CC BY
118
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника
УДК 681.5.015
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМЕ МЛТЬЛБ
А.Ю. ВЛАСОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Логвиным А.И.
Рассматриваются функции системы ММаЬ, которые позволяют получить передаточные функции линейных систем автоматического управления, а также их частотные и временные характеристики.
В предыдущей статье [5] рассмотрены функции МаІІаЬ, которые позволяют анализировать фильтры в линейных радиотехнических цепях. В этой статье продолжается рассмотрение функций, с помощью которых можно анализировать характеристики линейных систем автоматического управления (САУ). Схема анализируемой САУ представлена на рис.1 [1].
Рис.1. Структурная схема САУ Зададим передаточные функции прямой и обратной цепи
К (8) =
0.15 +1
Кш (8) = -
5 5
Представим передаточную функцию прямой цепи в следующем виде
ч 0.15 +1 .. 1
к(5) =---= ((0.15) + 1) •-,
55
(1)
(2)
это необходимо для того, чтобы исследовать функции МайаЬ, которые предназначены для нахождения передаточной функции в случае последовательного и параллельного соединений.
Для нахождения коэффициента передачи последовательно соединенных звеньев используют функцию 5ег1в5(), а для нахождения коэффициента передачи параллельно соединенных звеньев - функцию рага11е1(). Количество аргументов в функции ограничено двумя, поэтому, если используется больше слагаемых или сомножителей, то придется вызывать функцию дважды. Пример использования данных функций приведен на рис.2. В данном примере встречается еще одна функция - /ееёЪаек(), она позволяет задать коэффициент передачи замкнутой системы. Аргументами данной функции являются, последовательно, коэффициент передачи прямой цепи, коэффициент передачи обратной цепи, и вид обратной связи (-1 - отрицательная, +1 - положительная). Вместо использования функции 5егге5() можно использовать операцию умножения, а вместо использования функции рага11е1() - операцию сложения. Разница заключается в том, что, если коэффициент передачи цепи сложный, и если в числителе и в знаменателе встретятся одинаковые звенья, то в случае использования математических знаков сокращение сомножителей не произойдет. То же самое относится и к функции /ееёЪаек(), вместо ее можно использовать формулу нахождения коэффициента передачи замкнутой цепи, которая для данной схемы имеет следующий вид:
K (s)
1 + K (s) • Kin (s)
но указанные выше недостатки в этом случае также сохраняются [1].
Получение временных и частотных характеристик производится в данном случае так же, как показано в предыдущей статье [5], поэтому здесь рассмотрим второй способ получения характеристик звеньев.
Для нахождения ошибки системы воспользуемся методами операционного исчисления. Процесс получения представлен на рис. 3. Чтобы использовать преобразование Лапласа, введем символьные переменные s,t, функцией syms s t [2-4]. Следующей задачей является получение коэффициента передачи замкнутой системы, для этого введем заданные нам фильтры, но уже используя только арифметические операции. Коэффициент передачи для сигнала ошибки определяется по формуле [1]
K1x(s) = 1 + K ( 1 K ( ) . (4)
1+K (s)- кш (s)
Заметим (рис. 3), что знак точка с запятой после функции подавляет вывод на экран результатов ее работы, а в одной строке можно указывать несколько функций. На данном примере видно, что если не использовать функции series() и parallel() , то коэффициент передачи не упрощается до двухэтажной дроби, а остается в виде трехэтажной.
Следующим этапом является задание входного сигнала X во временной области, в нашем примере задается сразу четыре разных сигнала, чтобы потом можно было сравнить ошибку, которую дает система при увеличении степени полинома входного воздействия. Для получения изображения сигнала используем функцию laplace() [2-4], на рис. 3 выведен результат ее работы в случае входного сигнала в виде ступеньки.
Чтобы получить отклик системы на сигнал, необходимо перемножить изображение входного сигнала и коэффициент передачи. Данная операция выполняется в шестой строке ввода, а результат ее выполнения в качестве вложенной функции является аргументом функции ilaplace()[2-4], которая выполняет обратное преобразование Лапласа. В свою очередь, результат выполнения обратного преобразования Лапласа, является аргументом функции inline(), которая не обязательна, но очень полезна. Если не использовать функцию inline(), то для построения графика, пришлось бы разыменовать символьную переменную t и присвоить ей массив численных отсчетов времени, при этом дальнейшие операции с данной символьной переменной стали бы невозможными. Второй операцией, которую выполняет функция inline(), является присвоение переменной, которой присваивается результат работы функции inline() [2-4] (в данном случае х1) статуса функции, т.е. дальше мы можем вызывать ее и передавать ей аргументы, как встроенным функциям Matlab (например sin(), exp() и т.д.). Пример отклика для сигнала х1 показан на рис.3.
После получения всех откликов, необходимо задать значения временных отсчетов, в которых будут рассчитываться отклики, делается это записью вида tt=0:0.1:50, что означает массив чисел от нуля до пятидесяти с шагом 0.1.
Теперь все готово для построения графиков откликов, для чего используем функцию рШ(координаты по оси абсцисс, координаты по оси ординат, ‘параметры линии ’), т.к. строится 4 линии на одних осях, то их параметры идут друг за другом. Заметим, как было указано выше, что функциям х1, х2, х3, х4 передаются отсчеты времени. Буква в параметрах линии указывает цвет прямой, а символы тип лини.
Команда legend() нужна, чтобы подписать линии на графике. А строка set(gca, 'FontName', 'Times New Roman Cyr') устанавливает шрифт для осей Times New Roman Cyr с кириллицой, т.к. по умолчанию кириллица не поддерживается.
Результаты работы функций plot(), legend() и set() представлены на рис.4, как видно результаты расчетов совпадают с теоретическими.
Рис.4. Сигнал ошибки
Далее разберем, как можно получить АЧХ и ФЧХ системы (они представлены на рис. 5 и рис. 6 соответственно). Для этого воспользуемся командой тМпе(), из тех же соображений, что и выше, и получим коэффициент передачи системы в виде функции Еипс_К_1атЪёа_х. Введем переменную н и присвоим ей массив значений отсчетов оси частот.
Чтобы получить КЧХ, необходимо на вход Еипс_К_/атЬёа_х подать массив отсчетов по оси частот, умноженный на мнимую единицу I. А чтобы получить АЧХ, необходимо взять модуль КЧХ используя функцию abs() [2-4], а чтобы получить ФЧХ, необходимо использовать функцию а^1в() [2-4]. Далее полученные значения подставляем в функцию р/о^() и получаем графики.
Рис.6. ФЧХ
ЛИТЕРАТУРА
1. Востриков А.С., Французова Г. А. Теория автоматического управления. - М.: Высшая школа, 2004.
2. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. - СПб.: БХВ-Петер бург, 2005.
3. Ануфриев И.Е. Самоучитель MATLAB 5.3/6.Х. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
4. http://matlab.exponenta.ru/index.php.
5. Власов А.Ю. Анализ линейных фильтров в системе Matlab. Настоящий вестник.
THE ANALYSIS OF LINEAR SYSTEMS OF AUTOMATIC CONTROL IN SYSTEM MATLAB
Vlasov A.U.
Functions of system Matlab which allow to receive transfer functions of linear systems of automatic control, and also their frequency and time characteristics are considered.
Сведения об авторе
Власов Андрей Юрьевич, 1981 г.р., окончил МГТУ ГА (2004), доцент МГТУ ГА, автор 6 научных работ, область научных интересов - радиополяриметрия в радиолокации, компьютерная математика.
