-лопастная гидротурбина, дискретная модель, колебания, реакции опорных подшипников, вал с лопастями, рабочее колесо, несамоуравновешенные формы колебаний.
Shamrovskiy A., Shevchenko V., Radchenko V., Kucher V., Kobets V. Combined vibrations influence of the adjustable-blade turbine blades on the turbine water wheel motion
On base of discrete model of adjustable-blade turbine water wheel the nonself-balanced mode shapes of shaft with impeller blades system are considered. The shaft motion and supporting bearing reaction which appear due to shaft fixing on all nonself-balanced mode shapes are analyzed.
Key words: adjustable-blade turbine, discrete model, vibrations, supporting bearing reaction, shaft with impeller blades, water wheel, nonself-balanced mode shapes.
УДК 539.3
Канд. фіз.-мат. наук О. О. Авраменко Державна інженерна академія, м. Запоріжжя
АНАЛІЗ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ НЕТОНКИХ ОРТОТРОПНИХ КОНІЧНИХ ОБОЛОНОК ЗМІННОЇ ТОВЩИНИ ПІД ДІЄЮ НЕРІВНОМІРНОГО НАВАНТАЖЕННЯ
На основі запропонованого підходу проведено аналіз напружено-деформованого стану нетонких ортотропних конічних оболонок змінної товщини під дією нерівномірно розподіленого навантаження. Як приклад наведено результати розподілу прогинів для конічних оболонок у залежності від параметрів зміни товщини для деяких навантажень. Виявлені ефекти і отримані закономірності.
Ключові слова: нерівномірне навантаження, нетонка ортотропна конічна оболонка, уточнена теорія, змінна товщина, сплайн, метод дискретної ортогоналізації, напружено-деформований стан.
Вступ
Конічні оболонки сталої та змінної товщини широко застосовуються в різних галузях техніки як елементи конструкцій та деталі машин [1, 2]. Навантаження, під впливом яких знаходяться такі конструкції, часто може бути нерівномірним.
При розрахунку міцності оболонкових конструкцій необхідно мати інформацію про їх напружено-дефор-мований стан. Важливим при визначенні напружено-деформованого стану є врахування змінної товщини оболонки, оскільки в багатьох випадках необхідно вибирати раціональні параметри деформативності конструкції, не змінюючи її ваги. У багатьох випадках матеріали механічних об’єктів, що розглядаються, є анізотропними, що зумовлено широким застосуванням композитних матеріалів та змушує використовувати для дослідження напружено-деформованого стану таких конструкцій уточнені моделі теорії оболонок, що враховують вплив поперечного зсуву.
Для розв’язання задач статики тонких конічних оболонок як сталої, так і змінної товщини існує ряд розроблених методів, тоді як задачам про напружено-деформований стан конічних оболонок в уточненій постановці присвячено небагато робіт.
Метою даної роботи є розрахунок та аналіз напру-жено-деформованого стану оболонок вказаного класу на базі гіпотези прямолінійного елементу в залежності від параметрів змінної товщини та нерівномірно розподіленого навантаження.
1 Розв’язання задач статики нетонких конічних оболонок на основі сплайн-апроксимації
У деяких випадках, особливо для нетонких оболонок та оболонок з композитних матеріалів, припущення класичної теорії можуть привести до результатів, що недостатньо точно відображають суть механічних явищ, що вивчаються. Для розв’язання таких задач запропоновано різні варіанти уточнених моделей обо-
© О. О. Авраменко, 2011
лонок, отримані на основі менш жорстких припущень, ніж припущення про збереження нормального прямолінійного елемента.
Пропонується підхід до розв’язання двовимірних задач про напружено-деформований стан конічних оболонок в уточненій постановці [4] на базі гіпотези прямої лінії, заснований на пониженні розмірності задачі за допомогою сплайн-коллокації [3] і розв’язанні отриманої при цьому одновимірної краєвої задачі стійким методом дискретної ортогоналізації [1, 3].
Розглянемо клас нетонких конічних оболонок, віднесених до ортогональної системи координат s, e, Y , де s - довжина по створюючій поверхні приведення, - центральний кут у поперечному перетині, - нормальна до даної поверхні координата. Радіус кола в поперечному перетині представимо у вигляді r = го + cos ф- s.
Виходячи з основних співвідношень уточненої теорії оболонок, після ряду перетворень, отримуємо розв’язувальну систему диференціальних рівнянь у частинних похідних у переміщеннях, що описує на-пружено-деформований стан конічних оболонок змінної товщини:
д2u C66 д2u
д 2v
rC11—— + (C12 + C66)------------+
11 - 2 --2 6 дsдe
+ | r
5s2
C
дs
r дe2
Лдu 5C66 + cos фC11 |—+—66— +
11 )5s дe дs
1 дC66 дu
+ C12 sin ф-------+
12 5s r дe дe
cosфC22 дC22 + cosфC66 +
r дs r ) Ш
(
2
дC12 _ £2^_9C22 дs r
cos ф
r
u _cosфх
дC66 . I дC12 cos фC22
x r—v + sin ф| ----22 |w + rqs = 0;
дe
r
1C Sin2 фD66 + C
C12 2-------------------+ C66
Л д2u
дsдe
+ rC
66
д 2v дs 2
22 + _д_у + sin ФD66 д У s +
r дe
2
дsдe
д ye дC22 дu
+ Sin фD66 —^ + —22— +
дs
2
2
дC66 sin ф cos фD66
r —— +------------ , 66 + cos
дs
2
r
ду
дs
+|Sin ФІ566 _ snMk |iye +
дs
2r
дs
2
cos ф0^22 + C66) sin Ф Ж>66 +
2
r
sin2ф sin фD66 + 5C66
дs
дs
дu
50
1 дC__ ду sin ф/^ „ \9w
+------22— +-------— (C22 + K 2)— +
r 5Є 5Є r v 22 2 5Є
+ sin ф I 5d66 _ с°^>6£ +
5s
cos ф 5C22 ~г д^ u
5Є
f 2 Л
cos t5C66 + sin ФK2 _ Sin2Ф sin Ф 5D66 +
5s
22 cos фС66 + sin 2ФD66
2r
2
5s
2r3
+
sin Ф 5C22
r 5Є
хує + rqe = 0;
w + | sin фK2 _
sin2ф sin2ф cos фD66
2r
д2w K2 д2w 5u
rKl~TY + 2~w2 _Sin^12 T" +
2 до2 5s
5s
r 5e
2
I 5K1 Л 5w ду s
+ | r—1 + cos ф^ |-------+ rK1—-
5s ) 5s 5s
Sin ф
(C22 + K 2 — + -
ду 1 5K 2 5w
+
+K
r 5e r 5e 5e
5ye sin2фC22 sin ф 5K2
2
5e
2r
r
5e
sin2 фC22 r
5Kl
w + | cos ФK1 + г-д± |y s +
5K2
+^t ye+ rqY=0;
22 Sin фD66 д u Sin фD12 д v
r
5e2
r
дsдe
rD д2Уs + D66 д2Уs + d + D — 2ye rD11------T +---------------- + lD66 + D12 — aA
5s
2
r
5e
sin2фDl2 5u
5s
2r
2
cos фDl2 _ rK _ D12
r r
I )
5s
. 5D11 Лду s
+ |cos + r—)— +
+ 5D66 5Ує sin ф 5D66 5u + + _ +
5e 5s
r 5e 5e
+ | sin2ф(D12 + D22 + D66) _ sinф 5Dl2 W +
| 2r 2 r 5s ) 5e
+1 5D66 дУs +15D12 _ cosф(D22 + D66)Л дУe +
r 5e 5e | 5s
5e
+ | sin2фcosф(D12 + D22) _ sin2ф 5Dn
2r
2
2r
5s
2
sin2ф sin фD12 sin ф 5D12 sin2ф sin фD22
+ w+
2r
2
r
5s
2
r
r
r
X
v _
+
+
r
+
r
+
+
r
^ ЗД2 соб2 фБ99
СОБ ф ^ - гК1----------22 У ^
дs
соб ф дБ66
~ де""
у є =0;
2 2 біп фБ66 д и біп фБ22 д V
діде
+ (Б66 + Би)
д У і г> —+ Ю,
діде
дЄ2 д 2Уе 66 2 ді 2
+ £22_ д УЄ + біп2ФБ66 _дV + г о02 2г ді
дБ12 ду 2 ( дБ66
+——-------- + 1 г—66 + соб фБ66
дЄ ді { ді
біп2ф^22 біп ф дБ66 ^ ди
2 г ді І дЄ
дУе
ді
2г
біп ф дБ22 дv
г2 де де
, , соб ф(Б66 + Б22) , дБ66 |Х + ' Г ді
ду^ , 1 дБ22 дує біп2ф дБ 22
• +------
де г де де
2г2
де
дя
де
и +
, . біп 2ф дБ66 ^ біп2 ф дБ99
+ 1 біп фК2 +------------- IV------_22 я +
2г
ді
соб ф дБ99
+—“дТ у '
г де
гК2 - СОБ ф
2
дБ66 _ СОБ ФБ66 ді г
де
Ує = 0, (1)
Система диференційних рівнянь (1) в об’єднанні з граничними умовами утворює двовиміру крайову задачу.
З метою перетворення отриманої задачі у систему звичайних диференційих рівнянь представимо розв’ я-зувальні функції у вигляді лінійної комбінації сплайн-функцій. При цьому використовуватимемо В-сплайни третього ступеня. Покладемо, що торці оболонки жорстко закріплені. Тоді шукане рішення представимо у вигляді
N N
«О5-,0) = X «і (0)Фіг (5), ^ 0) = X V (0)Ф2/ (5Х
і=о і=о
N N
^,0) = X^ (0)Ф3іС4У 5 (s,0) = ХУ5і (0)Ф4і(5Х
і=о і=о
N
У Є (А і) = Хує/ (Є)Ф5/С4
(3)
де иі( 0 ), Vi( 0), wi( 0 ), У 5і (0), У0і (0) - шукані функції
змінної (0 ), ФіСО (/=1,5) - задані комбінації В-сплайнів третього ступеня на рівномірній сітці Д: Д: 0 = = 50 < 5і<...< SN = Ь. Щоб задовольнити граничним умовам и = V = w = у5 = Уе = 0 представимо сплайн-функції у вигляді
Ф /0(5) = -4В3 1(5) + В3 (5) ,
Ф/1(5) = Вз-1(5) -2в3(5) + В^),
Ф/і (5) = Вз (5) (і = 2,3,..., N - 2),
де и, V, м> - переміщення точок координатної поверхні в напрямках і, Є, у ; У5, Ує - повні кути повороту прямолінійного елемента; , де, Чу - компоненти
поверхневого навантаження, к(ґ) - кривина поперечного перерізу оболонки, ф - кут між нормаллю до оболонки та віссю обертання;
С11 =
Ези
, С12 - ^С1Ь С22
Ееи с ги, С— - Гсеи .
Бп -■
ЕХ
12(1-Ч^є
Б12 - ^Аь Б
22
Ее«
7їЄг‘
12(1 -^)
Б66 =-
ГіЄи
; К1 =-игп, к2 - - нгеу. 12 6 ' 6
У формулах (2) Е5, Е0 , V 5, vе - модулі пружності і коефіцієнти Пуассона в напрямках 5 і 0 , ,
°у , °0у - модулі зсуву, Н = Н($ 0 ) - товщина оболонки.
фу^_1(і) - в^%) -1 вЗ* (і) + в3-1 (і), 2
ф (і) - _4в3+1 (і) + в3(і). (4)
Перетворюємо систему рівнянь (1) з урахуванням рівностей (3) та (4) і задовольняємо її у точках коло-кації. Отриману при цьому систему звичайних диференціальних рівнянь приводимо до нормальної фор-
^ - ЛЯ + /
сІЄ
(5)
де
Я - {и
, иN, и0,
VN, Vо ,■■■, VN, ^о — , яо ,■■■, ;
У s0,..., У N, УSо,..., УSN, Уео —
т
уЄN,уЄ0,...,уеN} ;
Я - вектор-функція від Є ; / - вектор правих ча-
г
2
г
г
+
1= О
2
г
г
ми
З
стин; А - квадратна матриця, елементи якої залежать від параметра .
Будемо розглядати замкнені оболонки, у цьому випадку граничними умовами виступають умови симетрії.
Отриману одновимірну краєву задачу вирішуємо стійким чисельним методом дискретної ортогоналі-зації [1, 3].
Підставляючи отриманий розв’язок у співвідношення (3), отримаємо значення переміщень та повних кутів повороту нормалі, за ними можна з’ ясувати всі фактори напружено-деформованого стану.
2 Аналіз напружено-деформованого стану нетонких конічних оболонок у залежності від параметрів зміни товщини та навантаження
Розглянемо напружено-деформований стан конічних оболонок, що знаходяться під впливом змінного нормального навантаження, що змінюється згідно з
законом h = 1,5(1+ а|cos0|).
Матеріал оболонки має модулі поперечного зсуву GSJ = G0Y = 0,2E, Gs0 =0,4E; E = 5E, E0 =1,25Е -
j0y :
7s0
e
модулі пружності; коефіцієнти Пуассона vs =0,45, ve = 0,18.
Оболонка жорстко закріплена по всьому краю контура 0 < s < L, - п /2 < 0 < п /2, L = 30. Кут розкриття конуса у = п /2 - Ф = п /6.
Початковий радіус усіченого конуса
Г) = 20 _ -2 sin у.
Товщина змінюється згідно з законом h = = 1,5(1+ а|cos Є), при цьому зі зміною параметра а об’єм оболонки залишається незмінним.
Потрібно визначити таке значення, при якому розподіл прогину по коловій координаті в перетині s = L/2 буде найбільш рівномірним.
1
Через симетрію будемо розглядати — частину оболонки: Є є [О, п /2].
На рис. 1 наведено графіки розподілу прогинів по напрямній координаті для різних значень параметра а у законі зміни товщини. З рисунку видно, що бажаний результат спостерігається при значенні а = 0,175.
Висновки
Розроблено ефективний підхід до розв’язання двовимірних задач статики нетонких ортотропних конічних оболонок змінной товщини. Отримано розв’язки задач такого класу та виявлено закономірності. З наведених результатів видно, що варіюючи одночасно параметрами змінності товщини і навантаження при збереженні ваги оболонки можна побудувати раціональніший напружено-деформований стан оболонко-вих конструкцій.
Отримані результати мають теоретичний інтерес та важливе практичне значення для оцінки міцності і де-формативності елементів конструкцій, що мають форму конічних оболонок змінної товщини.
Список літератури
1. Григоренко Я. М. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью / Я. М. Григоренко, А. Т. Василенко, Г. П. Голуб. - К. : Наукова думка, 1987.216 с.
Ew/10 q
3,0
2,5
2,0
1.5
ц/=л/6 h-1.5
0.1
0.175
0.25 4 oT
a=0,5
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 20/п
Рис. 1. Розподіл прогинів по напрямній координаті у перерізі s = L/2
4. Григоренко Я. М. Решение на основе сплайн-аппроксимации двумерных задач статики ортотропных конических оболочек в уточненной постановке / Я. М. Гри -горенко, О. А. Авраменко, С. Н. Яремченко // Прикладная механика. - 2007. - T. 43. - № 11. - С. 43-54.
Одержано 15.12.2010
Авраменко О. А. Анализ напряженно-деформированного состояния нетонких ортотропных конических оболочек переменной толщины под действием неравномерной нагрузки
На основе предложенного подхода проведен анализ напряженно-деформированного состояния нетонких ортотропных конических оболочек под действием неравномерно распределенной нагрузки. В качестве примера приведены результаты распределения прогибов для конических оболочек в зависимости от параметров изменения толщины для некоторых нагрузок. Выявлены эффекты и получены закономерности. Ключевые слова: неравномерная нагрузка, нетонкие ортотропные конические оболочки, уточненная теория, переменная толщина, сплайн, метод дискретной ортогонализации, напряженно-деформированное состояние.
Avramenko O. Stress-strain state analysis of non-thin orthotropic varying thickness conical shells under action of uneven loads
Basing on the developed approach the analysis of non-thin orthotropic conical shells of variable thickness under stress-strain state action of uneven loads is carried out. As an example, the results of the distribution for conical shells of deflections in depending on thickness change parameters are shown for some loads.
Key words: uneven loads, non-thin orthotropic conical shells, Refined theory, varying thickness, spline, discrete orthogonalization method, stress-strain state.
УДК 004.021:539.3
Д-р техн. наук А. Д. Шамровский, Д. Н. Колесник, Т. А. Миняйло Государственная инженерная академия, г. Запорожье
УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Ранее рассмотренный метод расчета стержневых конструкций улучшен с целью повышения быстродействия алгоритма, уменьшения числа итераций и времени выполнения. Разработана и применена новая методика для нахождения промежуточного положения подвижных вершин.
Ключевые слова: стержневые конструкции, нелинейные системы, метод последовательных перемещений, использование ЭВМ, быстродействие, алгоритмы.
Введение
В работах [1, 2] представлен метод последовательных перемещений для расчета стержневых систем.
Этот метод позволяет решать как линейные, так и нелинейные задачи расчета таких систем.
Данная работа является продолжением работ [1, 2] с целью улучшения предложенного в них метода. Усо -вершенствованный метод позволяет существенно уменьшить количество итераций и сократить время расчета конструкции, а также улучшить надежность алгоритма вычислений.
Случай одноярусных конструкций, состоящих из произвольного количества стержней
Рассмотрим одноярусную стержневую систему, состоящую из n стержней, изображенную на рис. 1.
Начальные координаты узлов будут:
XB0, Уво, XAt = const, УА! = const, (i = 1,...,n). (1)
Пусть система находится в произвольном положении, отвечающем некоторому смещению узла B вдоль осей координат:
uB0, vB0 . (2)
2. Григоренко Я. М. Основи теорії пластин та оболонок / Я. М. Григоренко, Л. В. Мольченко - К. : Либідь, 1993. -232 с.
3. Григоренко Я. М. Численно-аналитическое решение задач механики оболочек на основе различных моделей / Я. М. Григоренко, Г. Г. Влайков, А. Я. Григоренко ■ - К. : Академпериодика, 2006. - 472 с.
© А. Д. Шамровский, Д. Н. Колесник, Т. А. Миняйло, 2011
