CC BY
121
УДК 621.81:672.1:[620.173.26]
АНАЛ1З КОЕФЩ1СНТ1В ПОЗДОВЖНЬОГО ЗГИНУ З УРАХУВАННЯМ М1ЦНОСТ1 СТАЛ1
В.М. Кондель, доц., к.т.н., Ю.О. Шевченко, Д.О. Лобода, студенти, Полтавський нацюнальний педагогiчний унiверситет 1мен1 В.Г. Короленка
Анотаця. Проведено до^дження стткостг стальних стиснутих елемент1в конструкцт та деталей машин, проанал1зовано експериментальт дам про роботу цих елемент1в та теоре-тичт розробки щодо гх розрахунюв, побудувано графти коефщент1в поздовжнього згину та запропоновано формули для визначення цих коефщент1в залежно в1д мщност! стал1.
Ключов1 слова: стиснут1 елементи, коефщент поздовжнього згину, мщтсть стал1.
АНАЛИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБА С УЧЕТОМ ПРОЧНОСТИ СТАЛИ
В.Н. Кондель, доц., к.т.н., Ю.О. Шевченко, Д.А. Лобода, студенты, Полтавский национальный педагогический университет имени В.Г. Короленко
Аннотация. Проведено исследование устойчивости стальных сжатых элементов конструкций и деталей машин, проанализированы экспериментальные данные о работе этих элементов и теоретические разработки относительно их расчетов, построены графики коэффициентов продольного изгиба и предложены формулы для определения этих коэффициентов в зависимости от прочности стали.
Ключевые слова: сжатые элементы, коэффициент продольного изгиба, прочность стали.
ANALYSIS OF STRESS REDUCTION FACTORS TAKINC INTO ACCOUNT THE STEEL STRENGTH
V. Kondel', Assoc. Prof., Ph. D. (Eng.), Yu. Shevchenko, D. Loboda, students, Poltava National Pedagogical University after V. Korolenko
Abstract. The authors researched the stability of compressed structures and parts of machines. Analysis of experimental and theoretical data of compressed structures behaviour and their part is provided. New approaches to the stress reduction factors tests, taking into account the steel strength are described.
Key words: compressed members, stress reduction factor, steel strength.
Вступ
Гаранпею надшносп конструкцш, елеменпв машин та споруд е задоволення умов ix мщ-носп, жорсткосп та стшкост^ Особливу ува-гу слщ звернути на явище втрати стшкосп, яке е дуже небезпечним i може призвести до трапчних наслщюв, оскшьки в цьому випад-ку вщбуваеться некероване зростання де-
формацш i конструкщя руйнусться практично миттево, що виключае будь-яку можли-вють вжиття дiевих заходiв щодо запобтання аварiям та катастрофам. Втрата стшкосп може статися в елементах конструкцш та деталей машин, яю працюють на стискання: колонах, стшках, верхшх поясах ферм, штоках парових машин та поршневих насошв, гвинтах у передачах гвинт-гайка, цилшдрич-
них та кошчних гвинтових пружинах, р1заль-них шструментах для обробки отвор1в (свер-дла, зенкери, розвертки, мггчики) на сверд-лильних верстатах, голках у швейних машинах та ш Саме тому одним з найважливших напрям1в попередження надзвичайних ситуа-цш е дослщження допустимих навантажень на стиснут елементи конструкцш та деталей машин.
Аналiз публiкацiй
Вагомий внесок у виршенш проблеми стш-кост стиснутих елемент1в конструкцш та деталей машин зробили видатш вчеш ХУШ-ХХ ст.: Л. Ейлер, Ф. Енгессер, Ф. Ясинський, Л. Тетмайер, Т. Карман, Ф. Шенл1 та ш. [1-3]. Вони запропонували формули для визначен-ня критично! сили { напруження, яю е небез-печними для стиснутого стержня, залежно вщ його гнучкосп, матер1алу, способ1в закрь плення кшщв, схеми та виду навантаження, а також умову стшкосп з коеф1щентом поздо-вжнього згину ф
с = А ^[с1 = ф[с] ,
(1)
де с та [с] - робоче та основне допустиме
напруження; [с]^ - допустиме напруження
на стшюсть; ^ - робоча поздовжня сила; А - площа поперечного перер1зу стиснутого стержня.
Формула (1) використовуеться в машинобу-дуванш пщ час розрахунюв елемент1в на стшюсть, зокрема для визначення допустимих напружень { навантажень. Буд1вельш конструкци розраховують за методом грани-чних сташв, тому замють допустимих напружень застосовують термш «розрахунко-вий ошр», який використаемо в дослщжен-нях коеф1щент1в поздовжнього згину ф для стиснутих елеменив конструкцш
Дослщи показали, що коеф1щент поздовжнього згину ф залежить вщ гнучкосп елеме-
нта X, тобто ф = f (X).
У свою чергу
Х =
ц/
де ц - коеф1щент зведення довжини стержня, який залежить вщ способу закршлення його кшщв (рис. 1); / - довжина стержня;
мшшальний рад1ус 1нерци;
1тт - мшмальний момент шерцп.
I1
I1
I1
ц = 0,5 ц = 0,7
Ц = 1
ц = 2
(2)
Рис. 1. Залежнють коеф1щент1в ц вщ способу закршлення кшщв стержня
Останш дослщження [2, 4] показали, що гну-чюсть X залежить не тшьки вщ вищезгада-них чинниюв, але й вщ жорсткосп опор, що було враховано авторами пщ час розрахунюв коеф1щента зведення довжини стержня ц
[4].
За результатами експериментальних даних учеш багатьох кра!н свггу одержали значення коеф1щент1в поздовжнього згину ф для сть йок, виготовлених з р1зних матер1ал1в: сталей р1зно! мщносп та марки, чавуну, алюмше-вих сплав1в, деревини (сосни, ялини), каме-ню, бетону та зал1зобетону, подаш у вигляд1 таблиць [1-3, 5].
У свш час учеш запропонували залежносп ф = f (X) для деревини 1 стал1 [2, 7-9], як складаються з двох або трьох р1зних р1внянь [1, 2, 6, 7], або стосуються лише стал1 марки Ст 3 [8], тому для практичних розрахунюв стиснутих елеменпв слщ вивести одне р1в-няння, враховуючи властивосп матер1ал1в, з яких виготовлеш щ елементи.
Мета i постановка завдання
Оскшьки переважна бшьшють стиснутих елеменпв конструкцш та деталей машин ви-готовляеться з1 стал1 р1зно! мщносп, метою ц1е! роботи е виведення формули для визначення коеф1щеннв поздовжнього згину ф саме для сталевих зразюв.
Дослщження коефiцieнтiв поздовжнього згину з урахуванням мщносл сталi
1снують залежносп коефiцiента ф вiд розра-хункового опору стат Ry i умовно! гнучкос-тi стержня
де Е - модуль Юнга або модуль пружносп першого роду для стат [6]:
0,073 - 5,53— Е
ф = 1 -при 0 < X < 2,5;
ф = 1,47 -13 ^ -
Е
Л
(
0,371 - 27,3— Е
Х +
(
+
Л
0,0275 - 5,53^-Е
X2 при 2,5 < X < 4,5;
332 т , * ф = =^-при X > 4,5.
X2 (51 -X)
(3)
С iншi пропозицп щодо визначення коефщь ент1в ф зокрема простi рiвняння для низько-мiцних i високомiцних сталей [7]
ф=
1
(0,0^)2 +1
i ф =
1
X 100
(
с--
d
Я.
у /
, (4)
+1
де коефщенти с i d вiдповiдно становлять: при X< 50 - с = 1,51, d = 142; а при X> 50 - с = 2,21, d = 306.
Для розрахункiв стиснутих стiйок, виготов-лених зi сталi марки Ст 3, рекомендуеться залежнють, яка мае достатню для практичних розрахункiв точнiсть [8] (середш вiдхилення теоретичних значень коефщенпв ф вiд екс-периментальних становлять трохи бшьше нiж 2 %)
ф =
1
((0,00453X)2
(5)
+ 0,00654X + 0,0277) +1
але ця формула придатна для елемента, ви-готовлених тiльки зi сталi марки Ст 3 з модулем пружносп Е = 2,1 • 105 МПа, межею теку-чосп су = 240 МПа, межею пропорцшносп срг = 200 МПа, основним допустимим на-пруженням [с] = 160 МПа та розрахунковим опором Ry «0,9•су = 215 МПа, i не може
бути використана для сталей шших марок, зокрема високомщних.
Для оцiнки формул (3) i (4) та оцiнки точнос-т розрахункiв коефiцiентiв поздовжнього згину ф використаемо табличш данi експе-рименпв [1-3, 5] для зразкiв, виготовлених з рiзних матерiалiв, зокрема для сталей рiзноl мiцностi, i побудуемо вщповщш графiки за-лежностей ф = f (X) (рис. 2).
ф
1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000
N ч
1
1 1 X X 2 3
1 ! $ с 4
1 5 6
8 — § ¥ ч X
У ч 1 * : х X
А: / 1 : >
11' 1У X . : ■ ■ » 1 1 : ■
10
30 50 70 90 110 130 150 170 190 210
Рис. 2. Залежносп ф = f (X) для стиснутих елеменпв з рiзним розрахунковим опором сталк 1 -200 МПа; 2 - 240 МПа; 3 - 280 МПа; 4 - 320 МПа; 5 - 360 МПа; 6 - 400 МПа; 7 - 440 МПа; 8 - 480 МПа; 9 - 520 МПа;10 - 560 МПа; 11 - 600 МПа; 12 - 640 МПа
2
2
Для анал1зу залежносп коеф!щента ф вщ мщносп стал!, за дослщними даними [3, 5], будуемо ще графк функци ф = f (Ry), де
Ry - розрахунковий отр стал! (рис. 3). Очевидно, що коефщент поздовжнього згину ф залежить не тшьки вщ гнучкосп стержня X, але й вщ мщносп матер1алу, з якого його ви-готовлено. Зокрема для стал! з тдвищенням Г! мщносп (рис. 3) та зростанням гнучкосп (рис. 2) коефщент ф зменшуеться, тому для практичних розрахунюв виведемо формулу для визначення коефщента поздовжнього згину з урахуванням його залежносп вщ цих чинниюв.
Рис. 3. Залежносп ф = f (Ry) для стиснутих
сталевих елеменпв з р1зними гнучкос-тями X
Нами було проведено дослщження точносп розрахунюв коефщенпв поздовжнього згину ф вщповщно до формул (3) I (4) з пор1внян-
ням експериментальних фехр { теоретичних
фй значень цих коефщенпв 1 визначенням
середшх арифметичних 5т \ середшх квад-
ратичних ст похибок. Очевидно, що р1внян-
ня (4) е бшьш зручними для розрахунюв ко-ефщенпв поздовжнього згину ф, шж гром> здю формули (3), але останш дозволяють значно точшше визначити коефщенти ф
(похибки становлять 5т = 1,91% \ ст = 2,20 %), у той час як за формулами (4) - вщповщно 5т = 8,26 % 1 ст = 10,32 % . Це означае, що необхщно скласти одне р1внян-ня, яке б враховувало властивосп як низько-мщних, так { високомщних сталей та мало б прийнятш для практичних розрахунюв пока-зники точносп (до 5 %).
Анал1з д1аграм (рис. 2) для сталевих стиснутих стшок показав, що графши функци ф = f (X) под1бш до криво!
х2у = 4а2(2а - у), яка називаеться локоном Аньез1 [9]. Для ще! криво! при х = 0, у = 2а . У свою чергу, при X = 0, ф = 1. Замшивши х на X, а у на ф, визначаемо а = 0,5 ! отри-
муемо р!вняння у = 1/(х2 +1). Враховуючи р!зну кривизну графтв ф = f (X) для низь-ком!цних ! високомщних сталей (рис. 2), маемо залежнють
ф =
1
(aX2 + bX + с ) +1
(6)
де а , Ь \ с - коеф!ц!енти, як! залежать в!д ро-зрахункового опору стал! Ry 1 визначаються
за допомогою методу найменших квадрат!в (табл. 1).
Таблиця 1 Значения коефвденпв а, Ь {с
МПа а Ь с
200 2,066 10-5 5,972 10-3 3,726-10-2
240 1,983 10-5 7,437^0-3 7,338 10-3
280 1,799 10-5 8,954 10-3 -2,390 10-2
320 1,632 10-5 1,036 10-2 -5,13610-2
360 1,394 10-5 1,18210-2 -8,110 10-2
400 1,13110-5 1,324 10-2 -1,084 10-1
440 1,036 10-5 1,43110-2 -1,258 10-1
480 7,259 10-6 1,570 10-2 -1,528 10-1
520 4,70110-6 1,696 10-2 -1,764 10-1
560 2,830 10-6 1,803 10-2 -1,931 •Ю-1
600 7,770^0-7 1,913 10-2 -2,11910-1
640 -1,923 10-6 2,028 10-2 -2,31410-1
Використовуючи цю таблицю, виведемо рiв-няння для розрахункiв коефiцiентiв а , Ь i с залежно вщ розрахункового опору сталi Ry у МПа
(а, Ь, с) = ^ + + kyR2y , (7)
де k0, k1 i ky - параметри, як враховують мiцнiсть сталi i також визначаються за допо-могою методу найменших квадратiв. Значен-ня параметрiв k0, k1 i ky та !х розмiрностi наведено в табл. 2.
Для оцiнки точносп складеного нами рiв-няння (6) було проведено додатковi розраху-нки теоретичних значень коефщенпв поздо-
й
вжнього згину ф для сталевих стшок у дiа-пазонах гнучкостей стиснутих елементiв вiд 10 до 220 i розрахункових опорiв стат вiд 200 до 640 МПа.
Таблиця 2 Значения параметщв k0, k1 _i_ky
але й вщ мщносп матерiалу, з якого його ви-готовлено. Зокрема для стат з пiдвищенням И розрахункового опору та зростанням гнуч-костi коефщент ф зменшуеться, на що слщ звернути увагу пiд час проектування стшок з високомщних сталей.
2. Запропонована формула (6) враховуе гну-чюсть стержня i розрахунковий опiр стал^ з яко! його виготовлено, мае достатню для практичних розрахункiв точнють, тому ре-комендуеться для визначення коефщенпв поздовжнього згину ф .
3. Аналогiчнi дослiдження слщ провести для стиснутих елементiв, виготовлених з шших матерiалiв: чавуну, алюмшевих сплавiв, де-ревини, каменю, бетону, залiзобетону тощо. Цi розробки дозволять тдвищити надiйнiсть i довговiчнiсть елеменпв конструкцiй та деталей машин i запобiгти багатьом аварiям i катастрофам у майбутньому.
Лiтература
МПа К ^, МПа-1 ky , МПа-2
а 0,00236 1,63 10-5 - 3,27-10-8
Ь - 0,00238 4,45 10-5 - 1,43 10-8
с 0,217 - 9,83 10-4 4,44 10-7
Порiвняння теоретичних значень фй з екс-
периментальними даними фехр [3, 5] свiдчать про достатню для практичних розрахунюв точнiсть запропоновано! нами формули (6): середнi значення вщхилень становлять 5т = 3,69% i Ст = 4,51%.
Висновки
Проведено дослiдження стiйкостi сталевих стиснутих елеменпв конструкцiй та деталей машин. Проаналiзовано експериментальнi данi про роботу цих елеменпв i теоретичних розробок щодо !х розрахункiв. Побудовано графши коефiцiентiв поздовжнього згину та запропоновано новi формули для визначення цих коефщенпв залежно вiд гнучкостi стш-ки та розрахункового опору стал1
1. Коефiцiент поздовжнього згину ф, який
використовуеться для визначення допусти-мих навантажень на стиснут елементи, за-лежить не тшьки вiд гнучкостi стержня X,
1. Писаренко Г.С. Отр матерiалiв / Г. С. Пи-
саренко, О.Л. Квггка, Е.С. Уманський; за ред. Г.С. Писаренка. - К.: Вища школа, 1993. - 655 с.
2. Писаренко Г.С. Справочник по сопротив-
лению материалов / Г.С. Писаренко,
A. П. Яковлев, В. В. Матвеев; отв. ред. Г. С. Писаренко. - К.: Наукова думка, 1988. - 736 с.
3. Лихтарников Я.М. Расчет стальных кон-
струкций: справочное пособие / Я.М. Лихтарников, Д.В. Ладыженский,
B. М. Клыков. - К.: Будiвельник, 1984. -368 с.
4. Кондель В. Дослщження стшкосп сталь-
них стиснених елеменпв конструкцш з урахуванням умов !х закршлення та жо-рсткосп опор / В. Кондель, А. Павлiчен-ко // Вюник Тернопшьського нацюналь-ного технiчного ушверситету iменi 1вана Пулюя. - 2011. - Т. 16, № 4. - С. 18-27.
5. Васильченко В.Т. Справочник конструкто-
ра металлических конструкций / В.Т. Ва-сильченко, А. Н. Рутман, Е. П. Лукья-ненко. - 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Будiвельник, 1990. - 312 с.
6. Справочник по расчету строительных кон-
струкций на программируемых микрокалькуляторах / А.Я. Барашиков, М.Г. Гольдберг, Ю.Н. Кушнарев и др.;
под ред. А.Я. Барашикова и В.А. Пермя-кова. - К.: Буд1вельник, 1989. - 224 с.
7. Кондель В.М. Дослщження стшкосп ста-
льних стиснутих елеменнв сталого та змшного поперечних перер1з1в / В.М. Кондель, А.1. Павл1ченко // Ф1зико-математичш науки: Вюник Ки!вського нацюнального ушверситету 1меш Тараса Шевченка. - 2011. - № 4. - С.76-79.
8. Кондель В.М. Дослщження стшкосп еле-
менпв конструкцш та деталей машин рацюнальних складених перер1з1в / В.М. Кондель, Р.Т. Холодков, М.М. Шевчук // Вестник ХНАДУ: сб. науч. тр. -2015. - Вып. 68. - С. 50-56.
9. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров: определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн; под общ. ред. И.Г. Араманови-ча. - 4-е изд. - М.: Наука, 1978. - 832 с.
Рецензент: В.П. Кожушко, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 8 февраля 2016 г.
