Анализ кластерной структуры модельных двухкомпонентных композитов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.22:004.94 Е> Д РОГАЧЕВ

Вал. И. СУРИКОВ В. А. ФЕДОРУК

Омский государственный технический университет

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

АНАЛИЗ КЛАСТЕРНОЙ СТРУКТУРЫ МОДЕЛЬНЫХ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ КОМПОЗИТОВ

В работе предлагается компьютерная модель, предназначенная для моделирования процессов структурообразования и анализа кластерной структуры композиционных материалов. На основе модели получены значения порога перколяции, критических показателей степени перколяции, а также фрактальной размерности для двумерной и трехмерной решетки двух типов структур. Различие в упругих свойствах композиционных структур связывается с особенностями кластерной структуры.

Ключевые слова: композит, моделирование, кластер, перколяция.

В решении проблемы создания новых материалов с заданными свойствами важную роль играет разработка методов моделирования и анализа их структуры. Одними из методов, получивших широкое распространение в последние годы, являются методы, основанные на моделях клеточных автоматов [1-2]. Причины тому — относительная простота моделей и возможность визуального наблюдения эволюции моделируемой системы.

Особый интерес представляет моделирование структуры композиционных материалов, в том числе полимерных. Этот класс материалов успешно конкурирует и вытесняет многие традиционные материалы в самых различных областях техники. С другой стороны, наполненные полимерные материалы, являющиеся разновидностью композиционных материалов, характеризуются существенной гетерогенностью, в частности, наличием межфазного слоя.

С целью моделирования процессов структурообразования в композиционных материалах и анализа их кластерной структуры разработана компьютерная модель.

Этот программный продукт состоит из двух частей, объединенных в единую оболочку. Первая часть, написанная на языке РоПгап Ро\уег51аиоп 4.0, пред-

Характеристики

назначена для моделирования процесса перемешивания частиц наполнителя с учетом агрегатного состояния матрицы композита. Основная суть математической модели изложена в работах [3, 4]. Наполненный материал представляется в виде трехмерного клеточного поля, которое, в свою очередь, разбивается на блоки Марголуса. В работе [4] представлены алгоритмы процессов струтурообразова-ния в полимерных композиционных материалах с использованием клеточных автоматов.

Результатом работы данной части модели является клеточное поле, представляющее собой трехмерный массив из нулей и единиц. Ноль показывает наличие в данном месте вещества только частицы матрицы, а единица — частицы наполнителя.

Вторая часть модели реализована на языке С + +. Эта часть программы предназначена для анализа кластерной структуры композиционного материала. Ключевыми моментами в программе являются поиск кластеров и оценка некоторых перколяционных параметров вещества. Алгоритм поиска кластеров, используемый в данной программе, основан на алгоритме «Хошена-Копельмана» [2]. В настоящей программе этот алгоритм существенно усложнен с целью применения его для обработки трехмерного массива, что

Таблица 1

терном структуры

Тип структуры и размерность Порог перколяции Критические индексы Фрактальная размерность, <1г

р/у т

теор. эксп. теор. эксп. теор. ЭКСП. теор. эксп.

Случайная 0,5927 0,5910 0,058 0,055 2,055 - 1,896 1,913

Клеточная <1=2 - 0,6025 - 0,064 - 1,715 - 1,908

Случайная <1=3 0,3117 0,3280 0,222 0,109 2,200 2,054 2,556 2,855

Клеточная <1=3 - 0,3710 - 0,282 - 1,964 - 2,395

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (80). 2009 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N* 2 (80). 2009

Случайной

структура,

d=2

Клеточная

структура.

d=2

Случайная

структура.

d-3

Клеточная

структура,

d=3

Рис. 1. Зависимость параметра порядка системы Р, от размера клеточного поля I.

Рис. 2. Зависимость относительного числа кластеров п, от размера кластера з

позволило достичь приемлемой скорости работы программы. Особенностью программы является использование двумерного вектора Coord типа coord(x,y,z). Он содержит информацию о кластерах. Это динамический массив, номер строки которого соответствует номеру кластера, а каждый элемент столбца массива — переменная, хранящая информацию о координатах элемента кластера. Введение этого элемента в программу существенно облегчает написание функций расчета кластерных характеристик вещества, таких как s — число заполненных ячеек (размер кластера), общее число кластеров, Ns - число кластеров размера s, ns - относительное число кластеров. Кроме того, в программе осуществляется нахождение среднего размера кластеров, а также поиск «сквозного» или «соединяющего» кластера. Появление соединяющего кластера ведет к качественному скачку свойств образца и является важной характеристикой структуры вещества. Определение «порога перколяции»(концентрации частиц наполнителя, при котором появляется «соединяющий путь» или «сквозной кластер») также возможно с помощью данной компьютерной модели. В данной модели реализовано также определение параметра порядка Рх — вероятность того, что занятая ячейка принадлежит бесконечному кластеру.

Заполнение трехмерного массива данных в компьютерной модели происходит двумя способами. Первый - как уже отмечалось выше, с помощью специального алгоритма «перемешивания» частиц вещества методом клеточных автоматов — «клеточная структура», а второй — путем случайного вбрасывания элементов наполнителя в матрицу (случайное заполнение массива цифрами 0 и 1) - «случайная структура». Это позволяет провести сравнительный анализ перколяционных характеристик моделируемого вещества и хаотично заполненного массива данных, что дает возможность сделать вывод о работоспособности выбранной модели.

В ходе расчетов на основе предлагаемой компьютерной модели были проведены оценки и расчеты для двумерной и трехмерной модели двух структур -«случайной» и «клеточной» важнейших характеристик кластерной структуры: порога перколяции рг, параметра порядка Рх, числа кластеров ля, средний размер конечного кластера 5.

Порог перколяции определяли для разных размерностей решетки (квадратной и кубической) при многократных испытаниях, так, что полученные оценки рс являются средними значениями. Распределение значений порога перколяции хорошо описывается гауссовой функцией распределения,

♦ Клеточная струтура,(1=3

■ Случайная структура, (1=3

а Клеточная струтура,(1=2

Рис. 3. Зависимость массы соединяющего кластера М от размера клеточного поля Ь

Рис. 4. Концентрационная зависимость модуля Юнга для «случайной» и «клеточной» структур

г

/(х) ---т=ехр(-----Г-) ,

5^1Ъ: Н 2 д1’

(1)

где х = | р — рс |, р — относительное число занятых ячеек (концентрация частиц наполнителя).

Полученные оценки рс при достаточно больших значениях размера решетки (64x64x64 — для кубической и 128х 128 — для квадратной) приведены в табл. 1 . Для «случайной» структуры значения рс оказались близкими к теоретическим значениям [2]. В случае «клеточной» структуры значения порога перко-ляции несколько превышают теоретические значения порога перколяции.

Большой интерес представляют зависимости параметра порядка РХЩ, среднего размера конечного кластера Б[р), а также числа кластеров л^Б), дающие возможность оценить критические показатели степени дляперколяционныхпереходов. Здесь!. - размер клеточного поля.

На рис. 1, в качестве иллюстрации, показаны зависимости РХ(Ц, а на рис. 2 — л#(5), для трехмерной

решетки для «случайной» и «клеточной» структур для значений р, близких к порогу перколяции.

Параметр порядка Рх определяли с помощью соотношения

р средний размер соединяющего кластера ^

00 полное число занятых ячеек

Средний размер кластера рассчитывали как

(3)

Относительное число кластеров определяется выражением:

п =-

К

N

(4)

где Ыя — число кластеров, содержащих в ячеек, N — полное число ячеек.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N*2 (80). 2009 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

Анализ зависимостей, подобных приведенным на рис. 1 и 2, позволяет оценить значения критических показателей степени для перколяционных переходов. Расчетные значения показателей приведены в табл. 1.

В последние годы для описания разветвленных объектов, в том числе и фрактальной структуры, в рамках фрактальной геометрии используется понятие фрактальной размерности с1г На рис. 3 приведена зависимость массы (число элементов в соединяющем кластере) от размера решетки Ь в логарифмическом масштабе для двумерной и трехмерной решетки для двух типов структур.

Из рис. 3 видно, что зависимости носят линейный характер, что позволяет оценить фрактальную размерность. Значения <3, приведены в табл 1.

Следует ожидать, что особенности кластерной структуры должны приводить к различию в механических свойствах композитов, в частности, в упругих свойствах. На рис. 4 показаны зависимости модуля Юнга от содержания наполнителя, полученные путем модельных расчетов для структур, исследуемых в данной работе.

Как следует из приведенного рис. 4, действительно, в области содержания наполнителя более 30 % наблюдается расхождение в модуле упругости для исследуемых структур.

Таким образом, в данной работе показана возможность моделирования структурообразующих процессов и анализа кластерной структуры композитов на основе предложенной компьютерной модели. Структура, сгенерированная методом клеточных автоматов с использованием блоков Марголуса, как это следует из результатов анализа структур, приведенных в данной работе, по своим перколяционным свойствам отличается от известной «случайной» структуры. Раз-

личие в кластерной структуре должно оказывать влияние на упругие свойства композитов.

Библиографический список

1. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. - М. : Мир, 1991. - 280 с.

2. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. - М. : Мир, 1990. - Ч. 2. - 400 с.

3. Горяга А.В., Кузнецов И.А., Суриков Вал.И. и др. Моделирование структурообразующих процессов в наполненных полимерах // Материаловедение. - 1999. — № 5. - С. 8-12.

4. Федорук В.А., Рогачев Е.А., Суриков В.И. Трехмерная модель структурных процессов в композиционных материалах на основе клеточных автоматов. // Композиционные материалы в промышленности : материалы XXVIII Международной конференции, г. Ялта, Крым, 2008. - С. 440-442.

РОГАЧЕВ Евгений Анатольевич, аспирант, ассистент кафедры физики Омского государственного технического университета.

СУРИКОВ Валерий Иванович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Омского государственного технического университета.

ФЕДОРУК Владимир Аркадьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры физики Сибирской автомобильно-дорожной академии.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11

Дата поступления статьи в редакцию: 29.03.2009 г.

© Рогачев Е.А., Суриков В.И., Федорук В.А.

Книжная полка

УДК 621.9

Серебреницкий, П. П. Краткий справочник станочника [Текст] / П. П. Серебреницкий, А. Г. Схиртладзе. - М. : Дрофа, 2008. - 655 с. - 1БВЫ 978-5-358-03992-6.

Справочник содержит основные сведения для обучающихся по направлениям, связанным с обработкой металлов, резание на токарных, фрезерных, сверлильных и других металлорежущих станках. В нем приведены краткие данные по единицам физических величин, математике, допускам и посадкам, машиностроительному черчению, машиностроительным материалам, основные сведения о технологическом процессе и его элементах, режущем вспомогательном и мерительном инструменте, металлорежущих станках. Практически по всем разделам даны тематические перечни стандартов, что позволяет быстро найти полный материал по интересующему вопросу.

Издание предназначено для студентов втузов, учащихся систем среднего и начального профессионального образования, инженеров, технологов.

УДК 621.791

Корякин-Черняк, С. Л. Справочник сварщика для любителей и не только... [Текст] / С. Л. Корякин-Черняк. — СПб. : Наука и техника, 2008. — 400 с. — (Домашний мастер). — 1БВЫ 978-5-94387-366-9.

Справочник обобщает необходимые сварщику-любителю сведения по основам электросварки, структуре, устройству и работе сварочного оборудования, регулировке сварочного тока, выбору оптимальных режимов использования. Рассматриваются проверенные на практике способы самостоятельного изготовления сварочных аппаратов, дается обзор рынка бытовых справочных аппаратов, приводятся лучшие сайты о сварке и сварочных аппаратах.