Анализ и исследование динамических систем грузоподъемных кранов методом компьютерного моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

портных машин / А.Л. Лхтулон. // Вестник Сибирской государственной автомобнльнодорожной академии (СнбАДИ). - Омск : Издательский дом «ЛЕО». 2005. - Вып.З. - С. M-29.

3. Клиначев Н.В. Введение в технологию моделирования на основе направленных графов. - Челябинск. 2003. Website: htlp:/ www.vissim.nm.ru

•t. Полозов U.C Автоматизированное проектирование. Геометрические и графические мдачн / B.C. Полозов. О.А Пудеиов, СИ. Ротков. Л.В. Широкова - М. : Машнносгроенне, 1983. -280 с.

АХТУЛОВ Алексей Леонидович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой управле-

ния качеством и сертификации Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ).

КИРАСИРОВ Олег Михайлович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии машиностроения и ремонта машин Омского государственного аграрного университета. КОМЕРЗАН Евгений Владиславович, аспирант кафедры управления качеством и сертификации СибАДИ.

Статья поступила в редакцию 10.09.08 г. © А. Л. Лхтулов, О. М. Кирасиров, Е. В. Комсрзан

Ь

УДК 621.87 Р. Ю. СУХАРЕВ

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

МЕТОДИКА ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ РАБОЧЕГО ОРГАНА ЦЕПНОГО ТРАНШЕЙНОГО ЭКСКАВАТОРА_

Предложена методика, состоящая из двух этапов: условной и безусловной оптимизации, которая базируется на функциональных зависимостях среднеквадратического отклонения вертикальной координаты дна траншеи от ширины зоны нечувствительности порогового элемента системы управления и подачи гидронасоса, полученных в результате решения задачи анализа математической модели рабочего процесса цепного траншейного экскаватора. Применение данной методики позволит повысить эффективность использования цепных траншейных экскаваторов при выполнении земляных работ.

Оптимизации параметров системы управления (СУ), т.е. нахождение оптимального решения, соответствующего критерию эффективности, произведено путем сопоставления различных вариантов СУ. Такое сопоставление стало возможным благодаря применению аппарата математического моделирования. Сравнение производилось в ходе теоретических исследований на ПЭВМ разработанной математической модели СУ, в результате было определено оптимальное решение, соответствующее принятому критерию эффективности.

Алгоритм оптимизационного синтеза параметров СУ в общем виде заключается в следующем:

1. Постановка задачи оптимизации:

— выбор целевых функций;

— задание ограничений.

2. Аппроксимация функциональных зависимостей, полученных при решении задачи анализа математической модели рабочего процесса цепного траншейного экскаватора (ЦТЭ), оснащенного СУ рабочим органом (РО):

— обоснование метода аппроксимации;

— определение уравнений регрессии.

3. Решение задачи условной оптимизации:

— обзор методов поиска решения в задачах условной оптимизации;

— алгоритм перехода к задаче безусловной оптимизации,

4. Решение задачи безусловной оптимизации:

— описание выбранного метода поиска решения в задачах безусловной оптимизации;

— получение рациональных значений анализируемых параметров как результата решения задачи безусловной оптимизации.

Постановка задачи оптимизации

Задачи нелинейной оптимизации, сточки зрения методов решения, делятся па два класса (11:

— задачи безусловной оптимизации;

— задачи условной оптимизации.

Задача безусловной онгимизации представляет собой поиск оптимума целевой функции f(x) без всяких дополнительных условий 111:

f(x)—min(max). (1)

Такие задачи на практике встречаются крайне редко, но метод их решения служит основой для решения практических задач оптимизации.

Задача условной оптимизации в общем виде имеет вид |1):

F = ffxj—min;

(Jjx^b;

i = 1 ...m; j= 1..л.

В систему (2) входяттри составляющие:

— целевая функция f (х) показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, то есть наилучшим, при этом возможны три вида назначения целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения;

— ограничения bt устанавливают зависимости между переменными;

— граничные условия d, D( показывают, в каких пределах могут находиться значения искомых переменных в оптимальном решении.

При синтезе СУ РО ЦТЭ целевой функцией являлось среднеквадратическое отклонение вертикальной координаты дна траншеи ст.:

ау ^Д. 0„) -> min; и граничные условия:

для Ощ = 100-Ю'1'м"'/с при 110"2м£ Д£510"2м; для О„2 = 150 10ъм7с при 1,19-10~*м£ Д i 510"2м; (3) для 0,,., = 200 10"*m3/c при 1,58 10~2м£ Д S510"2m; д\я Q„4 = 250• 10 г,м '/с при 1,98-10-'м£Д£5-10^м; дляOiJs = 300• 10"вм3/с при 2,3110'•'м1Д5510'jm,

где 0„ — подача гидронасоса, определяющая скорость перемещения штока гидроцилиндра подъема-опускания РО; А— ширина зоны нечувствительности порогового элемента СУ.

Аппроксимациязависимостей

При решении задачи оптимизации была проведена аппроксимация функциональных зависимостей сред-некнадратического отклонения от ширины зоны нечувствительности порогового элемента СУ и подачи гидронасоса <т (А, Оп) уравнениями нелинейной регрессии.

Аппроксимация функциональных зависимостей проведена методом наименьших квадратов. Этот метод обеспечил приемлемую точность и позволил использовать программный продукт MS EXEL 11 ].

В соответствии с этим методом, наилучшими параметрами а,, аг... ат в эмпирической функциональной зависимости считаются те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна [ 1):

2

F|aPa2...aJ = £[yi-f(xl,a11a2...ani)] =min. (4)

ы

В силу необходимости обеспечения условия экстремума функции нескольких переменных, частные нроизподные этой функции по исследуемым параметрам обращаются в нуль [ 1 ]:

¿P(a„a2...aJ = 0, да,

dF(a,,a2—am)

aF(a„a2...am) = 0 дат

(5)

Частые производные функции Г (a,, a2...a.. исследуемым параметрам:

dF(ax, а2... a J = да{

по

= 2£[у, -/"(*,. av «2- ат)1 C(xi« а,. <%»• О- (6)

ы

По остальным параметрам а.,, а,... ат частные производные имеют аналогичный вид.

¿[у, -'(*,. о,. 02... ат)]С(х„ а,, ат)= 0. 1-1

tiy, ~ f{xt. аи а2... aj] Гпт{х{, а„ а2... а J = 0.

17)

Решение системы уравнений (7) относительно а,, а.,... ат дало искомые наилучшие значения числовых параметров.

Регрессионные зависимости оценивались мерой достоверности К2, которая находится в пределах 11 ]:

0<КЧ1.

(8)

При Я* = 0 величины, для которых определяю тся уравнения регрессии, являются независимыми; при /?:= 1 имеет место функциональная (а не статистическая) зависимость. Принято считать допустимым R2> 0,7.

Известно, что функции с двумя переменными при графическом представлении аппроксимируются поверхностью, однако, даже имея мощный математический аппарат, довольно сложно получить приемлемую точность, поскольку аппроксимация поверхности производится в форме пользователя и описание поверхности полиномом выше второй степени связано с определенными трудностями. Поэтому в предлагаемой рабо те, так как одна из переменных, а именно подача питающего г идронасоса, изменяется дискретно, можно перейти от уравнений множественной регрессии к уравнениям парной регрессии при каждом значении дискретно изменяющейся величины Qn.

Программный продукт MS EXCEL позволил найти уравнения парной регрессии для полученных функциональных зависимостей ау = ((А).

В работе были получены уравнения регрессии а= -f(A)c неличиной достоверности К2 = 0,999, аппроксимирующие зависимости среднеквадратического отклонения вертикальной координаты дна траншеи от ширины зоны нечувствительности порогового элемента СУ для различных значений подачи питающего гидронасоса Q,;.

— приО„, = 100« 10 ь м3/с:

<т = - 200^ +26^-0,33 Л+0,015; (9)

— при<?ш = 150-Ю'1 м'/с:

а. = -400^452 А2- 1,454 + 0,0302; (10)

— при Ою = 200-10 6 м'/с:

сг = - 60000J4 + 7800 Л' - 325А2 + 5,2А + 0,0002; (11)

— при Ош = 250-10 ь м'/с:

<т = 80000^-8300J3+301J2-4,39J +0,0557; (12)

— приОт = 300-10 ь м'/с:

<7 = 20000А* - 1900+ 77А2 - 1.2А + 0,0471; (13)

Решение задачи оптимизации

Первым этаном решения является переход от задачи условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации. Из всех известных методов оптимизации

0,01

0.02

0.03

0.<м Д м 005

Рис. I. Аппроксимация функциональных зависимостей среднеквадратнчсского отклонения вертикальной координаты дна траншеи от ширины зоны нечувствительности СУ при разных значениях подачи питающего гидронасоса

был использован метод множителей Лагранжа, который применим при наличии функциональных ограничений вида |2|

/, = Г,(х1(х,.....х„) = 0, (14)

где ] = 1,2.....т.

Для целевой функции Ъ (х,г хг..„ хп) справедливо уравнение |2)

(¡г = —(1х. +—¿х, (15)

дх1 1 дх2 2 дх„

или

d2 = t^dx,= 0.

(16)

Продифференцировав равенство (14), получим [2J

1*1 ОХ,

n hi Ы ОХ,

(17)

Каждое из полученных т уравнений умножается на пока еще неизвестный параметр А, называемый множителем Лаг ранжа [2|:

Ы ОХ,

0

Ы ОХ, п" "яг""

= Z ¿dXt = 0

(18)

Сложив уравнении (18) и уравнение (16). получим (2):

Ы , о/. , с)Л . V _ по» <ДЯх* ах, ах, ах,

Поскольку все параметры х1 независимы, то для того, чтобы это уравнение удовлетворялось, достаточно, чтобы каждый из п членов равнялся нулю |2|. Таким образом, получаем п уравнений

0Z . df. . df2 , dim n ах, лдх, гдх, тдх,

Кроме того, имеется еще т уравнений (14), определяющих ограничения |2).

Решение системы (ш + п) уравнений даст искомое оптимальное решение |2|.

Таким образом, задача оптимизации стала безусловной и свелась к нахождению экстремума целевой функции.

Для решения задачи безусловной оптимизации целесообразно использовать метод второго порядка — метод Ньютона 11,2|. Данный метод при относительной простоте обеспечивает приемлемую точност ь и реализован в программном продукте MS EXCEL.

Алгоритм метода заключается в следующем [ 1 ]:

I.Задать х°, > 0, г; > 0, JV — предельное число итераций. Найти градиент v /"(х) и матрицу Гессе Н{х).

2. Положить к = 0.

3. Вычислить v/(x*).

4. Проверить выполнение критерия окончания к II v^JQll <*,:

а) если неравенство выполнено, то р асчет окончен и х* = х*;

б) в противном случае перейти к пункту 5.

5. Проверить выполнение неравенст ва к> М:

а) если неравенство выполнено, расчетокончен и х* = х*;

б) если нет, перейти к пункту 6.

6. Вычислить матрицу Н(х*).

7. Вычислить матрицу Н1 (х*).

8. Проверить выполнение условия Н''(х*) > 0:

а) если да, то перейти к пунк ту 9;

б) если нет, то перейти к пункту 10, положив 4=-v/(x*).

9. Определить Д = -Н'(x^Vflx*).

10. Найти точку х*м = х* + положив ft = 1, если Д = — Н l(xA) v/(х*), или выбрав 1к из условия /(х* и)< /(х*), если Д — — V /(х*).

II. Проверить выполнение условий

llxi+,-xA|l<^|/(xA+,)-/(x*)l

а) если оба условия выполнены при текущем значении к и к = к—\, то расчет окончен, х*=**"*■';

б) в противном случае положить к = к+ 1 и перейти к пункту 3.

Нахождение оптимальных значен ий параметров САУ РО ЦТЭ

Выбор рациональных параметров СУ производился при помощи встроенных средств MS EXCEL,

которые позволяют находить экстремум функции методом Ньютона следующим образом:

1. Вводятся исходные значения переменных, граничные условия для них и функция зависимости для определения необходимой характеристики.

2. В меню «Сервис» выбирается команда «Поиск решения».

3. В диалоговом окне «Поиск решения» задается целевая ячейка, направление решения, переменные ячейки и граничные условия для их варьирования.

4. В параметрах решения выбирается метод решения и требуемая точность.

5. Запускается поиск решения.

В результате подстановки целевых функций для каждого значения подачи гидронасоса были получены рациональные значения параметров.

Результаты оптимизации параметров СУ:

При Q,„ = 100- I0 6M'Vc - оптимальное значение ширины зоны нечувствительности ¿1=0,01 м со значением целевой функции <т= 0,0141.

При От = 150-10fi мЛ/с - оптимальное значение ширины зоны нечувствительности 4=0,017 м со значением целевой функции <7=0,0186.

При 0,я = 200-106 м3/с — оптимальное значение ширины зоны нечувствительности А = 0,027 м со значением целевой функции <7= 0,0253.

При Ош = 250- Ю 6м3/с — оптимальное значение ширины зоны нечувстви тельности А — 0,041 м со значением целевой функции <т= 0,0267.

При0„5=300- lO'Si'Vc — оптимальное значение ширины зоны нечувствительности А=0,05 м со значением целевой функции <7=0,0317.

Предложенная ме тодика оп тимизации параметров СУ положением РО ЦТЭ, состоящая из двух этапов: условной и безусловной оптимизации, базируется на функциональных зависимостях среднеква^\ратичес-кого отклонения вертикальной координаты дна траншеи от ширины зоны нечувствительности порового элемента СУ и подачи гидронасоса, полученных в результате решения задачи анализа математической модели рабочего процесса ЦТЭ. Данная методика может быть применена как при проектировании новых, так и для настройки существующих СУ РО ЦТЭ в эксплуа тирующих организациях, что позволит повысить эффективность использования ЦТЭ при выполнении земляных работ.

Библиографический список

1. Пантелеев Л.В. Методы оптимизации и примерах и займах : учеб. пособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. — Изд 2-е, исп-равл. - М.: Высш. шк„ 2005. — 544 с.

2. Беляев В.В. Основы оптимизационного синтеза при проектировании землеройно-транспортных машин. - Изд. 2-е. доп. инерераб. - Омск: Изд-во ОТИИ. 2006. - 143 с,

СУХАРЕВ Роман Юрьевич, аспирант, старший лаборант кафедры «Автоматизация производственных процессов и электротехника».

Статья поступила в редакцию 01.07.08 г. © Р. Ю. Сухарей

УДК 621.452.3 в и. КУЗНЕЦОВ

Омский государственный технический университет

ПРОРЫВНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ СОЗДАНИЯ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ_

Статья посвящена выводу уравнения для замыкания математической модели, описывающей рабочий процесс газотурбинных двигателей различных типов. Показано, что замкнутая математическая модель позволяет рассчитывать все характеристики ГТД и выбирать оптимальный закон регулирования.

Авиационные газотурбинные двигатели (ГТД) в настоящее время описываются системой уравнений, в которых число неизвестных получается на одно больше, чем число уравнений 11 ]. Следовательно, данная система уравнений без дополнительных условий не имеет решения. Для того чтобы обеспечить однозначное сочетание всех параметров двигателя при любых условиях полета на каждом режиме работы, необходимо задать еще как минимум одно условие, связывающее входящие в систему уравнений параметры.

На основании вышеизложенного основной задачей данной работы является выводуравпения, кото-

рое замкнет математическую модель, описывающую рабочий процесс газотурбинного двигателя.

Исследование известной системы уравнений, описывающих работу ГТД, привело к выводу, что нет связи между полезной и затраченной энергией двигателя в целом. Таким образом, если описывать связь между полезной и затраченной удельной работой двигателя в целом, то получится [2|:

= /'«. +¿я. (1)

где ¿^ — удельная работа, затраченная на обеспечение работы ГТД; ¿пв|— полезная удельная работа, которую совершает ГТД; £д—удельная работа, которая