CC BY
34
№ 1 - 2 січень - лютий 2011
Выводы. Полученные зависимости по энергообеспеченности процесса обжига сухого сырца на основе ОСВ, ОУ и местных глин позволяют оценить энергопотенциал сырьевых составов и тепловую эффективность процесса обжига по значению коэффициента использования топлива Ктисп в отходах:
- в случае при Киспт < 1 необходимо дополнительное количество условного топлива на обжиг керамических изделий;
- в случае при Кисп т > 1 наблюдается избыток тепла, который необходимо отводить из зоны обжига, например, на сушку сырца.
Экономия условного топлива может составить при Кисп т > 1 равной 132,0 т и более при выпуске 1,0млн. штук кирпича.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Волженский А. В. Местное вяжущее на основе золы ТЭС и отходов углеобогащения / А.
B. Волженский, А. Н. Рязанов // Строительные материалы и конструкции. - 1992. - № 2. - С. 4 - 5.
2. Кошкарев В. Н. Тепловые установки / В. Н. Кошкарев, А. А. Кучеренко. - К.: Вища школа, 1990. - 335с.
3. Морозова Н. Н. Обжиг кирпича в туннельной печи. Методические указания. - Казань, 2006. - 37с.
4. Погостнова О. А. Эффективная пористая керамика из топливосодержащих отходов / О. А. Погостнова // Зб. наук. пр Луганс. нац. аграр. ун-ту. - 2003. - С. 82 - 88.
5. Погостнова О. А. Утилизация отходов городских бытовых сточных вод в строительной керамике. / О. А. Погостнова, Г. Я. Дрозд // Зб. наук. пр Луганс. нац. аграр. ун-ту. - 2004. -
C. 13 - 15.
6. Туровский И. С. Обработка осадков сточных вод / И. С. Туровский. - М. : Стройиздат, 1973.
7. Явруян Х. С. Структурообразование и свойства пористой строительной керамики на основе отходов углеобогащения: дисс. к. т. н.: Явруян Х. С. - Ростов-на-Дону, 2003. - 199 с.
УДК 539.3
МОДЕЛІ І МЕТОДИ АНАЛІТИЧНОЇ ТЕОРІЇ НЕТОНКИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОНОК
ПРИ СТАТИЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ
А. Г. Зеленський, к. ф. - м. н., доц.
Ключові слова: полога оболонка, варіаційний принцип Рейснера, поліноми Лежандра, фізична нелінійність, методи.
Вступ. Вирішувана проблема. Розрахунки на основі класичних і некласичних уточнених теорій пластин та оболонок, які основані на різних гіпотезах, для широкого класу граничних задач не можуть з високою точністю описувати напружено-деформований стан (НДС), оскільки за вказаними теоріями знаходження компонент НДС із довільною точністю в принципі неможливе, що зумовлено зображенням їх у вигляді малої кількості доданків, які приймаються на основі певних фізичних міркувань. Отримувані при цьому системи диференціальних рівнянь (СДР), як правило, мають невисокий порядок.
Вагомі результати в розвиненні і побудові уточнених теорій лінійно пружних елементів конструкцій, які базувались на використанні гіпотез, отримані у багатьох наукових працях вітчизняних та зарубіжних авторів. Огляд праць цього напряму виконано, зокрема, у [14].
З іншого боку, високоточні розрахунки пластин та оболонок потрібні для створення конструкцій та їх елементів, які мають високу питому міцність, жорсткість, економічність та надійність, що сприятиме забезпеченню матеріальних та ресурсних збережень у різних галузях сучасної техніки і будівництві.
Значний вклад у розробку високоточних розрахунків методами розв’язування граничних лінійно пружних задач на основі тривимірних рівнянь теорії пружності [12], які мали важливий вплив на розвиток теорії пластин та оболонок, внесли А. Т. Василенко, Б. Г. Гальоркін, В. А. Галич, В. Т. Грінченко, Я. М. Григоренко, О. М. Гузь, І. Ю. Бабич, А. Д. Коваленко,
21
Вісник ПДАБА
0. С. Космодаміанський, А. А. Мукоєд, Ю. М. Неміш, Н. Д. Панкратова, Ю. М. Подільчук, С. П. Тимошенко, А. Ф. Улітко, В. О. Шалдирван, Г. Єміліта [G. Jemielita], Н. Пагано [N. I. Pagano], К. Штам [K. Stamm], C. Стрініваз [S. Strinivas].
У той же час розв’язування граничних задач для лінійно пружних пластин та оболонок у тривимірній постановці пов’язане з великими математичним труднощами. Тільки в обмежених випадках, коли є можливість розділити змінні у СДР (крайові умови типу Нав’є та деякі інші), тривимірна задача теорії пружності для пластин і оболонок допускає можливість знаходження аналітичного розв’язку. Складність розв’язування у точній тривимірній постановці значно підвищується, якщо розглядаються непрості крайові умови або ж фізично нелінійні задачі.
У зв’язку із значними математичними труднощами використання тривимірних рівнянь теорії пружності знайшли своє розвинення аналітичні (математичні) теорії, згідно з якими компоненти НДС розкладалися у ряди за поперечною координатою за допомогою степеневих функцій або поліномів Лежандра. Суттєвий вклад у розвиток аналітичних теорій розрахунку лінійно пружних пластин та пологих оболонок і методів розв’язування прикладних задач із використанням поліномів Лежандра внесли І. Н. Векуа, Н. К. Галімов, В. І. Гуляєв, М. О. Кільчевський, Л. І. Лібреску, А. В. Плеханов, В. В. Понятовський, О. П. Прусаков,
1. Г. Терегулов, І. Ю. Хома, В. Є. Чепіга, Р. Чікала [R. Cikala], А. Солер [A. Soler]. При цьому тривимірна задача теорії пружності зводилась до двовимірної із застосуванням варіаційних принципів або ж проекційних методів [2; 11; 15; 16].
Велике значення в розробці методів розв’язування нелінійних задач для тонких пластин та оболонок мають наукові праці К. З. Галімова, В. С. Гудрамовича, О. М. Гузя, Б. Я. Кантора, Г. Каудерера, Р. М. Кушніра, Х. М. Муштарі, М. М. Николишина, В. А. Осадчука, Г. М. Савіна, В. Г. Піскунова, М. Г. Тамурова, І. А. Цурпала, І. С. Чернишенка, М. О. Шульги та інших, причому у деяких із них у задачах згину враховувались деформації поперечного зсуву.
Значний вклад у розробку методу збурень у механіці деформівного твердого тіла [1; 9; 10; 13] внесли О. М. Гузь, Л. В. Єршов, Д. Д. Івлєв, А. А. Ільюшин, Г. Каудерер, О. С. Космодаміанський, В. А. Ломакін, Ю. М. Неміш, П. М. Огібалов, Г. М. Савін, І. А. Цурпал та інші.
У той же час варіант теорії однорідних лінійно пружних пластин та оболонок із використанням взаємозв’язаних рівнянь, який ураховує всі компоненти НДС і дає можливість визначати їх з будь-якою необхідною точністю, потребує свого подальшого розвинення з метою більш глибоких досліджень НДС залежно від механіко-геометричних параметрів (МГП), типу навантаження та кількості наближень у рядах розкладання компонент НДС. Крім цього, характерна практична відсутність аналітичних теорій та їх моделей нетонких фізично нелінійних пластин і оболонок, основаних на методі збурень пружних властивостей матеріалу.
Звідси і випливає актуальність теми дослідження і наукова проблема, що потребує вирішення, суть якої полягає у необхідності розвинення і побудови нових варіантів аналітичної теорії та їх моделей і розробки ефективних методів, які б давали можливість з високою точністю визначати всі компоненти НДС пластин і оболонок з урахуванням крайових ефектів (КЕ) і щоб розв’язування граничних задач було можливим і простішим від розв’язку відповідних тривимірних задач теорії пружності.
Постановка задач. У даній роботі, яка є узагальненням частини багаторічних досліджень автора, розглядаються фізично лінійні і нелінійні однорідні пологі оболонки довільної сталої товщини з позицій тривимірної теорії пружності, які перебувають під дією будь-якого статичного поперечного навантаження, прикладеного до лицевих поверхонь. Крайові умови можуть бути довільними. статичного характеру.
Основні рівняння. Метод розв’язування. Для розвинених і розроблених варіантів теорії та їх моделей характерна важлива особливість: граничні умови на лицевих поверхнях задовольняються точно, що значно підвищує їх точність. Тривимірна задача теорії пружності зводиться до двовимірної на основі варіаційного принципу Рейснера [17], методу розкладання компонент НДС у ряди за поперечною координатою за допомогою поліномів Лежандра, методики одержання взаємозв’язаних рівнянь (згідно з якою основні рівняння залежать від усіх складових компонент переміщень, що входять у відповідні частинні суми рядів), розробленого методу збурень пружних властивостей матеріалу (для однорідних анізотропних і ізотропних фізично нелінійних елементів). Одержані СДР високого порядку, які є основою високої точності, відповідними математичними перетвореннями та методами зводяться до диференціальних рівнянь невисокого порядку.
22
№ 1 - 2 січень - лютий 2011
Нетонкі однорідні транстропні оболонки. З позицій тривимірної теорії пружності розвинено варіант теорії, моделі та розроблено методи розрахунку нетонких однорідних транстропних пологих оболонок (a х b х h) [3; 5 - 7]. Вважається тут і надалі, що площина ізотропії паралельна серединній поверхні.
Компоненти переміщень, поперечні напруження, які точно задовольняють граничним умовам, і тангенціальні напруження апроксимуються по товщині оболонки у вигляді рядів за поліномами Лежандра Pk (2z / h):
ад 2 z ад 2 z
U(x, y,z) = ZPh(—)uk(x, y), (U ^ V; u ^ v); W(x,y,z) = ZPk_i(—)wk(x,y); (1)
k=0 h k=1 h
ад 2 z ад 2 z
^(x y, z) = Z pn (—Xx„ (x, y), (x, y); (x, y, z) = Z pn (—К(x, y);
n=1 h n=o h
(2)
ад 27 ад 2 z
(x, У, z) = Z pn (—Kn(x y), (x, y); (x, y, z) = Z pn (^)tyxn (x, y),
n=0 h n=0 h
де
fxn (У y)
n+1
n+2
Zan,Q,x(x, y), (x y); szn(x,y) = Zbm®,(x y);
i=1 i=0
(3)
Qix(x, y) = Z h,
j=1
w,-, + Z l^u
V j,x
Щ J
(x y; uj, vj); ®i(x, y) = Z (4iW, + )+w+eiPp;
w
V J
0
sxn (x, y) = d0(un,x + VVn,y + k1vWn+1) + d10szn , k1v = k1 + V k2 , (^ y; un, Vn ’; k1v, k2v ) , fyxn (X, y) = G(u„,y + Vn,x), ( kAfi = 1/ ^1,2 - кривини оболонки).
Сталі множники при функціях тут і надалі залежать від МГП оболонки; m - натуральне число, яке залежить від кількості доданків у частинних сумах рядів (1).
Зображення компонент НДС у вигляді рядів (1), (2) на відміну від теорій, що основані на методі гіпотез, дає можливість визначати НДС з будь-якою точністю, ураховуючи в указаних рядах відповідну кількість складових компонент (моделі варіанта теорії). Якщо у рядах (1) урахувати складові компонент переміщень з індексами k = 0,1,...,n (для тангенціальних компонент переміщень) і k = 1,...,n (для поперечних переміщень), то у функціях (3) потрібно
приймати до уваги тільки ці складові.
Уперше виведені в явному вигляді взаємозв’язані основні рівняння за моделями М0-3, М0-5, які придатні для практики.
Уперше в одержаних СДР ураховані кривини у деформаціях поперечного зсуву. НДС указаних пологих оболонок для кожної моделі визначається розв’язками систем взаємозалежних диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Зв’язана СДР в загальному вигляді зображується таким чином:
Di,1u0 + Di,2V0 + Di,3u1 + Di,4V1 + Di,5u2 + Di,6V2 + Di,7u3 + Di,8V3 + Di,9u4 + Di,10V4 +
+ Di,11u5 + Di,12V5 + ... + Di,2m+1um + Di,2m+2Vm + Z Di,2m+n+2^Wn Dpq ,(i = 1,2,...,3m + 2), (4)
n=1
де Di, J - диференціальні оператори другого, першого і нульового порядків, а Dipq -
функції зовнішнього навантаження і їх похідних, які залежать від МГП оболонки.
Якщо у СДР для різних моделей не ураховувати кривини у деформаціях поперечного зсуву, то із них виділяються СДР, які визначають вихровий КЕ і СДР, що описують взаємозалежні внутрішній НДС і потенціальний КЕ. Так, для моделі М0-5 із СДР (4)
виділяється СДР (10-го порядку) відносно функцій /k (k = 1,2,...,5), яка визначає вихровий КЕ і СДР, що описує внутрішній НДС із потенціальним КЕ (24-го порядку).
Кососиметричне деформування (М0135) визначається СДР 22-го порядку. При цьому вихровий КЕ описується однорідною СДР 6-го порядку відносно вихрових функцій
/ (х, у) (i = 1,3,5)
Н/ + Н/3 + Н/5
0; (і = 1,3,5 х(/k = uk, y _ Vk,x, Н j = h
i 3,2
V2 + hi j,0),
яка операторним методом зведена до рівняння 6-го порядку відносно функції / (х, у)
(5)
Н 0/(х, у) = 0; (Н 0
К 6 6 + К4 4 + К
2B
v2 + К0 B X /i(х, у) = н/(х, у),
23
Вісник ПДАБА
де Н0 - ад’юнкти диференціального визначника системи (5).
Внутрішній НДС із потенціальним КЕ описується СДР 16-го порядку.
За розробленою методикою після осереднення деяких коефіцієнтів системи внутрішнього НДС із потенціальним КЕ зведені до зручних СДР відносно складових компонент переміщень u0,v0,w1,w2,... , які операторним методом перетворені до СДР відносно нових введених функцій. Суттєва перевага останніх СДР полягає в тому, що ліві частини всіх рівнянь кожної системи однакові. Це дало можливість побудувати форми їх загальних розв’язків.
СДР згідно з моделлю М0-3 має 22-й порядок. Вихровий КЕ визначається СДР 6-го порядку. СДР, яка описує внутрішній НДС із потенціальним КЕ (16-го порядку):
Piu0Uo + Piv0Vo + PwW + Piw2W2 + Pw3W3 = Pipq , (i = 1, 2, ..., 5) . (6)
СДР (6) зведена до зручної:
PDi (X У) = Pipq , (7)
де P - диференціальний визначник СДР (6).
Побудовані форми загальних розв’язків системи диференціальних рівнянь (7):
uo(х у) = р°Мо( х у)+Z рл Dir(х у); vo(х у) = р02 Dio(х у) + Z Pi2 Dir(х у);
І=1
І=1
Wk-2 (X У) = P1°D10(X У) + Z P0Drr (X У), (к = 3, 4 5) .
І=1
(D10(х, у) - загальний розв’язок однорідного ДР (7)).
Для різних наближень розроблена єдина методика перетворень СДР до зручних СДР та розвинуто операторний метод побудови форм загальних розв’язків СДР, одержаних на основі даного варіанта теорії. Зокрема, побудовані форми загальних розв’язків СДР на основі моделей М0-3, М013, М0135. Установлено, що з урахуванням перших n доданків у рядах (1) (наближення k = 0,1,3,...,n; n - непарне) система взаємозв’язаних рівнянь має порядок
2(3n + 2). При цьому СДР вихрового КЕ має порядок 2n;. внутрішній НДС із потенціальним КЕ визначається взаємозв’язаною СДР порядку 4(n +1).
Розроблено алгоритм визначення НДС, побудовано аналітичні розв’язки в тригонометричних рядах на основі взаємозв’язаних рівнянь. Виконано чисельні дослідження внутрішнього НДС квадратних у плані пологих оболонок при синусоїдальному навантаженні залежно від МГП та моделей варіанта теорії.
Тут і надалі стх(г) =стх(z)/ q ; W = WE /(qh); z = z / h ;. НДС при кососиметричному
навантаженні характеризується параметром pmn / qmn = 0, а при навантаженнях на верхній лицевій поверхні - параметром pmn / qmn = 1 (pmn, qmn - амплітудні значення інтенсивності зовнішнього навантаження); моногармонічне навантаження визначається параметрами m = n = 1 (кількість півхвиль), а полігармонічне - параметрами m = n = 3,5,... ; А з нижніми індексами означає відповідне розходження у відсотках. Лінії на графіках відповідають: —А— - МО-5 (або М0135); —■— - МО-3 (або М013); ^ - МОЇ; ---А— - класичній теорії
(КТ). Графіки і таблиці наведені для E / E = 1; v' = v = 0,3 .
На рисунках 1 - 4 зображено графіки залежностей компонент НДС при R12 / a = 5 ; G' / G = 0,1. Таблиці 1-4 характеризують компоненти НДС залежно від МГП, типу навантаження, урахування кривин (k(,2 = k12) у деформаціях поперечного зсуву (у табл. 1, 2 А
характеризує вплив урахування кривин k1,2 на НДС) і моделі варіанта теорії. Результати наведені при E' / E = 1, v' = v = 0,3 .
Отримано високу збіжність результатів при кососиметричному повільнозмінюваному навантаженні навіть для достатньо товстих ізотропних оболонок (h / a = 0,5; R12 / a = 5; v = 0,3
). Збіжність результатів у цілому поліпшується із зменшенням товщини, податливості матеріалу на поперечний зсув та із зростанням пологості серединної поверхні. При швидкозмінюваних навантаженнях для визначення НДС потрібно ураховувати вищі наближення. Для слабопологих товстих (h / a > 0,5; R12 / a < 1) транстропних оболонок необхідно враховувати залежність
24
№ 1 - 2 січень - лютий 2011
деформацій поперечного зсуву від кривин, а при кососиметричному навантаженні - складові компонент переміщень з парними натуральними індексами у рядах розкладання НДС (табл. 3).
z
Рис. 1. Змінювання cx по товщині {h / а = °Д; т = п = 9; pmn / qmn = Ґ)
~z
Рис. 1. Змінювання Сх по товщині {h / а = °,1;m = п = 9; pmn/ qmn = 1)
Рис. 2. Змінювання cz по товщині
(h/a = 0,1; m = п = 9;pmn/qmn = 1)
Рис. 2. Змінювання cz по товщині {h / а = °Д; m = п = 9; Pmn/ qmn = О
Т а б л и ц я 1
Компоненти НДС квадратної в плані транстропної оболонки
(h /а = 0,2;R 2 /а = 5; G'/G = 0,1; m
n = 1; Pmn / qmn
1;k'2 * 0/kj',2 = 0)
Z М01 М0-3 М0-5 А % А31 % А53 %
-0,5 3,479 3,444 4,844 4,832 4,841 4,832 0,19 28,2 0,06
-0,5 -52,17 -51,91 -50,83 -50,59 -49,52 -49,28 0,48 2,64 2,65
Т а б л и ц я 2
Компоненти НДС квадратної в плані ізотропної оболонки при ~ = 0,5 ; h / а = 0,5; R12/ а = 29/40; G' / G = 1; m = n = 1; pmn / qmn = 0; k[2 * 0/k'l2 = 0
КНДС КТ М01 М0-3 М0-5 А % А1к % А31% А 53 %
c -0,7789 -0,9052 -0,9740 -0,9921 6,59 14,0 7,06 1,82
x -0,9038 -0,9091 -0,9267 13,8 0,58 1,90
W -0,3696 -0,8225 -0,7379 -0,7485 18,3 55,1 11,5 1,42
-0,6840 -0,5982 -0,6118 46,0 14,3 2,22
Поперечне обтискання може суттєво впливати на НДС не тільки для товстих, а і для оболонок середньої товщини (h / а = 0,1 ^ 0,2), особливо при швидкозмінюваних навантаженнях (табл. 4).
25
Вісник ПДАБА
Т а б л и ц я 3
Компоненти НДС квадратної в плані транстропної оболонки при h/a = 0,5; R12 /a = 29/40; G'/G = 0,1; m = n = 1; k(,2 * 0; pmn /qmn = 0
Z М01 М013 М0-3 А ' % М0135 М0-5 А % М01 М013 М0-3 А % М0135 М0-5 А %
W
-1,052 -1,129 -1,726 -1,719
0,5 -0,874 -0,939 -1,013 -1,690 -1,562 -1,568
13,1 11,5 10,5 9,63
Т а б л и ц я 4
Компоненти НДС квадратної в плані транстропної оболонки при z / h = -0,5
h / a = 0,1 R1,2/ a = 5; G' / G = 0,1; m = n = 9; k|,2 * 0; Pmn / qmn = 0/ Pmn / qmn = 1
КНДС М01 М0-3 М0-5 А pq % А31% А53 % А51%
0,3595 0,6126 0,8815 41,3 30,5 59,2
Gx 0,1868 0,5042 0,6982 63,0 27,8 73,2
-1,979 -1,886 -1,852 4,93 1,84 3,94
W -1,977 -1,659 -1,586 16,8 19,2 4,60 24,7
На основі наведених за моделлю М0-5 даних у таблиці 5 є можливість оцінювати наближений розрахунок пологих оболонок, замінюючи їх відповідними пластинами.
Т а б л и ц я 5
Значення G для пологої оболонки (G'/G = 0,1; Е' /Е = l;v' = v = 0,3; т = п = 1; k'u * 0; p„ln/q„ln
0/Pmn/qmn
1)
h a z / h Пластина (ТР) Об-ка Rj 2 / a = 10 А po % Об-ка R12 / a = 20 А % Об-ка R12 / a = 40 А %
0,5 -3,190 -3,360 5,33 -3,278 2,76 -3,226 1,13
1 -3,299 -3,393 2,85 -3,349 1,52 -3,316 0,52
3 -0,5 3,190 2,871 10,0 3,031 4,98 3,102 2,76
3,081 2,702 12,3 2,890 6,20 2,978 3,34
1 5 0,5 -6,593 -6,981 5,89 -6,823 3,49 -6,715 1,85
-6,685 -6,973 4,31 -6,866 2,71 -6,783 1,47
-0,5 6,593 5,921 10,2 6,285 4,67 6,445 2,24
6,502 5,748 11,6 6,150 5,41 6,332 2,61
0,5 -21,57 -22,75 5,47 -22,41 3,89 -22,05 2,23
1 -21,65 -22,67 4,71 -22,41 3,51 -22,09 2,03
10 -0,5 21,57 18,62 13,7 20,28 5,98 20,98 2,74
21,49 18,41 14,3 20,12 6,38 20,86 2,93
Нетонкі ортотропні та ізотропні фізично нелінійні пологі оболонки. Побудовано новий варіант аналітичної теорії нетонких однорідних ортотропних і ізотропних фізично нелінійних оболонок (за Каудерером [9]) і розроблено на його основі методи їх розрахунку [4; 5; 8]. Варіант теорії базується на варіаційному принципі Рейснера і комбінованому методі, основаному на поєднанні методу розкладання усіх компонент НДС у ряди за поперечною координатою за допомогою поліномів Лежандра та методу збурень пружних властивостей матеріалу.
Розкладаючи компоненти НДС, поверхневі сили та зовнішнє навантаження у степеневі ряди за малим фізичним параметром є = 1/ g2 (gy - безрозмірна стала матеріалу порядку
104 -Ф107), одержують такі залежності:
26
№ 1 - 2 січень - лютий 2011
U(x,У,z) = Е U(І)(х,y, z)sl (U ^... ^єх ^ ... ^ ... ^ Хп ^... ^ q); ...; (8)
і=0
U(І )(х, у, z) = Е P^kV, У), (U ^ V; ukP ^ vf); W(I )(х, y, z) = Е Pkwk\(x, у) .
k=0 k=0
У наближенні і за параметром є компоненти напружень мають вигляд:
&Z1) (x, y, z) = Е PxZn(x, у); (x, y, z) = Е pj™ (x, y),
п=0 п=0
ад ад
1) (x, y, z) = Е pns(Jn(x, у) - Ф1-1, ( у у) ; °2(x, y, z) = Е p„t%( у у) - ф
,(і )/
„а)/
х)/
(9)
п=0
п=0
у) = Еbnг®г(I)(x,у); sXn)(x,у) = d0(u-(n,x +vvni + +^2; x,у; u,v; klv,k2v;
i=0
t»( x, У) = faQ), ^п (x, y) = °0{и”’у + ^); Qix)(x, y) = IhjwP + bxu j) + Ь^Л x, y)
1=1 1=1 1=0
(x,y); )(x,y) = Е(qvw(j) + j(I))+e-qq(I) + e-pP(I) + (x,y).
1=1
Тут і надалі функції з індексом (і) угорі - функції х, y, які залежать від і -го наближення, а з індексом (і — 1) - функції, що залежать суттєво нелінійно від усіх компонент НДС до (і — 1) -го наближення, причому, функції ф£ 9,Ф^ 9,Ф^1у—Г> інтегрально залежать від трьох
координат. Наявність функцій з індексом (і — 1) угорі у всіх співвідношеннях значно ускладнює розв’язування прикладних задач.
У новій постановці отримані в явному вигляді для довільного наближення за малим параметром є основні рівняння для нелінійно пружних пологих оболонок за моделлю М0-3, які безпосередньо можуть використовуватися для розв’язування прикладних задач.
СДР рівноваги на основі моделі М0-3 в наближенні і за параметром є :
А-,1и0І} + Di,2V0} + Di,3U1(I} + Di,4V1(I} + A,5u2 J + Di,6V2 J + Di,7U3IJ +
PXі)
Л)
(10)
+ D^) + Аг,9<) + Dr,10<) + D,,„<) = Щ) + D-q) + —1), (i = 1,2,... 11) ,
(I)
(I)
о) _ nO) ^ Ы1 ) ^ Ы1—1) d -1
де функції Dp), D(q) залежать від зовнішнього навантаження і -го наближення, D, j
диференціальні оператори відповідної лінійно пружної задачі.
Крайові умови:
де
/і (<} — +(<}—N0V )5v0l) + Е M — MkU Wk) +
s I k=1
+— м2 W)+Qw—Qkw Wk) )d=0,
N0U = (hs2 — фfX—1) )x + te — Ф£0}y, N0U = JP0X(J) (z, s)dz,
(11)
Mku) =
h
2k +1
s(I) ^ xk
^—l)
sxk rx
h
h t(I) — Ф('1—1) ІІ M(l) =
2k + 1 yxk syxk py 5 ku
(u, v; x, y; X„, Y); Qjw = -JL-^ (yj, + ,?,Jy ); QS =J p.—.Z,
?(l) kп
J PkXk)(Z, S)dz ,
z
(z, s)dz, (k = 1,2,3);
(lx, ly - напрямні косинуси; X^),...,Z^) - складові інтенсивності поверхневого
навантаження). Отримано також аналогічної структури основні рівняння для ортотропних пластин на основі методу збурень ізотропних пружних властивостей.
Праві частини отриманих СДР з частинними похідними (10) і крайові умови (11) в довільному наближенні за параметром Є лінійно (для ортотропних) і нелінійно (для фізично нелінійних оболонок) залежать від компонент НДС попередніх наближень.
За новим побудованим варіантом теорії розв’язано граничну задачу для ізотропної
нелінійно пружної оболонки (рис. 5, 6; табл. 6) (циліндричний згин). Лінія О відповідає
27
Вісник ПДАБА
фізично нелінійній теорії (ФНТ) (qm - амплітуда зовнішнього навантаження). Фізична
нелінійність може суттєво впливати на компоненти НДС (КНДС) (табл. 6). Для порівняння наведено результати за фізично лінійною класичною теорією (ЛКТ) та фізично лінійними моделями варіанта теорії М01, М013, М0135. Виконані з використанням методу збурень чисельні дослідження НДС квадратних у плані пологих транстропних оболонок (для порівняння результатів із прямим розв’язком) указують на ефективність підходу.
z
z
а
Z
Рис. 5. Змінювання ах (h/a = 1/5 R / a = 5; m = 1; qm = 15МПа)
Рис. 6. Змінювання ах (h / a = 1/5; R1/ a = 5; m = 9; qm = 15МПа)
Т а б л и ц я 6
Компоненти НДС ФНО з чистої міді від дії кососиметричного навантаження при циліндричному згині ( h / a = 1/5; ~ = 0,5; R1 / a = 10; m = 1 )
КНДС ЛКТ М01 М013 М0135 ФНТ qm =10 МПа А % ФНТ qm =15 МПа А %
ах -15,20 -15,28 -15,42 -15,42 -13,93 9,66 -12,08 21,7
W -67,62 -75,30 -73,22 -73,20 -84,24 15,1 -98,00 33,9
Висновки. 1. Сформульовано нові у математичному відношенні постановки граничних задач для лінійно пружних транстропних, ортотропних та ізотропних фізично нелінійних пологих оболонок довільної сталої товщини.
2. Уперше з використанням взаємозв’язаних рівнянь виведено в явному вигляді основні рівняння моделі високого наближення варіанта теорії нетонких однорідних транстропних пологих оболонок при їх довільному статичному поперечному навантаженні на лицевих поверхнях. Одержано СДР високого порядку (34-го) і крайові умови.
3. Виділено для оболонок диференціальні рівняння, які описують вихровий КЕ. Для оболонок внутрішній НДС і потенціальний КЕ визначаються взаємозалежною СДР. Розвинено операторний метод перетворення отриманих СДР у різних наближеннях і на його основі побудовано форми загальних розв’язків.
4. Одержано аналітичні розв’язки крайових задач в одинарних та подвійних тригонометричних рядах для фізично лінійних і нелінійних пологих оболонок за розвиненими та розробленими варіантами теорії.
5. Проведено аналіз і дослідження одержаних для оболонок СДР із частинними похідними на основі різних моделей. Побудовано алгоритми визначення НДС при довільному поперечному навантаженні і крайових умовах.
6. Розв’язано за розвиненим варіантом теорії на основі різних моделей граничні задачі визначення і дослідження НДС однорідних транстропних пологих оболонок довільної товщини при поперечному навантаженні залежно від МГП та типу навантаження. Створено програми розрахунку на ПК (на мові “Фортран”). Отримані чисельні результати для компонент НДС, знайдених за різними моделями, та порівняння їх між собою дають можливість оцінити збіжність результатів, точність моделей та прийнятність їх при визначенні внутрішнього НДС. Установлено, що напружений стан в області дії крайових ефектів, при швидкозмінюваних та квазілокальних навантаженнях необхідно визначати за моделями високого наближення теорії.
28
№ 1 - 2 січень - лютий 2011
Результати, отримані на основі моделей невисокого наближення, в т. ч. і за теорією Тимошенка-Рейснера, можуть суттєво відрізнятися від точних. Теорія типу Тимошенка - Рейснера задовільно описує НДС лінійно пружних пологих тонких оболонок із низькою податливістю на поперечний зсув при повільнозмінюваних зовнішніх навантаженнях.
7. Розроблено нові варіанти теорії та їх моделі однорідних ортотропних і ізотропних фізично нелінійних пологих оболонок довільної товщини, які базуються на варіаційному принципі Рейснера і методі розкладання усіх компонент НДС у ряди за поперечною координатою за допомогою поліномів Лежандра у поєднанні з методом збурень пружних властивостей матеріалу з використанням взаємозв’язаних рівнянь. Тривимірна задача теорії пружності для указаних оболонок зведена до рекурентної нескінченної послідовності лінійних двовимірних крайових задач. Праві частини отриманих СДР із частинними похідними, а також крайові умови в довільному наближенні за малим параметром лінійно (для ортотропних оболонок) і суттєво нелінійно (для нелінійно пружних оболонок) залежать від компонент НДС попередніх наближень.
8. Для фізично нелінійних оболонок у довільному наближенні за параметром є на основі М0-3 одержана неоднорідна СДР, яка описує вихровий КЕ ( СДР 6-го порядку) і система, яка визначає взаємозалежні внутрішній НДС і потенціальний КЕ (неоднорідна СДР 16-го порядку). Систему вихрового КЕ при кососиметричному і симетричному навантаженнях розділено на групи рівнянь (при кососиметричному - це СДР 4-го порядку, а при симетричному -диференціальне рівняння 2-го порядку); загальний розв’язок указаної СДР визначає вихровий КЕ, а частинні розв’язки - уточнюють внутрішній НДС відповідного наближення.
9. У новій постановці аналітично розв’язані граничні задачі з визначення внутрішнього НДС однорідних фізично нелінійних пологих оболонок. Залежно від МГП фізична нелінійність може суттєво впливати на компоненти НДС. Вплив фізичної нелінійності на НДС оболонок мало залежить від змінювання кривини середньопологих та сильнопологих оболонок (R1/a > 1).
10. На основі отриманих результатів і якісних ефектів сформульовано рекомендації при знаходженні НДС фізично нелінійних оболонок, а саме: розраховуючи тонкі оболонки при повільнозмінюваних поперечних навантаженнях, потрібно ураховувати нелінійно пружні властивості матеріалу, але при цьому достатньо використовувати класичну теорію; визначаючи НДС достатньо товстих оболонок, фізичною нелінійністю можна знехтувати, але компоненти НДС зображати у вигляді рядів; при розрахунках пологих оболонок із товщинами h / a = 1/8 т 1/3 потрібно використовувати як метод розкладання НДС у ряди за товщинною координатою, так і ураховувати нелінійно пружні властивості матеріалу; при швидкозмінюваних навантаженнях і у випадках, які призводять до НДС із високим градієнтом змінювання, також потрібно ураховувати фізичну нелінійність сумісно з розкладанням компонент НДС у ряди за поперечною координатою.
11. Розроблений у роботі метод збурень ізотропних пружних властивостей може бути узагальнений для побудови методу збурень транстропних властивостей анізотропних оболонок, що дасть можливість окремо досліджувати КЕ і внутрішній НДС із потенціальним КЕ, оскільки для суттєво анізотропних оболонок у прямій постановці це зробити неможливо.
12. Розроблена єдина методика математичних перетворень одержаних СДР високого порядку до СДР нижчого порядку (до другого) дає в перспективі можливість отримати загальні розв’язки та дослідити методами математичної фізики питання їх збіжності та єдиності.
13. Побудовані варіанти та моделі аналітичної теорії і розроблені на їх основі методи розрахунку однорідних фізично лінійних та нелінійних пологих оболонок довільної сталої товщини при статичному навантаженні дають змогу визначати з високою точністю їх НДС з урахуванням КЕ, що має велике теоретичне і прикладне значення в різних галузях техніки та в будівництві, особливо при уточнених розрахунках оболонкових елементів конструкцій.
ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Гузь А. Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости / А. Н. Гузь, Ю. Н. Немиш. - К. : Вища школа, 1982. - 352 с.
2. Гуляев В. И. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач / Гуляев В. И., Баженов В. А., Лизунов П. П. - Львов : Изд-во Львовского ун-та , 1978. - 192 с.
3. Зеленський А. Г. Варіант некласичної теорії згину трансверсально ізотропних пластин і
29
Вісник ПДАБА
пологих оболонок / А. Г. Зеленський, О. П. Прусаков, М. Г. Вовченко // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 1999. - В. 2, т. 2. - С. 58 - 65.
4. Зеленський А. Г. Варіант уточненої теорії згину однорідних фізично нелінійних пологих оболонок / А. Г. Зеленський // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка. - 2001. - В. 4, т. 1. - С. 56 - 64.
5. Зеленський А. Г. Аналітична теорія розрахунку нетонких пластин та оболонок і її застосування / А. Г. Зеленський // Теоретичні основи будівництва. - Д. : ПДАБА, 2006. - № 14. - С. 569 - 578.
6. Зеленський А. Г. Метод взаємозв’язаних рівнянь вищого порядку в аналітичній теорії пологих оболонок / А. Г. Зеленський // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла. - Д. : Наука і освіта, 2007. - В. 8. - С. 67 - 83.
7. Зеленський А. Г. Метод розв’язування системи диференціальних рівнянь високого порядку в аналітичній теорії нетонких оболонок / А. Г. Зеленський // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла. - Д. : Наука і освіта, 2008. - В. 8. - С. 93 -103.
8. Зеленський А. Г. Метод подвійних тригонометричних рядів в аналітичній теорії нетонких фізично нелінійних пологих оболонок / А. Г. Зеленський // Вісник Дніпропетр. ун-ту. Серія Механіка. - 2009. - В. 13, т. 1. - Т. 17, № 5. - С. 121 - 132.
9. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер. - М. : Изд-во иностр. лит., 1961. - 777 с.
10. Метод возмущений в краевых задачах механики деформируемых тел / [В. Д. Кубенко, Ю. Н. Немиш, К. И. Шнеренко. Н. А. Шульга] // Прикл. механика. - 1982. - Т. 18, № 11. - С. 3 - 20.
11. Немиш Ю. Н. Напряженно-деформированное состояние нетонких оболочек и пластин. Обобщенная теория (Обзор) / Ю. Н. Немиш, И. Ю. Хома // Прикл. механика. - 1993. - Т. 29, № 11. -С. 3 - 32.
12. Немиш Ю. Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных тел / Ю. Н. Немиш // Прикл. механика. - 2000. - Т. 36, № 2. - С. 3 - 38.
13. Немиш Ю. Н. Физически нелинейные пространственные задачи об упругом равновесии деформируемых тел / Ю. Н. Немиш // Прикл. механика. - 2000. - Т. 36, № 9. - С. 35 - 66.
14. Пискунов В. Г. Развитие теории слоистых пластин и оболочек / В. Г. Пискунов, А. О. Рассказов // Прикл. механика. - 2002. - 38, № 2. - С. 22 - 57.
15. Плеханов А. В. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины / А. В. Плеханов, А. П. Прусаков // Механика твердого тела. - 1976. - № 3. - С. 84 - 90.
16. Прусаков А. П. О построении уравнений изгиба двенадцатого порядка для трансверсальноизотропной пластины / А. П. Прусаков // Прикл. механика. - 1993. - Т. 29, 12. - С. 51 - 58.
17. Reissner E. On a variational theorem in elasticity / E Reissner // I. Math. and Phys. - 1950. - V. 29, № 2. - P. 90 - 95.
УДК 666. 914.5:663.543:002.68
ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТЕКЛОВОЛОКОН НА ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТЕКЛОЦЕМЕНТНЫХ КОМПОЗИЦИЙ
Л. В. Саламаха, асс., Е. Г. Кушнир, асп., А. И. Бегун *, к. т. н.
*Днепропетровский государственный аграрный университет
Ключевые слова: волокна, стойкость, твердение, портландцемент, сравнение.
Постановка проблемы. Применение стекловолокна одновременно с органическим волокном для армирования цемента или раствора обусловлено используемой его значительной прочностью на растяжение и относительно низким удлинением. Содержание стекловолокна относительно низкое, так как при повышенном его количестве возникают трудности при смешивании и уплотнении образцов. Попытки использовать стекловолокно для армирования цемента не были очень удачными из-за того, что щелочь, образуясь при гидратации и гидролизе цемента, вызывала коррозию волокна всех известных типов. За рубежом появилось выражение о несовместимости цемента и алюмоборосиликатного волокна. В Англии в начале 1960-х годов было изобретено щелочестойкое волокно Сеm - Fil, которое стало использоваться для армирования тонкостенных изделий на основе цемента. Аналогично в ГИС (СССР) был разработан состав щелочестойкого стекла Щ-15-ЖТ, а затем в России начали изготавливать
30
