Аналіз математичних моделей акумуляторних батарей системи пуску тепловозних дизелів Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.4.064

КОЛЕСНИК 1.К., д.т.н. професор (УкрДАЗТ); РЯБКО КО., ст. викладач (ДонГЗТ).

Аналiз математичних моделей акумуляторних батарей системи пуску тепловозних дизелiв

Постановка задач1

Для прогнозування техшчного стану акумуляторних батарей тепловозiв при рiзних режимах роботи, для дослщження впливу рiзноманiтних, в основному не-електричних, таких як пористють активно! маси, геометрiя реш^ки та iнших параметрiв на його техшчш характеристики широко застосовуються математичнi моделi. Оскiльки при проектуванш систем пуску тепловозних дизелiв розглядаються тiльки зовнiшнi електричнi характеристики акумулятора, то далi розглянемо тiльки т моделi, якi дозволяють визначати електричш характеристики акумулятора.

Таким чином, аналiз iснуючих математичних моделей, що дозволяють визна-чати характеристики акумуляторних батарей тепловозiв пiд час експлуатацп, !х параметризащя, адаптацiя i вдосконален-ня з урахуванням режимiв експлуатацп е актуальним завданням.

Анал1з публ1кац1й

Математичнi моделi можна роздiлити на двi групи: емпiричнi моделi та напiвемпiричнi модель Для емтричних моделей характерно те, що функщя розрядно! характеристики акумулятора виводиться на пiдставi тiльки експери-ментальних даних i нiяк не пов'язана з геометричними характеристиками, з фiзико-хiмiчними константами, з електрохiмiчними процесами що протiкають, з фiзико-хiмiчними властиво-стями електролiту i пластин. У

напiвемпiричних моделях, за допомогою емпiричних коефiцiентiв або фiзико-хiмiчних констант, встановлюеться зв'язок мiж розрядно! характеристикою i геометрiею, електрохiмiчними процесами що протiкають, властивостями

електрол^у та пластинами акумулятора.

Перевага натвемтричних моделей полягае в тому, що можна побудувати розрядну характеристику акумулятора без проведення велико! кiлькостi

експеримешив, а емпiричнi моделi вима-гають проведення серп дослiдiв.

1стотним недолгом емпiричних моделей е те, що вони дозволяють визначати напругу на акумуляторi тiльки в разi роз-ряду постшним струмом або на постшний опiр навантаження. А якщо струм змшюеться при розрядi, то визначити на-пругу на акумуляторi неможливо.

1сторично, iз-за недостатньо! вивченостi електрохiмiчних процесiв i в умовах обмежених обчислювальних мож-ливостей, спочатку отримали розвиток емтричш моделi. Прикладом просто! емтрично! моделi можна навести рiвняння Давидова:

и = а + й • е- - I • (Ь+ш-1), де а, й, Ь, т постiйнi коефiцiенти, яю визначаються дослiдним шляхом: розряд-жаючи акумулятор рiзними струмами i зшмаючи двi розряднi характеристики.

Коефiцiент а фактично е початковою рiвноважноi ЕРС, коефщент Ь -внутрiшнiм опором акумулятора, коефщент т характеризуе змiну рiвноважноi ЕРС при розрядi. Другий до-данок у виразi фактично визначае ЕРС поляризацп.

Аналiз виразу показуе, що модель мае наступний недолiк: другий доданок, що вщповщае ЕРС поляризацп, не вiдображае залежнiсть швидкостi електрохiмiчних процесiв вiд струму, що важливо при визначенн параметрiв робо-ти акумулятора тд час пуску дизеля. Оскшьки коефiцiент с1 визначаеться за розрядними характеристикам, то вихо-дить, що другий доданок вщповщае ЕРС поляризацп в певному дiапазонi струмiв. Тобто умова може бути застосовна тшьки для того дiапазону струмiв, для якого ви-значалися емтричш коефiцiенти, а, отже, не можна побудувати вольтамперт характеристики акумулятора для широкого дiапазону значень струму, що необхщно при розрахунку струму перехщного про-цесу тд час пуску тепловоза. Також умова справедлива тшьки при розрядi акумулятора постшним струмом.

Математичн моделi на базi диференцiальних рiвнянь найбiльш повно вiдображають електрохiмiчнi процеси в акумуляторi пiд час пуску дизеля i явля-ють собою натвемтричш моделi. В моделях враховуються концентрацiйнi змiни електролiту, втрати напруги в електролт i порах електродiв i сепаратора, складнi процеси змши потенцiалу в порах електродiв i сульфатацiя пор електродiв у процес розряду. Найбiльш повна матема-тична модель е тривимiрною, але складшсть тако'1 моделi не виправдовуеться при розрахунку розряд-них характеристик, оскшьки додаткове уточнення становить кшька вщсотюв, а складнiсть моделi ютотно зростае. Тому часто використовуються одновимiрнi моделi, де враховуються змiни параметрiв акумулятора тiльки в напрямку перпендикулярному електродам або двовимiрнi, де додатково враховуються змши параметрiв акумулятора по висот електрода.

Таким чином, найбшьший практич-ний iнтерес при розрахунках пускових струмiв тепловозних акумуляторних бата-

рей представляють напiвемпiричнi модель Далi буде розглянута математична модель в частинних похщних i модел^ отриманi шляхом знехтування деякими

електрохiмiчними процесами.

Основний матер1ал досл1дження

Математична модель акумулятора, заснована на диференцшних рiвняннях в частинних похщних. В цш моделi враховуються процеси, яю виникають в акумуляторнш батаре'1 при розрядi i зарядi в процесi експлуатацп тепловозiв. Для спрощення розрахункiв передбачаеться, що акумулятор складаеться з позитивного i негативного пористих електродiв i також пористого сепаратора. Змiни параметрiв акумулятора враховуються в напрямку перпендикулярному до електродiв, змiна температури тд час розряду або заряду не враховуеться, тобто процес вважаеться iзотермiчним. Така модель дозволяе ви-значати характеристики акумулятора для штатних умов роботи тепловозних акумуляторних батарей.

При отриманн рiвнянь найбiльш доцiльно розглядати акумулятор, роздшений на декiлька зон i границь (рисунок 1):

- границя мiж решiткою позитивного електрода i активною масою позитивного електрода,

- позитивний електрод (регюн 1),

- границя мiж позитивним електро-дом i електролiтом,

- електролiт (регiон 2),

- границя мiж електрол^ом i сепаратором,

- сепаратор (регюн 3),

- границя мiж сепаратором i нега-тивним електродом,

- негативний електрод (регюн 4),

- границя мiж негативним електро-дом i решiткою негативного електрода.

X О Х=1

Рисунок 1. - Модель акумулятора

Для кожно! границi записуються по п'ять граничних умов. Для кожно! зони записуються по п'ять диференцшних рiвнянь.

Так для першо! групи (х = 0) записуються таю граничш умови:

дС л да п п др2 п

-= 0, — = 0, = 0, р = 0, —2 = 0,

дt дх 2 1 дх

де С - концентрацiя електролiту, моль/см3;

а - пористють електродiв, у.о.; ¡2 - щшьшсть струму в електролт,

А/см2;

ф1 - потенцiал в активнш масi електрода, В;

ф2 - потенцiал в електролiтi елек-трода, В.

Для першо! зони записуються наступш рiвняння:

1. Рiвняння змiни пористосп позитивного електрода:

__1_

дг 2 ^

М

рьзол

М

л

рьо2

\ РрЬ5ОА

Ррьо.

'2 У

^ = 0, дх

де М^ - молярна маса речовини г, г/моль;

Рг - щшьшсть речовини 1, г/см3.

Записане рiвняння описуе змiну пористостi позитивного електрода в чаа, обумовлену перетвореннями активних матерiалiв при електродних реакщях в процесi пуску дизеля тепловоза.

2. Закон Ома для електрол^у, що мiститься в порах позитивного електрода матиме наступний вигляд:

„ ех1

а у

+

др2 дх

ЯТ

Г 3 - 2t +0

V

С

+ ■

2К

Л

1 - СУ■

е У

дС_ дх

= 0,

де ех1 - коефiцiент, що враховуе зниження провiдностi електрол^у в порах позитивного електро-да;

уЭ - провiднiсть електролiту, См /

см;

t+ - число переносу юшв водню;

Уо, Уе - молярш об'еми води i електролiту вщповщно, см3/моль.

Це рiвняння являе собою модифшований закон Ома для електрол^у, при якому враховуеться, що струм протшае пiд дiею градiентiв елек-тричного та хiмiчного потенцiалiв.

3. Закон Ома для активно! маси позитивного електрода:

дР дх

-1 = 0,

де ехш1 - коефщент, що враховуе змiну провщносп позитивного електрода в залежностi вщ його пористостi, См/см;

уРЬО - провщшстъ дiоксиду свин-

цю, См/см;

I - сумарна щiльнiсть струму роз-ряду (заряду),А/см2.

Записане рiвняння аналогiчне попе-редньому, але застосовано для електрода.

4. Рiвняння матерiального балансу:

|+(+ - 3)-Уе + 2У0

дС 1 ( МРЬ3О4 МРЬО2

дг У РрЬЭО4 РрЬО2

хШ ^ -дх дх '( 3 - 2г+ \ 2F

1 дС-аех1Вд2С

дх

дх2

(1-сУе) + СУ0= 0,

V е' F 1дх

2

12

2

де Б - коефщент дифузп юшв електролiту, см2/с.

Дане рiвняння описуе змшу концентрацп електролiту в чаа, яка вiдбуваеться через електродну реакщю, дифузп i м^ацп iонiв тд час пускового процесу тепловозного дизеля.

5. Рiвняння електродно! кiнетики:

_ . I с_

дх а"1Чг I СГ

1ехР

аТ- {<Р1 _я>г _ и о)

_ ехр

-а ,¥ ( тт \

№ _ и о)

де

а

- максимальна питома

поверхня активно1 маси позитивного електрода, см2/см3;

Сг - концентращя електролiту, при якiй визначена щшьнють струму обмiну для електродiв, моль/см3;

¡01,Г - щiльнiсть струму обмiну для позитивного електрода при СГ, А/см2;

е01 - пористють позитивного електрода в розрядженому сташ;

ет1 - пористiсть позитивного електрода в зарядженому сташ;

аа1, ас1 - анодний i катодний коефiцiенти переносу позитивного елек-трода;

V - коефiцiент, що враховуе залежнiсть щiльностi струму обмiну позитивного електрода вiд концентрацп;

£,1 - коефiцiент, що враховуе залежнють питомо! поверхнi активно! маси позитивного електрода вщ ступеня зарядженосп;

и0 - напруга на акумуляторi при вiдсутностi зовнiшнього струму (це фак-тично напруга розiмкнутого пускового ланцюга дизеля, контактори КД1, КД2 розiмкнутi), В.

Для границ мiж 1-й i 2-й зонами (позитивний електрод - електрол^) запи-суються такi граничнi умови, яю задо-

вольняють вимозi безперервностi потоку юшв i безперервностi щiльностi струму через границю:

дС

дх

= дС де _ 1- í

1 дх 2, дг V

Мс

Мс

¡2 = I,

дз_

дх

= о,

д?2

дх

РрЬБО^ = д^

Ррьо,

д/'

дх

= 0,

дх

= 0,

Аналопчш граничнi умови та рiвняння записуються для шших зон та границь.

Така система рiвнянь спiльно з гра-ничними умовами виршуеться чисельно. Модель достатньо повно враховуе фiзичнi процеси, що протшають в акумуляторi пiд час пуску дизеля, але математичне ршення тако! моделi досить складне. Та-кож досить складно параметризувати таку модель, тому що вона включае в себе рiзнi параметри електродiв, електрол^у i т.д., наприклад пористють електродiв в зарядженому i розрядженому станi. Бiльшiсть таких параметрiв практично неможливо оцiнити в умовах експлуатацп тепловоз-них акумуляторних батарей.

Для вирiшення шженерних завдань зазвичай приймають допущення, як доз-воляють значно спростити математичну модель акумулятора.

Доцiльно застосовувати математич-ну модель, яка заснована на виршенш рiвняння нестацюнарно! дифузп. У методищ розрахунок поля концентрацп виконаний з припущеннями, що транс-портування реагуючих речовин здiйснюеться як молекулярно! дифузiею, так i мчащею iонiв в електричному полi електродiв акумулятора. На вiдмiну вiд вище розглянуто! методики, при розра-хунках пускових струмiв акумуляторних батарей тепловозiв, найбiльш доцiльно передбачати такi допущення:

1. Розглядаеться акумулятор з плоскими електродами (а не пористими).

2. Коефщенти дифузп iонiв, провщнють i температура електролiту i пластин не змшюються в часi.

3. Щшьшсть струму по поверхш електродiв розподiлена рiвномiрно.

ь

ь

2

е_е

01

е

е

01

4. Кислота повшстю дисощюе за

piBraH^M:

H 2 SO4 о HSO -4+ H+

Висновки

Розглянута модель достатньо повно враховуе фiзичнi процеси, що пpотiкають в акумулятоpi пiд час пуску дизеля, але математичне ршення тако! моделi досить складне. Також досить складно парамет-ризувати таку модель, тому що вона включае в себе pi3rn параметри електpодiв, електpолiту i т.д., наприклад пористють електpодiв в зарядженому i розрядженому станi. Бiльшiсть таких паpаметpiв практично неможливо оцiнити в умовах експлуатацп тепловозних акуму-ляторних батарей.

В якост математично! моделi аку-мулятора для виpiшення задач проекту-вання нових систем пуску тепловозних дизелiв оптимально пiдходять модел^ що вiдобpажають електpохiмiчнi процеси диференщальними piвняннями в частин-них похщних, оскiльки вони дозволяють визначати характеристики акумулятоpiв в широкому дiапазонi умов експлуатацп на тепловозах.

При розрахунках пускових стpумiв акумуляторних батарей тепловозiв найбiльш доцiльно передбачати знехту-вання, яю дозволяють значно спростити математичну модель акумулятора.

Список лггератури

1. Hiram Gu and T.V. Nguyen. A mathematical model of lead-acid cell // USA.: Electrochemical Society. 1987. V 134. № 12.

2. Степанов А. Д., Васильев В. А. и др. Передачи мощности тепловозов. - М.: Машиностроение, 1967

3. Любиев О.Н., Аналитическое описание аккумулятора как элемента электрической цепи // Изв. вузов. Электромеханика. 1971. № 11. С. 1190—1196.

Анотацн:

Исследованы математические модели аккумуляторных батарей тепловозов на базе дифференциальных уравнений которые наиболее полно отражают электрохимические процессы в аккумуляторе при пуске дизеля.

Целесообразно применять математическую модель, основанную на решении уравнения нестационарной диффузии.

Для решения инженерных задач наиболее целесообразно принимать пренебрежения, которые позволяют значительно упростить математическую модель аккумулятора.

Дослвджеш математичш модел1 акумуляторних батарей тепловоз1в на баз1 диференщальних р1внянь яш найбшьш повно вщображають електрох1м1чш процеси в акумулятор1 пвд час пуску дизеля.

Доцшьно застосовувати математичну модель, яка заснована на виршенш р1вняння нестацюнарно! дифузп.

Для виршення 1нженерних завдань найб1льш дощльно приймати знехтування, яш доз-воляють значно спростити математичну модель акумулятора.

Investigated by mathematical models of battery locomotives on the basis of differential equations that best represent the electrochemical processes in the accumulator when starting a diesel engine.

It is advisable to apply a mathematical model based on the solution of unsteady diffusion.

For most engineering applications it is reasonable to neglect, which can significantly simplify the mathematical model of the battery.