Анализ кинематических характеристик кулисного механизма Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.395

Д.А. Смирнов

АНАЛИЗ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КУЛИСНОГО МЕХАНИЗМА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Получены аналитические выражения для определения кинематических характеристик кулисного механизма. В качестве параметров в этих выражениях используются длины звеньев, а также координаты кинематических пар механизма. Представлены зависимости углов поворота кривошипа и кулисы от времени, а также их угловых скоростей и угловых ускорений. Определены выражения для скорости и ускорения кулисного камня, их проекций на оси координат. Приведены результаты решения для частной задачи и представлены графики зависимостей кинематических характеристик от времени.

Ключевые слова: кулисный механизм, кинематический анализ механизмов, кинематические зависимости.

В современных машинах применяется большое количество механизмов, которые могут быть приведены к кинематической схеме кулисного механизма [2, 4, 6]. В частности, к ним можно отнести механизмы с гидро- или пневмоцилиндрами, широко применяемые в грузоподъемных и других машинах. Кинематический анализ механизмов является первым этапом и необходимой предпосылкой расчета динамики машин [6].

В теории механизмов и машин используется несколько методов кинематического анализа. Наибольшее распространение получили метод векторных контуров, разработанный В.А. Зиновьевым [3], метод преобразования координат, развитый в работах Г.Ф. Морошкина [5], а также графические методы кинематического анализа плоских механизмов [2, 4, 6]. Графические методы в настоящее время имеют вспомогательное значение как средство для определения начальных положений звеньев или для контроля правильности вычислений [4]. Развитие аналитических методов кинематического анализа - актуальная задача в связи с совершенствованием современных средств автоматизированного анализа.

Целью данного исследования является определение закона движения точки A в координатной форме, зависимостей ее скорости и ускорения от времени, а также зависимостей углов поворота, угловых скоростей и угловых ускорений звеньев для кулисного механизма, кинематическая схема которого представлена на рис. 1.

В большинстве механизмов с гидро- и пневмоцилиндрами движение осуществляется за счет изменения расстояния S между точками A и O2. Поэтому задача сводится к определению углов поворота кривошипа ф1 и кулисы ф2 как функции расстояния S.

Обозначим x1, y1 и x2, y2 координаты кинематических пар O1 и O2 соответственно, а l1 длину кривошипа OA. Выражая координаты точки A, получим

хА = x + ^ cos ф! = х2 + S cos ф2, (1)

Уа = У + as:in Ф = У2 + S sin Ф2 . (2)

Преобразуем эти уравнения:

где

cos ф2 = a + b cos Ф1, (3)

sin ф2 = а2 + b1 sin ф1, (4)

*2 „ _yi -y ь = ll-. (5)

1 S 2 S 1 S Возведем в квадрат, правые и левые части уравнений (3) и (4), и, сложив их, получим уравнение относительно угла ф1

úfjcos ф1 + a2sin ф1 = c1, (6)

© Смирнов Д.А., 20132.

где

ci =

1 2 2 7 2

i - a - - ь 2b

(7)

У

x

Рис. 1. Кинематическая схема механизма:

1 - кривошип; 2 - кулиса; 3 - кулисный камень

Уравнение (6) решается с помощью введения вспомогательного аргумента [1]. Разделим левую и правую часть уравнения на а2 + а\ и введем в рассмотрение угол в таким образом, чтобы выполнялись условия

sin ß =

a,

yR

2 , 2 a, + a2

cos ß =

a.

Va1

2 , 2 a, + a2

При этом угол в может быть выражен по одной из двух формул:

ß = arcsin

a,

Va1

2 , 2 a, + a2

ß = arccos

a.

Vai

2 , 2 a, + a2

(8)

Уравнение (6) принимает вид sin(^ + ß) =

Vi

2 2 a, + a2

Выражая ф1 и учитывая (8), получим

Ф2 = - arcsin

a,

Ja2

2 2 a, + a2

Г +

(-1)-

arcsin

лЙ

22 a, + a2

■ + , - e Z.

Принимая - = 0, получим выражение для ф1

ф = - arcsin

Vi

2 . 2 a, + a2

: + arcsin

лЙ

22 a, + a2

Подставляя в полученное выражение зависимости (5) и (7), окончательно для ф1 получим

ф2 = - arcsin

Х1 x2

V(xi - Х2 )2 +(У1 - У2 )2

. S2 - (. - x2 )2 - (y2 - y2 )2 - /22 ■ + arcsin v 1 2 41 27 1

21iV (xi- x2)2 + (У1 - У 2 )

(9)

Это выражение представляет зависимость угла поворота кривошипа ф1 в виде функции расстояния £ и координат кинематических пар 01 и 02.

Для определения угловой скорости кривошипа ю1 и углового ускорения 81 необходи-

c

i

c

c

мо задать зависимости х = X (г), х2 = х2 (г), у = у (г), у2 = у2 (г), $ = $ (г), подставить их в вы-

ражение (9) и продифференцировать по времени:

ш1 =

ё 2ф1

Ж ' ёг2

Рассмотрим решение этой задачи в частном случае, когда кинематические пары 01 и 02 неподвижны. Тогда расстояние между кинематическими парами определится выражением

ОО = д/Сх - Х2 )2 +(У1 - у2 )2 = сопб1 .

Подставляя эту зависимость в соотношение (9), получим

. х - х . $2 -(оО + /,2)

ф = - агсБт —■-2 + агсБт-4 1 2—^.

1 ОО2 2/1О1О2

(10)

(11)

Определим выражения для угловой скорости ю1 и углового ускорения 81 кривошипа в рассматриваемом частном случае

_ ёф _ 2$

ёг

>,2о,О22-($2-(О1О2 + /2)) <*'

ёг2

где А1 и В1 определяются выражениями

8,= Л!ф1=д Г ^

Ч ёг

2

д =-

4/ ОО2-($2-(ОО2 + /2)) 4$2($2+ /2))

4/2О!О22-($2-(оО + /2)) у

В =

4/2ОО2-($2-(оО + /2 ))2 2$

1 л/4/,2о,О22 -($2 -(О1О22+/2 ))

Закон движения точки А в координатной форме имеет следующий вид:

хл = ^ соб ф = ^ СОБ

- агсБт

V (

у1(Х -х2)2 + (У1-У2)2

г + агсБт

ул = / ф = / Бт

- агсБт

Х1 Х2

л1(х1 - х2 )2 + (>1 - У2 )

■ + агсБт

$2 -(х1 - Х2)2 -(У1 - У2)2 - /12 2/1у1 (х1 - х2)2 + (У1 - у 2)2

$2 -(хх1 - Х2)2 -(У1 - У2)2 - К 2/,^ (х1- Х2)2 + (у- У2)2

(12)

(13)

(14)

(15)

Для частного случая, когда кинематические пары 01 и 02 неподвижны, уравнения (14) и (15) принимают вид

хл = / соб ф = ^ СОБ

- агсБт -

О1О2

• + агсБт

$2 -(О1О2 + /2)

у = ^ бШ ф = ^ Бт

V

- агсБт х—— + агсБт

ШОг

V

2

• $2 -(ОО+/2)

_У 1 2 1 /

ЩО2

Скорость точки А, а также ее проекции на оси координат определяются следующими выражениями:

ё$

V = ш, / =

11 л/4/ГО|О22 -($2 -(О1О22 + /2))2

ёг

Удх ф1 =

д/4/2О1О2 -($2 -(О1О2 + /2 ))2

х1 - х2

у

V

х1 - х2

VAy = VA COS Ф1 =

2Slx cos ф!

dS

hlOO -(S2 -(o,O2 + If )) dt'

где ф1 определяется по формуле (11)

Ускорение точки А, а также его проекции на оси координат определяются выражениями:

--М^ёй.

aA = anA + а\, aA =л1(а" ) + (al

аАх ~ аАх + аАх . ёАу ёАу + аАу .

П Т П Т П Т /I

где аА . аА . аЛх. аАх. аАу. аАу - нормальное и касательное ускорение точки А, а также их проекции на оси координат, которые определяются выражениями:

а"А = ш,21, = -

4S %

dS

11 4AA -(S2 -(OA2 +12))21dt

А А

aAx =-aA COS Ф1 =

4S 2lj cos ф!

dS

412AA - (s2 - AA2+12 ))2 v dt J'

аАУ =-aA Sln Ф1 =

4Ssin фх

dS

412OA2 - (S 2 - AA2+A2 ))2 v dt J '

a l = 8 l = aA 81l1

\Í dS i2+B ^

4 dt J 1 dt2

l l O* =-aA Sin Ф1 =

rAÍ ^12 + B ^

4 dt J 1 dt2

lj sin ф,

l l aAy = aA COs Ф1 =

.. dS i2 _ d2S A |ds1+ B dS

4 dt

lx cos Ф,

где A\ и B1 определяются по (12) и (13).

Определим зависимость угла поворота кулисы ф2 в виде функции расстояния S. Из уравнений (1) и (2) получим

cos ф = а3 + ¿2 cos ф, (16)

sin ф= а4 + ¿2 sin ф, (17)

где

_*2 - X _У1 - У2 L _S_

3 l l l

l1 l1 l1

(18)

где

Исключая угол ф1 из системы уравнений (16) и (17), получим

а3 cos ф + а4 sin ф = с2,

62 =

1 2 2 7.2

1 - а3 - а2 - b2 2b

Решая уравнение (19) аналогично решению уравнения (6), получим

(19)

Ф2 = arcsin

а.

2 , 2 а3 + а2

• - arcsin

4

22 а3 + а2

2

2

2

l1

6

2

Подставляя в это выражение зависимости (18) и (20), получим

- л1 . ¡1 - (л2 - лЛ2 - (у2 - уУ - £2

ф2 = агсэт^ 2 1 = - агсБт-

д/(л2 -л,)2 +(У2 -У:)2 2£д/(л2 -лУ +(У2 -У1)2

Это выражение представляет зависимость угла поворота кулисы ф2 в виде функции расстояния £ и координат кинематических пар 01 и 02.

Для определения угловой скорости кулисы ю2 и углового ускорения е2 необходимо задать зависимости л = Л (0, Л = Л (/), у = у (/), у2 = у2 (/), £ = £ (/), подставить их в выражение (10) и продифференцировать по времени:

ёфт Ж2ф9

2 Жг Ж2

Рассмотрим решение этой задачи в частном случае, когда кинематические пары 01 и 02 неподвижны. Тогда расстояние между кинематическими парами определится выражением (11). Подставляя эту зависимость в соотношение (10), получим

л? Л1 . I О^О^ £ ф = агсэт —-1 - агсэт --—-.

ОА 2£ОА

Определим выражения для угловой скорости ю2 и углового ускорения е2 кулисы в рассматриваемом частном случае:

Жф2 _ ¡2 - ОР1 + £2 Ж£

®2 =■

Ж £у/ 4£ 2ОО2 -(С - £2) Ж

2

Ж2ф . (Ж£ V 0 Ж2£

82 =—т1 = А\ — I + в2—=-.

2 Ж2 ^ I Ж ) 2 ж2

где А2, В2 и С определяются выражениями:

2^4£ 4ОО22 - £2 (С - £ 2) +(С + £ 2)1б£ ^ - 2(С - £ 2) - 4£ 2 (С - £ 2) ___-\/4£4О1О2 - £2 (с - £2)

Л =

4£3ОО22 - £ (с - £2) в= ¡1 - О1О2 + £2

2 4£ 2ОР1 -(С - £ 2У ' С = 1 - О1О2.

На рис. 2 - рис. 4 представлены зависимости кинематических характеристик звеньев механизма от времени. Задача решена при следующих исходных данных:

Л = 0, у = 0, х2 = 5 м, у2 = -2 м.

При этом закон относительного движения кулисного камня принят равномерным:

£ = £0 + М,

где £о = 3,73 м - расстояние между точками А и 02 в начальный момент времени; V = 1 м/с -скорость скольжения кулисного камня по отношению к кулисе (относительная скорость).

Полученные зависимости позволяют определять кинематические характеристики звеньев механизма (углы поворота, угловые скорости и угловые ускорения) в произвольный момент времени, а также определять скорости и ускорения точек звеньев механизма. При этом должны быть известны длина кривошипа, координаты кинематических пар 01 и 02, а также задан закон относительного движения кулисного камня £.

120 ф1 -<1 Р2

100 я О.

80 я н о

в 60 ^ в о : 40

=

20

0 ел ля с

Рис. 2. Зависимости углов поворота от времени

Рис. 3. Зависимости угловых скоростей от времени

Рис. 4. Зависимости угловых ускорений от времени

Библиографический список

1. Тригонометрические уравнения: учеб. пособие / А.И. Азаров [и др.]. - Мн.: ООО «Тривиум», 1994. - 160 с.

2. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболевский - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 640 с.

3. Зиновьев, В.А. Теория механизмов и машин / В.А. Зиновьев - М.: Машгиз., 1959. - 144 с.

4. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин: учеб. пособие для мех. спец. вузов / О.Н. Левитская, Н.И. Левитский - М.: Высш. шк., 1985. - 279 с.

5. Морошкин, Г.Ф. Уравнения динамики простых систем с интегрируемыми связями / Г.Ф. Морошкин - М.: Наука, 1981. - 116 с.

6. Теория механизмов и машин. Курсовое проектирование: учеб. пособие / Г.А. Тимофеев [и др.]. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. - 169 с.

Дата поступления в редакцию 09.12.2013

D.A. Smirnov

ANALYSIS OF THE KINEMATIC CHARACTERISTICS OF ROCKER MECHANISM

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: Conclusion analytical dependencies for the kinematic characteristics of rocker mechanism. Design/methodology/approach: For the determination of the time dependences for the rotation angle, angular velocity and angular acceleration links rocker mechanism, used methods of theoretical mechanics and mathematical analysis. Findings: Defined time dependence of the rotation angle, angular velocity and angular accelerations and velocities and accelerations of the kinematic pairs rocker mechanism. Conducted the decision of the specific problem and presents the graphs of functional time dependences of the kinematic characteristics of the links in the mechanism. Originality/value: The results may be used for creation of automated methods for kinematic analysis rocker mechanisms. The obtained dependences can find the rotation angle, angular velocity, angular acceleration and velocity and acceleration of kinematic pairs mechanism at a time. The obtained dependencies for the kinematic characteristics of the mechanism may also be used for forces analysis of the mechanism.

Key words: the rocker mechanism, the kinematic analysis of mechanisms, the dependence of the kinematic.