Анализ и синтез фрактальных диаграмм направленности антенн Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Анализ и синтез фрактальных диаграмм направленности антенн

А. Н. Боголюбов, A.A. Кобликов0, Н. Е. Шапкина

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected]

Статья поступила 03.06.2009, подписана в печать 06.07.2009

Рассмотрена проблема синтеза фрактальных диаграмм направленности антенн (ДНА). Решена задача синтеза фрактальных ДНА для двух классов антенн (дискретных и линейных) в одномерном и двумерном случае. На основе теории фрактального синтеза созданы новые режимы с новыми свойствами во фрактальной электродинамике. Синтез фрактальных диаграмм направленности проведен с помощью функции Вейерштрасса.

Ключевые слова: фрактальная электродинамика, фрактальная диаграмма направленности антенн, синтез диаграмм направленности антенн.

УДК: 621.396.67 + 537.8 + 53.072 + 515.1. PACS: 02.60.Cb, 41.20.Jb.

Введение

В работе рассматривается решение задачи синтеза фрактальных диаграмм направленности антенн (ДНА). Эта задача относится к фрактальной электродинамике, которая оформилась как научная дисциплина в 1990-е гг. и соединила теорию фракталов с теорией электромагнетизма [1, 2]. В основе теории фрактального синтеза заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на различных масштабах, что отличает данный метод от традиционного, где синтезируются гладкие диаграммы направленности антенны.

Синтез фрактальных ДНА проводится с помощью

оо

функции Вейерштрасса f(x) = rfD^2)ng{r]nx), непре-

tt— i

рывной, не дифференцируемой и фрактальной на всех масштабах, где D = -\nN/\n г — модифицированная фрактальная размерность 1<D<2; N — число элементов в одной подрешетке; г = ri/r2, г\ — среднее расстояние между элементами подрешетки (генератора), г2 — среднее расстояние между элементами случайного возбудителя; параметр г) > 1; g — ограниченная периодическая функция. Анализ синтезированных ДНА показывает, что при помощи трех переменных (распределения излучателей по пространству, амплитуды и фазы тока возбуждения решетки) можно управлять ДНА.

Синтез фрактальных ДНА дает возможность создания новых режимов во фрактальной электродинамике и получения принципиально новых свойств. Спектр применения фрактальных антенн весьма широк: телекоммуникации, нелинейная радиолокация, системы поиска, определение местоположения источников радиоизлучения и др. [3]. Например, размещение фрактальных элементов на корпусе объекта может существенно исказить радиолокационный портрет.

1. Симметричные антенные решетки (дискретный набор излучателей)

Рассмотрим симметричную антенную решетку из 2N элементов с указанным распределением тока возбуждения (рис. 1 ,а).

Множитель решетки для нее запишем в следующем виде:

n

¡(в) = 2 соз(М„ соэ 6> + ап), (1)

п=1

где к = 2тг/Х — волновое число; /„, ап — амплитуда и фаза тока возбуждения; йп — расстояние между соседними излучателями; в — угол наблюдения.

Предположим, что множитель решетки с бесконечным числом излучателей выражается через обобщенную функцию Вейерштрасса, которая обладает свойством самоподобия в бесконечном диапазоне масштабов. Заметим, что физически реализуемые решетки состоят из конечного числа элементов, поэтому получаем, что

n

¡{и) = 2^^2)п^Ыи + ап), (2)

п=1

где а — некоторая постоянная.

Выражение (2) представляет собой множитель решетки из 2Ы излучателей с амплитудами и фазами:

1а = 4°~2 )п> Ьйп = ау]п при и = соэ0. (3)

Функция (2) есть диапазонно ограниченная функция Вейерштрасса, а результирующая ДНА является фракталом в конечном диапазоне масштабов с нижней границей 2%/{аг]м), и при увеличении N диаграмма направленности становится более детализированной. Максимальное значение (2) определяется выбором фазы для тока возбуждения ап = -аг)пио при ио = соэво, а сам ряд представляет собой геометрическую прогрессию, что позволяет подсчитать нормализованный множитель решетки и нормализованную амплитуду

1ые]а» 12е]а> 1хе

К точке наблюдения

1хг3^ 1ме]а"

gЛГ(м)

-1.0

-0.5

0.5 и 1.0

ёИ(и)

-1.0

-0.5

0

0.5 и 1.0

Рис. 1. а — Симметричная антенная решетка из 2Ы элементов с указанным распределением тока возбуждения; б, в — нормализованные множители для 10- и 100-элементной решетки Вейерштрасса при т = 0.5А, г}= 1.52 при разных фрактальных размерностях (0= 1.1, £) = 1.5)

возоуждающего тока:

n

{0-2)Ы\

г'« сов(а?/га + а„),

п=1

(4)

где 1п — .

Из (4) и (3), получаем, что фрактальная размерность диаграммы направленности может контролироваться распределением тока по решетке.

Расстояние между любыми двумя соседними излучателями решетки оценивается соотношением йп+\ — йп — а1г~1(г] — \)т]п при я = 1,2,..., Л/ — 1, а так

как т] > 1, то г]" > 7] при п > 1. Получаем, что

й„+\ - й„ > й2 - й\, п =1,2.....Л/ —1. (5)

Теперь введем параметр г — ограничивающий фактор для минимального расстояния между двумя последовательными излучателями решетки. Существует два возможных случая:

первый случай: — й\ — т и й\ ^ г/2,

второй случай: й2 — й\ ^ г и <1\— г/2.

Из неравенства (5) следует, что при выполнении (6) пространственный разнос между всеми другими парами последовательных излучателей решетки будет всегда удовлетворять критерию минимального расстояния т.

(6)

Выражение для коэффициента а как функции т и г) получается из (3) и (6):

а = kT(r¡(r¡ — I)) , 1<г]^3,

a = kr(2r))~l, »7>3.

(7)

G(u0) =

2/|(«о)

где

n n

/К") = 4 Е1>'

J §(u)du

-1

,(£>—2)(т+я) рпоГ/тэт"1

cos(aj7mu+am) cos(aj7nu+a„).

m=lя=1

По мере уменьшения D главный лепесток диаграммы направленности расширяется, а соответствующие значения G(u0) уменьшаются.

Аналогичным образом рассмотрим симметричную антенную решетку из 2N х 2М элементов с указанным распределением тока возбуждения (рис. 2, а). Для нее получаем следующие соотношения для множителя решетки:

n м

f(uuu2) = 4 Е E»?(¿^2)(p+í) cosMuí + a2rfü2 + apq\,

p= 1 q= 1

(9)

для нормализованной амплитуды возбуждающего тока

Ipq — П ,

для нормализованного множителя решетки

(10)

n м

х 12 12 1РЧ C0S[ai+ a2»f «2 + аРЧ]

р= 1 4=1

(П)

для амплитуды и фазы тока возбуждения и расстояния между соседними излучателями

Параметр г} управляет сходимостью выражения для коэффициента решетки Вейерштрасса. Чем ближе г) к единице, тем больше излучателей требуется для данной решетки, а пространственный разнос между последовательными элементами решетки уменьшается. Также отметим, что амплитуда и фазы тока возбуждения, а также пространственные размещения излучателей могут быть определены итерационным алгоритмом:

= ь 11=г)ф^2), ап=г)ап-х, ах = ^ат]Щ,

(1п = г)(1п^ь й\=аф-1, где п = 2,3,...,Ы. (8)

Например, рассматривается решетка Вейерштрасса с т = А/2. Тогда из (7) при а = 4 следует, что г)= 1.52. Эти значения используются в (8) для определения пространственного разноса излучателей решетки. На рис. 1,6, в показаны синтезированные множители решеток с 10 и 100 излучателями при фрактальном распределении тока возбуждения с О =1.1 (б), О = 1.5 (в). Заметим, что с повышением О характеристики излучения приобретают все более сложный вид. Таким образом, фрактальная размерность О управляет распределением тока по решетке, а высокая степень спада амплитуды тока возбуждения необходима для синтеза диаграмм направленности с более низкой фрактальной размерностью.

Далее введем понятие коэффициента направленного действия решетки Вейерштрасса:

I — n(D-2)(p+q) ¡pq — Ч >

Mp2q = а1,2 rf

(12)

при 1А1=С0$вС0$ф, 1Л2 = СО?,6$тф.

Все соотношения получены путем обобщения результатов для одномерного случая.

Исходя из формул (9)—(12) можно сделать ряд выводов: 1) выражение (9) есть диапазонно ограниченная функция Вейерштрасса, а результирующая ДНА является фракталом в конечном диапазоне масштабов с нижней границей тах{(2тг/а1Г]ы); (2тг/й1Г]м)}; 2) ДНА становится более детализированной при увеличении N и М; 3) фрактальная размерность диаграммы направленности может контролироваться распределением тока по решетке; 4) пространственный разнос между всеми парами последовательных излучателей решетки будет удовлетворять критерию минимального расстояния т, а выражение для коэффициента а как функции т и г] получается путем замены а на а\$ в формуле (7); 5) параметр г) управляет сходимостью выражения для коэффициента двумерной решетки Вейерштрасса аналогично одномерному случаю; 6) амплитуда 1РЧ и фазы арч тока возбуждения, а также пространственные размещения излучателей могут быть определены итерационным алгоритмом.

На рис. 2, б, в показаны синтезированные множители решеток с 10 х 10 и 100 х 100 излучателями при фрактальном распределении тока возбуждения с £> = 1.5.

Коэффициент направленного действия двумерной решетки Вейерштрасса определим по формуле

G(ut4) = 2§M(ut4)

i i

Ínm(ui'ui) dui du2

-i -i

тогда из (9) получаем, что

n м

(D—2)(p+p'+q+qr)

/|M(ubu2) = 8 Е Е т

р,р' = 1 q,q' = 1

х (cos(ap+ap,) cos(a^a^,) + cos(ap^ap,) cos(a^ + a^,)),

(13)

где a¿;2 ± alp?q, = ah2(rf-<i ± rf'-t'){ult2 - u°2).

Интегрирование (13) дает следующий результат:

i i

-i -i

ínm(ui ' ui) dui du2 =

n m

= 8 12 12 r,iD^)iP+P'+q+q,)^PP'qq'(a 1,2, »?,«?,2)> p,p' = 1 q,q' = 1

что позволяет записать

G(ul4) = Ji

(í_r¡U>-2))2

(1 - r}(D^2'¡N)(l - íj(0-2)M)

К точке наблюдения

I етм г I Р'"-"

I ё"

I ет< I е"

Лив"

ив"

т ¿А* , ф [ ек #................0.............• .....

I т» у р'°!| I ¿'°

I

I - „/»о» 1--«'"« .0*»®........ф'

I .-¿"Ля г ..-¿Яж

1 тч 1

-1.0 -1.0 _0-5

-1.0 _1.о _0-5

Рис. 2. а — Симметричная антенная решетка из 2Ы х 2Ы элементов с указанным распределением тока возбуждения; б, в — нормализованные множители для решетки Вейерштрасса 10 х 10 и 100 х 100 элементов при г = 0.5Л, г/= 1.52 при фрактальной размерности /5= 1.5

n м

р,Р>=1 <1,11'=1

где

1 1

(соз(а^ + ар,) соэ(а^ - а2,) +

Частный случай при О = 2 соответствует решетке с однородным распределением тока возбуждения, и для него коэффициент направленного действия равен

в (и", иI) = 2Ы2М2

n м

Е Е Арр'от'(«1,2. 2)

1Р,Р'=1 </,<?'=1

-1

Анализируя выражение для коэффициента направ-+ соэ(а^ — а1р,) соэ(а^ + а2,)) йщ йщ. ленного действия как функции О, получаем, что по

мере уменьшения В главный лепесток диаграммы направленности расширяется, а соответствующие значения С(и®, и®) уменьшаются.

2. Непрерывные излучающие системы

В этом разделе рассмотрим длинную линейную излучающую систему длиной Ь с непрерывным изменением тока 1(г) (рис. 3, а). Для линейного источника бесконечной длины характеристики излучения Р(и) и распределение тока 1(г) связаны парой преобразований Фурье:

+оо

F(u) =

I(s) exp(i27TUs) ds,

I(s) =

F(u) exp(-i27TUs) du,

(14)

где 5 = ,г/Л, и = cos в.

Фрактальная функция строится с применением рекурсивных алгоритмов с подходящей генераторной функцией. Допустим, что ДНА линейного источника бесконечной длины может быть представлена диапазон-но ограниченной обобщенной функцией Вейерштрасса в виде

n

F{u) = ^r]{D-2)ng{rfu)

(15)

п=О

с периодической и четной генераторной функцией g(u),

оо

которая представима в виде g(u) = ^ + Y^ ат cos(m7m)

т= 1

а

К точке наблюдения

-1.0 -0.5

0.5 и 1.0 -1.0 -0.5

0.5 и 1.0

1.0

0.5

II

Т1 = 2

N= 30

1 1 1 1 |

-20

-10

0

10 ^ 20

Рис. 3. а — Геометрия непрерывной линейной излучающей системы длиной Ь, расположенной вдоль оси г; б — синтезированные диаграммы направленности с заданными значениями Б; в — нормированные

распределения тока ¿(5)

с Фурье-коэффициентами ряда

а,п 2

g(u) cos(mTTu) du.

de)

Подставив (16) в (15), получим выражение для ДНА:

оо N-1

^2 ^2 2)П

т=0п=0

Не теряя общности, произведем замену и на (и-\- 1). В результате имеем

Пи) = у _ 1 +

ГА/— 1

Ea-j E^(D"2)"C0S(m7r??n(" + 1))I' (17) - 1) cos(m7ru) du,

m=0 ^ я=0 1

2

где г] > 1 и 1 < I) < 2.

Выражение (17) представляет разложение Фурье фрактальной диаграммы направленности Р(и) в базисе диапазонно ограниченных косинусоидальных функций Вейерштрасса. Данное представление называется разложением Фурье-Вейерштрасса [4]. Распределение тока возбуждения линейного источника бесконечной длины, требуемое для получения заданной диаграммы направленности, получаем из (14) и (17):

(D-2)N _ y

оо N-1

Ф-2) _

— Sinc(27T5) + ^2 атТ1

(D-2)n

I(s) = a0

rjv^ w — I

m=1 n=0

X {elmmf sinc(27rs - тщп) + e-'W sinc(2vrs + rmrrf)}. Для источника конечной длины имеем

7(s) = /(s), |s|sCL/2A, 7(s) = 0, |s| > L/2A.

(18)

Соответствующие выражения для синтезированных фрактальных ДНА F(u) линейной излучающей системы длиной L находятся с помощью (11) и (18). При этом lim F(u) = F(u).

L—too

Теперь рассмотрим процедуру синтеза линейного источника излучения с генераторной обобщенной функцией вида g(0) = 1 - |cos0|, 0 ^ которая преобразуется в треугольную функцию g(u) = \-\u\, Коэффициенты Фурье ат с использованием (17) записываются в виде уравнений: clq = 1,

а2т+\ = — (2/(ттг)) , a2m+2=0, т = 0, 1, 2,..., оо. После подстановки полученных выражений в (17) при г] = 2 получаем ДНА линейной фрактальной излучающей системы с размерностью D, которая создана данным рекурсивным алгоритмом:

F(u) = \

2(D-2)N + 2(D-2) _ 2

2(D-2) _ I 00 N~] 2^-2)я+1

- и -

т=1 п=1

^(=Ь1)=0, /7(0) = 1. (19)

Из уравнения (19) следует, что при N = 1 диаграмма редуцируется до g(u) = \ — \и\. Для ДНА вида (19) нормализованное распределение тока возбуждения ¿(б) равно

Ks) = ^ = t[S) 1(0)

2(D-2)N _ 2(Д-2)

2(D-2)N _ I

Sinc(27T5) •

2(D-2) _ J

SinC^(7T5) - ( — j

2 г 2(d-2) _ \

2(D-2)N _ 1

2(D-2)N _ 1

oo N-1

m=l я= 1

X {sinc[27rs - (2m - 1)2лтг] + sinews + (2m - 1)2лтг]}.

(20)

Заметим, что, за исключением краевого эффекта, функция sine самоподобна с коэффициентом подобия, равным двум.

Распределение тока линейного источника (20) используется для синтеза ДНА с желаемой фрактальной размерностью, базирующейся на треугольной генераторной функции. Примеры нормализованных диаграмм направленности F(u) и нормализованные распределения токов i(s) линейных источников с заданными значениями D, 77, N приведены на рис. 3, б, в. Отметим что при возрастании D возникает увеличение неоднородности диаграмм направленности. Для линейного источника конечной длины L распределение тока будет представлять собой конечную сумму согласно (18).

Рис. 4. Первые шесть стадий N = 1-6 в синтезе фрактальных диаграмм направленности при В =1.7

И 71=2

Ы'Ы'Ы Ы I Ы I М М I I М М I I I I I I М I I I I I I ♦

Геометрия фрактальной решетки

Рис. 5. Геометрия фрактальной решетки Фурье-Вейерштрасса и ее нормализованная синтезированная диаграмма направленности с В= 1.7, г] = 2, N = 4, М = 5 и треугольной генераторной функцией

Рассмотрим g(u) = sin2 в, О^в^п, которая преобразуется к виду

g(u)=\-u2, (21)

Используя формулы (17) и (21), получим требуемые коэффициенты для преобразования Фурье-Вейерштрасса: üq = 4/3, am = — {2/{-кт))2, тф 0.

На рис. 4 показаны первые 6 стадий синтеза фрактальных диаграмм направленности на основе преобразования Фурье-Вейерштрасса для формы (21).

Переходя к диапазонно ограниченным решеткам Фурье-Вейерштрасса, запишем (17) в виде

оо n-1

F(u) =I0 + 2^2^2lmn eos (kdmnu + OLmn),

(22)

m=1 n=0

где /0 = (а0/2)/(1 - - т/^)-1, 1тп =

= (ат/2)г]{° т, кйтп = тгтг]п, атп = тгтг]п.

Коэффициенты разложения ат, соответствующие особенностям порождающих генераторных функций, могут быть получены из (17). Соотношение (22) представляет множитель дискретной решетки Фурье-Вейерштрасса с бесконечным числом элементов. Двойное суммирование в (22) можно интерпретировать как суперпозицию парциальных диаграмм направленности N решеток, состоящих из М излучателей. Представление для множителя решетки с конечным числом излучателей получается путем перевода внешней суммы к конечной сумме в (22) с переменной порядка суммирования.

Непосредственно из равенства Ытя = тгтг]п следует, что расположение каждого из М излучателей подчиняется следующему уравнению: Ап = йт+ \А — йтА = = г]пХ/2, п = 0, 1, 2,... ,Л/ — 1, которое удовлетворяет рекуррентному соотношению Ап+\ = г]пАп, До = Л/2. Соответствующие рекуррентные соотношения для амплитуд токов возбуждения и фаз имеют вид 1тА+\ =

= Г]{° 2)1 тп, атл+1 = Г]атп, /т,о = ат/2, ат,0 = тгт.

Амплитуда нормализованного тока возбуждения ¿о = 1 > 1тп = - 1 - г^-2^)"1.

Например, при синтезе фрактальной решетки Фурье-Вейерштрасса с диаграммой направленности, основанной на треугольной генераторной функции с г] = 2, амплитуды токов возбуждения, фазы и расстояния между соседними излучателями имеют следующий вид: атп = тг(2т— 1)2Я, йтп =

= Л(2т - 1)2я-!, /0 = (1/2)(1 - 2<Я-2>")(1 - ,

1тп = (-2/тг2)(2^-2)я)(2т- I)-2. На рис. 5 показана геометрия фрактальной решетки Фурье-Вейерштрасса и ее синтезированная ДНА при г\ = 2, N = 4, М = Ъ, Б= 1.7.

На примере одномерного случая были рассмотрены основные тенденции. Результаты для двумерного случая получаются путем обобщения результатов одномерного.

Заключение

Проведенные исследования показали, что использование фрактальных антенн позволяет создавать новые режимы с принципиально новыми свойствами, улучшая эксплуатационные характеристики подобных устройств и открывая тем самым обширную область для применения такого рода антенн. В настоящее время именно математическое моделирование является одним из основных методов исследования подобных структур, позволяющих априори установить их оптимальные параметры.

Авторы выражают благодарность доктору физико-математических наук, главный научному сотруднику ИРЭ РАН, профессору А. А. Потапову.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-01-00408).

Список литературы

1. Jaggard D.L. // Symmetry in Electrodynamics / Ed. by C. Baum, H.N. Kritikos. London: Taylor & Francis, 1995.

2. Боголюбов A.H., Кобликов А.А., Петухов А.А., Шапки-на H.E. II Девятая международная научно-техническая

конференция «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций». Казань, 2008. С. 381.

3. New fractal antennas for compact and versatile telecommunication services // Microwave. 2000. 43, N 1. P. 196.

4. Werner D.H., Werner P. L. 11 Radio Sei. 1995. 30, N 1. P. 29.

Analysis and synthesis of fractal antenna radiation pattern A.N. Bogolyubov, A.A. Koblikov0, N.E. Shapkina

Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia.

E-mail: a [email protected]

The problem of fractal antenna radiation pattern synthesis is analyzed. The problem is solved for one-dimensional and two-dimensional cases. The theory of fractal synthesis is applied to create new modes with new properties in fractal electrodynamics. Fractal radiation pattern synthesis is provided using Weierstrass function.

Keywords: fractal electrodynamics, fractal antenna radiation pattern, synthesis of fractal antenna radiation pattern. PACS: 02.60.Cb, 41.20.Jb. Received 3 June 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2009).

Сведения об авторах

1. Боголюбов Александр Николаевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: [email protected].

2. Кобликов Артем Александрович — аспирант, e-mail: [email protected].

3. Шапкина Наталья Евгеньевна — канд. физ.-мат. наук, доцент, тел.: (495) 939-10-33, e-mail: [email protected].