CC BY
10
УДК 621.391.037.372.7 ББК З811.3-014
Н.Н. ИВАНОВА, НА. ГАЛАНИНА
АНАЛИЗ НАКОПЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СИСТЕМЕ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ*
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, марковские сигналы, случайный процесс, система счисления в остаточных классах (СОК), функция распределения сигнала, ряд Эджворта, полиномы Эрмита, характеристическая функция.
Нахождение функции распределения случайного процесса на выходе устройства в случае использования негауссового распределения на его входе возможно только с помощью приближенных методов. Для приближенного вычисления функции распределения сигнала на выходе накопителя цифрового фильтра марковских сигналов в непозиционных каналах СОК использован ряд Эджворта. В работе получены аналитические выражения для вычисления начальных и центральных моментов, которые используются в разложении функции распределения сигнала в ряд Эджворта. Полученные формулы могут быть использованы в дальнейших исследованиях непозиционных устройств марковских сигналов, построенных на основе СОК.
Известно, что определение закона распределения случайного процесса на выходе устройства при произвольном (негауссовом) распределении на ее входе представляет собой сложную задачу, не имеющую прямого решения. Существуют лишь приближенные методы. В основном эти методы основаны на использовании характеристических функций случайного процесса и известных соотношений между характеристической функцией и моментами распределения процесса [2].
Для вычисления функции распределения сигнала на выходе накопителя в непозиционных каналах устройства обработки марковских сигналов в СОК рассмотрим значения, которые формируют данные накопители в Я-м канале [5]:
^ = .....УN] • х5т) ) , (1)
\ к I
где Z'ap...1[Ns ] - весовой коэффициент; х« (кТ) = (х(кТ))Ns - вычет отсчета
сигнала по Я-му основанию СОК (Ы).
Распределение значений сигнала (1) на выходе накопителя будем искать с помощью разложения функции распределения случайной величины F\(c),
где ^(с) = |dF\(у), в ряд Эджворта, который имеет вид [3]:
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Кабинета министров Чувашской Республики в рамках научного проекта № 17-47-210790 р_а.
= 2 [1 + Ф( у /Л)}- ^^ {4 кИ 2 (у) + уИ з (у) + ^ И4 (у) +
2'
5х2/2'
+ Г ^ + V (у) + ^ И 6 (у) + Г Ч— +^к- 1И7 (у) +—И8 (у) + (2) ^ 3 30х32) 6 {48 30х52/2 ) 54 ^ ^
к 2 У к 4
+И 9 (у) +-И„( у)},
432 1296
где %к - выборочный кумулянт; к = X3 - коэффициент асимметрии;
у = С 1/Х - нормированный аргумент; у = - коэффициент эксцесса; Х2 X 2
- интеграл вероятности; Н7(у) - полином Эрмита 7-го порядка [1]: И о (у) = 1, И1 (у) = 2 у, И„+1 (у) = 2 уИп (у) - 2«И„Ч (у).
Выражения для вычисления выборочных кумулянтов первых шести порядков имеют следующий вид [4]:
Х1 = «1; X2 = т2 - т2; Х3 = т3 - 3тт2 + 2т3 ; X4 = т4 - 4т1т3 - 3т12 +12т2т2 - 6«1;
%5 = т5 - 5т1т4 -10т2т3 + 20т2т3 + 30т1т2 - 60т3т2 + 24т5 ; Х6 = т6 -10т2 - 6т1т5 - 15т2т4 + 30т12т4 + 120тт3 + 30т2 - 270m12m3 -- 120т3т3 + 360т14т2 - 120т6, где тк - начальный момент к-го порядка.
Начальные моменты тк находятся из равенства
тк (Я5) =
-к ^ у п Ц)
(3)
где уп - характеристическая функция распределения (1), которая удовлетворяет разностному уравнению 5-го порядка [6]:
V - Рие
Р2е21
Рпе
V - Р22е
7^22
■ Р1 5-1^ Р2 5-1е
7*2Я -
Р15 Р25
" Р5-1
п
7<21
^22
Р«-12е
п ¿>Й22
"Р« 2е
V - Р5-1 5-1е
- Р« 5-1е
Р«-1 5 V - Ряя
Vk = 0.
к+5
Разложив данный определитель по степеням у и заменив степени V на V к+5, получим следующее однородное разностное уравнение:
Ук+5 + «1У к+5-1 +... + а5 у к = 0, (4)
которое можно записать в матричной форме:
|Е - Р * у 5 = 0, где Е - единичная матрица порядка 5x5;
t=о
Р\\е Рие
1'21 1'21
Рие Рие
1'22
'¡22
Рs-l е21 Рs-l 2е"22
Ря\е
щ
Ря 2е
К 22
Р1 я-ге1'2'-1 Р2 я-е'2'-
Ря-1 я-1е
''2я-1
1'2я-]
Р1я Р2я
Ря-1 я Ряя
Коэффициенты а (1 = 1, 2, ..., 5) уравнения (4) не зависят от к, так как они представляют собой сумму главных миноров различных порядков определителя |Р * , который не зависит от к. Однако данные коэффициенты зависят от '21, '22,'2я-1 и являются непрерывно дифференцируемыми (любое число раз) функциями.
Тогда, если характеристическое уравнение
|ЕХ - Р * = X + а^-1 +... + а3-{к + а3 = 0
(5)
имеет корни Х0, Хь..., кратностей т0, ть...,тц, то общее выражение характеристической функции уп (') через характеристические числа Xн имеет вид [6]:
Уп (') = Е Аь (п,'Ж , (6)
где Лн (п,') - полиномы от п степеней тй-1.
Характеристические числа X н можно разбить на три класса. Первый класс составляет одно характеристическое число, которое равно единице в точке М0 (' = 0): Х0 = 1. Второй класс состоит из к1 характеристических чисел у, которые не равны единице в точке М0, но имеют в ней модули, равные единице. К третьему классу относятся к2 характеристических чисел X22, модули которых в точке М0 менее единицы.
Тогда с учетом этого разбиения корней характеристическую функцию (6) можно записать в виде:
Уп (') = Л(п,')Х0 + £Бг (п, ')Х1/ + X(п, ')Хп22 . (7)
г=1 2=1
Равенство (7) обладает следующими свойствами:
1) при п>>1 стремятся к нулю все члены, зависящие от характеристических чисел Х22;
2) для неразложимых цепей Маркова (матрицы вероятностей перехода неразложимы) тождественно равны нулю члены, зависящие от Х/ .
Так как сигнала был аппроксимирован неразложимой цепью Маркова, а также с учетом того, что при наличии слабого сигнала используется длительное накопление (п>>1), то
Уп (') = Л(п,' )Хп0, уо(') = 1. (8)
Производные характеристической функции первых четырех порядков в точке ' = 0 имеют вид
Лу п (г)
Лг
= п-
0 .
í=0
дг
Л2у п (г)
Лг2 Л3у п (г)
= п
Лг3
Л4у п (г)
=п
г=0
Лг4
+ п2
=п
д 2Я 0 дг2
д3^0 да3
- + п| -
Г дя^2
I дг
дЯ 0 дг
д2^0 д^0 _ д2^0 дЯ0 + 3п---3---+
дг2 дг
дг2 дг
дг
д 4Я 0 дг4
- 3п| ■
Г дЯ013 Г дЯ0
I дг
+ 2
дг
+ 4(п -1) ^^ + 3(п - 1)^ , +
+6(п -1)(п - 2)
дг3 дг д2Я0 Г дА,0 х2
дг2
дг2 I дг
+ (п - 1)(п - 2)(п - 3)1
дЯ 0 дг
Тогда выражения для вычисления начальных тк и центральных Мк моментов первых четырех порядков будут иметь вид
д^0
т\ = -7 • п • -
дг '
т2 = -п
т3 = 7 • п
д 2Я дг2
"д3Я 0
0 + п| дХ°
дг
дЯ 0 дг
т4 = п
дг3 д 4Я 0
д2А,0 д^0 ,, д2Яп 2 Г д^0
+ 3п---3--+ п
дг2 дг
дг2
дг
- 3п| ■
Г дЯ013 Г дЯ0
I дг
+ 2
дг
(9)
+ 4(п -1)%^ + 3(п -1)^ | +
дг4 дг3 дг
+ 6(п - 1)(п - 2)
д2Я0 Г дА,0 ч2
дг2 ^ дг с2 = М2 = т2 - т12 = п
дг2
+ (п - 1)(п - 2)(п - 3)
дЯ 0 дг
дЯ 0 дг
д 2Я0 дг2
М3 = т3 - 3т1т2 + 2т13 = 7 • п
3 д% дА,р - д^0
дг2 дг
М4 = т4 - 4т3т1 + 6т2т12 - 3т!4 =
д% - 4 ^ + 3(п - 1)Гд2Я0
дг
дг3
=п
дг4
+ 6(3п + 2)
дг3 дг д2Я0 Г дА,0 х2
дг2
+
(10) (11)
дг2 I дг
+ 3(п - 2)1
дЯ 0 дг
+ 12п
д2Я0 дЯ0
дг2 дг
2
г=0
3
3
г=0
4
2
2
3
3
4
2
3
2
4
8 к Х -
Для определения частных производных цк = —— для к = 1,4 рассмот-
8'к
рим (5). Согласно (5) имеет место следующее тождество:
Х0 + а^-1 +... + акХ30-к +... + а3 = 0 .
Обозначим
Ц(') = Х0 + а1Х*0-1 +... + ак Х0-к +... + ая = Х0 + X ак Х0-к + а5 .
к=1
Тогда 8Ц(') 8Х0
8'
8'
я-1
ях-0-1 + Е (я - к)Х0-к-1ак 1 + Е1Х0
к=1
„-к 8ак Л , 8а5
к=1
8'
+
8'
82 Ц(') 8 2Х0
я-1
— -1* VЖ0-,+ 5(х -к«-"ак1+
2
+
Г8X0 Л
V 8' ,
1 я -2 1 -2 Г я -к-2
п (я - /)Хя0-2 + :Е|Х0-к-2ак П (я - к -1)
.1=0 к=14 1=0
+
8'3 8'3
+2^ Е'| (я - к)Кк-18^]+|(Х0-*
8^Х0 я-1 8'2 к=1 1
8Х я -1 8' к=1 83Ц(') 8 3Х(
01 яХ^ +:(я-к)Х0-к-1ак ] + (я-к)Х0-к-1 % 1 +
к=1
8'
+ 8ТТ 8Т Г3П(5 -1)Хя0-2 + 3:2ГХя0-к-2акП(я - к -1) I | +
8'2 8' V 1=0 к=1| 1=0
+
Г8Х0 V2
V 8' I
я-3 2
п (я - /)ХГ + :Хя0-к-3ак П(я - к -/) | +
1=0 к=1 /=0
+3
Г 8Х0 Л2 ^
V 8' I
к=1
84Ц(') 84Х,
Е| Х0
к=1 V 83ак
8ак 1
к-2 ^к 8'
/=0
8Х0
п (я -/) |+3—0 Е| (я - к)Х%
8' к=
к-1 82ак
8'
+
я-1
8'3 8'4
, 83Х0 8Х,
¿Х-1 - к)Х0-к-1ак
к=1
+
+ 4-
8'3 8' . 83Х0 я-1
П(^ - /)Х*-2 +5ТХ^-к-2ак П(я - к -1)
.1=0
к=1
1=0
+^ : (я - к)Х0
8'3 к=1
82Х я-1
+Е (я - к)Х0
-к-1 8ак
к=1
8'2
Г 82Х0 у
с'2
V ^ I
8'
-к-1 8а
а2
+ 10
82Х0 8Х0 я-2
8'2 8' к=1
: Хо
-к-2 к
+
8ак 1
П(я - к -/) | +
8 1=0
+
П(я - /К-2 + : Х0-к-2ак П(я - к -1)
.1=0 к=1 V /=0
+ 4 д2Я0 Г дЯ0
дг2 I дг
2 5-3 2
"-3 , ^-к-3,
п (5 - *3 + п(5 - к -1)
.1=0
к=1
1=0
дЯ 0 дг
" 3 5-4/ 3
п (5 - /)АГ + I ^Ч п (5 - к -1)
.1=0 к=1 ( /=0
3
+ 41 I 2к-к-3 дгг 11(5 - к -1)) +
дг ) к=1 ( дг 1=0
+4
дг ) к=1
дг2
1 1 дХп 5-1Г
п (5 - к -1) 1 + 3(5 -
/=0 ) дг к=1(
5 -к-1 д 3°к
дг3
Принимая во внимание, что Ь(г) = 0 и то, что Я0 = 1 при г = 0, получим:
дЯ0 Г„ £-1,„ ,. 1 Л дак
~дТ
(5 + £ (5 - к )ак! + = 0;
к=1
2,.
1 5-2/ 1
п (5 -1) + Х акп (5 - к -1)
1_1=0 к=1 ( 1=0
) к=1 дг
^ (5 +^ - к » )#
+ 2 ^Х (5 - к) ^ 1 + 11 ^ = 0;
дг к=1( ' дг ) к=1 дг2
^ ( 5 + ^ - к )а.) + 3 ^ I (5 - к)
+
к=1
д2Я0 дЯ0 Л 1
1
(3п (5 -1) + 311 акп (5 - к -1)|| +
дг2 дг ( 1=0 к=1( 1=0
Э^а IV 2
дг ) (1=0
к=1 1=0
+1 ^ | (п с -1)+1 ак п (5 - к -1) ]+3 э^] Кдак ¡пс -1))+
+ 3 ^ЦГ(5 - к)^1 + £ д3ак
дг к=
дг
к= дг3
= 0;
д 0
дг4
5 + §(5 - к )ак
к=1
+ 4 .д 0 ^0
дг3 дг
п (5 -1) + 1( ак п (5 - к -1)
1=0 к=1 ( 1=0 )
+4 % § ((5 - к) ^ 1+10 % ^ 12 (^ п1 дг3 к= ( дг ) дг2 дг к= ( дг \=
ЙЭОг- п (5 - к -1 )| +
5 -1 Г
+ 6
+4
д "Я.
дг2
д ^ 0
д2ак
(5 - к) ——
дг2
22
+ 3
ах 0 дг2
1
п1
1=0
5-2 Г 1
п (5 -1) + 1( ак п (5 - к -1)
к=1 ( 1=0
Га, 12
дг2
(дг )
ГГ(5 -1) + 1 ак ГГ(5 - к -1)
1=0 к=1 1=0
14 (дг)
п (5 -1) + 1( ак п (5 - к -1)
1=0 к=1 ( 1=0
+4
Га, V
(дг)
5-2 1
дак- П(5 - к -1) 1 +3 I
дг 1=0 ) дг к=1
+4
5 -1 Г
Га 13 5-3
(дг)
1 Ш5 - к -1))+
/о ; ч дак ^ (5 - к^
= 0
2
+
4
+
+
+
51
+
0
2
0
+
к=1
+
+
к =1
Введем обозначения
8 я г—1 я-Г Г
Vо =-: а] ; Уг =П (я - Л) + Е а} П (я - Л - / +1), г = 1, 2, 3, 4.
8' л=1 у=0 Л=1 /=1
Тогда окончательно получим следующие рекуррентные формулы:
( =-—; (13) П
IV + 2 8Г +8Г0 + 2 щ —- + —-
Ц2 =--8' 8' ; (14)
П
3 8Г1 + 3 Г + 3Г + 3 2 8Г2 + 3 8V + 83Г
3 ( -7- + 3 (2 (1Г2 + (3*3 + 3 Ц? —- + 3 (X! —1 + —— .. _ 8'_С_8'2 8'3 . лп
Ц3 =--—-; (15)
1
Ц4 =--
Vi
Тл „ öVi 8V2 , б2V „ 7ТЛ
4 ц ц V2 + 4 Цэ — +10 ц Ц -— + 6 ц —г + 3 mV +
бЛ бЛ бЛ2
^ ^ „ 3 6V3 „ 2 б2V2 „ 63V- б4Vo + 4 ц4 m2V3 + nfV4 + 4 ц3 —3 + 4 ц2-2 + 4 ц -^3- + - 0
бл бл2 бл3 бл4
(16)
Подставив далее значение =—— из соотношений (13)-(16) в форму-
бг
лы (9)-(12), можно рассчитать моменты распределения суммы (1) в каждом «S-м канале.
Таким образом получены все необходимые данные для вычисления функции распределения сигнала на выходе накопителя в непозиционных каналах устройства обработки марковских сигналов в СОК, заданной уравнением (2).
Литература
1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука,
1966.
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. 5-е изд., испр. М.: Дрофа, 2006.
719 с.
3. Лебедев Е.К. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1989. 192 с.
4. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с.
5. Песошин В.А., Галанина Н.А., Иванова Н.Н. Марковская фильтрация цифровых сигналов в системе остаточных классов // Наука. Инновации. Технологии. 2015. № 1. С. 27-35.
6. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. М.: Гостехиздат, 1949. 436 с.
ИВАНОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА - кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (naadeezdaa@rambler.ru).
ГАЛАНИНА НАТАЛИЯ АНДРЕЕВНА - доктор технических наук, профессор кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (galaninacheb@mail.ru).
N. IVANOVA, N. GALANINA ANALYSIS OF DIGITAL FILTRATION RESULTS ACCUMULATION ON THE BASIS OF RESIDUE NUMBER SYSTEM Key words: digital signal processing, Markov signals, stochastic process, Residue Number System (RNS), probability-distribution function, Edgeworth series, Hermite polynomial, characteristic function.
Finding distribution function of a random process at a device output in case of using non-Gaussian distribution at its input is possible only by approximation methods. For approximate computation of signal distribution function at the output of Markov signals digital filter drive in position-independent channels of Residue Number System (RNS), Edge-worth series was used. Analytical expressions to calculate primary and central moments that are used in resolution of signal distribution function to Edgeworth series are obtained during the study. The formulas obtained can be used in further research of position-independent devices of Markov signals based on RNS.
References
1. Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metody vychislenii. 3-e izd., pererab. i dop. [Calculation methods. 3rd ed.]. Moscow, Nauka Publ., 1966.
2. Gonorovskii I.S. Radiotekhnicheskie tsepi i signaly. 5-e izd., ispr. [Radio circuits and signals. 5th ed.]. Moscow, Drofa Publ., 2006, 719 p.
3. Lebedev E.K. Bystrye algoritmy tsifrovoi obrabotki signalov [Fast algorithms for digital signal processing]. Krasnoyarsk, Krasnoyarsk University Publ., 1989, 192 p.
4. Malakhov A.N. Kumulyantnyi analiz sluchainykh negaussovykh protsessov i ikh preobrazo-vanii [Non-Gaussian Processes Cumulant Analysis and their Transformation]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1978, 376 p.
5. Pesoshin V.A., Galanina N.A., Ivanova N.N. Markovskaya fil'tratsiya tsifrovykh signalov v sisteme ostatochnykh klassov [Markov filtration of digital signals in residue number system]. Nauka. Innovatsii. Tekhnologii, 2015, no. 1, pp. 27-35.
6. Romanovskii V.I. Diskretnye tsepi Markova [Discrete Markov chains]. Moscow, Gostekhiz-dat Publ., 1949, 436 p.
IVANOVA NADEZHDA - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Information Systems Math and Hardware Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (naadeezdaa@rambler.ru).
GALANINA NATALIA - Doctor of Technical Sciences, Professor, Information Systems Math and Hardware Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
Ссылка на статью: Иванова Н.Н., Галанина Н.А. Анализ накопления результатов цифровой фильтрации в системе остаточных классов // Вестник Чувашского университета. - 2017. -№ 3. - С. 228-235.
