Математическая модель шатуна кривошипно-ползунного механизма малогабаритных поршневых машин, выполненного в виде пружины с межвитковым давлением Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 530.3:621.826.2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ШАТУНА КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА МАЛОГАБАРИТНЫХ ПОРШНЕВЫХ МАШИН, ВЫПОЛНЕННОГО В ВИДЕ ПРУЖИНЫ

С МЕЖВИТКОВЫМ ДАВЛЕНИЕМ

И.П. Аистов, В.Д. Смирнов

Омский государственный технический университет E-mail: aistov_i@mail.ru

Приведена математическая модель шатуна кривошипно-ползунного механизма малогабаритных поршневых машин, выполненного в виде цилиндрической пружины с межвитковым давлением, которая может быть распространена на другие пружинные механизмы с винтовыми цилиндрическими пружинами, в том числе с разомкнутыми витками.

Ключевые слова:

Упругие элементы, винтовая цилиндрическая пружина, пружина с межвитковым давлением, поршневая машина Key words:

Elastic elements, the helical coil spring, spring to interturn pressure, piston machine

Малогабаритные поршневые машины, привод поршней которых выполнен в виде кривошино-ползунного механизма (КПМ), например, микрокомпрессоры, миниатюрные двигатели Стирлинга, газовые криогенные машины (ГКМ) [1], нашли широкое применение в объектах, где масса, габариты и ресурс являются определяющими факторами. Одним из путей миниатюризации малогабаритных поршневых машин является использование в передаточном механизме привода поршней, гибких шатунов, выполненных в виде упругих элементов. Такой шатун может быть выполнен, в виде жестко закрепленного в поршне и на обойме шатуна тонкого стержня (плоской пружины) [2], или в виде пружины с межвитковым давлением (ПМВД) [3, 4], для использования которых в практических целях, требуется разработка математической модели с целью оценки его работоспособности.

При составлении математической модели и расчетной схемы шатуна, выполненного в виде пружины с межвитковым давлением (рисунок) приняты следующие допущения: ПМВД заменялась эквивалентным стержнем (ЭС) с приведенными характеристиками жесткости стержня на сдвиг А1, изгиб А2 (верхняя строчка в формуле - относится к случаю разомкнутых витков ПМВД, нижняя -к сомкнутым виткам) и растяжение А3 [5, 6]:

А - *НЛ_ ■ А =

і т-чЗ • ; А3

пВ3.

^ H,

пВ3 і

А -

2Н

п Dip 1/Bp+\/Bn

З+Bp/Bn

BP h

п D

где Н0=/=ірН, ір, Н, Б=2Я, Вр, Вп и Вь - начальная длина, число рабочих витков, высота (диаметр) сечения витка, средний диаметр навивки (Я - сред-

ний радиус); крутильная жесткость сечения витка, изгибная жесткость сечения витка относительно ее нормали и изгибная жесткость сечения витка относительно ее бинормали для ПМВД, соответственно; изгибающий момент М(г), действующий в сечениях ЭС, равен крутящему моменту МрР действующему в у-м витке, т. е. М(т)=Ма.

Распорными («цепными») усилиями, возникающими в пружине вследствие изменения длины упругой линии ЭС при размыкании витков с изги-/

бом Рцнш = А31(у'(г))2^ /2/ (здесь \(т) - прогиб

0

оси ЭС, I - длина ЭС), пренебрегаем [5].

Виду особенности конструкции кривошипно-ползунного механизма (КПМ), прогибы у(%) ЭС принимаются малыми.

На рис. 1 введены следующие обозначения: х, у, I - система координат, в пространстве которых записываются уравнения равновесия шатуна (начало отсчета от заделки витка ПМВД в поршне); у(!) и

0(1) - прогиб и угол поворота сечения ЭС о координатой 1=1; й(т) и N(1) - поперечная и продольная силы, действующие в сечении ЭС; I — длина ЭС (или «гибкой» части шатуна); £ - длина «жесткой» части шатуна, в которую включается нераскрытые при изгибы ПМВД витки; £ - радиус обоймы шатуна; г - радиус кривошипа КПМ; Л(/)=гет(О/) - текущее отклонение кривошипа от оси поршня (О - угловая скорость вращения кривошипа); Р(Л) - сила, действующая на поршень КПМ.

Принимаем, что при стационарном режиме работы ГКМ: у(г,1)=у(г); 0(г,0=0(г); Щг,()=Щг); Ы(1,1)=И(1).

Закон движения поршня кривошипа ГКМ известен:

м;г)=Р(0=Р(Л), где Л=гет(П0, г - радиус кривошипа; П=сопй -угловая скорость кривошипа.

Принимается, что при N (¿)>0 - происходит растяжение шатуна, при N(г)<0 - сжатие шатуна:

Щ^+Р';

р. = 1 + ВР/Вп \М(г)|

3 + Вр/Вп 0,5В ’

где P0 - величина предварительного поджатия витков; P * - сила взаимодействия витков вследствие изгиба шатуна. Условие раскрытия витков пружины без их размыкания относительно друг друга запишем в виде:

И^Ио,

где Ы0=0,5Р0Б - величина момента предварительного поджатия витков пружины.

Рассмотрим дифференциальное уравнение прогибов у(^) ЭС в статике, на которые заменяется ПМВД [5]:

d4 v( z) N (z)

dz4

A

1-

N ( z) A

d 2v( z)

dz2

= 0,

(1)

с зависимостями для балки Тимошенко [5]

0( г) = -у'( г)/(1 - N ( г)/Д);

М(г) = А20(г); $(г) = -а1(у,(г) -0(г))-

Дифференциальное уравнение (1) является нелинейным вследствие переменной по длине ЭС продольной силы Д^)=уаг (верхняя строчка в формуле - относится к случаю разомкнутых витков ПМВД, нижняя - к сомкнутым виткам):

Р(Д) - Po - A J(v’(z))2dz,

±Po ± P(Д)-

|M(z)|1 + Bp / Bn

0,5D 3 + Bp / B„

и следующих краевых условий закрепления шатуна:

v (0) = 0; v (/) - в (/) f = Д- r(1 - cos в(/)); в (0) = 0; M(/) + Q(/)f + N(/)R = 0. (2)

Нелинейное дифференциальное уравнение (1) с краевыми условиями (2) можно свести к рению задачи Коши:

dv

— = I

dz

de* _ dM * _ dQ *

-----= M ; -----------= Q ; = 9 ,

dz dz dz

с начальными условиями

v(0) = 0; 0*(0) = 0; М*(0) = т; $ (0) = д, (3)

где

Р(Л) + Р0

А

(1 + k) M +

A (M*)3;

+ AR (1 + 2k,)(M *)2 +

A A A

m = - M (0)(1 + k1) / A2;

q = -Q(0)(1 + k)2/ A2; A _A21 + Bp / Bn 1

Я 3 + Вр / Вп 1 + к к = (Р( Л)+Р,)/ а-

Поиск начальных условий (3) осуществлялся по схеме последовательных приближений метода Ньютона [7]:

dwL dWi

(2) m m(1) dm dq W1

(2) q q(1) 8^2 8^2 W2

dm dq

где щ1, щ2 - функции, зависящие от неизвестных начальных условий т и q и условий закрепления шатуна:

Wi(m,q) - v(l,m, q) + 0*(l, m, q)f *-A;

¥2 (m, q) - M*(l, v, q) + Q*(l, m, q)f * -MR;

f* - f/(1 + ki); Mr -

P(A) + P

A2

(1 + ki) R.

В качестве первого приближения, рассматривалась линейная постановка с допущением о постоянстве по длине ЭС продольной силы -^¿)=Р(Л)=сош^ что позволило свести уравнение (1) к линейному виду

d4 v(z) - k2 d2v(z) - 0

(4)

v(0, t) - 0; 0(0, t) - 0;

Сз^з(1, t) + C4V4(l, t) -A+0(l, t)f;

-(v"(l, t) + v'"(l, t) f/(1 + ki)) + Mr -

- 7„0'(і, t) + B0(l, t), (7)

В формулах (7) введены следующие обозначения:

м„ -а+ki)r; ki--N(l,t).

A2

Ai

Jm - Jf (i + ki).

A,

йг4 йг2

где £2=(Р(А)М)(1+Р(А)М).

Решение уравнения (4) может быть предоставлено с помощью нормальной системы фундаментальных функций ¥(і) (і =1,4) в виде [8]:

у(г) = су, (г) + С2У2 (г) + Су (г) + Су (г), (5)

где постоянные интегрирования Сі (і =1,4) получены из условия закрепления шатуна (2).

В работе [9] показано, что основное влияние на динамические нагрузки шатуна ГКМ, оказывают угловые колебания нижней обоймы шатуна КПМ ГКМ. Для учета динамических напряжений, возникающих в витках шатуна-ПМВД КПМ от угловых колебаний нижней обоймы, вместо условий закрепления шатуна (2) в статике рассматривались следующие условия закрепления шатуна:

0(0,і) = 0; у(/, і) -0(1,і)/ = Г БІп( Оі);

(6)

М (1,і) + б(/, і) / + N(1,і) Я =

= (Л, + Щ^)0(1 , і) + В0 (7, і) + Ш/Ут п2г втСО?),

где 1т - момент инерции головки шатуна относительно оси вращения кривошипа; т, /т - масса нераскрытых витков пружины, отнесенных к «жесткой» части шатуна и расстояние от центра тяжести нераскрытых витков до оси вращения кривошипа, соответственно; Вд - коэффициент демпфирования, характеризующий диссипативные силы сопротивления.

1. Считаем, что периодическое усилие на поршень Р(і) с периодом Т=2п/О - задано.

2. Прогибы упругой линии шатуна у(^,/) удовлетворяют решению дифференциального уравнения равновесия шатуна в статике (4), записанного с использованием нормальной системы фундаментных функций (5), то есть рассматривается дорезонансный режим кинематического возбуждения шатуна от кривошипа с угловой скоростью О по отношению к собственным частотам самого шатуна.

Учитывая соотношения балки Тимошенко и пренебрегая массой витков ПМВД, включенную в «жесткую» часть шатуна /т, перепишем граничные условия (6) в виде:

Учитывая соотношение:

С3 7з'(/, I) + с4 V (/, I) = -0(/, 0(1 + и

Решаем его совместно с третьим уравнением краевого условия (7), относительно постоянных С3 и С4 через Л и 0(1,1)

Сз --

0(l, t)(i + ki)- A

Ф. (t)

Ф. (t)

- V4 (l,t);

C4 -0{l,t)(i + ki)_+ _^_v/(/,t), (8)

Ф. (t)

Ф. (t)

где

в = Уз(/, і) + у (1, і) у, й = У4(1, і) + У4 ' (1, і) у Ф, (і) = у' (1, і Щ/, і) -УД і)У,' (1, і);

/ = //(1 + *,).

Подставляя полученное решение (8) в четвертое граничное условие (7), получаем уравнение угловых колебаний нижней обоймы шатуна -ПМВД в виде:

00(1, і) + В (0(1, і) 0(1, і) =

Jm Ф. (t)

--У_ |_Ж(/,0 (i + kj R + a0M

J

A

Ф(t)

(9)

где

Ф(і) = ві - й1; 0а (1, і) = (1, і) -1^4 (1, і);

І = У4 " (1, і) + V? (1, і/ 1 = Уз" (1, і) + V" (1, і)У Уравнение (9) содержит периодический коэф-

фициент при члене 0(l, t) «2(0 -

2,Л_ A2 Ф(t)

Jm ф. (t)

(10)

Считаем, что 0 (/,0«-020(/,0. Тогда, с учетом обозначений (10), можно записать:

0(l, t)

i -

Q

2 Л

Q2(t) ,

-- M

Ф. (t) |A0A (l, t)

O(t) Ф(t) _

. (11)

Правая часть уравнения (11) представляет собой статический угол поворота нижней обоймы:

XI) = -|а5а (/)

,, ф.

+ Mr -----

Ф R Ф

Таким образом, решение уравнения (11) можно представить приближенно в виде

в(1, t) = вст (I)/

1 --

Q2

ЧКО

Тогда по заданному отклонению А и найденному повороту нижней обоймы 0Ш(/) по формулам (8) находим постоянные интегрирования С3 и С4. Затем определяем изгибающий момент, действующий в сечениях ЭС

М (z, t) = - A

CV"(z, t) + C4V/( z, t)

1 + k1 '

МPj (t) =

полненных в виде ПМВД, работающих в составе малогабаритных поршневых машин [4].

Таблица. Результаты прочностного расчета шатуна - ПМВД при продольно-поперечном изгибе

Принимая, что изгибающий момент M(z,t), действующий в сечениях ЭС, равен (верхняя строчка в формуле - относится к случаю разомкнутых витков ПМВД, нижняя - к сомкнутым виткам):

M(z, t)sin(2n j) - N(z, t)Rcos 9(z, t),

M (z, t)sin(2n j) + N (z, t)(1 - cos(2n j)),

где Mpj - крутящий момент, действующий в j-м витке пружины, оценить напряженное состояние в витках ПМВД с учетом угловых колебаний нижней обоймы можно по следующей формуле:

M .-M

тj(t) = кр ш ; j = 1>2-4 ,

WP

где M0=0,5P0R - величина момента сил предварительного поджатия витков (P0 - сила предварительного поджатия витков); кр - коэффициент, учитывающий кривизну витков; Wp - полярный момент сопротивления сечения витка; ip - число рабочих витков.

В таблице представлены результаты расчетов касательных напряжений.

В расчетах учтены дополнительные динамические напряжения, возникающие вследствие вращения обоймы шатуна малогабаритной поршневой машины.

Полученные результаты хорошо согласуются с комплексом ресурсных испытаний шатунов, вы-

Параметры КПМ и значение сжимающей силы

ГКМ КВО 630: А=1'103м /о=15-103 м ¿=23'103м ß=0,304 d=1-103 м 0=Б'103м ip=8 P(t)=14,7 Н

Расчетная модель Касательные напряжения т по j-м виткам, МПа

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Линейная в статике: Л/и)=соп$1 275 225 230 205 175 140 105 65 30

Нелинейная в статике: Л(г)=уаг 115 112 109 106 104 100 97 94 90

Линейная, с учетом угловых колебаний обоймы 250 220 215 195 170 160 175 80 42

Нелинейная, с учетом угловых колебаний обоймы 112 111 110 108 106 103 97 97 95

Выводы

Приведена математическая модель шатуна кри-вошипно-ползунного механизма малогабаритных поршневых машин, выполненного в виде цилиндрической пружины с межвитковым давлением. Уравнение прогибов пружины представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с нелинейными краевыми условиями. Решение нелинейного дифференциального уравнения сводилось к задаче Коши с поиском начальных условий методом Ньютона. В качестве первого приближения рассматривалась линейная постановка задачи с допущением о постоянной продольной силы, действующей на пружину. Предложенная модель может быть использована в проектировочных и прочностных расчетах упругого привода скоростных малогабаритных поршневых машин в микрокомпрессорной и микрокриоген-ной технике.

Статья рекомендована Организационным комитетом V Международной научно-технической конференции «Современные проблемы машиностроения».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грезин А.К., Зиновьев В.С. Микрокриогенная техника. - М.: Машиностроение, 1977. - 232 с.

2. Газовая криогенная машина: авт. свид. 1101632 СССР.

№ 3752941/23-06; заявл. 15.11.83; опубл. 06.05.84 // Открытия. Изобретения, 1984. - № 25.

3. Газовая криогенная машина: авт. свид. 1508057 СССР.

№ 4321211/23-06; заявл. 27.10.87; опубл. 23.08.89 // Открытия. Изобретения, 1989. - № 34.

4. Бородин, А.В. и др. Применение пружин растяжения в приво-

де вытеснителя криогенного охладителя // Химическое и нефтяное машиностроение. - 1989. - № 5. - С. 7-8.

5. Хвингия М.В. Вибрации пружин. - М.: Машиностроение,

1969. - 288 с.

6. Губанова И.И. Устойчивость пружин с соприкасающимися витками при сжатии // Вопросы динамики и прочности. - Рига: АН ЛатвССР, 1962. - Вып. 8. - С. 52-64.

7. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1984. - 296 с.

8. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (предс.) - Т. 1. Колебания линейных систем / под ред. В.В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

9. Бородин А.В. и др. Учет динамических нагрузок в кривошипно-шатунном механизме с гибким шатуном // Химическое и нефтяное машиностроение. - 1989. - № 10. - С. 18-20.

Поступила 22.03.2011 г.