CC BY
34
Святовец К.В. ©
Специальность «Обработка металлов давлением», Электростальский политехнический институт (филиал) Московского института стали и
сплавов ЭПИ МИСиС
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ШАТУНА КРИВОШИПНО - ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА
Аннотация
В тексте представлены физические показатели шатуна кривошипно - ползунного механизма. В анализ входит: Анализ максимальной скорости ползуна кривошипно-ползунного механизма. Проектирование кривошипно-ползунного механизма наименьших масс в случае статического нагружения. ^Исследование напряженного состояния шатуна механизма с учетом инертности нагрузки. Исследование жесткости шатуна с учетом динамики.
Большинство получено при различных расчетах на физические показатели механизма.
1.Анализ максимальной скорости ползуна кривошипно-ползунного механизма.
В общем случае геометрического синтеза и динамического исследования машин, выполненных на основе кривошипно-ползунного механизма, необходимо учитывать ограничения, связанные с максимальной скоростью движущегося ползуна.
Аналог максимальной скорости ползуна является безразмерным инвариантом подобия:
Сvмах=Vвmax/(Юl*ll) (1)
Где Vвmax-максимальная скорость ползуна; ю1-угловая скорость вращения кривошипа; Ь-длина кривошипа.
Угол между шатуна и положением направления движения: ф2=агс$т(($тф^)/Л); (2)
и скорость ползуна:
Vв= Ю1*Ь*(- sinфl+tg ф2*^ фО; (3)
Являются функциями обобщенной координаты ф1, а также А и V (А^Л^^/Ъ). Исследуя на экстремум эту функцию (3) условием (2), можно показать, что угол ф=ф1 мах, при котором V=Vвmax, удовлетворяет условию:
А*соs(фl-ф2)+ соs 2ф1/ соs 2ф2=0; (4)
Методы решения (4):
A._Определяем угловую обобщенную координату кривошипа по формуле (3): ф1тах=аг^(^А2+8-Л)/4) (5)
далее ^тах, можно определить , воспользовавшись формулами(2),(3).
B.Учитывая, что максимум скорости приходится на такое положение механизма, когда кривошип и шатун приблизительно взаимно перпендикулярны, расчет проводят по формуле:
фыах=аг^А; (6)
Подставляя (6) в (2),(3),получим:
^тах=1+0,5/А2; (7)
В данной работе возможны два результата: ^тах=1+0,493/А2; (8)
^тах=(1+0,043/А)+(0,485/А2); (9)
Одинаково обеспечивающие погрешность менее 0,05% в диапазоне А >2.
2.Проектирование кривошипно-ползунного механизма наименьших масс в случае статического нагружения.
Пренебрегая силами трения в сочленениях, определим реакции в кинематических парах, вызываемые приложенной силой технологического сопротивления FC.
©Святовец К.В., 2013 г.
Из условия равновесия шатуна:
Fl2=F2з=Fc/smц; (10)
Где ц-угол передачи механизма. Из условия равновесия кривошипа (ХМу(Р)=0): Му-Р2Л1*мпу=0; (11)
Из (11)находим величину уравновешивающего момента Му: М^ПЛ^; (12)
Где 1-длина кривошипа; У-угол между кривошипом и шатуном. С учетом равенства (10) получим:
М^Л^ту^тць (13)
Абсолютное (нормальное)напряжение в кривошипе: О1=(ШЛ0+Мтах^ь (14)
где Nl=Fc*cosyl/sinцl; (15)
Ммах- максимальный изгибающий момент, равный: МмВ^Л^ШУ^ШЦ (16)
Л1-площадь поперечного сечения кривошипа; W1-момент сопротивления сечения при изгибе. Подставляя выражение (15)и (16)в уравнение (14),получим: Gl=(Fc*cosyl)/(a*b2l*sinцl)+(G*Fc*ll*sinyl)/ ^ЛЫ^т^); (17) где ^ и Ь1 -высота и ширина сечения прямоугольной формы; а1= Ь1 считаем заданным.
При преобразовании уравнения (17) оно запишется в следующем виде (18),(19);
[01]*al2*bl3*smц-Fc*al*bl*cosyl-o*Fc*ll*smyl=0^■bll=x+y; Ь^=ЕЛХ+Е2*У; Ь1з=Е1*у+Е2*х; (18)
Где х=VА+VВ; у=VА-VВ; (19)
А=(3* Fc*ll*sinyl)/( ^[01] Ег2=(-1/2)±1*^3/2; (20)
В=F2*(((ll2*sin ^^У^)-^*^^))/^*^]*^)^ al2*[Ol] *мп 2ц1); Значение угла у1 в соответствующем положении механизма:
У1=0,5*я-фт+ць (21)
Где у1-угол между кривошипом и горизонталью. Прочностное условие для шатуна:
Fc/ мпц^*^]; (22)
Где А2- площадь поперечного сечения шатуна;
[02]-допускаемое напряжение.
Площадь А2 поперечного сечения шатуна выразим в виде: А2=а2*Ь22; (23)
Где h2 и Ь2 - высота и ширина сечения прямоугольной формы; а2= h2 / Ь2 - считаем заданным.
Из уравнения (22) с учетом равенства (23) получим: b2=V(Fc/(a2*[o2]*smцl)); (24)
Расчет кривошипа и шатуна на устойчивость.
Крепление звеньев механизма таково, что при изгибе в плоскости работы механизма концевые сечения звеньев можно рассматривать опертыми шарнирно, а при изгибе в плоскости перпендикулярной плоскости работы механизма,-защемленными одним концевым сечением.
Принимаем а=(^Ь)>2.Тогда достаточно расчет на устойчивость провести только при изгибе в плоскости,перпендикулярной плоскости работы механизма: М^*^3)/^^*^4)/^; (25)
Согласно формуле Л.Эйлера:
Fkp=(п2*E*al*bl4)/(12*ll2); (26)
Где Е-модуль упругости материала.
Критическую силу для кривошипа можно представить в виде: Fkp=Nl*nУl; (27)
Где ^продольная (внутрений силовой фактор сила); пу1-коэффициент запаса устойчивости кривошипа. Учитывая уравнение (15)и (27), из уравнения (26) получим:
л2*аl*Е*b4l*sinцl-12*FЛl2* %1*^у1=0; (28)
откуда
bl=V((12*Fc*ll2* Пу1* cosyl)/л2*al*E*sinцl)); (29)
для шатуна механизма критическая сила, согласно формуле Эйлера: Fkp=(п2*E*a2*b24)/(12*ll2*А); (30)
Где А=12/11
Так как Fkp=N2*ny2, то из уравнения (30) после преобразования имеем: п2*Е*а2*Ь24* smцl-12*FЛl2* Пу2=0 (31)
откуда.
b2=V((12*Fc*ll2* Пу2*А2)/( гс2*Е*а2*^пцО); (32)
Теоретическая масса механизма. Теоретическая масса кривошипа и шатуна механизма: т1_2=р*11*(а1 *Ь12+А*а2*Ь22); (33)
где р-плотность материала
так как большая ширина сечения кривошипа получается при расчете на прочность, а большая ширина сечения шатуна механизма-при расчете на устойчивость, то, подставляя в (33) уравнения (32)и (19) с учетом (20) [имеем в виду. Что наибольшие значение Ь1 имеет в таком положении механизма, в котором кривошип достигает наибольшего значения изгибающего момента, а наибольшее значения Ь2 - в положении механизма, соответствующем Цтт ],после преобразования для центрального механизма получим: ml_2=р*r*[al*(V(А+Vв)+3V(А-Vв))2+А2*а2*V(^/sinЦmin)];(34) ¥=(12*Fc*r2*ny2У(л2*a2*E); (35)
$тЦтт=агсо$ (1/А); (35)
А=12/Г (35)
рассматривая положение механизма, в котором шатун перпендикулярен кривошипу (У=0,5), а Ц1=Цтт,получаем (r=0.5*S;S-ход ползуна)
ml_2=р*0,5*S*(K*VА2/(А2-1)+А2*L*VА/(VА2-1)); (36)
где К=а1*(Ч3^с^/(а12*[ог]))); L=(a2*S/rc)*(V((3*Fc*ny)/(a2*E))); (37) Как видно из уравнения (36) с учетом (37). Масса кривошипа и шатуна механизма при заданном ходе ползуна S и заданной силе сопротивления (полезного) зависит от параметра А, то есть т^= т1_2(А).
3^*А11/6*(А-1)1/12*(4А2-5)-4*К=0; (38)
Находим первую производную d2m1_2/(d*А2)>0. Решая уравнение (38). Получаем оптимальный параметр Аопт, при котором масса механизма будет наименьшей.
3.Исследование напряженного состояния шатуна механизма с учетом инертности нагрузки.
3.1Кинематическое исследование механизма: 3.1.1 Определение углов положения механизма: У1=аг^(112+Ь2-( Ь^ф^Ь*^2)) / (2*11*12); (39)
а0=л/2-фт. Если фт<л/2 (40)
а0= фт-п/2, если фт> п/2 (40)
а0=3л/2-фт, если фт<3л/2 (40)
а0= фт-3п/2, если фт> 3п/2 (40)
где а2=0,5*п-Р; (41)
P=aгcsinll*sinфl/l2; (42)
3.1.2 Определение положений исполнительного звена механизма (ползуна):
(44)
(45)
(46)
S(фт)=ll+l2-(ll*cosфт+l2*cosPт); (43)
Если ф=0^=0;фт=тс, то 8=2га(г=1^1).
3.1.3 Моделирование плана скоростей: Vв=Vл*sinyl/cosP; Vвл=Vл*sinao/cosP; Ю2= У^^А^в* Ь);
3.1.4 моделирование плана ускорений:
а) углы :а3=Р+а0; (47) а4=0,5*п-(Р+а0); (48) а5=1,5л-а0-уь (49)
б) Линейное ускорение а1 точек и угловые ускорения Е; звеньев:
К=Ю12*11+ Ю22*l2/сosaз; Kl=K*sinao/sina5; K2=Ю22*l2*tgaз; ав= K*sina4/sina5;
агвл=К1-К2; Е2= агвл /l2; aвА=l2*V(ю24+Е22);
Ч^^СЕ^2);
3.2 Инерционная нагрузка: gl=ma*aл*cos(yl-0,5л); g2=mв*aв*sinP; g0=gl-g2.
3.3 Реакция опор: Rax=(Fc+mв*aв)*cosP;
Ray=(2*l2*mл*aл*cos(yl-0,5л)+mв*aв*l2*sinP)/G; Rвy=( mл*aл*cos(yl-0,5л)+2* mв*aв*l2*sinP)* Ыо
3.4 Внутренние силовые факторы (изгибающий момент,поперечная сила,продольная Мн(фт,х)=( Rвy*х-0,5g2*x2-g0*x3)/ (Ь*о);
Q(фт,х)=( Rвy -g2*x-g0*x2)/ (13*2); (57)
N(фт)=Rлx;
Где хе[0;Ь], фте[0;2л].
3.5 Напряжение (Е1=ео^^:
G(фт,х)=Ми(фт,х)/w+N(фт)/Л; (58)
т(фт,х)=1,5 Q(фт,х)/A
4.Исследование жесткости шатуна с учетом динамики:
Если на брус действует нагрузка не сложнее треугольной, то дифференциальное уравнение упругой линии такого бруса имеет вид:
Введем обозначение а2=Fc/EI, тогда уравнение (59) примет вид: Е*М^МХ2=±(М^^); (59)
Общие значения: 11=0я6; Ь=0,989;ю1=28,799;ф=45° Масштаб: МV=0,3 (м/с)/мм.
Линейная скорость первого звена и ее размеры на плане: Vl=Юl*ll=18,456*0,621=11,5м/с; М^=^/М^11,5/0,3=38,2мм. Угол Р находим из формулы:
<Pl=aгcsin (ll*sinф)/l2=aгcsin (0,621*sin 45°)/1,149= aгcsin 0,3822=22,5°. По определенным данным, в масштабе, строим план линейных скоростей,измеряем длину участка АВ и, зная масштаб, находим линейную скорость V2: V2=ВА*Мv=71*0,3=21,3 м/с. 2. План скоростей:
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
сила):
Масштаб: Ма=5 (м/с2)/мм
Ускорение первого звена и его размеры на плане: а1=(ю02П1=(18,456)2*0,621=211,5 м/с2; МаОА=а1/М=211,5/5=42,3мм;
Находим угловую скорость ю2: Ю2^2/12=21,3/1,149=18,5 с-1; аьдв=(ю2)2*12=18,52*1,149=393,2 м/с2; МаАс=аьлв/Ма=393,2/5=78,6 мм.
По определенным данным, в масштабе, строим план ускорений (методом сложения векторов), измеряем длину вектора АВ и, зная масштаб. Находим ускорение а2: аАв=АВ*Ма=85*5=425 м/с2.
Общие значения : RBY=8831,302; Q1=14139,404; Q2=15991,539; 12=1,149. Находим координату (Х) экстремума М по формуле: RBY-Q2X-Q1X2/(2*l2)=0;
8831,302-15991,539*Х-14139,404*Х2/(2*1,149)=0; 20294,332-36748,556*Х-14139,404*Х2=0; 14139,404*Х2+36748,556*Х-20294,332=0; Д=Ь2-4ас=1,35*109+1,15*109=2,5*109; VД=V2,5*109=5 0 0 00;
Х1,2= (-Ь±^Д)/(2*а)=(-36748,556±50000)/(2*14139,404);
X |=0,5 7—"точка экстремума.
Рис.1. Диаграмма зависимости УС(м/с) от F1 (град)
АС(м\сЛ2) 400 ------
Рис. 2. Диаграмма зависимости АС(м/с"2) от F1(град)
ХСБ(ы)
И (град)
Рис. 3. Диаграмма зависимости ХСS(М) от F1(град)
млхм1г(к*м)
Рис. 4. Диаграмма зависимости MAXMIN(N*M) от F1 (град)
<а Ьм,
Рис. 5. Диаграмма зависимости Q_1(Н) от F1(град)
РАУ(Н)
Рис. 6. Диаграмма зависимости RAY(H) от F1(град)
Рис. 7. Диаграмма зависимости R8Y(H) от F1(град)
Рис. 8. Диаграмма зависимости Q_2(H)от F1(град)
Литература
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: наука,1975.
2. Сумский С.Н. Расчет и проектирование кулисных механизмов.-в кн.: механика машин. М.: наука,1974.
3. Сумский С.Н. Кинематические диаграммы кулисных механизмов с ведущим кривошипом В кн.: Алгоритмы анализа и синтеза механизмов м.: Наука, 1977.
4. Фролов К.В.,Попов С.А., мусатов А.К., Лукичев Д.М., Скворцова Н.А.,Никоноров В.А., Савелова А.А., Петров Г.Н., Резцова Н.Е., Аконян В.М. теория механизмов и машин м.: Высшая школа, 1987, с 1 - 496.
