Математическая модель тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

УДК 536.2:532/533 ББК 22.365.52 М 22

Мамий Д.К.

Кандидат физико-матаиатических наук, доцент, зав. кафедрой алгебры и геометрии, декан факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-37-35 Шапошникова Т. Л.

Кандидат физико-матаиатических наук, доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой физики Кубанского государственного технического университета, тел. 89183349308, e-mail: shtale@yandex.ru

Уртенов К.М.

Ассистент кафедры физики Кубанского государственного технического университета, тел. 89882433397, e-mail: k.urtenov@rambler.ru

Математическая модель тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата

(Рецензирована)

Аннотация

В работе предлагается эффективный .математический аппарат для построения и исследования неодномерных математических моделей тепломассопереноса в электродиализных аппаратах. Построены и исследованы две неодномерные модели. Выявлены некоторые закономерности тепломассопереноса в камерах обессоливания электродиализных аппаратов.

Ключевые слова: неодномерная модель тепломассопереноса, электролит, электроконвекция, джо, .

Mamiy D.K.

Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor, Head of Algebra and Geometry Department, Dean of Mathematics and Computer Sciences Faculty at Adyghe State University, ph. (8772) 59-37-35 Shaposhnikova T.L.

Candidate of Physics and Mathematics, Doctor of Pedagogy, Professor, Head of Physics Department of Kuban State Technical University, ph. 89183349308, e-mail: shtale@yandex.ru Urtenov K.M.

Assistant of Physics Department at Kuban State Technical University, ph. 89882433397, e-mail: k.urtenov@rambler.ru

Mathematical model of the heat and mass transfer in the desalt channel of electrodialysis equipment

Abstract

The paper proposes the effective mathematical apparatus for build-up and examination of non-one-dimensional mathematical models of heat-mass transfer in the electrodialysis equipment. Two non-one-dimensional models are constructed and explored. Some laws of heat-mass transfer in chambers of desalting electrodialysis equipment are revealed.

Key words: non-one-dimensional model of heat and mass transfe, an electrolyte, an electroconvection, a Joule warming up, a boundary value problem.

Введение

Математическому моделированию процессов тепломассопереноса посвящено много работ [1-15]. Однако в этих работах в основном использовались одномерные матема-* -мы 1.4.08 Единого заказ/наряда.

тические модели, основанные на идее диффузионного слоя Нернста, что не позволяло достаточно полно исследовать процессы, которые по своей природе являются неодномерными. Например, используя одномерные модели, нельзя исследовать влияние джо-улевого разогрева электролита на перенос ионов соли, роль гравитационной конвекции и электроконвекции, изменение толщины диффузионного слоя по длине электродиа-лизного аппарата, а также учесть неоднородную электропроводность поверхности мембраны, наличие спейсеров и т. д. Использование одномерных моделей связано в основном с математическими трудностями исследования двухмерных и трехмерных моделей.

Имеется небольшое число работ [5-7, ll, l4], в которых строятся и исследуются двухмерные и трехмерные модели переноса ионов соли. Однако в этих работах рассмотрены только частные случаи.

Таким образом, проблема создания эффективного математического аппарата для построения и исследования неодномерных математических моделей тепломассопере-носа в электродиализных аппаратах, а также исследование этих моделей с целью выявления основных закономерностей тепломассопереноса являются актуальными.

Электродиализный аппарат имеет периодическую структуру и состоит из определенного количества чередующихся парных камер концентрирования и обессоливания [б, 9] и двух электродных камер. При математическом моделировании процесса обес-соливания во многих случаях достаточно рассмотреть тепломассоперенос только в камере обессоливания, считая при этом концентрацию ионов соли в камерах концентрирования постоянной. Влияние катионообменной и анионообменной мембран учитывается в виде граничных условий [7], а влияние электродных камер в виде условия протекания тока через камеру обессоливания.

В камере обессоливания происходит ряд процессов (см. рис. l): конвективного переноса, диффузии, электромиграции, джоулевого разогрева электролита, нарушения условия электронейтральности локального раствора электролита, реакции диссоциации-рекомбинации воды, микроконвективных течений и др.

В данной работе нами разработаны двухмерная и трехмерная математические модели неизотермического тепломассопереноса бинарного электролита в камере обессо-ливания в допредельном и запредельном токовых режимах. Кроме этого, проведено исследование переноса ионов соли в камере обессоливания с учетом явлений переноса, диффузии, электромиграции, джоулевого разогрева электролита, а также нарушения условия электронейтральности.

1. Математическая модель

1.1. Основные предположения модели

Предположим, что канал обессоливания, образованный анионо- и катионообменной мембранами, имеет прямоугольную форму. При этом ширина камеры обессоливания достаточно мала, и поэтому гравитационной конвекцией можно пренебречь [ll].

Ось Ox направлена перпендикулярно поверхности мембран, значение x = О соответствует межфазной границе анионообмена мембрана / раствор, значение x = h -границе катионообмена мембрана / раствор.

Ось Oy направлена вдоль поверхности мембран, значение y = О соответствует входу в канал, а значение y = L - выходу из канала.

Анионообменная и катионообменная мембраны считаются высокоселективными.

Модель строится таким образом, чтобы исследовать влияния конвективного переноса, диффузии, электромиграции, нарушения условия электронейтральности и джоулевого разогрева электролита на перенос катионов и анионов соли в камере обессоливания.

Рис. 1. Принципиальная схема камеры обессоливания.

На рисунке приняты обозначения:

МА - анионообменная мембрана, МК - катионообменная мембрана (рассма^иваемые мембраны гомогенные), ОПЗ - область пространственного заряда

1.2. Краевая задача математической модели

При указанных выше условиях математическую модель можно представить следующей системой уравнений [13]:

і =

_Р_

2ІВІ С^аё р - Ві^уайСі + Єг¥, і = 1,2,

дС

ді

■ -&у]і, і = 1, 2,

Є0Ар р(С1 + 22С2 ),

дТ

ді

-+(V УТ ) = а АТ + О,

(1)

(2)

(3)

(4)

где Сі, і і - концентрация и поток ионов і-го вида, Д и 2і - коэффициент диффузии и зарядовое число ионов і-го вида соответственно, р - электрический потенциал, Р -число Фарадея, є0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, V - вектор скорости течения раствора электролита, Я - универсальная газовая постоянная, Т0 - абсолютная

температура, а - коэффициент температуропроводности электролита, О - плотность источников тепла (характеризует тепло, выделяемое в соответствующей точке (х, у) в момент времени і за счет протекания через раствор электрического тока).

Обозначим через I - плотность тока, обусловленного потоком ионов, а через E -напряженность электрического поля, тогда

I= F+ Z2 j2 ), (5)

E = - grad p, (6)

и уравнения (1) и (3) примут вид:

r F r r

ji = —zACiE - Digrad Ct + Cy, i = 1, 2, (7)

J\1 о

e0 divE = F (C + z2C2). (8)

Заметим, что G рассчитывается по формуле:

G = — (, I),

Pocp

где cP , p0 - удельная теплоемкость и плотность электролита.

2. Декомпозиция

2.1. Декомпозиция системы уравнений Нернста-Планка и Пуассона

Сама структура электродиффузионных уравнений неудобна как для вывода различных моделей, так и для их численного, асимптотического анализа. Это связано с необходимостью учета того факта, что при переходе в уравнениях к безразмерному виду, когда используются характерные для электродиализа величины, получается малый безразмерный параметр при старшей производной в уравнении Пуассона (8), в результате чего уравнение Пуассона становится сингулярно возмущенным. А, как известно, краевые задачи для сингулярно возмущенных уравнений относятся к «жестким» задачам и плохо поддаются численному решению. Поэтому систему электродиффузионных уравнений преобразуем к виду, удобному для численного и ассимптотического решения.

В системе электродиффузионных уравнений (7), (8), (2), (5), (4) уравнение теплопроводности (4) связано с перечисленными уравнениями через функцию G, и поэтому оно должно решаться после решения остальных уравнений, причем решение для этого уравнения соответствующей краевой задачи трудностей не представляет. В связи с этим мы вначале основное внимание уделим другим электродиффузионным уравнениям (2), (5), (7), (8).

Для одномерного случая в работах [1, 2] был предложен метод декомпозиции, использование которого фактически привело к созданию теории переноса произвольного электролита [3, 4, 15].

В данной работе предлагается обобщение метода декомпозиции на неодномерный случай. Полученные декомпозиционные уравнения содержат неизвестную вектор-функцию плотности тока. Предлагается новое уравнение для плотности тока, полученное преобразованием из исходной системы электродиффузионных уравнений. Это уравнение обеспечивает замыкание системы декомпозиционных уравнений, гарантируя тем самым полную декомпозицию.

Эта система уравнений удобна для вывода различных модельных задач, их численного и асимптотического решений, что продемонстрировано нами на примере построения и решения двух модельных задач.

Вместо исходной системы уравнений с неизвестными С1, С2, ^, у2, Е предлагается новая декомпозиционная система электродиффузионных уравнений, которая со-

стоит из двух уравнений для двух неизвестных функций, после решения которых оставшиеся неизвестные функции могут быть найдены по формулам или из отдельных независимых уравнений. То есть фактически производится расщепление (декомпозиция) исходной системы уравнений [10]. Таким образом, после декомпозиции система уравнений имеет вид:

dS Fd^z^z.

э7

^ div d E )-„Є° Su div( E 1E) -^(divE )2 +^||gadEj1 +

RTo

2dxR2T2

ч2 + Є d

RTo

+ -

є d.

0 2 F

AidivE)- div( ~ V)

+ -

є d.

0^3

2d}RTo

div( E V) - dj AS +

є0 d3 d

2dlRTo dt

E

(9)

где

dE F2d^z,zn

dt

SE

F Є0d3ZlZ2 E

RTo IdRT

є Fd d z z

E

2 Fє d r r ~

—E divE - Fd2 Zj z2 grad S +

RT 2 l 2

+ -

2dRTo

grad

E

+ є0d3d4AE - є0VdivE+Ф,

2dRTo

E

Ф = є0 dE +1, Cj + C2 = S0, dl = DjZ D2Zj

dt

Z1 - Z2

=

d = D1Z1 D2 Z2

d = D1Z12 - D2 Z2

4

E

(l0)

(11)

- норма вектора.

В систему уравнений (9), (10) наряду с неизвестными функциями E и S входит и неизвестная общая плотность тока Ф . Эту функцию можно интерпретировать

как общую плотность тока, складывающуюся из тока смещения є0 и тока, обу-

словленного потоком ионов I. В работе [14] были получены и исследованы системы уравнений, подобные (9), (10), но с предположением о различных частных видах

функции Ф .

Для решения задачи в общем виде система уравнений (9), (10) должна быть дополнена уравнениями, определяющими вектор-функцию Ф . Одним из таких уравнений служит уравнение (11). Но этого уравнения явно недостаточно для однозначного определения Ф . Однако, действуя по аналогии с теоремой о решении обратной задачи векторного анализа [10], путем преобразований исходной системы электродиффузионных

уравнений можно найти rot Ф [10], что позволяет однозначно определить Ф.

2.2. Уравнения для общей плотности тока

Выпишем уравнения для общей плотности тока отдельно для трехмерного и двухмерного случаев.

1). Трехмерный случай.

rot Ф =

F_

RTo

grad

Fd3 zl z2 S +

є0 Fd3 zl z2

2dlRTo

E

+ є0 d4 divE

x

x E + є0AE x V + є0divErotV .

(12)

2

2

2

Zj- Z2

2

2). Двухмерный случай.

д Ф2 д Ф1 = F дх ду RTo

2

T-'i r £0 Fd3 Z1z

Fd3 z1 z2 S +

E

+ £0 d4 divE

E

+

(dV dVЛ r

+ £(AE,V), +£0 —2-^ divE, (13)

V дх ду j

где для удобства записи использовано обозначение

(a,b)j= alb2 -a2b1. (14)

Заметим, что = [grad, Ф) j.

дх dy

Добавление к системе уравнений (9) и (10) одного из уравнений (12) или (13) замыкает эту систему уравнений, так как полученная новая система совместно с соответствующими краевыми условиями обеспечивает однозначное определение искомых функций S, E, Ф.

3. Вывод модельных задач

Для физико-химического анализа процесса переноса бинарного электролита важны модельные задачи, выявляющие различные факторы, действующие на изучаемый процесс. Декомпозиционные уравнения (9), (10) совместно с уравнением для общей плотности тока удобны для вывода и обоснования различных упрощенных неодномерных моделей переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата.

Рассмотрим две такие стационарные модели, для первой из которых предполагается выполнение условия электронейтральности, а вторая учитывает нарушение этого условия.

3.1. Модельная задача с условием электронейтральности

В этом случае вместо уравнения Пуассона (8) используется условие электронейтральности

z1C1 + z 2C 2 = ^ (15)

что формально эквивалентно равенству £0 = 0 .

Система декомпозиционных уравнений в этом случае значительно упрощается.

1) Трехмерный случай.

В трехмерном случае с учетом условия электронейтральности система декомпозиционных уравнений примет вид:

|S = ^div(SE)-div(SV) - d,AS , (16)

->2

F 2d z z

RT

3 1 2 SE-Fd2z1z2gradS + Ф = 0, (17)

div Ф = 0,

r F2d z z ~ r

Шф = - F dZl'Z2 gradS xE . (18)

RT0

Кроме этого:

Ф=1, (19)

~ = S0 = C1 = C2. (20)

z2 Z1

Равенство (19) следует из предположения стационарности и определения функции Ф. Отметим, что S0 можно выразить и через эквивалентную концентрацию [13].

Подставляя S0E из уравнения (17) в (16), получаем для S0 уравнение конвектив-

ной диффузии:

dS r

0 = div(S0V) + DAS0, (21)

dt

= D1D2( Z1 - Z2)

где D =

Кроме этого

D1Z1 - D2 Z2

r d 2 RT0 RT0 r , ,

E = ——0 gradS0----------------T°---1, (22)

Fd3 So S0 F2 d3 z1 z2

divI = 0, (23)

г Т 2d z z г

гоЦ = - Т ^хЕ. (24)

ЯТа

2) Двухмерный случай.

В двухмерном случае имеем уравнения, аналогичные уравнениям (22) - (24). Однако вместо уравнения (24) будем иметь уравнение

1Г ~1Г = ~ 0• Е). (25)

дх ду ЯТ0

В двухмерном случае из уравнения (23) следует существование такой функции п, что

дп = I Эп

Эх 2• Эу

тогда уравнение (23) выполняется автоматически, а из уравнения (25) получаем

= I2, ^ = 4, (26)

&п = _ £^г£! Е ). (27)

К1о

Уравнение (27) в каноническом виде является квазилинейным эллиптическим уравнением относительно функции п, и его можно решать различными стандартными методами, например, методом установления.

Таким образом, метод декомпозиции сводит решение исходной системы уравнений Нернста-Планка с условием электронейтральности к решению краевых задач для системы стандартных уравнений - уравнения конвективной диффузии (21) и эллиптического уравнения (27).

Предложенные выше декомпозиционные уравнения (21), (27) были использованы совместно с системой уравнений Навье-Стокса и уравнением теплопроводности (4) для выявления роли гравитационной конвекции в электромембранных системах [11]. Они позволили найти основные закономерности переноса бинарного электролита с учетом гравитационной конвекции, возникающей вследствие джоулевого разогрева электролита и изменения концентрационного поля. Одним из результатов этой работы явилась оценка ширины канала обессоливания, при котором гравитационная конвекция существенно влияет на процесс тепломассопереноса в канале обессоливания электродиализно-го аппарата. Например, выявлено, что для достаточно узких каналов этим влиянием можно пренебречь. Поэтому в данной работе будем исследовать процесс тепломассо-переноса в достаточно узких каналах обессоливания электродиализного аппарата, пренебрегая при этом гравитационной конвекцией в тех областях камеры обессоливания, где выполняется условие электронейтральности.

3.2. Простейшая модельная задача с учетом пространственного заряда в неодномерном случае при нарушении электронейтральности

В одномерном случае простейшей задачей, позволяющей рассматривать сверхпре-дельные режимы переноса, является модельная задача с кубическим уравнением [15]. Аналогом этой задачи в трехмерном стационарном случае является задача:

Fd2Z1Z2 div(sE)-div(SV) - d^ = 0, RT„

F d3 Z1Z2_ SE — F fi)d3 Z1Z2 E

RT0

2d1R 2T02

E

- Fd2 z1 z2 gradS + Ф = 0 ,

div Ф = 0,

rotФ =

F d3 Z1Z2 grad RT

S

Є0 d3

V

2d1RT0

\ 2I

E )

x E.

Ф = I.

В двухмерном случае уравнение (31) заменяется следующим уравнением:

dI2 dI1 _ F2 d3 z1 z2 dx dy

RTo

grad

2dRTo

E

а после введения функции п, согласно (26), уравнением:

Дп = - F 2d3 Z1Z2

RTo

grad

S

Є0dз

2dRTo

E

\ \ E

J J1

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

К полученной системе уравнений должны быть добавлены соответствующие краевые условия, которые зависят от целей конкретного исследования процессов переноса в электродиализных аппаратах. Например, в электромембранных технологиях очистки воды, как правило, применяется два основных режима эксплуатации: гальваностати-ческий и потенциостатический.

В краевой задаче, соответствующей первому режиму, для плотности электрического тока I используется условие:

2

2

I

ср

откуда следует, что для функции п можно положить:

пЦ = ^ П\у=1 =_ 1СРЬ , (36)

то есть среднеинтегральная плотность тока /ф в системе постоянна. Модель, основанную на условии (35), называют гальваностатической.

Во втором случае для электрического потенциала <р используется условие

А^ = ^ х=п _^ х=0 = dф= С°т1, (37)

означающее, что величина падения потенциала на межмембранном пространстве постоянна. Соответствующая модель называется потенциостатической.

Кроме этих условий, ставятся еще и другие общие для обоих режимов краевые условия:

ЭС, = _/±_ , ЭС, __/г_ .

дх = т 'л ' Эх = т>к'

|^|,=0 = _№ _ ТО)' = К(Т _ То).

дх дх

Добавим еще условие перпендикулярности тока поверхности мембраны, которое выполняется для гомогенных мембран:

дп

дх

дп

дх

0. (38)

Для функции 5 примем выполненными следующие условия:

0 = 5«, 5

у=о

п = 5к, (39)

х=п

, = 5вы,. (40)

у=1

В дальнейшем ограничимся исследованием гальваностатической модели. Поэтому условия (39) и (40) должны быть согласованы со свойствами мембран и с величиной /ф («интенсивным» или «мягким» токовым режимом).

Как видно из этих условий, для концентрации С на межфазных границах используются условия Фика, а для температуры Т - условия Ньютона [13].

4. Асимптотическое представление решения модельной задачи с учетом пространственного заряда в неодномерном случае

х=0

х■

Рассмотрим для простоты изложения частный случай симметричного бинарного электролита, когда Д = Д = Б и = _г2 = _1. В этом случае d1 = _Б, d2 = 0, d3 = Б, d4 = 0, и уравнения (28), (29) и (34) примут следующий вид:

БД5 = ^у(5¥):

(41)

Бр 2 ~Е _ Е

ЯТо

2Я 2Т2

Е

+ / = 0,

(42)

2

Дп =

DF2

RT0

grad

S +-

2 RT0

E

\ л E

' /1

(43)

Решение системы уравнений (41) - (43) с соответствующими краевыми условиями, в принципе, не сложнее решения приведенной выше в п. 3.1 системы уравнений модели с условием электронейтральности. Эта система позволяет исследовать влияние пространственного заряда на тепломассоперенос в неодномерном случае, в том числе такие явления, как: электроконвекция, неустойчивость стационарного решения, влияние джо-улевого разогрева электролита на перенос ионов соли и т.д. Она позволяет относительно легко вывести алгоритм асимптотического решения краевых задач для системы неодномерных электродиффузионных уравнений.

Как видно из структуры уравнений и краевых условий, соответствующие краевые задачи можно решать следующим образом.

1). Решается задача для нахождения функции 5 .

2). Совместно решается краевая задача для нахождения функций Е, I.

3). Находится тепло, выделяемое в ходе джоулевого разогрева, и решается уравнение теплопроводности.

Для нахождения асимптотического решения необходимо перейти к безразмерному виду с использованием характерных для электродиализа величин и оценить полученные безразмерные постоянные.

Положим:

I(u) = _

h

FCo D

I, S(u) = S

C

E(u) = ^E,

RT

є) =

RTo^

F2h2C

V

V(u) = , D(u) =

Vo’

D

hV

где С0, У0 - начальные концентрация и линейная скорость прокачки раствора.

Тогда система уравнений (41)-(43) примет безразмерный вид (для простоты записи индекс (и) опущен):

D^ - div(SV) = 0,

є-1

2

E

+SE-I=0

(44)

(45)

ґ

ДП =

grad

V

s +є

2

E 2 Л Л , E (46)

у у1

где

дп

= I

дп

= -1

I = (I1,12).

(47)

дх 2 ду

Несложно показать, что при характерных для электродиализа значениях физических величин параметр е можно считать малым, поскольку он может реально менять-

ся от 10- до 10- . Это позволяет построить самосогласованное асимптотическое решение задачи (44)-(46).

Ниже приведено асимптотическое представление решения этой системы уравнений с соответствующими краевыми условиями, и показано, что канал обессоливания разбивается на три различные области: электронейтральности и1, пространственного заряда и2 и промежуточного слоя из. При этом асимптотика решения имеет разный вид в этих областях. При «мягких» (допредельных) токовых режимах области и2 и из бесконечно малы при є ^ 0 . При жестких (запредельных) режимах область простран-

2

ственного заряда и2 уже велика и даже при е ^ 0 сопоставима с областью электронейтральности и1.

Громоздкие вычисления показывают, что

2 1 f 2 Л

Е =

I

3е 3г

I

3е 3

I

где функция г (4) удовлетворяет уравнению

г3 + г% — 1 = 0 , и соответственно имеет место асимптотическое представление:

1

(48)

(49)

г (4) =

4

1 при 4^ 0,

4-Г при 4 ^ .

(50)

Таким образом, асимптотическое представление для функции Е зависит от знака

х=к

х=0

> 0, то функ-

функции 5 . Так как при «жестких» токовых режимах 5

ция 5 меняет знак в области хе [0, к], уе [0, 1]. Поэтому функция Е имеет в разных частях указанной области различные асимптотические представления.

После нахождения функции 5 вычисляем функцию х=х(у) из условия, что 5 (х(у), у) = 0, причем при х>х(у) функция 5 (х, у) < 0, а при х<х(у) функция 5(х, у) > 0. Из (48) и (50) следует, что область, где 5(х, у) > 0 соответствует области

электронейтральности, а область 5 (х, у) < 0 - области пространственного заряда (см. рис 2).

Рис. 2. Распределение области знакопостоянства функции 5 при жестких токовых режимах. и1 - область электронейтральности, и2 - область пространственного заряда

Чтобы получить самосогласованные асимптотические решения, необходимо полученную асимптотику функции г(£) согласовать с асимптотикой функции I.

Для этого следует предположить, что выполняется соотношение

Шп Т(х у) = у). (51)

а^0

Подставляя (51) в (48) и (46) для /0, получим соответствующее уравнение.

Можно показать, что:

1. В области электронейтральности и1:

где I0 определяется из соотношений

dx

=I

дп=_

2,0, -V ■іі,0

’ эУ

: -А,о ,

причем Ап0 является решением уравнения

1

АП = -~(grad (S), gradn).

S

(52)

(53)

(54)

Уравнение (54) - квазилинейное эллиптическое уравнение в канонической форме.

2. В области пространственного заряда и2:

E

V- З S

I

(55)

где I0 определяется соотношениями (53), но п0 является решением уравнения

2 2 r 2 2д п Т)2п 2д п I0 ~

10,1 -£ + 210 110 2 П0 + 10,2 ---£ = --2ST (grad(S), gradn ) . (56)

dxdy

dy

Очевидно, что уравнение (56) является квазилинейным уравнением параболического типа, которое можно привести к каноническому виду. В частности, замена переменных

х у) = -1^>,2 (х у)^ + I(Ь,1 (x, у) + ду (((0,2(x, у № ))dУ, м(x, у) = х

приводит уравнение (56) к виду

10,і

О

2

+

I 2э 4 +2I I d24 +1

1 0,і ----ТГ Т ^ 0JJ 0,2__________Z_ Т J ОД

З

dx

I

З

З э

З

dxdy dy

О

2S

-(grad(g), gradn)l

2

Для уравнения (54) используются левые граничные условия из условий (36) и (38), а для уравнения (57) - правые. На границе (х(у), у) ставятся условия согласования решений уравнений (54), (57), причем для этого необходимо ввести промежуточный слой в окрестности кривой (х(у), у).

5. Расчет тепла, выделяемого при джоулевом разогреве электролита

Из формул (52), (55) после перехода к размерным величинам с учетом формулы

G = — (, I) р0Ср

вычисляем сначала плотность источников тепла G и затем тепла, выделяемого при джоулевом разогреве электролита:

О = Ц0( x, y)dxdy = - Р— Л(е, I )сШу .

U р0Ср U

1). В области электронейтральности и1:

RT

Соответственно:

О

F2 Dр0 cPS RTn

(58)

1 F2Dp0c

ЦI / Sdxdy .

p U1

2). В области пространственного заряда и2:

а

2 RT0 S

Рос

(59)

Соответственно:

О2 =

РоСр\

2RT

|йХй(У .

Оценка этих величин показывает, что выделяемое в области пространственного заряда тепло много больше тепла, выделяемого в области электронейтральности. Поэтому в первом приближении можно пренебречь джоулевым разогревом в области электронейтральности, что согласуется с результатами работы [11].

Действительно, введем в рассмотрение параметр Л, представляющий отношение этих величин, тогда:

RL

Л = О = Оп

2 Г>РоР

0 р и1

/ Sdxdy ------------- Л|1| / Sdxdy

__________ = V^0£0 / 2 и1____________

р0ср\

2 RTn

= Ге-

ЛI(и) /S(u)dxdy

Л>/ - ~ || 1|йХ^

2 D |^/—~||/ЦйХ^ Л| I(и У - 2~(и) dxdy

Поскольку интегралы в числителе и знаменателе конечны при е ^ 0, то Л = 0(л/е).

Как показывают проведенные выше рассуждения, уравнение теплопроводности можно решать независимо от уравнений (44)-(46).

2

1

2

2

и

1

и

и

2

6. Аналитические формулы для решения в частных случаях

Для полного аналитического представления асимптотического решения модельной задачи с пространственным зарядом необходимо найти решения уравнений (44), (46), (4) с соответствующими краевыми условиями. Для различных частных случаев можно найти приближенные аналитические решения.

Так, например, эти уравнения могут быть дальше упрощены с учетом того, что длина канала обессоливания много больше его ширины.

Можно для упрощения использовать также тот факт, что используемые на практике линейные скорости прокачки электролита достигают величин порядка 10 см/с, и это позволяет пренебрегать диффузией вдоль канала обессоливания по сравнению с конвективным переносом [7].

В случае коротких каналов диффузионные слои, образующиеся возле каждой из мембран, не смыкаются, более того, сначала профили концентраций и температур имеют в области диффузионных слоев линейный вид, сохраняя в ядре потока свое постоянное значение (характерное «плато») [7, 14].

В случае длинных каналов при движении вниз по каналу диффузионные слои смыкаются, и само понятие диффузионного слоя в первоначальном виде теряет смысл.

Однако в этом случае профили концентраций и температур хорошо приближаются параболическими функциями [7, 14].

При дальнейшем движении вниз по каналу можно использовать асимптотические приближения, получаемые с учетом у [7, 14].

Таким образом, можно сделать вывод, что введенные выше формулы (52), (58) и (55), (59) дают математический аппарат, который позволяет строить приближенные аналитические решения для всех искомых функций в зависимости от целей конкретного исследования.

Примечания:

1. Декомпозиция систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона / В.А. Бабешко и др. // Доклады РАН. 1995. Т. 344, № 3. С. 485.

2. Декомпозиционные уравнения для стационарного переноса электролита в одномерном случае / В.А. Бабешко и др. // Электрохимия. 1997. № 8. С. 855.

3. Теория стационарного переноса тернарного электролита в одномерном случае / В.А. Бабешко и др. // Доклады РАН. 1997. Т. 355, № 4. С. 488.

4. Теория стационарного переноса бинарного электролита в слое Нернста / ВА. Бабешко и др. // Доклады РАН. 1998. Т. 361, № 2. С. 208.

5. Волгин В.М., Давыдов АД. // Электрохимия. 2006. . 42, 6. . 635-678.

6. Гнусин Н.П., Гребенюк В.Д., Певницкая М.В. Электрохимия ионитов. Новосибирск: Наука, 1972. 200 с.

References:

1. Decomposition of Nemst-Plank-Poisson equations / V.A. Babeshko etc. // Dokl. of the Russian Academy of Sciences. 1995. Vol. 344, № 3. P.485.

2. Decomposition equations for stationary transposition of an electrolyte in the one-dimensional case / V.A. Babeshko etc. // Electrochemistry. 1997. № 8. P. 855.

3. The theory of stationary transposition of a ternary electrolyte in the one-dimensional case / V.A. Babeshko etc. // Dokl. of the Russian Academy of Sciences. 1997. Vol. 355, № 4. P. 488.

4. The theory of stationary transposition of a binary electrolyte in Nernst stratum / V.A. Babeshko etc. // Dokl. of the Russian Academy of Sciences. 1998. Vol. 361, № 2. P. 208.

5. Volgin V.M., Davydov A.D. // Electrochemistry.

2006. Vol. 42, 6. P. 635-678.

6. Gnusin N.P., Grebenyuk V.D., Pevnitskaya M.V. The ion exchangers electrochemistry. Novosibirsk: Nauka, 1972. 200 p.

7. Конвективно-диффузионная модель процесса электродиализного обессоливания. Предельный ток и диффузионный слой / Н.П. Гнусин, В .И. Заболоцкий, В.В. Никоненко, М.Х. Уртенов // Электрохимия. 1986. Т. 22, № 3. С. 298-302.

8. Гребень В.П., Дрочев Г.Ю., Ковальский Н.Я. Аномальная температурная зависимость пре//

Электрохимия. 1989. Т. 25, № 4. С. 488-492.

9. . ., . . -

нов в мембранах. М.: Наука, 1996. 392 с.

10.

уравнений Нернста-Планка-Пуассона для бинарного электролита / А.В. Лаврентьев, КМ. , . . , . . // -гический вестник НЦ ЧЭС. 2009. № 2. С. 3237.

11. . ., . .,

. . -са в электромембранных системах с учетом конвективных течений. Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2006. 146 с.

12. Лаврентьев А.В., Уртенов М.Х. Метод регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений. Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2002, 134 с.

13. . . .:

Наука, 1977. 463 с.

14. Уртенов М.Х., Сеидов Р.Р. Математические модели электромембранных систем очистки

. : - , 2000. 140 .

15. . .

уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Краснодар: Изд-во КубГТУ, 1998. 126 с.

7. The convection-diffusion process model of electrodialysis desalting. The limiting current and diffusion stratum / N.P. Gnusin, V.I. Zabolotskiy, V.V. Nikonenko, M.H. Urtenov // Electrochemistry, 1986. Vol. 22, № 3. P. 298-302.

8. Greben V.P., Drochev G.Yu., Koval'skiy N.Ya. Abnormal temperature dependence of the limiting current on cation diaphragm // Electrochemistry. 1989. Vol. 25, № 4. P. 488-492.

9. Zabolotskiy V.I., Nikonenko V.V. Ions transfer in diaphragms. M.: Nauka, 1996. 392 p.

10. Full decomposition of non-one-dimensional system of Nernst-Plank-Poisson equations for a binary electrolyte / A.V. Lavrent'ev, K.M. Urtenov, A.A. Khromykh, N.O. Chubyr // Ecological bulletin of NC ChES. 2009. No. 2. P. 32-37.

11. Lavrent'ev A.V., Pismenskiy A.V., Urtenov M.H. Mathematical modelling of transposition in electromembrane systems taking into account convective fluxions. Krasnodar: Kuban State Tech. University, 2006. 146 p.

12. Lavrent'ev A.V., Urtenov M.H. The method of the regular representation os singular perturbed equations. Krasnodar: Kuban State Tech. University, 2002. 134 p.

13. Newman J. Electrochemical systems. M.: Nauka, 1977. 463 p.

14. Urtenov M.H., Seidov R.R. The mathematical models of electromembrane systems of water treating. Krasnodar: Kuban State Tech. University Publishing House, 2000. 140 p.

15. Urtenov M.H. The boundary value problems for Nernst-Plank-Poisson equations. Krasnodar: Kuban State Tech. University Publishing House, 1998. 126 p.