CC BY
33
УДК 51-73:54.128
АНАЛИЗ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА БИНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В ПРИБЛИЖЕНИИ ЗАКОНА ОМА
Коваленко Анна Владимировна
к.э.н., доцент кафедры прикладной математики
Уртенов Махамет Хусеевич
д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной
математики
Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия
Чубырь Наталья Олеговна
старший преподаватель кафедры прикладной
математики
Хромых Анна Александровна
старший преподаватель кафедры прикладной
математики
Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия
Узденова Аминат Магометовна аспирантка кафедры математического анализа
Карачаево-Черкесский государственный университет, Карачаевск, Россия
Барсукова Виктория Юрьевна
к.ф.-м.н., доцент кафедры дифференциальных и
интегральных уравнений
Кубанский государственный университет,
Краснодар, Россия
Статья посвящена анализу краевой задачи модели переноса бинарного электролита в мембранных системах в приближении закона Ома. Предлагаются различные методы решения
Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ НЕРНСТА - ПЛАНКА И ПУАССОНА, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
UDC 51-71:54.128
THE MODEL TO TRANSPORT BINARY ELECTROLYTE IN APPROXIMATION OF OHM'S LAW THE ANALYSIS OF BOUNDARY PROBLEM
Kovalenko Anna Vladimirovna Cand.Econ.Sci., assistant professor
Urtenov Mahamet Khuseevich Dr.Sci.Phys.-Math., professor
Kuban State University, Krasnodar, Russia
Chubyr Natalia Olegovna
senior teacher of chair of applied mathematics
Khromikh Anna Aleksandrovna
senior teacher of chair of applied mathematics
Kuban State Technological University, Krasnodar, Russia
Uzdenova Aminat Machametovna
postgraduate student of faculty of the mathematical
analysis
Karachaevo-Circassian state university, Karachaevsk, Russia
Barsukova Victoria Jurevna Cand.Phys.-Math.Sci., assistant professor
Kuban State University, Krasnodar, Russia
This article analyzes the boundary problem model of transport of binary electrolyte membrane systems in the approximation of Ohm's law. Different methods of solution are proposed
Keywords: MATHEMATICAL MODELING, SYSTEM NERNST - PLANCK AND POISSON EQUATIONS, NUMERICAL METHODS
1 Модель переноса бинарного электролита в мембранных системах в приближении закона Ома
1.1 Система уравнений
Перенос бинарного электролита в мембранных системах в приближении закона Ома описывается следующей системой уравнений в безразмерных переменных [1]:
^ = ЛА$ -Се) (1)
оі
Р — 2 —
— ЕЕ + 8Е = I (2)
2
ґ
Ац
V
Е
2
Л
Е
V V 2 у у і
(3)
где ? > 0,хе (0,1),у е (0,Ь), (а,Ь) = а1Ь2 - а2Ь1 - кососимметричное
скалярное произведение, с( х) - функция Хэвисайда [2]:
Г0, х < 0 с( х) = !а х > 0
Кроме того, £ положительный малый параметр, 1 = 1/ Ре, (Ре = число Пекле), £ - обобщенная концентрация, Е - напряженность электрического поля, 7) - функция тока связанная с плотностью тока I
формулой 11 =-7 12 =7 ду дх
1.2 Краевые условия
Система уравнений должна быть дополнена краевыми условиями. Мембранные системы работают, как правило, в двух разных режимах потенциостатическом, когда поддерживается постоянным падение потенциала в цепи и гальваностатическом, когда ток 1ау, протекающий
через любое сечение камеры обессоливания, является постоянным.
Постановка краевых условий зависит от моделируемого режима
работы электродиализного аппарата.
Как показано в [3] при гальваностатическом режиме естественными являются следующие краевые условия.
1) Граничные условия
£х=0 = Л(г, у) < 0, £х=1 = Б(г, у) < 0,
£|^ =о = с (г, х),
£ у=ь = ^(г, х)
д7
дх
0,
дх
0.
7 = 0
' 1у =0
7 = — ь
/|у=Ь а
2) Начальные условия
£1г=0 = £ 0( X, У ), 7\(=0 =7( X, У)
3) Условия согласования граничных условий:
с (г,0) = Л(г ,0); с (г ,1) = Б(г ,0);
Б(г ,0) = Л(г, Ь); Б(г ,1) = Б(г, Ь)
4) Условия согласования граничных и начальных условий:
£0(0, у) = Л(0, у); £0(1, У) = Б(0, у);
£0 (х,0) = С (0, х); £ 0 (х, Ь) = £(0, х)
Для функции 7 граничные условия и начальное условие будет согласовано, если взять 70( х, у), например, в виде 70( х, у) = -/ауу
2 Вывод уравнения для плотности тока, не зависящего от остальных неизвестных функций
Первое уравнение системы можно решать независимо от остальных уравнений, однако уравнения (2) и (3) связаны. Выведем уравнение для функции 7, не зависящее от Е .
£
Положим и = — 2
Е
+ £.
(4)
тогда (2) и (3) запишутся в виде
иЕ = I
х= 0
х=1
2
Д7 = (Уи, Е )1
- 1 -Из (5) Е = — I , поэтому и
(6)
(7)
— д7 — д7
Так как 1Х = -—^, 12 =—-, то (Уи,I)1 = (Уи,У 7), следовательно ду дх
Д7 = — (Уи, У^), и
(8)
£ 1
Подставим (7) в (4), тогда и =-----2
2 и
I
+ £, так как
I
= ||У7 , то:
£ 1 ||Т7 ||2 о
и = ~ — у 7 + £
2 и
(9)
Уравнение (9) рассматриваем как уравнение относительно неизвестной функции и :
2и3 = 2и2 £ + £|У7||2 (10)
Чтобы заменить У и в (8) в (10) возьмем оператор У от обеих частей, тогда
6и2 У и = 4и£Уи + 2и2 У£ + £У||У7 Так как:
^711^7 и2 ~ д7 д27
У У 7 = 2—-—^е, + 2
11 11 дх дх2 1
Гд7 е . д7е д7 + 2 д7д27е
е^ ^ _ е\ _ _ “Г 2 _ ^ е^
дх
----С1-------------Г ^----------—
ду ) дхду ду ду2
(11)
(12)
то, подставляя (12) в (11), получим
2и(3и - 2£ )Уи = 2и 2 У£ +
+ д^д27 +
+ 2е--------— е1 + 2е
Эх дх2 1 Таким образом:
д7 д7 ^ д27 д7 д27
— е2 + — е. ------ + 2е ——^
дх ду ) дхду ду ду2
(13)
2
2
2
е
2
1
1
£ д^д 27
— Уи = -I------------~ У£ +—----------------------------------2 е1
и (3и - 2£) и 2 (3и - 2£) дх дх2
£
и
(3и - 2£)
д7 д7 ^ д27
— е2 + — е
дх 2 ■
£ д7 д27
---- 1-----------1---л/--------------------
ду ) дхду и 2 (3и - 2£) ду ду
22
(14)
Подставим (14) в (8) и получим уравнение:
д 27 д 27= 1 дх2 ду2 _ (3и - 2~)
(У£, У 7) +
£
^7^2 д27 V дх ) дх2
Гд^^2 д27
и
(3и - 2£)
2£ д7 д7 д7
и2 (3и - 2£) дх ду дхду и2 (3и - 2£) V ду ) ду2
Приведя подобные по членам уравнения со старшими производными, получим нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка:
£
1
£
и2 (3и - 2 £)
гэ7
V дх )
д 27
2£ д7 д7 д7
дх2 и2 (3и - 2 £) дх ду дхду
+
1
£
гд7
2
и
(3и - 2£) V ду ) I ду2 (3и - 2£)
д 27
(15)
:(У£, У 7)
о=
Определим тип уравнения. Вычислим
'2 ^д^^2 Г э7 2
и
(3и - 2£ )2
V дх )
V
£
и
:(3и - 2£)
2
г дф
V дх )
эу
1
£
и
д7
(3и - 2~) V ду
и
2£ - 3и
,2
Тип уравнения зависит от ^°= «М«(3 £ - и)). Таким образоМ,
~ 2 ~ ~ 2 ~ при£> 0, и £ > 0 и е (-¥,0) и (— £,¥)( при £ < 0 и е (-¥,—£) и (0, ¥)) тип
~ 2 ~ ~ уравнения будет эллиптический, при £ > 0 и е (0,—£),( при £ < 0
1
4
1
2 ~ 2 и е (— £ ,0) )-гиперболический, а при и = — £, и = 0- параболический.
Однако уравнения асимптотического приближения, как будет показано ниже, будут иметь эллиптический и параболический тип.
3 Методы решения уравнения для функции и Уравнение
2и3 = 2и2 £ + £|У7|2 , (16)
относительно и является кубическим уравнение и имеет точное решение. Однако это решение настолько громоздкое, что получить информацию проще из приближенных решений. Ниже приводятся различные приближенные решения, полученные методом итерации и
асимптотическое решение, использующее малый параметр £.
3.1 Сведение к эталонному уравнению Сделаем в уравнении (16), замену
2 1 _1 _2 _1 1
и = ||У73£32 3г(£), где X = ||У7 3£ 323 £,
тогда получим уравнение относительно г(£):
г3 = X2 +1, или
г3-X2-1 = 0 (17)
Это уравнение будем называть эталонным уравнением.
Точные решения эталонного уравнения можно записать в явном виде, откуда следует, что это уравнение имеет единственное положительное решение. Ниже на рис приведены графики решений уравнения (17).
Обозначим через г (X) положительное решение эталонного уравнения. Функцию г(£) можно табулировать, тогда функция и
выражается в следующем виде
2 1 -1 -2 1
и = |У73£32 3 г(|У7 3£ 323 £) (18)
Научный журнал КубГАУ, №77(03), 2012 год 7
Формулу (18) удобно использовать при численном решении, и, в особенности для вывода асимптотических решений.
Рисунок 1 - Решения эталонного уравнения 3.2 Асимптотическое решение
Из выражения для X следует, что асимптотика X зависит от знака £
и, если предел Нш I|У 7 = ||У 70II - существует и ограничен при £ — +0, то
£——+0
получим (в дальнейших формулах для простоты записи индекс «0» опускается):
Ншх
-¥, sign(£) = -1 0, £ = 0 + ¥, sign(£) = +1
С учетом этого, найдем асимптотику решения эталонного уравнения: г3 -X2 -1 = 0, при X —-¥, X —+¥ и X — 0.
1) При г — +0, получаем X — —V, поэтому г — 1— при X — -¥, т.е.
г
Научный журнал КубГАУ, №77(03), 2012 год 1
г =
при X — -¥;
2) При г — +¥, получаем г - X — +0, следовательно, при X — +¥, получим:
г = X + ... при X —— +¥ ;
3) Разлагая решение уравнения (17) в ряд по X в окрестности X = 0
1 I и 1 е2 получаем г = 1 + -£ + — £ +...
Итак, эталонное уравнение имеет следующее асимптотическое решение:
1
г (X)
.., приX — —¥
11
1+зx+^ ..., пPиX — 0
X + ..., при X — +¥
(18)
Рисунок 2 - Графики функций г, г1, г2, г3 изображены точками, а графики точных решений эталонного уравнения,- линиями В (17) несложно получить и члены высшего приближения.
_ 1 - 1 1 2 _
Обозначим г1 = ,------, = 1+ -X + — X , = X.
1 V-X 2 3Ь 9Ь 2
Из приведенных на рис.2 графиков функций г, г1, г2, г3 видно, что
функция:
1
V-?
, при ?<-1.5
1 1 2
1 +~?+~? , при -1.5<?< 1.5
?, при ?> 1.5
является достаточно точным приближением для произвольного
X Є (-¥, ¥) .
С учетом асимптотики функции г (?) по ?, получаем асимптотику функции и по е ® +0:
1) Из г ~ ?, , следует и » £, е ® +0. Это же следует прямо из
уравнения (17), если формально положить е = 0 (что эквивалентно условию электронейтральности). Следовательно, область
и1 = {(ґ, х, у): £(ґ, х, у) > 0} является область электронейтральности.
2) Из г —т^, ? ® -¥ следует
V-?
1 -1
2 1 -1 1 2 1 -1 1 11 -1 ||УЯІІЄ2 2 2
и = ІУ^ІІЗе32 3 (-?) 2 = ||У7||зе32 3 (-£) 2№гі\зе62 6 =
л/-£
1 -1 ||У7І|е22 2
и »------—, при £ —— 0 и sign(£ ) = -1. (19)
л/- £
Последнее равенство следует прямо из уравнения (16), если в нем пренебречь и3 по сравнению с и2, т.е. решать уравнение
~ 2 £|У72
2 и 2 £ + £ ||У 7 || » 0 или и2 » —-------—, откуда и следует формула (19).
2£
Дальнейшее исследование показывает, что область и2 = {(?, х, у): £^, х, у) < 0} является областью пространственного заряда.
3) Из г ~ 1, при X — 0 получаем, что
1 -1
|3 £3оТ
и » У 7 3£32 3 , в окрестности нулей функции £(I, х, у).
Это же следует из уравнения (17), если в нем формально положить
£ 1 -1 2
£ = 0, тогда и3 =— ||у7 и, следовательно, и = £3 2 3 ||У73. Окрестность и3
нулей функции £ является достаточно малой промежуточной областью между областями электронейтральности и пространственного заряда.
Из проведенных выше расчетов следует, что функция
£, ^, х, у) е и 1
и 0 =
2 1 -1 1 1 -2 1 -1 5
1У73£3 2 3 + -£ + -||У7|| 3 23 £ 3£3 +..., (?,х,у)е и3
1 1
.20 2
||У7||£22
^ (t, x, у) еи2
V-£
является равномерным асимптотическим представление решения уравнения (16). Эта функция может использоваться в качестве начального приближения в приводимых ниже методах последовательных приближений и Ньютона.
3.3 Метод последовательных приближений Поделим уравнение (16) на 2и2, тогда получим уравнение £ 1 2
и = £— У 7 + £ (20)
2и
Обозначим / (и ) = ——И |У72 + £,
2 и2
тогда уравнение (20), запишется в виде: и = / (и).
Пусть и(0) некоторое начальное приближение, положим
и(+1) = /(и(і)), і = 0,1,... или и(г+1) = ——12ІУ42 + £
2 и (і) 2" "
3.4 Метод Ньютона
Положим
Р(и) = 2и3 - 2и2£ - —У , тогда уравнение (17) запишется в виде Р (и) = 0
Для решения этого уравнения можно применить метод Ньютона:
(і+1)_,,(і)_ р(и (і))
и ' = и--------т~гА, или модифицированный метод Ньютона:
Р' (и(і))
и а+')=и а)- р (и (і))
Пусть и(0) - некоторое начальное приближение.
Так как, Р'(и) = 6и2 - 4и£ , то метод Ньютона запишется в виде:
(. )2 ~
и(і+« = и(і)-и2 -£()~ + (,)2 е ~ IУ4\
3и(і) - 2и(і)£ 6и(і) - 4и(і)~
а модифицированный метод Ньютона в виде:
(і+1)= (і)- 2и(і)3 - 2и(і)2 ~-— |у72
и = и
6и(0) - 4и(0)£
4 Методы решения краевой задачи для функции 7
Краевая задача для уравнения (15) условиями:
Э7
Эх
=0, ^
Эх
= 0, п\ = 0 , п\ =-іт,Ь, п\ = я0(х, у)
’ ' 1у=0 ’ '\у=Ь ’ '\ґ=0 '0У
х=1
х=0
может быть решена различными методами. Здесь предлагается решение этой задачи асимптотическим методом, и методом последовательных приближений.
4.1 Асимптотический метод
Подставляя асимптотические приближения для функции и в уравнение (15) в каждой из областей можно получить асимптотическое упрощение уравнения (15). Прямые вычисления показывают, что получаются следующие уравнения:
1) В области электронейтральности U1:
Ah = -1 (grad S, grad h)
Для получения высших приближений необходимо разложение вида:
и = и(0) + £и(1) + £и(2) + ...
7 = 7(0) +£7(1) +£27(2) +...
2) В области пространственного заряда и2:
Л 2 Э 21 V эу ) Эх 2
гЭ^2 Э2h 2ГЭ7^ГЭ2h + ГЭ?Л2 Э2h
v Эx Эу У ЭxЭy V Эx у ^’ '2
\grad h 2S
(grad S, gradh)
Для получения высших приближений необходимо разложение вида:
u = є2 u(0) +su(1) + є2 u(2) + ...
7 = 7(0) +£27(1) +£7(2) +...
3) В промежуточном слое и 3
ГГ h 2 v ЭУ у
+ 3
v Эx у
Э2h 4ГЭ^ Э2h +
Эx'
V Эx УV Эу у ЭxЭy
2
Эh
v Эx у
+ 3
V ЭУ у
2
Э 2h
0
Для получения высших приближений необходимо разложение вида:
u = Є3 u(0) + Є 3 u(1) + £u(2) + .
h = h(0) + є7(1) +Є3h(2) +Є77(3) +..
2
1
3
1
2
2
2
использовать
(22)
(23)
(24)
использовать
(25)
(26)
(27)
использовать
(28) (29)
Особенностью уравнений асимптотического разложения является то, что в них малый параметр не входит, они значительно проще исходного уравнения (15), что упрощает их исследование и численное решение. Кроме того, уравнение (21) в области электронейтральности является, очевидно, уравнением эллиптического типа, а уравнение (24) в области пространственного заряда имеет параболический тип.
4.2 Метод последовательных приближений
Пусть h(0)(t, x, У) некоторое начальное приближение и уже найдены приближения h(1)(t,x,y), ..., h)(t,x,y). Определим последовательные приближения rj(l+1)(t, x, y) как решение краевой задачи:
1 - e
(u(l))2 (3u(i) - 2S)
( ;Wl) Л
dr
2\
dx
d 2r
2
2e
dr__ dr ) d r
dx2 (u(l))2(3u(l) -2S) dx dy dxdy
+
e
(l)
(u(i))2 (3u(i) - 2S)
dr
dy
2
d 2r = 1
dy2 _ (3u(i) - 2S)
(VS, Vr)
dr
dx
x=0
o,
dx
0
r\ = 0 , r\ =-i L, r\ =r0(x, y),
I y=0 ’ 'ly=L av ’ 'It=0 /0V isJ*
x=1
где и 0) приближенное решение уравнения 2и3 = 2и2 £ + £Уц°)
найденное одним из разработанных выше методом.
Предложенные выше численные, асимптотические и итерационные методы решения позволяют построить комплекс проблемноориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного и проведение вычислительных экспериментов.
1
Литература
1. Уртенов К. М. Математическое моделирование тепломассопереноса в электродиализных аппаратах водоподготовки / К.М. Уртенов, А.В. Коваленко, Т.Л. Шапошникова - М.: Финансы и статистика, 2010. — 214c.
2. Волков И.К. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / И.К. Волков, А.Н. Канатников, B.C. Зарубина, А.П. Крищенко — 2-е изд. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 228 с.
3. Узденова А. М. Математические модели электроконвекции в электромембранных системах/ Узденова А.М., Коваленко А.В., Уртенов М.Х. — Карачаевск: КЧГУ, 2011. — 154с.
