CC BY
63
УДК 629.7.05.001
Д.Л. Лисицкий, Л.А. Лисицкий АНАЛИЗ И СИНТЕЗ САУ ДВИЖУЩИХСЯ ОБЪЕКТОВ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ ПРИВОДА УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ
Рассматриваются системы автоматического управления, на органы управления объектов которых наложены ограничения по величине
и скорости отклонения. Предложены методики синтеза таких систем, позволяющие максимизировать динамическую точность системы, или минимизировать отношение ограничений по скорости и отклонению.
Автоматическое управление, ограничения по величине и скорости отклонения, синтез
D.L. Lisitsky, L.A. Lisitsky ANALYSIS AND SYNTHESIS OF ACS OF MOVING OBJECTS WITH A NONLINEAR DRIVE OF CONTROL ELEMENTS
The article discusses automatic control systems of an object which a control element has limits on amount and speed of deviation. The article presents the methods of synthesis, which allow to maximize a dynamic accuracy of the system or to minimize the ratio of the speed deviation to the control element deviation.
Automatic control systems, limits on amount and speed of deviation, synthesis
Обязательным элементом конструкции САУ подвижного объекта является привод, перемещающий управляющие органы объекта. Величина отклонения исполнительного органа привода и скорость его отклонения ограничены как конструктивными особенностями объекта управления, так и конечной мощностью привода.
С учетом этих ограничений структурную схему системы управления движущимся одномерным объектом можно представить в виде, изображенном на рис. 1, на котором использованы следующие обозначения: W(3 (s) - передаточная функция объекта
управления; WF (s) - передаточная функция регулятора; WП (s) - передаточная функция линейной части привода; НЭ-1 - нелинейное звено типа «ограничение»; НЭ-2 -нелинейное звено типа «интегратор с ограничением выходного сигнала»; Х - выходная переменная системы; Хз - заданное значение выходной переменной; U - управляющая переменная объекта.
Рис. 1. Структурная схема САУ движущимся объектом
Нелинейные звенья НЭ-1 и НЭ-2 составляют нелинейную часть системы, остальные звенья - линейную. При определенных условиях в таких системах могут возникнуть автоколебания большой амплитуды, что приводит к их неработоспособности. Для исследования условий возникновения автоколебаний использовались методы гармонической линеаризации и фазовой границы устойчивости (ФГУ) [2].
Метод ФГУ позволяет графоаналитически исследовать устойчивость гармонически линеаризованных нелинейных систем. Согласно этому методу границей устойчивости системы в области фазовой частотной характеристики линейной части является кривая, называемая ФГУ, которая строится по следующему правилу:
1) в одной системе координат строятся графики логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик (ЛАХ) и (ЛФХ) линейной части системы и графики смещенных эквивалентных логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик (ЭЛАХ) и (ЭЛФХ) нелинейной части системы, соответствующие смещенной эквивалентной частотной передаточной функции:
Ж*(А, ](6) = -1/Жи(А, ]й)), (1)
где ЖН (А, - эквивалентная частотная передаточная функция нелинейной части; А, ю,
соответственно, амплитуда и частота входного сигнала нелинейной части системы;
2) точки пересечения графика ЛАХ линейной
части с графиками смещенных ЭЛАХ нелинейной части, сносятся на графики смещенных ЭЛФХ нелинейной части, соответствующих аналогичным значениям амплитуды А входного сигнала
нелинейной части;
3) через полученные точки проводится
кривая, часть которой, лежащая левее частоты среза линейной части, является ФГУ;
4) ФГУ штрихуется сверху, если с
увеличением амплитуды входного сигнала нелинейной части графики ЭЛАХ поднимаются вверх относительно оси частот.
м Признаком неустойчивости гармонически
Рис. 2. Диаграмма устойчивости линеаризованной системы (возможности
существования автоколебаний) является пересечение ЛФХ линейной части системы и ФГУ, причем автоколебания устойчивы, если с увеличением частоты ЛФХ линейной части пересекает ФГУ, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную. Система находится на границе устойчивости, если графики ЛФХ линейной части и ФГУ бесконечно сближаются. Запас по фазе в нелинейной постановке задачи определяется как минимальное расстояние меду ЛФХ линейной части и ФГУ вдоль оси ординат.
Смещенные нормированные ЭЛАХ и ЭЛФХ нелинейной части исследуемой системы получены по методике, описанной в [1], и изображены на рис. 2 сплошными
линиями. Смещенная нормированная эквивалентная частотная передаточная функция нелинейной части системы равна
Жн (А,т) = -№/Жн (А,]Щ), (2)
где ЖН(А,]Ю) - эквивалентная частотная передаточная функция нелинейной части системы, т = тЪ2/ Ъг - нормированная частота; А = А / Ъ1 нормированная амплитуда входного сигнала нелинейной части; Ъ1 - максимальное значение модуля скорости отклонения управляющего органа; Ъ2 - максимальное значение модуля отклонения управляющего органа.
Нормировка используется для придания графикам инвариантности к величинам ограничений. Чтобы нормировка не влияла на результаты оценки устойчивости системы, для построения графиков ЛАХ и ЛФХ линейной части также должна использоваться нормированная частотная передаточная функция линейной части системы:
Ж (т=4т ж л (т, (3)
№
которая для данной системы будет определяться выражением
Жл (т) = -^ Жп (т)[1+Жр (т)Жо (т)]. (4)
т
Так как значение нормированной частоты зависит от отношения величин
ограничений Ъ2 / Ъ1, при изменении этого отношения графики нормированных ЛАХ и ЛФХ линейной части системы будут перемещаться параллельно себе вдоль оси частот.
С использованием передаточной функции (4) и правила нормировки проведен анализ влияния степени астатизма линейной части системы и ограничений Ъ2 , Ъ1 на взаимное положение графиков ЛАХ и ЛФХ линейной части и графиков ЭЛАХ и ЭЛФХ нелинейной части, а соответственно, на устойчивость гармонически линеаризованной
замкнутой системы. При этом предполагалось, что линейная часть системы
минимальнофазовая и система в линейной постановке задачи устойчивая. В результате анализа установлено:
1) если линейная часть системы статична, то рассматриваемые нелинейности не влияют на устойчивость замкнутой системы, так как график ЛФХ линейной части не опускается ниже уровня -180 град. и не может пересечь ФГУ;
2) если линейная часть системы обладает астатизмом второго и более высоких порядков, то замкнутая система при больших отклонениях от положения равновесия будет неустойчивой или находиться на границе устойчивости, так как ЛФХ линейной части будет пересекать ФГУ или соприкасаться с ней;
3) если линейная часть системы обладает астатизмом первого порядка, то замкнутая система может быть как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от свойств линейной части и отношения величин ограничений Ъ2 / Ъ1; далее рассматриваются только системы, у которых линейная часть обладает астатизмом первого порядка;
4) если нормированная частота среза линейной части системы тср < 1,5, то ФГУ совпадает с одним из графиков смещенной нормированной ЭЛФХ и при изменении отношения ограничений Ъ2 / Ъ1 перемещается вдоль оси частот вместе с графиками ЛАХ и ЛФХ линейной части таким образом, что запас устойчивости системы в нелинейной постановке задачи остается неизменным;
5) если тср > 1,5, то ФГУ совпадает с графиком ЭЛФХ для А > 1,5, который
фактически является границей смещения нормированных ЛАХ и ЛФХ линейной части в высокочастотную область; в этом случае при увеличении отношения ограничений Ъ2 / Ъ1 или при увеличении полосы пропускания линейной части системы запас устойчивости снижается,
а при уменьшении этого отношения или при уменьшении полосы пропускания линейной части - увеличивается.
Проведенный анализ позволил предложить методику синтеза рассматриваемого класса нелинейных систем. При синтезе САУ необходимо исходить из того, что ограничения оказывают влияние на динамику системы только при достаточно больших отклонениях объекта от положения равновесия, а при малых отклонениях система работает как линейная. Оба режима работы - при малых и больших отклонениях - являются вполне равноправными. Поэтому вполне логичным представляется синтез САУ, исходя из условий обеспечения заданного качества регулирования при малых отклонениях в линейной постановке задачи, с последующей проверкой влияния ограничений на запас устойчивости системы в нелинейной постановке задачи. Разумным будет также требование обеспечения запаса по фазе в системе в нелинейной постановке задачи не менее запаса по фазе в линейной постановке или не менее 60о.
Перед разработчиком САУ подвижного объекта часто возникает задача выбора ее параметров таким образом, чтобы объект отслеживал входные воздействия с возможно большей динамической точностью и минимизировалось отношение ограничений Ъ1 / Ъ2, так как при этом минимизируются вес, габариты, энергопотребление и стоимость привода. При заданной структуре регулятора, которая обычно обусловлена возможностью получения информации о координатах объекта, эта задача фактически сводится к синтезу такого регулятора, при котором ЛАХ и ЛФХ линейной части системы находятся в области максимально возможно высоких нормированных частот, и при этом обеспечивается приемлемое качество регулирования. Перечисленные выше требования удовлетворяются, если система имеет приемлемое качество регулирования в линейной постановке задачи, ее ФГУ совпадает с графиком смещенной эквивалентной ЛФХ нелинейной части системы для А > 1,5, а запас по фазе в нелинейной постановке не меньше запаса по фазе в линейной постановке задачи или не менее 60о.
Возможны два варианта постановки задачи синтеза.
1. Если требования к качеству работы системы в линейной постановке задачи известны и требуется определить величины ограничений, то в процессе синтеза должно минимизироваться отношение Ъ1 / Ъ2. Задача может решаться в следующей последовательности:
1) определяются параметры регулятора в линейной постановке задачи, исходя из требований к качеству регулирования, некоторым известным методом;
2) задаваясь произвольной величиной отношения ограничений (например, (Ъ1 / Ъ2) Н = 1 ), строятся графики нормированных ЛАХ и ЛФХ линейной части на графиках смещенных нормированных ЭЛАХ и ЭЛФХ нелинейной части, и фиксируется нормированная частота среза (тСр 1);
3) графики нормированных ЛАХ и ЛФХ линейной части перемещаются параллельно себе вдоль оси частот таким образом, чтобы график нормированной ЛФХ линейной части системы не пересекал графика смещенной нормированной ЭЛФХ нелинейной части для А > 1,5 , а минимальное расстояние между ними было равно 60о или запасу по фазе в линейной постановке задачи, и фиксируют новое значение нормированной частоты среза линейной части системы (тср 2 );
4) вычисляется минимально допустимая величина отношения ограничений по формуле
(Ъ1/Ъ2)шт = (Ъ1/Ъ2)Н тср 1/тср 2 ; (5)
5) задавшись, например, из конструктивных соображений, величиной одного из ограничений, по отношению (Ъ1 / Ъ2)шЬ определяется второе ограничение.
2. Заданы ограничения, накладываемые на скорость и отклонение управляющего органа объекта. Необходимо определить параметры регулятора, обеспечивающего наряду с максимальной возможной полосой пропускания линейной части системы приемлемое качество регулирования при работе привода как линейного элемента.
Так как ширина полосы пропускания определяется частотой среза, а при фиксированных ограничениях максимальная частота среза линейной части САУ достигается при максимизации нормированной частоты среза смещенной линейной части САУ, задача сводится к синтезу такого регулятора, при котором смещенные ЛАХ и ЛФХ линейной части системы находятся в области максимально возможно высоких (с точки зрения устойчивости нелинейной системы) нормированных частот и при этом обеспечивается приемлемое качество регулирования при работе привода как линейного элемента. Далее, учитывая, что при нормированной частоте среза линейной части САУ тср = 1,5 смещенная ЛФХ линейной части системы занимает положение близкое к ср
оптимальному, задача может решаться методом последовательного приближения:
1) выбирая частоту среза линейной части САУ по формуле
т = 1,5Ъ / Ъ2, (6)
и, задаваясь остальными требованиями к качеству регулирования САУ в линейной постановке задачи, осуществляется синтез регулятора в линейной постановке задачи известным методом;
2) строятся графики смещенных ЛАХ и ЛФХ линейной части САУ на графиках смещенных ЭЛАХ и ЭЛФХ нелинейной части САУ и определяется ФГУ;
3) если ФГУ находится левее графика смещенной ЭЛФХ для А > 1,5 или запас по фазе больше 60о, то требования к качеству регулирования в линейной постановке задачи корректируются в сторону увеличения быстродействия и процесс синтеза повторяется;
4) если ФГУ совпадает с графиком смещенной ЭЛФХ для А > 1,5 , но запас по фазе меньше 60о, то требования к качеству регулирования в линейной постановке задачи корректируется для уменьшения быстродействия и процесс синтеза повторяется;
5) процесс синтеза повторяется до тех пор, пока ФГУ не совпадет с графиком смещенной ЭЛФХ нелинейной части для А > 1,5 , а запас по фазе не будет равен 60о.
Опыт показал, что с достаточной для практических целей точностью вторая задача синтеза может быть решена за 2 - 3 итерации.
Эффективность предлагаемой методики синтеза иллюстрируется на примере САУ вертикальным движения центра масс вертолета, которое описывается уравнением [3]
Н = ¥'% + У>, (7)
где Н - вариация высоты полета; Уу - вариация вертикальной скорости; ф - вариация отклонения управляющего органа общего шага несущего винта;
Уу =-0,62 с-1; УУ = 74 м/(с2 • рад) - постоянные коэффициенты. Передаточная функция
линейной части привода выбрана равной ЖП (^) = кП = 20.
Регулятор, обеспечивающий замкнутой системе в линейной постановке задачи время переходного процесса 1р = 1с, перерегулирование 6 %, коэффициент передачи
замкнутой системы к З = 1, выберем в традиционном виде [3]:
ср = 1Н (Н3 - Н ) + 1у¥у , (8)
где 1Н = -0,048, 1У = -0,12 - постоянные коэффициенты, значения которых
определялись методом модального управления; Н3 - заданная высота полета.
Нормированная частотная передаточная функция линейной части системы будет равна
Жл (т) = кп[То(т)2 + (кокртр +1)(т) + кокр]/((т)2(то (т) + О! (9)
где кО = -УФ /У¥ = 119,15(м • с)/рад - коэффициент передачи объекта; ТО = 1/(-У¥) = 1,61 с - постоянная времени объекта; кр = 1Н - коэффициент передачи регулятора; Тр = / 1Н - постоянная времени регулятора.
Определим минимальную величину отношения ограничений. Графики нормированных ЛАХ и ЛФХ линейной части при (Ъ1 / Ъ2)Н = 1 приведены на рис. 2 (пунктирный график 1). Построив ФГУ, из графиков рис. 2 видно, что график нормированной ЛФХ линейной части системы пересекает ФГУ дважды: в точке на
частоте т*, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную (колебания
»_» ч »_» --** »_»
устойчивы), и в точке с частотой со , переходя с незаштрихованной стороны на заштрихованную (колебания неустойчивы). Так как точка с частотой ю соответствует колебаниям с большей амплитудой, в системе будут существовать устойчивые автоколебания с частотой со* = о*(Ъ1 /Ъ2)Н = 1,11/с , что подтверждается математическим моделированием (рис. 3).
Зафиксируем нормированную частоту среза в первом положении графиков ЛАХ и ЛФХ (тср 1 = 20). Переместим нормированные графики ЛАХ и ЛФХ параллельно себе
влево таким образом, чтобы запас по фазе в системе в нелинейной постановке задачи был равен 60о (рис. 3, графики пунктиром с индексом 2). Зафиксируем новую частоту среза линейной части системы тср 2 = 4 . По формуле (5) определим минимальную допустимую величину отношения ограничений, наложенных на управление
(Ъ1 /Ъ2)шт = (Ъ1 /Ъ2)Н • °ср 1/°ср 2 = 20/4 = 5 • (10)
Выберем максимальное отклонение управляющего органа объекта из конструктивных соображений фшах = 0,1 рад. Тогда минимально допустимая максимальная скорость отклонения управляющего органа будет равна
фшах = (Ъ1 / Ъ2 )шт • Фшах = 0,5 рад/с. (15)
Проверка результатов синтеза проводилась математическим моделированием при большом входном воздействии. Для оценки эффективности предложенной методики моделирование проводилось не только при выбранной величине фшах, но в два и пять раз меньшей (фшах = 0,25 рад/с, фшах = 0,1 рад/с), и в 2000 раз большей (фшах = 1000 рад/с). Результаты моделирования приведены на рис. 3, из которых следует, что в нелинейной постановке задачи при выбранном отношении величин ограничений перерегулирование практически не превышает перерегулирование в линейной системе (соответственно, 7,2 и 6%). При фшах = 1000 рад/с перерегулирование незначительно уменьшается до 4,3%. При
уменьшении максимальной скорости в два раза по сравнению с выбранной перерегулирование увеличивается почти в четыре раза и достигает 26%, а при уменьшении максимальной скорости в четыре раза система становится неустойчивой.
Кроме того, исследовалось влияние изменения полосы пропускания линейной части системы на динамику замкнутой нелинейной системы. Для этого параметры регулятора выбирались таким образом, что время регулирования системы в линейной постановке задачи уменьшалось в два и четыре раза по сравнению с первоначально выбранным ( tр = 0,5 с, tр = 0,25 с ) при сохранении перерегулирования 6%. Результаты
моделирования приведены на рис. 4, из которых следует, что при уменьшении времени регулирования в два раза перерегулирование возрастает более чем в четыре раза до 32%, а при уменьшении времени регулирования в четыре раза система становится неустойчивой.
УФтаГ0 > 1 РВД'С
^6,25Ъад/с
/1 А.Фт^°Лад/с
\ ! ф,П!^ 1 оЬПрад/с \ :
0м =1с
О -----------'----------1-----------*----------!-----------
О 2 4 6 8 10
Время, с
Рис. 3. Графики переходных процессов
^ £р—о. > с
' / £р=1 с ЧР=0,25 с
Н3 =10 м Фтах=0,1:рад Фтах=0’5!Рад/с
Время, с
Рис. 4. Графики переходных процессов
Таким образом, из результатов моделирования следует, что предлагаемые методики анализа и синтеза позволяют эффективно и точно определять минимально допустимую величину отношения ограничений при заданном быстродействии системы в линейной постановке задачи и максимально достижимое быстродействие, и, соответственно, и динамическую точность системы при заданном отношении величин ограничений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лисицкий Д. Л. Гармоническая линеаризация сложных динамических нелинейных звеньев / Д.Л. Лисицкий // Математические методы в технике и технологиях : сб. тр. ХХШ Междунар. науч. конф. Т.10. Саратов: СГТУ, 2010. С. 135-138.
2. Рабинович Л.В. Проектирование следящих систем / Л.В. Рабинович, Б.И. Петров, В.Г. Терсков. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.
3. Кожевников В.А. Системы автоматического управления полетом вертолета / В.А. Кожевников. М.: Машиностроение, 1974. 196 с.
Лисицкий Денис Леонтьевич -аспирант кафедры «Системы искусственного интеллекта» Саратовского государственного технического университета
Лисицкий Леонтий Анатольевич -кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 01.11.10, принята к опубликованию 15.11.10
