CC BY
87
УДК 621.37
К. К. ВАСИЛЬЕВ
ОПТИМАЛЬНОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОРАБЛЯ
Рассматриваются возможности построения оптимальных систем стабилизации курса корабля и динамического позиционирования.
ВВЕДЕНИЕ
В процессе оперативного управления необходимо автоматизировать движение корабля по заданному маршруту с высокими скоростями (стабилизация курса) и позиционирование корабля в точке с компенсацией интенсивных внешних возмущений (динамическое позиционирование).
Для решения задачи автоматической стабилизации курса используются авторулевые различных типов, основным источником информации для которых обычно является гирокомпас. Вместе с тем в последние годы стали широко применяться спутниковые навигационные системы типа GPS и «Навстар», а также комплексирование систем извлечения информации для решения сложных навигационных задач. В связи с этим появилась возможность создания автоматических систем управления движением (СУД), предназначенных не только для стабилизации курса корабля, но и для Динамической стабилизации корабля относительно флагмана или телеуправляемого подводного аппарата и динамического позиционирования при наличии значительных ветро-волновых возмущений.
Вестник УлГТУ 3/2000
27
СТРУКТУРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОРАБЛЯ
Систему управления движением корабля с обратной связью по наблюдаемым переменным у,(г), у20) образуют:
- объект управления (ОУ) (корабль), характеризующийся вектором состояния х(Ч), в который в зависимости от режима работы СУД включаются все или часть известных двенадцати компонент [2-4] (мгновенное положение центра масс х(0, у(1), и угловая ориентация объекта в пространстве 6(1), ф^), \|/(0, а также их производные);- датчики кинематических параметров движения и управляющих
воздействий, позволяющие осуществлять оценивание части компонент вектора состояния х на основе сигналов у^О;
- локальная система управления (ЛСУ) исполнительными органами (ИО);
- системы извлечения информации у2 с матрицами ошибок К2(г) 0 компонентах вектора состояния [2-10], включающие корабельную РЛС, гирокомпас (ГК), гидроакустическую станцию (ГАС), приемоиндикаторы (ПМИ) спутниковой навигационной системы (СНС) и радионавигационных систем (РНС);
- вычислительное устройство (ВУ) и система отображения информации (СОИ), образующие вместе с органами ручного управления пульт управления движением (ПУД).
Состояние ОУ х(1) изменяется под действием внешних ветро-волновых возмущений и управляющих воздействий 5(0, обеспечивающих
необходимый упор движителя. В ВУ решаются две основные задачи:
- оценивание вектора состояния, включающего кинематические параметры соответствующего режима управления на основе наблюдения наиболее информативных для данного движения компонент векторов у! (1), у2(1:);
- формирование сигналов управления на основе оценок х(1) состояния х(1) и заданного состояния ОУ с учетом требования максимизации показателя качества работы СУД.
Рис. 1. Структурная схема системы управления движением
СОВМЕСТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
Рассмотрим общее решение [1-7] задачи оптимального управления, обеспечивающее минимум взвешенной суммы средних квадратов ошибки и сигналов управления:
I«М{х(1,)твх(1,)} + |(хт(т)<3, х(х) + и1 (т)к,(х)Щт))ёт,
»о
где весовые матрицы 8, О, и С)2 будем полагать симметричными и неотрицательно определенными. Вектор наблюдений
у(1) = С(1)ВД + У(1) (1)
отличается по размерности от вектора состояния х(Ч) тем, что учитывается гхп -матрицей С{4). Это отличие размерностей вызвано двумя причинами. С одной стороны, не все компоненты вектора х(Ч) могут быть измены. С другой -некоторые составляющие х(1) могут быть получены с помощью различных
систем. Например, параметры поступательного движения могут быть определены по сигналам РНС и СНС. В этом случае имеет место комплексирование измерений. Погрешности измерений учитываются с помощью векторного белого шума V(t) с ковариационной матрицей
M{V(t)VT(t-T)}-R2(t)ô(t-T).
Модель изменения состояния за счет динамических свойств МПО, сигналов управления U(t) и внешних воздействий f(t) запишем в следующей форме :
~ = A(t)x(t)+B(t)Û(t)+f(t), (2)
dt
где M{f(t)fT(t -т)} = Q2(t)ô(t-т); A(t) - nxп-матрица коэффициентов, определяемых линеаризованными характеристиками ОУ в соответствующем режиме управления; B(t)~ nxm-матрица линеаризованных коэффициентов для исполнительных органов МПО.
В соответствии с теоремой разделения [1, 13] можно показать, что при гауесовских процессах наилучшая (в смысле минимума дисперсии ошибки)
л
оценка x(t) состояния x(t) ОУ определяется следующими калмановскими соотношениями: v
d£(t) dt
= A№(t) + B(t)U(t) + K(t)(y(t) - C(t)S(t))f (3)
где x(t0) = x(t0), x(t0) = x(t0) K(t) = P2(t) CT(t)R2~1(t), P2 (t) = A(t)P2(t) + P2(t)AT(t) - P2(t)CT(t)R21 (t)C(t)P2 (t) + Q2 (t) с начальным условием P2(t0) = P20- Заметим, что ковариационная матрица вектора ошибок оценивания P2(t) не зависит от наблюдений y(t) и принятого закона управления U (t) и может быть вычислена и записана в память ЭВМ до начала работы СУД для каждого из возможных балансировочных режимов.
Оптимальное допустимое управление может быть сформировано на основе следующих вычислений:
щ^к^овд, (4)
K1(t) = -Rrl(t)BT(t)P1(t); P,(t) = -P,(t)A(t)-AT(t)Pj(t) +
+ Pl(t)B(t)Rr,(t)BT(t)P1(t)-Q(t)J
где P,(tf) = S. Структурная схема вычислений, реализующих оптимальное управление, представлена на рис. 2. Представленное решение содержит матрицы A(t) и B(t), существенным образом зависящие от кинематических
параметров движения. При этом возникает необходимость корректировать элементы этих матриц в зависимости, например, от параметров поступательного движения МПО. Кроме того, изменяющийся уровень внешних воздействий и погрешностей оценивания состояния также требует корректировки соответствующих матриц С?2(1) и Я2(0.
ВО)
що \ \ "1 ОУ "Л ад Инф. системы
Сх
А(1)
х(0
N(1)
Рис. 2. Оптимальная СУД
Это может быть выполнено с помощью введения дополнительных блоков адаптации параметров СУД. Весьма важно, что в рассматриваемых задачах могут эффективно применяться безыдентификационные псевдоградиентные процедуры параметрической адаптации [13], носящие рекуррентный характер и требующие минимальных вычислительных затрат.
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ КОРАБЛЯ
Рассмотрим кратко математические модели движения корабля, включающие динамические уравнения движения центра масс в связанной системе координат и кинематические уравнения связи угловых и линейных скоростей с угловыми и пространственными координатами, полученные на основе законов сохранения количества и момента количества движения [2-4].
Пространственное движение МПО в общем случае описывается системой 12 обыкновенных дифференциальных уравнений для производных линейных координат центра масс МПО х8, у8, гк в полусвязанной системе, углов
Эйлера 0, \[/ и составляющих линейной Ух,Уу,Уг и угловой шх,соу,©г
скоростей. Вектор £ в модели определяется проекциями сил и моментов течения, ветра и волнения моря. Нелинейный характер дифференциальных уравнений динамики движения вызван присутствием в них нелинейных
тригонометрических функций от углов Эйлера, а также произведений переменных состояния и нелинейных функциональных зависимостей гидродинамических сил и моментов при переменных параметрах движения. Вместе с тем при описании режимов стабилизации и динамического позиционирования, характеризующихся малыми отклонениями кинематических параметров, можно применять линеаризованные математические модели.
Используя разложение в ряд Тейлора относительного состояния ОУ в балансировочном режиме, получаем линейную модель движения корабля в приращениях с!х/сИ: = А^^ + В^О + С,?^), где матрицы Аь В[ и С\ образуются дифференцированием соответствующих нелинейных функций в стационарной точке. Рассмотрим линеаризацию наиболее важной модели рыскания МПО, для которой вектор состояния корабля включает три переменных параметра: угол рыскания ф(г), угловую скорость рыскания со (О и угол дрейфа р^) (рис. 3).
В общем случае угловая скорость рыскания шу = фСов фСов 0+ ф8тф, где ф- угол дифферента, 9 -угол крена. Однако при малых 0 и ф можно приближенно полагать юу(г) = ф({:). Поступательное движение
характеризуется проекциями скорости V на соответствующие связанные координаты: Ух = УСоБрСоБа, У,=У8шР, но при малых углах атаки и дрейфа Ух = V; Уг = Ур. При постоянной скорости движения корабля вместо скорости бокового сноса У2 удобно взять в качестве переменной состояния угол дрейфа р = У2/У. Скорость движения центра масс МПО в
полусвязанной системе координат Vg = (Vxg Vyg Vzg )т связана с проекциями на связанные оси известным соотношением Vg=BylV, где Bv-кинематическая матрица. При малых углах 0, ij/ и (р получаем следующие уравнения связи: Vxg = V(l+|3<p), V^ = V(f}-cp). С учетом этих приближений
находим относительно простые уравнения для движения центра масс в полусвязанной системе координат dxg /dt = V, dyg /dt = V(<p - a),
dzg/dt =-V(<p-p), где a - угол атаки; а = ф-[3 - приращение путевого
угла.
Мгновенные значения скоростей движения твердого тела подчиняются теоремам об изменении количества движения К и момента количества движения L : dK/dt + QxK =R, dL/dt = QxL + VxK =M, где Q =(íox,o)y,ü)z);R(t) и M(t) - главные вектор и момент внешних сил относительно начала координат. Суммарная кинетическая энергия движения МПО Т = 0.5(Fr Пг)(£>+ A)(FrQr)r, где D - матрица инерции; Л-матрица присоединенных масс и моментов инерции. Учитывая известные связи К х,у, г = ' у, г » L у> г = 5Т / Эо>х y¡ г между кинетической энергией Т и
проекциями скоростей и векторов К, M, после несложных преобразований получаем общую форму уравнений динамики МПО :
(m + Мп )Y, - mVyS + Хк + ХА + CXUX + f,
(m + = -mV,iuy + ZK + ZA + СД1, +fz (5)
(Jy+/4J%=MK+MA+MRUR+fM; u>y = ckp/dt, dx8/dt = VxCos tp-Vz Sin ф, dyg/dt = VICos <p + VxSin
где m — масса корабля; J - момент инерции относительно вертикальной оси;
,ап и ¡i12 - присоединенные массы; /л№ ~ присоединенный момент инерции;
XK,ZK,MK - гидродинамические силы и момент на подводной части
корпуса корабля; XA,ZA,MA - аэродинамические характеристики
надводной части; Сх, Ux, Cz, Uz, MR, UR - гидродинамические
характеристики; fx,f,, fM - составляющие сил и момента, обусловленные
течением, волнением и ветром.
Для конкретизации записанных линеаризованных уравнений (5) необходимо определить коэффициенты, например, с помощью модельных испытаний. Записанные соотношения (5) можно представить в стандартной векторной форме (2), включая в вектор состояния х различные компоненты в зависимости от выбранного режима работы СУД.
СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ КУРСА И ДИНАМИЧЕСКОГО ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ КОРАБЛЯ
При построении СУД в любом режиме работы вырабатывается оценка x(t) вектора x(t) состояния корабля и формируется сигнал управления U(t), пропорциональный рассогласованию между заданным состоянием x0(t) и оценкой вектора состояния (4). Вместе с тем для решения частных задач стабилизации движения в вектор состояния x(t) целесообразно включить различные компоненты, а также применять различные информационные системы для построения оценок. В связи с этим рассмотрим два основных режима работы СУД.
Система стабилизации курса корабля предназначена для автоматической ориентации его продольной оси в заданном направлении движения. Если заданный курс судна на частном галсе К0, а его истинный курс K(t), то разница между ними образует угол рыскания <p(t) = К0 -K(t). Задача СУД заключается в минимизации <p(t). Реализация такой функции управления осуществляется с помощью авторулевых различных типов [2-7].При этом
- Т
формируется вектор состояния x(t) = (<p(t) © (t) (3(t)) , описываемый
уравнениями динамики движения (2), (5). Достижение поставленной цели осуществляется путем формирования сигнала управления
t
U (t) = g,<p(t) + g2coy (t) + g38(t) + g4 JcKt )dt
о
и организации соответствующих обратных связей (ПИД-регулятор [2-4]). При этом угол рыскания и угловая скорость рыскания, как правило, определяются с помощью гирокомпаса.
Для реализации системы стабилизации путевого угла необходимо сформировать оценку угла дрейфа р и осуществить его компенсацию, например, с помощью поворота судна на угол рыскания <р « р. В настоящее время такая возможность измерения предоставляется спутниковыми навигационными системами. Предположим, что в дискретные моменты времени tj? i = 1,2,..., осуществляется измерение двух абсолютных координат
корабля x0i и zoi: =x0iy2i = z0t+e2i i = где eu, e2i-
случайные независимые погрешности таких измерений с дисперсиями oj:, которые для ПМИ первого класса составляют ае~10 м. На участке с постоянной путевой скоростью V0 =(Vx0 Vz0)T уравнения, описывающие
__"Т-
динамику изменения вектора состояния X; =(x0i z0i Vx0i Vz0i) , запишутся в ВИДе X0j = X()(i_n +Vx0(j_i)» z0i = Z0{i-1) + YjO(i-1)> ^xOi = ^x O(i-l)' ^zOi = ^zO(i-l)
или в векторной форме Х;=РХМ+\У|? соответствующей (2). Уравнения
наблюдений-в виде у(=Сх + в1з аналогичном (1), где С=
il О О О
y2i
ei =
Ve2i ;
1 0 о,
. Можно записать уравнения Калмана для оптимальных оценок вектора состояния по наблюдениям у1зу2,...у| :
xi(t) = x3i+piv;lcT(y.-c^i).
Система динамического позиционирования предназначена для автоматического удержания судна в заданной точке. При этом движение судна характеризуется малым значением линейной скорости. Гидроакустические силы на корпусе, вызванные собственным движением судна, незначительны. Определяющими являются силы и моменты ветро-волновых возмущений и средств управления. Для информационного обеспечения системы, кроме гирокомпаса и СНС, обычно используются ГАС, определяющие пеленг П(1) и дальность D(t) до «яркой точки» морского дна. Будем рассматривать плоское движение центра масс в базовой неподвижной координатной системе, начало которой Og (рис. 4) совмещено
с точкой позиционирования, а ось Ogxg направлена таким образом, чтобы
силы ветра, течения и морского волнения, действующие на судно при угле рыскания ф = 0, были минимальными.
Рис. 4. Динамическое позиционирование
Вектор состояния для обеспечения автоматического управления кораблем включает 6 переменных: х = {х ъ% Ух Уг ф соу )т. Спутниковая РНС позволяет получить информацию у,(г)^хй0) + е1(г), у2(0 = г:8(0 + Б2(1)
непосредственно о переменных состояния. Информация от ГАС состоит в пеленге у1Г(*) = Пи(0 + Еп(*) и Дальности у2г0) = Ви(1) + еп0) до яркой
точки Т (рис. 4). В связи с этим прямая запись наблюдений через переменные состояния оказывается нелинейной. Для построения СУД в этом случае можно воспользоваться известными методами [1] нелинейной теории управления. Другой путь заключается в построении подсистемы автоматического слежения за яркой точкой, в которой формируются текущие оценки пеленга, дальности, их производных, а также проекции этих оценок на оси базовой и связанной систем координат. В таком случае на основе гидролокационных наблюдений получим оценки: y3(t) = х (t) + e3(t),
y4(t) = zg(t) + e4(t), y5(t) = Vx(t) + e5(t) и y6(t) = Vz(t) + e6(t). Информацию
от гирокомпаса запишем в форме: y7(t) = (p(t) + 67(t), y8(t) = со (t) + eg(t).
Таким образом, наблюдения запишем в стандартной форме (1): у = С х + £.
Для описания динамики изменения состояния можно воспользоваться уравнениями (5) в форме (2), предполагая дополнительно, что гидродинамические силы вязкостной природы XK(t) и ZK(t) можно считать малыми. Оценивание состояния и выработка сигналов управления осуществляется в соответствии с уравнениями (3)-(4). При этом получается структура СУД, включающая комплексированные измерения состояния x(t) на основе СИС и ГАС, имеющей собственную систему автоматического слежения за яркой точкой и формирование оценок проекций координат отклонения корабля от заданной точки Og. На основе вектора отклонений координат от Og и вектора скоростей по формуле (4) рассчитываются необходимые сигналы управления.
Поскольку в режиме динамического позиционирования действие вегро-волновых возмущений f(t) играет основную роль, то для задания f(t) уже нельзя воспользоваться моделью белого шума (2). Учитывая, что адекватное описание f(t) дает случайный процесс с дробно-рациональным спектром [24], можно записать f(t) как решение стохастического дифференциального уравнения второго или более высокого порядка.
При этом для идентификации коэффициентов модели целесообразно воспользоваться известными методами адаптации стохастических систем управления [1,5,6,10-13]. Общая запись алгоритмов оценивания при этом будет включать расширенный вектор состояния в соответствии с общими правилами калмановского оценивания при небелых шумах формирующего фильтра [1].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представленные в работе результаты позволяют найти общее решение двух тесно связанных задач комплексирования различных измерительных систем и выработки необходимых сигналов управления кораблем в условиях ветро-волновых возмущений. При этом появление каких-либо
дополнительных источников информации о положении корабля, а также использование разнообразных подруливающих устройств не приводит к изменению основных математических соотношений. Весьма важно также, что основные формулы могут быть записаны и для решения задачи оптимального управления в дискретном времени, в точности соответствующей современным способам сбора и переработки информации с помощью бортового вычислителя. Вместе с тем для каждого проекта необходима конкретизация представленных результатов, учитывающая динамические свойства корабля, условия плавания и возможные варианты комплексирования систем определения координат.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сэйдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь.
1982. 392 с.
2. Лукомский Ю.А., Чутувов B.C. Системы управления морскими подвижными объектами. Д.: Судостроение, 1988. 272 с.
3. Катханов М.М. Теория судовых автоматических систем. Л.: Судостроение, 1985. 376 с.
4. Справочник по теории корабля. Л.: Судостроение , 1985. 544 с.
5. Теория автоматического управления /Под ред. Л.Б. Нступшла.-М.:Высшая школа,
1983. 432 с.
6. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа., 1989. 263 с.
7. Березин С.Я., Тетюев Б.А. Системы автоматического управления движением судов по курсу. Л.: Судостроение , 1974. 264 с.
8. Микропроцессоры в радиотехнических системах /Под ред. Ю.М. Казаринова. М.: Радио и связь, 1982. 280 с,
9. Васильев А.В. Управляемость судов. Л.: Судостроение, 1989. 328 с.
10. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир. 1977.-650 с.
11. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 551 с.
12. Васильев К.К. Теория автоматического управления (следящие системы). Ульяновск: УлГТУ, 1999. 96 с.
13. Цьшкин Я.З. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. 232 с.
Васильев Константин Константинович, доктор технических, наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ, окончил Ленининградский электротехнический институт им. В.И. Ульянова (Ленина). Заведующий кафедрой САПР Ульяновского государственног технического университета. Имеет статьи, монографии и изобретения в области статистического анализа и синтеза многомерных нестационарных и нелинейных систем.
