CC BY
43
При р = і, а = 0, Du = D получается известное решение Мичелла для изотропной пластины.
Из этого решения легко получается функция Грина соответствующей краевой задачи
G( x, y, I, n) = W (x, y -n).
Полученное точное решение задачи об изгибе по-лубесконечной анизотропной пластины выражено в замкнутой форме через элементарные функции, что позволяет эффективно его использовать.
Список литературы
1. Лехницкий С. П. Анизотропные пластинки / С. П. Лех-ницкий. - М. : Наука,І977. - 4І6 с.
2. Максименко В. Н. Фундаментальные решения в задачах изгиба анизотропных пластин / В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - № 4. -С. І35-І43.
3. Левада В. С. К применению преобразования Фурье для построения фундаментального решения эллиптического дифференциального оператора / В. С. Левада. - Запорожье, І987. - Деп. в Укр. НИИНТИ, № 706. - Ук-87.
Одержано 21.03.2011
Левада В.С., Хижняк В.К., Левицька Т.І. Згин напівнескінченої анізотропної пластини з жорстко закріпленим краєм, що знаходиться під дією зосередженого навантаження
Отримано точний розв ’язок задачі згину напівнескінченої анізотропної пластини з жорстко закріпленим краєм, що знаходиться під дією зосередженого навантаження. Розв ’язок виражено в замкнутій формі через елементарні функції. Побудовано функцію Гріна відповідної крайової задачі.
Ключові слова: згин, анізотропна пластина, зосереджене навантаження, жорстке закріплення, функція Гріна, крайова задача.
Levada V., Khizhnyak V., Levitskaya T. The semiinfinite anisotropic plate with fixed edge bending under the action of concentrated load
The exact solution ofsemi-infinite anisotropic plate with a rigidly fixed boundary bending under a concentrated load is received. Solution is expressed in closed form through elementary functions. Green’s function corresponding to the boundary problem was built.
Key words: bending, anisotropic plate, concentrated load, fixed edge, the Green’s function, boundary value problem.
УДК 539.3
Канд. фіз.-мат. наук М. І. Клименко, канд. техн. наук В. В. Мухін
Національний університет, м. Запоріжжя
СКІНЧЕННОЕЛЕМЕНТНА МЕТОДИКА МОДЕЛЮВАННЯ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ У БАГАТОШАРОВИХ ЦИЛІНДРАХ
У статті пропонується методика дослідження процесів розповсюдження вільних пружних хвиль у нескінченних багатошарових циліндрах. Застосування такої методики дозволяє на основі єдиного алгоритму розв ’язувати такі задачі для циліндрів, складених з довільної кількості шарів без обмежень на їх геометричні характеристики. Побудовані та досліджені дисперсійні залежності між частотою та фазовою швидкістю невісесиметричних вільних хвиль для п ’ятишарових циліндрів.
Ключові слова: метод скінченних елементів, нескінченний багатошаровий циліндр, вільні пружні хвилі, дисперсійна залежність.
© М. І. Клименко, В. В. Мухін, 2011
ISSN 1607-6SS5 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2011 119
т5 =Р1( * + 0, т6 =Р2(* + 0,
I 2 . 2 ~ I 2 . 2 Г1 = V т1 + «1 , 1 = д/т2 + «1 ,
I 2 . 2 ~ I 2 . 2
12 = V т2 + «2 , 12 = V тб + «2 ,
I 2 . 2 I 2 . 2
г, = тз + «з , г4 = у т4 + «4 .
При втором варианте корней решение примет вид
& =------3----((* _^)2 + (у +а( х-О)2 )п ч -
8пр3£»11 " ’
-(в2(х + ^)2 + (У + а(х-^))2 -4Р2х^1пч +
+ 2Р2х^),
ааа ч = -\/р2( х - |)2 + (у+а( х -1))2,
Ч ^р2(х + о2 +(у + а(х - ^))2 .
Вступ
Складові елементи конструкцій, моделями яких є багатошарові циліндри, знайшли широке застосування у машинобудуванні, зокрема в авіабудуванні, суднобудуванні, приладобудуванні, а також у будівництві. Задачі дослідження динамічних характеристик таких конструкцій виникають при проектуванні підземних і підводних місткостей , трубопроводів, облицювання тунелів метро, розробці елементів твердопаливних двигунів та у багатьох інших видах технічних розробок. Останнім часом моделювання динамічних процесів у багатошарових циліндрах пов’язується з потребами таких сучасних галузей техніки, як геоакустика, ультраакустична дефектоскопія, проектування апаратів для дослідження космосу. Із збільшенням швидкості руху підземного транспорту, літальних та плаваючих апаратів, розвитком техніки будівництва зростає роль динамічного розрахунку різноманітних елементів конструкцій та споруд, що застосовуються у цих галузях.
Відомо [1, 2], що багато закономірностей процесів розповсюдження вібрацій та взаємодії рухомих і акустичних навантажень з пружними тілами можна встановити на основі аналізу розповсюдження вільних хвиль у даних конструкціях. Це створює необхідність розробки ефективних методів їх моделювання. Моделі розповсюдження вільних хвиль у тришарових циліндричних оболонках розглядалися у дослідженні [2]. При цьому використовувалися як наближені рівняння, що ґрунтуються на застосуванні гіпотез про характер деформування окремих шарів, так і рівняння динамічної теорії пружності в поєднанні з рівняннями теорії тонких оболонок.
Складність реалізації подібних підходів у випадку великої кількості шарів створює необхідність розробки ефективної, зручної для реалізації на сучасній обчислювальній техніці, методики чисельного аналізу та розв’язування даного класу задач для систем, складених з довільної кількості циліндричних шарів. Така методика може бути реалізована на основі застосування методу скінчених елементів.
Етапи реалізації скінченоелементної методики дослідження хвильових процесів
Підхід, орієнтований на використання розрахункових схем, що ґрунтуються на застосуванні МСЕ, який розглядається у даній роботі, дає можливість побудови чисельних алгоритмів розв’ язування вказаних вище задач для довільних геометричних характеристик циліндричних шарів.
Застосування запропонованої у даній статті скінче-ноелементної методики вимагає реалізації наступних етапів.
1. Опис переміщень кожного шару за допомогою динамічних рівнянь теорії пружності (рівнянь Ламе).
2. Редукція задачі до математичної моделі у вигляді сукупності систем звичайних диференціальних
рівнянь для окремих шарів нескінченого циліндра.
3. Застосування лінійної скінченно-елементної апроксимації невідомих функцій у даних рівняннях.
4. Розбиття одновимірної області розв’язування задачі, що отримуємо при цьому, на скінчене число елементів, у межах яких значення пружних сталих та густина матеріалу циліндричного шару залишаються постійними або змінюються за певними законами.
5. Формування системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно вузлових значень невідомих на окремому елементі.
6. Формування глобальної матриці системи алгебраїчних рівнянь для даного багатошарового циліндра з урахуванням умов сполучення між елементами.
7. Дослідження та розв’язування одержаної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
8. Аналіз отриманих результатів.
Використання для опису переміщень кожного шару
рівнянь Ламе дозволяє уникнути застосування моделей, що грунтуються на гіпотезах про характер деформування шарів і тим самим уникнути додаткової похибки, обумовленої характером вибраної моделі. Використання лінійних рівнянь теорії пружності для опису переміщень точок циліндра є виправданим у межах лінійної зони деформації циліндрів, що є об’єктами дослідження.
Стаціонарний характер даних динамічних задач наперед визначає вид залежності переміщень від часу при розповсюдженні гармонічних хвиль. У випадках, коли відомий вид залежності переміщень від кутової координати, це дає можливість зведення задачі інтегрування сукупності систем рівнянь Ламе для окремих циліндричних шарів до задачі інтегрування сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь щодо невідомих функцій амплітудних значень переміщень, які залежать тільки від радіальної координати.
Застосування МСЕ до розв’язування системи звичайних диференціальних рівнянь для окремого шару (елементу) дозволяє отримати систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо значень невідомої функції на межах даного елемента. У результаті підсумовування матриць таких систем за елементами отримуємо глобальну матрицю системи щодо вузлових значень невідомих задачі (амплітуд переміщень), яка є симетричною і стрічковою.
Нехай у нескінченному багатошаровому циліндрі розповсюджується невісесиметрична гармонічна хвиля, переміщення точок якої можна представити у вигляді [2]:
и = іи(г )соє пфехрі(кг-ю/);
V = іу(г )єт пфехрік - ю/);
Ж = ш(г )соє пфехрік - ю/), (1)
де и - радіальне переміщення, V - тангенціальне переміщення, Ж - осьове переміщення точок циліндра, п - число хвиль в окружному напрямі, к = -
хвильове число, ю - частота, с - фазова швидкість
пружної хвилі, що розповсюджується у циліндрі.
Поділимо циліндр по товщині на скінченну кількість шарів (елементів), у межах яких пружні сталі X та ц, а також густина р залишаються сталими.
Переміщення окремого шару циліндра будемо описувати динамічними рівняннями теорії пружності:
дстг + стг - стф + дгГ2 + 1 ^гф = рд2и
дг
дг г дф дґ2
5о^ + 3^ + 2г^ + дтгф _ рд^Г
дг дг г дф
дґ
дтгф , дт2ф , 1 дстф 2 рд1У
+ - + + ТГф _
дг дг г дф г
дґ
2
(2)
Підставляючи у ці рівняння формули закону Гука та вирази (1), отримаємо систему звичайних диференціальних рівнянь:
d (. ( ёи и пу , ) „ ёи \
—І XI —+ —+— + км> 1 + 2ц— 1 +
Сг II ёг г г I ёг І
п Су 3п и +------------------------— у +
г ёг
( 2 Си 2 + п
+Тг* ~~ .
, ём> ,2 \ 2 ^
к--------к и + рю и _ 0;
ёг
С ( сЫ> ( к кп 1 ём>
ц—І--------------ки I — ц| —и + у-----------------+
Сг І Сг І I г г г Сг
( 2
П-+2к2
Іг
Г) —
. (, Си , и кпу ,2 | 2
— XI к----------+ к —і-------+ к ^ I + рю w _ 0;
І ёг г г І
С ( Су Су пи Л . (п ёи п п2 knw
ц—I----------------------I —XI--------+ — и +—у +---------------
ёг І ёг г г І І г ёг г2 г2 г
( 4пи 2(п2 +1) ц Т~ + 2
,2 2 Су knw
+ к 2у-------------+------
г ёг г
Л
+ рю2у _ 0; (3)
Дана система описує амплітудні значення радіальних, тангенціальних і нормальних переміщень и(г), у(г) та w(г) на кожному шарі даного нескінченого циліндра.
Таким чином, задача дослідження розповсюдження вільних пружних невісесиметричних хвиль у багатошарових циліндрах зводиться до задачі інтегрування сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь виду (3) за однорідних крайових умов. Для визначення дисперсійної залежності між частотою та фазовою швидкістю таких хвиль необхідно установити значення ю та с, при яких дана задача має нетривіальні розв’язки.
Для реалізації скінченоелементної методики застосуємо на кожному елементі лінійну апроксимацію невідомих функцій и(г), у(г), w(r): и(г) _ и^1 + и2N2, у(г) _ УlNl + У2N2, w(r) _ WlNl + W2N2. (4)
(г, — г) (г — г)
Тут N1 N2 _^~ЛІ
к к
к _ г2 — г1.
и1, и2, v1, v2, w1, w2 - відповідно радіальні, тангенціальні та осьові переміщення у вузлах г = г1 та г = г2,
Г та г2 - внутрішній та зовнішній радіуси елемента.
Для відшукання їх вузлових значень використаємо МСЕ у формі Гальоркіна [3], відповідно до якого помножимо обидві частини рівнянь (3) спочатку на
Nl(г)дг , потім на N2гдг і виконаємо інтегрування отриманих виразів по товщині елемента.
Інтегруючи у кожному з цих виразів перші доданки частинами, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
(с]е + ю2 [т]е {}е = { }е, (5)
Т
де {}е = {и1, У1, Wl, и2, V2, W2},
У Г’ _{
стГгl, Іхгфг1 -Т^г, Іст2г2,—ІХ2фг2,
},
аГ, тГф, хг7 - граничні значення амплітудних множників у виразах для нормальних та дотичних напружень у елементі на його внутрішній (/' = 1) і зовнішній
(/ = 2) поверхнях, [с]е - матриця жорсткості на елементі, [т]е - матриця маси на елементі. При обчисленні коефіцієнтів цих матриць використовувалось чисельне інтегрування за допомогою квадратурних формул Гаусса.
Складаючи послідовно три останні рівняння для кожного попереднього елемента з трьома першими для наступного і враховуючи, що внутрішня та зовнішня поверхні оболонки вільні від напружень, отримуємо:
[К] Ш>={0}, (6)
де [К ]=[с ] + ю2 [м], [С - глобальна матриця жорсткості циліндра, [М] -глобальна матриця маси;
{®Т = {и^,^,...,Un+l,Vn+l,Wn+l}- вектор вузлових переміщень циліндра, поділеного по товщині на N елементів.
Глобальні стрічкові матриці жорсткості і маси отримуємо підсумовуванням відповідних матриць для окремих елементів.
Для існування нетривіальних розв’язків однорідної системи (6) необхідно, щоб
аеОД = 0.
(7)
Дисперсійне рівняння (7) визначає залежність фазової швидкості хвилі с від частоти ю.
Для контролю результатів, отриманих за наведеним алгоритмом та перевірки адекватності запропонованої математичної моделі, визначено дисперсійні залежності для тонкої однорідної оболонки, вільні коливан-
г
г
г
ня якої описуються диференціальними рівняннями [3]:
При порівнянні дисперсійних кривих, побудованих з використанням даних рівнянь з аналогічними кривими, одержаними із застосуванням МСЕ, встановлено, що максимальне відносне відхилення їх точок приблизно дорівнює 0,8 %. Характерні значення фазової швидкості хвилі для відповідних частот, отримані аналітично та за допомогою методу скінчених елементів, наведені у таблиці 1. Тут визначалися характеристики дисперсійної залежності для тонкого сталевого циліндра.
Максимальна відносна похибка тут становить близько 1 %, що свідчить про високу точність застосування для даного випадку скінченоелементної методики.
Методика скінчено-елементного аналізу розповсюдження вільних гармонічних хвиль у багатошаровому циліндрі складається з послідовності таких кроків.
Крок 1. Визначення початкових даних. Тут визначаються початкове і кінцеве значення частоти розповсюдження хвилі, величина кроку її зміни, а також аналогічні параметри для діапазону зміни її фазової швидкості . Для кожного шару визначаються радіуси його внутрішньої і зовнішньої поверхонь, густина, модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона для матеріалу шару Задається також точність визначення коренів дисперсійного рівняння.
Крок 2. Формування глобальної матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь для системи циліндричних шарів, що є об’єктом дослідження. У циклі за елементами формується матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного елементу. Компоненти одержаної матриці на елементі включаються в глобальну матрицю системи рівнянь.
Крок 3. Розв’язування дисперсійного рівняння (7). При фіксованих значеннях частоти ю та фазової швидкості V обчислюється визначник глобальної матриці, побудованої на кроці 1. Для цього зводимо її до верхнього трикутного вигляду з урахуванням властивостей її стрічковості та симетричності. Визначник знаходимо шляхом перемножування діагональних елементів зведеної глобальної матриці. Переходимо до наступного значення фазової швидкості V! = V + ^ і повертаємося до кроку 1. Процес продовжується доти, поки не зміниться знак визначника глобальної системи.
Наближене значення фазової швидкості, при якому визначник глобальної системи дорівнює нулю, знаходимо шляхом послідовного уточнення зміни його
знаку. При цьому звужуємо інтервал зміни фазової швидкості до досягнення заданої точності є. Після знаходження наближеного значення кореня дисперсійного рівняння збільшуємо значення фазової швидкості на заданий крок її зміни Ду і повертаємося до кроку 2 даного алгоритму.
Крок 4. Побудова дисперсійних кривих.
Побудова дисперсійних кривих для вільних
невісесиметричних хвиль у п’ятишаровому циліндрі
Запропоновані розрахункові схеми, що ґрунтуються на використанні скінчено-елементної методики та матриць переходу через шар, реалізовані в задачі побудови кривих дисперсії для нескінченого п’ ятишаро-вого циліндра, складеного з трьох шарів великої щільності, розділених між собою двома шарами заповнювача. Даний циліндр характеризується співвідношеннями Е/ _ 0,6 10—4, р _ 0,1, _ и3 ,
/ Е<з /р0 /у0 ’
_ 0,2, де Е, р, V , - фізико-механічні характеристики заповнювача (його модуль пружності, густина, коефіцієнт Пуассона), Е0,р0, vo , - відповідні характеристики для несучих шарів, к, Н - відповідно товщини несучих шарів та заповнювача.
За запропонованованою скінчено-елементною методикою були побудовані дисперсійні залежності перших п’яти форм для невісесиметричних хвиль, що розповсюджуються у п’ ятишаровому циліндрі з вказаними вище параметрами.
При п _ 0 отримуємо дисперсійні криві для вісе-симетричної задачі, отримані у [4]. На рис. 1 суцільною лінією зображені криві дисперсії при п _ 1, пунктирною лінією - при п _ 2 .
З графіка видно, що істотна відмінність дисперсійних кривих першої моди має місце при значеннях частоти ю* < 1. Мінімальні значення фазової швидкості при п _ 1 та п _ 2 для першої форми співпадають з його величиною для вісесиметричної задачі. Тут Сліп ~ 0,17 . Аналогічне явище має місце і для тришарової оболонки [2].
При п _ 1 для першої моди переважаючими на всьому розглянутому частотному інтервалі є радіальні переміщення, що залишаються сталими по товщині циліндра. Тангенціальні та осьові переміщення у межах кожного з шарів змінюються згідно з законом, близьким до лінійного.
Таблиця 1 - Дисперсійні залежності для тонкого однорідного циліндра, отримані за допомогою рівнянь тонких оболонок та за допомогою МСЕ (8 елементів)
Частота, 103 с-1 5 10 15 20 25 30
Фазова швидкість (рівняння тонких оболонок), 105 см/с 3,652 3,485 2,612 1,219 0,781 0,694
Фазова швидкість (МСЕ), 105 см/с 3,649 3,491 2,598 1,214 0,773 0,696
Рис. 1. Дисперсійні криві для невісесиметричних хвиль
Як
Такий тип розподілу переміщень ілюструють на • и(г)/ v(r)/ w(г)/
і \ >/ V у та 4 7
ведені на рис. 2 залежності
=
А0та ^0
для частоти ю* = 2,8. Тут и0, v0, w0 - амплітудні значення радіального, тангенціального та осьового переміщень зовнішньої поверхні циліндра.
Для даних залежностей має місце співвідношення | и0/ V) | = 11,2, | v0/ w01 = 2,5-10 -2. Кожній з дисперсійних кривих відповідає свій розподіл переміщень по товщині циліндра.
На частотах ю* = 1,1 таю * = 3,8 залежності переміщень від радіальної координати показані відповідно кривими 1 та 2 на рис. 3, а) для другої форми і на рис. 3, б) для третьої форми хвиль.
Я
н
Рис. 2. Розподіл тангенціальних та осьових переміщень для першої форми дисперсійної кривої
Як
Як
-----7
✓
^Ч2
-І_
г____
V
м
-1 Яь 1 и/ин -12 -8 -4 Яь 1 v/vн
-4 Яь 1 w/wн
Ян
Ян
Ян
( ^
-4 -3 -2 -1 Яь 1 и/ин -1 Яь 1 2 v/vн -1 Яь 1 2 w/wн
б
Рис. 3. Розподіл нормальних, тангенціальних та осьових переміщень: а - друга форма дисперсійної кривої;
б - третя форма дисперсійної кривої
*
с
2
а
Для другої форми на частоті
= 0,7,
у0/
'Н-0
= 2,18, на частоті
- ці співвідношення
відповідно дорівнюють 14,3 та 19. Для третьої форми відповідні відношення дорівнюють 0,3 та 2,1 для ю *, 0,18 та 4,82 для ю 2 .
При п = 2 даним формам відповідає приблизно такий же розподіл переміщень.
Деякі обчислювальні труднощі при застосуванні запропонованої методики можуть виникнути у низькочастотній (ю* < 0,3) області через значну різницю у порядках елементів матриць [С] та ю2 [М].
Запропонована у даному дослідженні методика, що ґрунтується на застосуванні МСЕ, дає також можливість для дослідження розповсюдження вільних хвиль у циліндрах, складених з неоднорідних за товщиною шарів. У цьому випадку пружні сталі X та ц, а також густина р матеріалу шару є функціями радіальної координати. Напруження та переміщення на кожному шарі задовольняють рівнянням (1), переміщення и, V, Ж визначаються формулами (2). Для визначення амплітудних множників и(г), У(г), Ж(г) отримуємо систему диференціальних рівнянь (3), де пружні сталі входять у рівняннях в перші доданки, що диференціюються за змінною г. У результаті застосування МСЕ у формі Гальоркіна отримуємо дисперсійне рівняння
аеОД = 0,
де коефіцієнти матриці [К] співпадають з наведеними вище для випадку сталих величин X, Ц та р .
Використання чисельного інтегрування дозволяє визначати дисперсійні залежності для циліндрів з змінними механічними характеристиками шарів. Як приклад застосування скінчено-елементної методики для циліндрів даного типу побудовані дисперсійні криві для системи, що складається з трьох тонких шарів високої щільності, розділених між собою шарами заповнювача, пружні сталі та густина яких змінюються по лінійному закону:
X _ Х0а, ц _ Ц0а, р _ р0а.
Тут а _ г / Яі, Я1 - радіус внутрішньої поверхні циліндра, X 0, ц0 та р0 відповідають аналогічним характеристикам матеріалу ПХВ.
Отримані дисперсійні залежності наведено на рис. 4. Криві, що показані суцільною лінією, відповідають значенню п = 0, пунктирні - п = 1.
Ці дисперсійні криві істотно не відрізняються від аналогічних кривих, побудованих для оболонки з постійними фізико-механічними характеристиками.
Значний практичний інтерес являє визначення мінімумів дисперсійних кривих. Знання цих мінімумів
дозволяє знаходити резонансні швидкості для задачі про деформування циліндра під дією навантаження, що рухається уздовж його осі з постійною швидкістю
[5].
1
2
3
4
Рис. 4. Дисперсійні криві для невісесиметричних хвиль у
циліндрі з неоднорідним по товщині заповнювачем
При використанні скінченоелементної методики точність розрахунків контролювалася шляхом зіставлення результатів, що були отримані при збільшенні числа елементів, яке варіювалося від 7 до 11.
Такі чисельні експерименти показали збіжність прийнятої лінійної апроксимації при довжині лінійного елемента к ^ 0, що узгоджується з оцінкою енергетичної норми похибки для лінійних елементів, які використовуються при дискретизації одновимірної області [3]:
і 2 к
||е|| < — (Я2Сх,
12
0
де Е - енергетична норма похибки апроксимації на елементі, Я- нев’язка (похибка) апроксимації розв’язку системи лінійних диференціальних рівнянь, що є обмеженою на кожному елементі, що випливає з неперервності розв’язку на відрізку інтегрування.
Висновки
Таким чином, використання багатошарових циліндрів як складових елементів конструкцій визначає необхідність побудови математичних моделей, що адекватно відображають їх статичні та динамічні характеристики, а також дозволяють застосовувати для їх розрахунку ефективні чисельні методи. Застосування МСЕ дозволяє отримувати чисельний розв’язок для ряду задач динаміки багатошарових елементів конструкцій, у тому числі визначення характеристик розповсюдження хвильових процесів у шаруватих структурах.
Здійснене дослідження дозволяє зробити такі висновки:
- застосування математичної моделі, яка дозволяє звести задачу дослідження розповсюдження пружних невісесиметричних хвиль до задачі інтегрування сукупності систем звичайних диференціальних рівнянь,
*
СО
*
со
2
дає можливість використання для її розв язування чисельної методики, що ґрунтується на застосуванні од-новимірних скінчених елементів;
- розв’ язування задачі при збільшенні кількості скінчених елементів, що використовуються для дискретизації області, дозволяє стверджувати про практичну збіжність МСЕ для даного класу задач;
- запропонований скінчено-елементний алгоритм можна ефективно використовувати для дослідження дисперсійних залежностей у циліндрах з неоднорідними за товщиною шарами.
Список літератури
1. Голоскоков Е. Г. Упругоакустические задачи динамики трехслойных конструкций / Е. Г. Голоскоков, С. Н. Бе-
шенков. - Х. : Вища школа, 1980. - 120 с.
2. Горшков А. Г. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций / А. Г. Горшков, В. И. Пожуев. -М. : Машиностроение, 1992. - 196 с.
3. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимации / О. Зенкевич, К. Морган. - М. : Мир, 1986. - 318 с.
4. Бешенков С. Н. Осесимметричные свободные волны в многослойных цилиндрических оболочках / С. Н. Бешенков, М. И. Клименко // Динамика и прочность машин. - 1993. - Вып. 54. - С. 85-93.
5. Сисоєв Ю. О. Дія вісесиметричного рухомого навантаження на багатошарову циліндричну оболонку / Ю. О. Сисоєв, М. І. Клименко // Вісник Запорізького державного університету. - 2000. - №1. - С. 128-132.
Одержано 02.03.2011
Клименко М.И., Мухин В.В. Конечноэлементная методика моделирования волновых процессов в многослойных цилиндрах
В статье предлагается методика исследования процессов распространения свободных упругих волн в бесконечныхмногслойных цилиндрах. Применение такой методики позволяет на основе единого алгоритма решать такие задачи для цилиндров, составленных из произвольного количества слоев без ограничений на их геометрические характеристики. Построены и исследованы дисперсионные зависимости между частотой и фазовой скоростью неосесимметричных свободных волн для пятислойных цилиндров. Ключевые слова: метод конечных элементов, бесконечный многослойный цилиндр, свободные упругие волны, дисперсионная зависимость.
Klimenko M., Muhin V. The finite elements method of wave processes design in multi-layers cylinders
The research method of free resilient waves in endless multilayer cylinders distribution processes is offered. The applied method allows to solve the tasks using one algorithm for cylinders built of layers arbitrary quantity without limitation of their geometrical characteristics. Dispersion dependences between the frequency and phase velocity offree waves nonsymmetrical to the axis for five-lauer cylinders are built and researched.
Key words: the finite elements method, infinite multi-layer cylinder, free resilient waves, dispersion dependences.
