CC BY
37
УДК 539.3
Канд. техн. наук В. С. Левада, канд. физ.-мат. наук В. К. Хижняк,
канд. техн. наук Т. И. Левицкая
Национальный технический университет, г. Запорожье
ИЗГИБ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫМ КРАЕМ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ
Получено точное решение задачи изгиба полубесконечной анизотропной пластины с жестко закрепленным краем, находящейся под действием сосредоточенной нагрузки. Решение выражено в замкнутой форме через элементарные функции. Построена функция Грина соответствующей краевой задачи.
Ключевые слова: изгиб, анизотропная пластина, сосредоточенная нагрузка, жесткое закрепление, функция Грина, краевая задача.
Задачи о локальных воздействиях на элементы конструкций издавна привлекали внимание исследователей. Решение таких задач стремятся получить в замкнутом виде относительно элементарных или других легко вычисляемых функций. При решении задачи изгиба анизотропных пластин под действием сосредоточенных нагрузок широко использовались методы теории аналитических функций, восходящие к классическим работам С. Г. Лехницкого [1]. Эти методы использовались в [2]. В настоящей работе использованы интегральные преобразования обобщенных функций для получения решения задачи изгиба полубес-конечной анизотропной пластины с жестко закрепленным краем.
Рассматривается задача
д V А1—т + 4Д6
дх 4
д V
дх3ду
+ 2(12 + Аз6 )'
дх 2ду 2
+ 4£>.
26
д V
дхду 3
+ П
22
д V
ду4
= 8(х -О 8( у),
V (0, у) = 0,
дW (0, у)
дх
= 0,
(1)
(2)
где х е (0;да), М2 = Р2Сх - £), £ е (0;да).
Здесь М5 =Р1(х + £) - дельта-функция Дирака; А11, А12, Аб, Аб, Аб, А2 - жесткости пластины; Ж (х, у) - прогиб пластины в точке (х, у).
Эта краевая задача моделирует изгиб анизотропной пластинки, находящейся под действием единичной нагрузки, сосредоточенной в точке (£, 0).
Зная Ж (х, у), можно найти
Мх =-
^ д2^ ^ д2^ , д^Л Аll~rт+А2—у+2Аб -д~ду
дх2 ду2 дхду
Му = -
А
12'
д^
дх2
+ А>
д^
22
Н = Н =-
ху ух
А
16—2
дх2
ду + А
+ 2А■
26
дхду
д 2W
'26 ~~Г +2А66
N =-
д3W
д3W
Аи — + 3Аі6 ТТ
дх3
дх ду
ду2 " дхду
+ (А12 + 2А66) х
_д3£
дхду
2 + 26 ду3
N =-
у
д3W Аі6—Т + 3А26 дх
д3W дхду 2
+ (А12 + 2А66) х
д3W
А д3W ^ х 2 + А22 3
дх ду ду
где Мх, Му - изгибающие моменты; Нху, Нух -скручивающие моменты; Nx, Nv - перерезывающие
силы.
Применим к (1), (2) преобразование Фурье по у . Обозначив ру V(х,у)] = V(х, X), получаем:
д %
д 3!¥
А11 + 4 А16 (-іХ)^-т +
дх4
дх
2 д2W
+ 2(А12 + 2А66)(-іХ) -------2~ +
дх 2
3 д V 4 —
+ 4А26(-/Х)3-+ (-/X)4 А22W =8( х -£), (3)
дх
V (+0, X) = 0,
дW (+0, X) дх
= 0.
(4)
© В. С. Левада, В. К. Хижняк, Т. И. Левицкая, 2011
ISSN 1607-6885 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2011
117
Применяя к (3) преобразование Лапласа по х и обозначив Ь\Ж(х)] = Ж(р), получим
Ж(р) = -Д (в~р£ + ВпБ1 р + ДБ - 4ДбОВД), (5)
Д '
где Д = А1 р4 + 4^1б(-/1)р3 + 2(^12 + 2^бб)X
X (-/'Х)2 р2 + 4^2б(-гХ)3 р + (-гХ)4 А22 ,
0 д2Ж(+0, X) 0 д3Ж(+0, X)
Б1 =-------------------П-, Б2 =-Г3--■
дх
Уравнение
дх3
А1М4 + 4АбМ3 + 2(А12 + 2Аб)м2 + 4АбМ+А2 = 0 может иметь следующие варианты корней
1) М1,2 = а1 ± Фь М3,4 = а2 ±г'Р2, Р1 > 0, Р2 > 0,
2) М-1,2,3,4 = а± г'Р , Р> 0.
Применяя к (5) обратное преобразование Лапласа
с учетом того, что Иш Ж(х,X) = 0, получим:
х^да
- для первого варианта корней
¥ = . 1
£| х|3
т^е~ |Х|р1 Iх-£| ег'Ха1(£-х)
+ 74е_1Х1р2 Iх-£1 егХа 2(£-х)
+ 1 I е
№( х+£)ег'Ха1(£-х)р2 +
+ еНХ|Р2(х+£)е*Ха2(£-х)р1 ]. Т2 +
+ ( е_1Х1 (в'х+Р2£)ег'Ма 2£-а1х) +
|Х| (р2 х+Р1£)ег'х(а1£-а 2 х) V 73 )/^ )-
+е
гХ ( Ге“№ Iх-£1 егХа1(£-х) -я| х|4
- е“1Х|р2 |х-£|егХа2(£-х) Т5 +
+ 2р1р2(а1 -а2)|е“Н(р1х+р2УегХ(а2£-а1х) -
- е_М (Рг х+р1£)егХ(а1£-а 2 х)
где Q = (Р1 -Р2 )2 +(а1 -а 2 )2
^ = 2ААР2 ((Р1 + в2)2 +(а1 -а2)2 Q, Т1 = -Р?в2 +Р32 + Р2 (а1 -а 2 )2,
72 = -Р4 + 2Р2Р2 - 2Р2 (а1 - а2)2 - -- 2Р2(а1 -а2)2 - (а1 -а 2)4,
Т3 = 2Р^2(Р3 -Р^2 +в1 (а1 -а2)2 -Р2Р2 +
3
+ Р32 + Р2 (а1 -а 2 )2 ),
Т4 = -Р^2 + в3 + Р1(а1 - а 2)2, 75 = 2Р1Р2(а1 -а2№п(£- х);
для второго варианта корней
Ж =■
4^пр3| Х| 3
-|Х|р |х-§| г'Ха (§-х)
;(1 + |х|р|х-£|)-еНХ1р (х+?)ег1а (?"х);
|2„2
х| 1 + 2|Х|2р2х£-|Х|р(х + £))].
[3].
Для нахождения Ж (х, у) используем результаты
В первом варианте решение будет иметь вид
(( „ / \ \
Ж =-
1
в2Т2
2пБ
(
п /2 2 ^
2М}П1агс1£—1 + п - М1 11п Г1
vv
•71 +
Q
п1
2м5щаг^—^ +
М5
(п2 - М^ )п Г[
73
Q
2м3^аг+ (3 -м| 11пГ3 М3
+ Т4
73
Q
+
Р1Т2
Q
( - 4
2м2^аг^ -П2- + (п| - М22 )) М2
2М4П4аГ+ (п42 -М42 )Г4
М4
- Мб
2МбП2аг' - мб |1пГ2
V мб у
+ 4Р1Р2 (а1 - а2 )М1П11пГ1 + 2Р1Р2 (а1 - а2) х
2 2 П\
х (М1 - П1 )аг+ 2р1р2(а1 -а 2) х М1
2 2 П3
(П3 - М3 )агctg—^ - 2М3П31пГ3 М3
- 4Р1Р2(а1 - а 2)м2п21п Г2 + 2Р1Р2(а1 -а2) х
х (п| - м| )аг^ -П'2 + 2Р1Р2(а1 - а2) х М2
22
2М4П41пГ4 + (М4 - П4 )аг^
пл
\\
где М1 =Р1( х-£), '1 = у + а1( х-£), м2 =Р2( х-£), '2 = у + а2( х -£), м3 =Р1х + Р2^ , П3 = у-а2^ + а1х , М4 = Р2х + РЙ , П4 = у - а^ + а2х,
1
+
+
+
х
М
При p = 1, a = 0, Du = D получается известное решение Мичелла для изотропной пластины.
Из этого решения легко получается функция Грина соответствующей краевой задачи
G( x, y, I, n) = W (x, y -n).
Полученное точное решение задачи об изгибе по-лубесконечной анизотропной пластины выражено в замкнутой форме через элементарные функции, что позволяет эффективно его использовать.
Список литературы
1. Лехницкий С. П. Анизотропные пластинки / С. П. Лех-ницкий. - М. : Наука,1977. - 416 с.
2. Максименко В. Н. Фундаментальные решения в задачах изгиба анизотропных пластин / В. Н. Максименко, Е. Г. Подружин // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - № 4. -С. 135-143.
3. Левада В. С. К применению преобразования Фурье для построения фундаментального решения эллиптического дифференциального оператора / В. С. Левада. - Запорожье, 1987. - Ден. в Укр. НИИНТИ, № 706. - Ук-87.
Одержано 21.03.2011
Левада В.С., Хижняк В.К., Левицька Т.І. Згин напівнескінченої анізотропної пластини з жорстко закріпленим краєм, що знаходиться під дією зосередженого навантаження
Отримано точний розв ’язок задачі згину напівнескінченої анізотропної пластини з жорстко закріпленим краєм, що знаходиться під дією зосередженого навантаження. Розв ’язок виражено в замкнутій формі через елементарні функції. Побудовано функцію Гріна відповідної крайової задачі.
Ключові слова: згин, анізотропна пластина, зосереджене навантаження, жорстке закріплення, функція Гріна, крайова задача.
Levada V., Khizhnyak V., Levitskaya T. The semiinfinite anisotropic plate with fixed edge bending under the action of concentrated load
The exact solution ofsemi-infinite anisotropic plate with a rigidly fixed boundary bending under a concentrated load is received. Solution is expressed in closed form through elementary functions. Green’s function corresponding to the boundary problem was built.
Key words: bending, anisotropic plate, concentrated load, fixed edge, the Green’s function, boundary value problem.
УДК 539.3
Канд. фіз.-мат. наук М. І. Клименко, канд. техн. наук В. В. Мухін
Національний університет, м. Запоріжжя
СКІНЧЕННОЕЛЕМЕНТНА МЕТОДИКА МОДЕЛЮВАННЯ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕСІВ У БАГАТОШАРОВИХ ЦИЛІНДРАХ
У статті пропонується методика дослідження процесів розповсюдження вільних пружних хвиль у нескінченних багатошарових циліндрах. Застосування такої методики дозволяє на основі єдиного алгоритму розв ’язувати такі задачі для циліндрів, складених з довільної кількості шарів без обмежень на їх геометричні характеристики. Побудовані та досліджені дисперсійні залежності між частотою та фазовою швидкістю невісесиметричних вільних хвиль для п ’ятишарових циліндрів.
Ключові слова: метод скінченних елементів, нескінченний багатошаровий циліндр, вільні пружні хвилі, дисперсійна залежність.
© М. І. Клименко, В. В. Мухін, 2011
ISSN 1607-6SS5 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №2, 2011 119
М5 =Р1( х + §), Мб =Р2(х + §),
I 2 . 2 ~ I 2 . 2
Г = V М1 + '1 , 1 = д/М2 + '1 ,
I 2 . 2 ~ I 2 . 2
Г2 = V М2 + '2 , Г2 = д/ Мб + '2 ,
I 2 . 2 I 2 . 2
Г3 = М3 + '3 , Г4 = у М4 + '4 .
При втором варианте корней решение примет вид
Ж =-----3----(((-^)2 + (у +а( х-О)2 ) ч -
8пр3£»11 " ’
-(р2(х + 02 + (у + а(х-О)2 -4Р2х^1пч +
+ 2Р2х^),
ааа ч = д/р2(х- |)2 + (у+а(х-1))2,
Ч ^Р2(х + ^)2 +(у + а(х - 0)2 .
