Анализ моделей движения и методов определения координат корабля Текст научной статьи по специальности «Математика»

для анализа и решения новых задач, связанных с конструированием объектов, например:

« встраивание подпроцессов в текущие проекты;

* определение связей между отдельными

узлами изделий; © задачи, связанные с управлением и распределением работ в рабочих группах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Похилько А. Ф. Технология представления проектной деятельности в интегрированной среде САПР// Вестник УлГТУ. Сер. Информационные технологии - 2000. - №3.

2. Похилько А. Ф. Построение модели классов объектов и типовых методик проектирования в интегрированной интероперабельной среде САПР// Вестник УлГТУ. Сер. Информационные технологии. —2001. - №4.

3. Похилько А. Ф. Маслянцын А. А. Модель управления проектной деятельностью в распределенной среде САПР// Труды МНТК.

«Системный анализ в проектировании и управлении». - Санкт-Петербург, 2002.

4. Смирнов А. В., Шереметов Л. Б. Многоагентная технология проектирования сложных систем // Автоматизация проектирования. - 1998. - №03. (Ипр://\у\у\у.05р.ги/ар/1998/03/45.Ыт).

5. Хоар Ч. Взаимодействующие последовательные процессы: Пер. с англ. /Ч.Хоар. - М.: Мир, 1989.

6. Романовский И. В. Дискретный анализ/ И. В. Романовский. - СПб.: Невский диалект, 2000.

Похилько Александр Фёдорович, кандидат технических наук, окончил Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина. Профессор кафедры «Системы

автоматизированного проектирования» (САПР) УлГТУ. Имеет статьи в области информационных технологий построения САПР, методах и моделях принятия решений.

Маслянцын Алексей Александрович, окончил Ульяновский государственный университет. Аспирант кафедры САПР УлГТУ. Имеет работы в области информационных технологий.

УДК 621.37

М. А. ЦВЕТОВ, А. Н. ВАСИЛЬЕВ

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ДВИЖЕНИЯ И МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ КОРАБЛЯ

Рассматриваются нелинейная и линейная модели движения корабля в различных режимах маневрирования. Приведены результаты сравнительного анализа одногиагового метода и адаптивного метода Рунге-Кутта при решении системы нелинейных дифференциальных уравнений. Даны рекомендации по использованию методов вычисления местоположения корабля.

ВВЕДЕНИЕ

Полная математическая модель

пространственного движения морского подвижного объекта (МПО)? содержащая двенадцать нелинейных дифференциальных уравнений, малопригодна для исследования систем управления МПО [1,2], поскольку структура и алгоритмы систем управления непосредственно зависят от структуры исходных математических моделей [3]. Синтез по упрошенным моделям приводит к более простым структурным решениям, доступным для технической реализации. В связи с этим вопросы упрощения математического описания движения МПО весьма актуальны. В статье рассматривается движение корабля в различных режимах.

РЕЖИМ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА

В этом режиме угловая скорость рыскания со очень мала (2°-3%), угол дрейфа не превышает 10°-12°. При этом динамика корабля с достаточной точностью может быть описана линейной моделью:

т\

<Ь.

¿V.

с1т

сЛ

х- = X; т2—^ = У,?пв — = М;

¿1

— = уу ; —1- = V.

А

0)

г/ф

= СО .

йг х' Л у' А

Пусть корабль, динамика которого описывается уравнением (1), движется равномерно по прямой траектории без рыскания, т.е. со = 0,

у(/) = уо + у г. Подставив параметрическое уравнение

траектории в (1), найдем X = У = М = 0.

Посмотрим, как поведет себя нелинейная модель

dvx „

т{ —— = m2v со 4- А ,

di d\

т.

у

"V

dxx ~~dt dy, Л

гУф

Л

rico

"л"

= -mvr(ú + Y,

= М/

(2)

= vt coscp -v smcp ,

= v coscp + vx sincp ,

= 0)

в режиме стабилизации курса (со = 0) при тех же силах и моменте и таких же начальных условиях. Подставив Х = У = М = со=Ов (2), получим:

. л.. -

т

« 7 = 0 , ??г2 —— = 0 ;

dt

dt

dx

C0S(P 5Шф , = eosф siii9 .

После интегрироватшя (3) найдем:

x(t) = x0 + (vr • coscp -v;. шф)/,

Я0 = >;o + (vy cos(p + ^ sin ф)/, где x0, y0 - начальное положение корабля.

X

Для того чтобы оценить различия в траекториях линейной (1) и нелинейной (2) моделей, введем

ошибку по x 8^ = x(t)-Xjj (0 , ошибку iio у еу = y(í) - ул (t) и суммарную ошибку

8(0 - л/ёУ+ёУ. В нашем случае

8Д (/) = [v, (С05ф -1) - Vr SHl(p]í ,

(0 = [vy C0S((P -1) + Vx sin Ф ]í ,

e(0 = /V2(1-cosV)(ví+ví) =

= v/д/2(1 - eos Ф) = 2(1 - eos Ф)

где V = у* +V* - модуль скорости корабля; 5 -

пройденное расстояние.

Обсудим полученный результат. При ф = 0, т. е. когда 0=0 (нет сноса), е(/) = ет{п=0 и обе

траектории совладают. При ф = п модели дают движения в разные стороны, 8(/) - ет;|Х = 2\п , т.е.

ошибка растет пропорционально времени. Получаем, что ф - это не угол курса, а угол сноса, будем обозначать его (3. Из выражения для суммарной ошибки 8(0 получим

(3 = arceos

/

V

1-1 2

б

/

Зависимости р от параметров 8 и S приведены на

рис.1. При —<0.5

эти зависимости хорошо

8 8

аппроксимируются линейной функцией р « — = — .

5 Ш

Таким образом, по заданной ошибке 8 и расстоянию 8 можно определить максимальный угол сноса р, при котором линейная модель будет давать результата, близкие к нелинейной модели. Например, если задана допустимая ошибка 8 = 20 м и расстояние Б = 100 м, то максимальный угол сноса, при котором можно пользоваться линейной моделью,

Р = агссоз(0.48)»11.5°.

РЕЖИМ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ЦИРКУЛЯЦИИ

Любую траекторию движения можно представить как последовательное движение по дугам различного радиуса. В связи с этим режим циркуляции представляет практический интерес.

Пусть корабль, динамика которого описывается нелинейной моделью (2), движется по дуге окружности радиуса Я с постоянной угловой скоростью О. Параметрические уравнения такой траектории имеют вид

Рис. 1. Зависимость угла сноса р от параметра 8/8

в режиме стабилизации курса

¿0.002^

о

180 Рп 3.1415

о

Л'(0 = R sin Clt, y{í) = -R eos Qít cp = .

Как известно, при движении по окружности вектор скорости направлен по касательной. При этом для Q = const vr = RQ, v = 0. Подставив последнее

соотношение в нелинейную модель (2), найдем: X = О, М = 05 Y = rnvxQ = mRíT . Посмотрим, какую

траекторию дает линейная модель (1) при этих же силах и моменте. Для этого подставим X = М = О,

Y = mRQ в линейную модель:

- V

х?

«А- о А 1 di dt

т, А = тЯП>, ^

т.

dt da dt

dt

(4)

dt

После интегрирования (4) при условиях х(0) = 0, у(0) = -R получим:

г, tnvíl 2

2т

начальных

(5)

т. е. по оси X! движение равномерное, а по у1 -равноускоренное. Исключив из (5) время ^ получим уравнение траектории для линейной модели (4)

y т

Полученная траектория - парабола. Найдем ошибки: е, (0 = *(0 - хл (0, е , (0 = у (t) - Ул (г),

v

е(0 = л/Б>)+8*(')< e>=R

-t -sin R

/ \ V -i/

\

R

У _

=

/■ / \ Л)

= R cos ^t -1+

U ;

mV

\

2 mRR

t

j

Суммарная ошибка e(t) стремится к нулю при vr « 1,

т.е. при малых скоростях обе модели (линейная и нелинейная) дают одинаковые траектории. Для произвольных значений параметров траектории линейной и нелинейной модели, а также суммарная ошибка представлены на рис. 2 и 3 соответственно.

R

\6.\96,

X,

м

у,М

Рис. 2. Траектории движения нелинейной (-)

и линейной (-—) моделей корабля (ух=1 м, со=0>01 рад/с, 11=100 м)

i*.

S, м

А о

Рис. 3. Погрешность линеаризации модели движения корабля в режиме циркуляции

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ 'Выбор метода решения системы

дифференциальных уравнений также оказывает влияние на точность вычисления местоположения МПО. Рассмотрим это влияние на примере нелинейной модели движения корабля, когда все внешние силы и моменты скомпенсированы средствами активного управления. Уравнения, описывающие этот режим, могут быть получены из (2), если положить X = У = М - 0 :

¿V

с!\>х тг (11 т, ' Л

У

i

т,

т.

V со ,

С1й) ~Л)КУ> С1(р

- -----^ ;- = СО

(¡1 те (11

(6)

с1х,

- СОБШ (р ,

Ф

СО$(р + Ух ЯШ (р

Л А ' ' ' * (11

Так как суммарные силы и момент равны нулю, то должно получиться равномерное движение с начальными линейными скоростями ухС? уу0 и

начальной угловой скоростью.

Для решения систем дифференциальных уравнений использовался адаптивный алгоритм

Рунге-Кутта. Однако из-за сложности и малого быстродействия применение этого алгоритма на практике может быть ограничено.

Альтернативой этому методу может служить простой одношаговый метод интегрирования с фиксированным шагом. Но при этом возникают дополнительные ошибки, возникающие при решении системы нелинейных дифференциальных уравнений. Результаты анализа этих ошибок приведены на рис. 4,5. На рис. 4 приведены траектории движения для одношагового метода (штриховая линия) и метода Рунге-Кугга (сплошная линия). На рис. 5 приведена зависимость ошибки по положению от времени.

Из проведенных исследования стало ясно, что в диапазоне скоростей, характерных для реальных маневров корабля, ух, уу< 2 м/с; со< 1 рад/с ошибка не превышает 3 метров на интервале времени до 10 секунд. При больших значениях скоростей и временного интервала ошибка возрастает, а, следовательно, при особенно сильных маневрах надо использовать более точный метод интегрирования Рунге-Кутта.

1.095,

12

10

г, л

X, м

Л о

о

8

10

у, м

12

1192.

Рис. 4. Траектория корабля, рассчитанная по нелинейной модели одношаговым методом (—) и методом Рунге-Кутта (--) (ух=уу=1 м? ф=0?01

.307,

1.5

1 -------

€

0.5

10

-3

о

1,с

Рис. 5. Погрешность одношагового метода по сравнению с методом Рунге-Кугга

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ движения МПО в различных режимах показал, что при заданной ошибке позиционирования, равной точности определения местоположения корабля с помощью навигационных систем, на временном интервале до 1 минуты можно пользоваться линейной моделью движения и простым одношаговым методом вычисления координат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

]. Васильев А. В. Управляемость судов:

Учеб. пособие / A.B. Васильев. - JL: Судостроение, 1989.-328 с.

2. Лукомский Ю. А. Управление морскими подвижными объектами: Учебник / Ю.А. Лукомский, В. М. Корчанов. - СПб.: Элмор, 1996. - 320 с.

3. Васильев К. К. Оптимальное стохастическое управления движением корабля // Вестник УлГТУ-2000. -№3.- С. 27-37.

Цветов Михаил Александровичу кандидат технических наук., доцент кафедры САПР, окончил Горьковский государственный университет по специальности «Радиофизика». Область научных интересов - моделирование и обработка случайных процессов.

Васильев Александр Николаевич, магистр техники и технологий по направлению «Радиотехника», аспирант кафедры САПР, окончил радиотехнический факультет Ульяновского государственного технического университета. Имеет работы в области анализа тетовых процессов в твердотельных структурах, а также в области моделирования систем управления подвижными объектами.

Поддержано грантом РФФИ 03-01-00370