Анализ гидравлических режимов трубопроводных систем в условиях вероятностного характера узловых граничных условий Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Оригинальная статья / Original article

УДК [519.2+519.61]: 658.26

DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-130-142

АНАЛИЗ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ВЕРОЯТНОСТНОГО ХАРАКТЕРА УЗЛОВЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

1 9

© Н.Н. Новицкий', О.В. Вантеева2

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева, (ИСЭМ СО РАН), Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Рассматривается задача вероятностного анализа изотермического режима трубопроводной системы произвольной конфигурации, когда этот режим устанавливается под воздействием случайных проявлений внешней среды. В роли таких воздействий выступают нагрузки потребителей и давления в местах поступления рабочей среды. Эти воздействия учитываются в привлекаемых моделях потокораспределения как граничные условия, задаваемые для расхода или давления в каждом узле расчетной схемы в вероятностной форме - своими математическими ожиданиями и дисперсиями. При этом задача анализа состоит в отыскании потокораспределения в форме, допускающей его вероятностную интерпретацию. Раскрывается практическая актуальность такой постановки, возникающая на этапах проектирования (эксплуатация и диспетчерское управление трубопроводных систем при анализе их пропускной способности; уровень снабжения потребителей; соблюдение технологических требований к допустимости режимов; количественное обоснование решений при управлении режимами). МЕТОДЫ. Приведена математическая постановка и общая схема решения задачи. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Получены конечные соотношения для расчета математических ожиданий и ковариационных матриц искомых параметров потокораспределения, обеспечивающие возможность аналитического представления модели вероятностного потокораспределения в целом. На численном примере иллюстрируется высокая вычислительная эффективность предложенной методики вероятностного анализа режимов и ее преимущества по отношению к традиционным общим методам такого типа, как Монте-Карло. Иллюстрируются возможности расчета вероятностей принадлежности любого параметра режима или их совокупности заданным границам. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Показаны преимущества предлагаемого вероятностного подхода по отношению к традиционным детерминированным моделям и методам, применяемым при анализе режимов в рамках сложившейся практики проектирования и эксплуатации трубопроводных систем.

Ключевые слова: трубопроводные системы тепло-, водо- и газоснабжения, гидравлические режимы, модели потокораспределения, вероятностное моделирование режимов, ковариационные матрицы параметров режима, вероятностные оценки нарушений режимов.

Формат цитирования: Новицкий Н.Н., Вантеева О.В. Анализ гидравлических режимов трубопроводных систем в условиях вероятностного характера узловых граничных условий // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 8. С. 130-142. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-130-142

ANALYSIS OF PIPELINE SYSTEM HYDRAULIC REGIMES UNDER THE CONDITIONS OF PROBABILISTIC CHARACTER OF NODE BOUNDARY CONDITIONS N.N. Novitsky, O.V. Vanteeva

Melentiev Energy Systems Institute SB RAS,

130 Lermontov St., Irkutsk 664033, Russian Federation.

ABSTRACT. PURPOSE. The paper deals with the problem of probabilistic analysis of the isothermal regime of a pipeline system of arbitrary configuration when this mode is set under the influence of random manifestations of the external environment. These influences are represented by the loads of consumers and pressure in the places of working medium input. These effects are taken into account in the applied models of flow distribution as boundary conditions set for the flow rate or pressure in each node of the calculation scheme in the probabilistic form - by their mathematical expectations and variances. In this case, the analysis task involves the search for the flow distribution in the form that allows its probabilistic interpretation. The paper stresses the practical relevance of this statement arising at the stages of design: operation and dispatching control of pipeline systems under the analysis of their discharge capacity, the level of consumer supply, compliance with the technological requirements for the admissibility of modes, quantitative justification of decisions in mode control. METHODS. A mathematical statement and a general solution pattern of the problem are given.

1

Новицкий Николай Николаевич, доктор технических наук, главный научный сотрудник, e-mail: [email protected]

Nikolai N. Novitsky, Doctor of technical sciences, Chief Researcher, e-mail: [email protected]

2Вантеева Ольга Викторовна, кандидат технических наук, научный сотрудник, e-mail: [email protected]

Olga V. Vanteeva, Candidate of technical sciences, Researcher, e-mail: [email protected]

RESULTS AND THEIR DISCUSSION. Finite relations are obtained for calculating the mathematical expectations and covariance matrices of the required flow distribution parameters that provide the possibility of an analytical representation of the probabilistic flow distribution model as a whole. A numerical example illustrates a high computational efficiency of the proposed method of mode probabilistic analysis and its advantages as compared with traditional general methods of this type such as Monte Carlo method. Possibilities to calculate the attribution probabilities of any mode parameter or their set to the given boundaries are illustrated. CONCLUSION. The paper demonstrates the advantages of the proposed probabilistic approach as compared to traditional deterministic models and methods used in the analysis of modes in the framework of the current practice of designing and operation of pipeline systems. Keywords: pipeline systems of heat, water and gas supply, hydrological modes, flow distribution models, probabilistic modeling of modes, covariance matrices of mode parameters, probabilistic estimates of mode disturbances

For citation: Novitsky N.N., Vanteeva O.V. Analysis of pipeline system hydraulic regimes under the conditions of probabilistic character of node boundary conditions. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 8, pp. 130-142. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-8-130-142

Введение

Задачи расчета гидравлических режимов являются базовыми задачами анализа режимов функционирования трубопроводных сетей (ТПС) тепло-, водо- и газоснабжения при их проектировании, эксплуатации и диспетчерском управлении. На практике расчеты гидравлических режимов ТПС проводятся в двух основных целях:

1) для оценки пропускной способности ТПС при заданных (как правило, максимальных) нагрузках потребителей;

2) для оценки степени обеспеченности потребителей при заданных характеристиках систем потребления.

Первый (основной) тип расчетов базируется на применении моделей с сосредоточенными нагрузками потребителей и применяется на этапах проектирования, развития, реконструкции ТПС, а также при разработке основных эксплуатационных режимов их работы. Второй (поверочный) тип расчетов базируется на применении моделей с нефиксированными нагрузками и применяется на этапах эксплуатации ТПС при разработке и анализе непроектных режимов, например, аварийных.

В обоих случаях традиционно привлекаются детерминированные модели потокорас-пределения. В настоящее время в России и за рубежом, имеется множество работ, посвященных задачам и методам расчета установившегося потокораспределения в ТПС различного типа и назначения. Зарубежный опыт моделирования потокораспределения, отраженный, например, в статьях E. Todini [1-3], O. Giustolisi [4, 5], характеризуется, в основном, рассмотрением детерминированных стационарных и квазидинамических режимов потокораспределе-ния. В России аналогичные по постановкам задачи потокораспределения начали исследоваться еще в 30-х годах прошлого века М.М. Андрияшевым [6], В.Г. Лобачевым [7] и нашли свое обобщение в работах А.П. Меренкова и В.Я. Хасилева [8].

Однако фактические режимы ТПС формируются под влиянием случайных воздействий внешней среды (нагрузки потребителей, давления на источниках расхода и др.). Этим обусловливается актуальность решения задач вероятностного моделирования установившихся гидравлических режимов для получения результатов расчетов в виде, допускающем их вероятностную интерпретацию.

Вопросы стохастического потокораспределения и оптимизации параметров в условиях неопределенности применительно к системам водоснабжения (при их проектировании) представлены в работах С.Н. Карамбирова3 [9]. Вероятностные задачи анализа режимов ТПС с

3Карамбиров С.Н. Совершенствование методов расчета систем подачи и распределения воды в условиях мно-горежимности и неполной исходной информации: автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 2005. 46 с. / Karambirov S.N. Improvement of calculation methods of water supply and distribution systems under multimode conditions and incomplete source information: Abstract of the Candidate's Dissertation in technical sciences. M., 2005. 46 pp.

учетом работы насосов и резервуаров рассматриваются также в зарубежных работах [10, 11]. Для их решения, в основном, используется ММК, который также широко применяется в задачах анализа надежности ТПС.

В настоящей статье рассматривается задача вероятностного моделирования установившихся гидравлических режимов ТПС. Эта задача использует модели с сосредоточенными нагрузками, но не исключает задания давлений в произвольном числе узлов (например, в местах поступления рабочей среды). Таким образом, имеет место случай задания узловых граничных условий (ГУ), когда в каждом узле задано либо давление, либо расход, причем давление должно быть задано не менее чем в одном узле. Такая постановка задачи является конкретизацией более общих методов вероятностного моделирования гидравлических режимов ТПС [12-14], однако с точки зрения прикладного значения целесообразна для самостоятельного рассмотрения.

Постановка задачи вероятностного расчета гидравлических режимов

Вероятностное описание отдельно взятого режима исчерпывается функцией плотности распределения вероятностей, которую обозначим как р(Я,ф), где R - значение случайного

вектора параметров режима (давлений, расходов и др.); фк - параметры распределения. В большинстве практических случаев может быть принята гипотеза о нормальном распределении R. Тогда ф = {R,Q} и вероятностное описание режима сводится к указанию

для величины R значений математического ожидания (МО) R и ковариационной матрицы (КМ) Cr .

Любое сочетание компонент R допустимо, поскольку они должны удовлетворять уравнениям модели потокораспределения U(R) = 0, где U - нелинейная векторная функция. Эти уравнения вытекают из общих физических законов сохранения и, следовательно, должны выполняться детерминировано.

Традиционная детерминированная модель установившегося гидравлического режима в ТПС как гидравлической цепи с сосредоточенными параметрами может быть представлена в виде [8]

U ( R) = U (G,Y ) = U ( x, Q, P) =

f Ax - Q ATP - y

У = f( x) )

= 0, (1)

где первая подсистема уравнений представляет собой условия материального баланса в узлах расчетной схемы ТПС (уравнения первого закона Кирхгофа); вторая - уравнения второго закона Кирхгофа в узловой форме записи; Э - граничные условия (ГУ); У -неизвестные параметры режима; А - (т х п)-матрица инциденций узлов и ветвей расчетной схемы с элементами ^ = 1(-1), если узел у является начальным (конечным) для ветви /, ^ = 0, если ветвь г не инцидентна узлу у ; т, п - число узлов и ветвей расчетной схемы; х -п-мерный вектор расходов на ветвях, Р, Q - т-мерные векторы узловых расходов и давлений; у - п-мерный вектор потерь давления на ветвях; /(х) - п-мерная вектор-функция с элементами /(xj), отражающими законы гидравлического течения для ветвей. Например, £(х) = IX I —Н , где х - расход на /-й ветви; ^ - гидравлическое сопротивление ветви; Н > 0 - приращение давления в случае активной ветви (например, моделирующей насосную

станцию); Н = 0 в случае пассивной ветви (например, моделирующей трубопроводный участок). Полагая, что в (1) все параметры si, Яг, / = 1,п заданы детерминировано, получим

я=(*т, ёт, ?ту.

Таким образом, вероятностная модель установившегося потокораспределения может быть представлена как и (Я) = 0, Я ~ N (Я, Ск), где N - /--мерное нормальное распределение вероятностей; г - размерность вектора Н. В случае нормального распределения в, пренебрегая нелинейным искажением распределения р[У(О), , где У (О) - неявная функция, задаваемая уравнениями потокораспределения, задача сводится к определению рк = {Я, С} при заданном значении ра = {О, Са} и условии и(Я) = и (О,У) = 0, причем состав в должен обеспечивать разрешимость уравнений и(О,У) = 0 относительно в, т.е. ё1т(О) = ё1т(и) = гапк(ди/ дУ), где ди/ дУ - матрица Якоби (частных производных) при фиксированных граничных условиях О* в окрестности точки решения У *, Шт(-) - размерность вектора, гапк(-) - ранг матрицы.

Суть методического подхода

Пусть £а= (О - О) - случайное отклонение возможной реализации ГУ от своего МО О. Линеаризуя функцию У (О) в окрестности О , получим У « У (О) + (дУ / дО)£0, где дУ / дО - матрица производных в точке О . Так как Е(У) = У и Е(Ва) = 0, где Е - операция МО, то У = У (О). Таким образом, МО неизвестных параметров режима (У) является функцией уравнений потокораспределения при заданном МО ГУ (О). Поскольку В = (У - У), дУ

то ВУ к—В . Соответственно,

У дО О

R =

(ОЛ ( G Л

V Y у

где

V Y (°) у

Cj = E [SS]« E

и Q = E

S ](Ïg Л

lSY JVSY J

CY SS (- "

cG laa

Ca C CGY

C CYG Cj

ÏY-Ca (CY

aa Glaa

с

CGY ~ CYG ~ E(SGSY ) ~ E

SgSS L y

= Cr.

'дУ4

a g j

Таким образом, общая схема решения задачи вероятностного моделирования режима сводится к следующему:

1) получить вектор У традиционными методами расчета потокораспределения по исходным данным О;

2) определить матрицу С, по известной матрице Сс и матрице производных дУ / дО в точке О.

При этом возникает вопрос, каков конечный вид соотношений для результирующих КМ при О = (ОТ,Р^У ? Поскольку в традиционных методах расчета потокораспределения

производные дУ /дО в явном виде не вычисляются, то поиск ответа на вопрос составляет самостоятельную задачу.

Соотношения для ковариационных матриц параметров режима

Пусть J = {1,2,..., т} - множество индексов всех узлов расчетной схемы. Разобьем его на ^ - множество узлов с заданными расходами; ^ - множество узлов с заданными давлениями так, что J = ^и^, = 0, те = Л , тр = Л, те + тр = т. В случае, если

давление либо расход заданы как детерминированные ГУ, их дисперсии, а также все ковари-ации с другими параметрами в этом узле приравниваются нулю. Типичный случай детерминированных ГУ - нулевые расходы в простых узлах разветвления. Таким образом, наличие детерминированных ГУ будет частным случаем рассматриваемой ниже методики.

Учитывая введенные множества, модель потокораспределения с сосредоточенными нагрузками (1) может быть представлена в следующем виде:

Лвх - Оо = 0; АрХ - Ог = 0; ЛОРу + АРРо - у = 0; У = /(X ^ -

где Ае - (те х п)-мерная матрица инциденций узлов множества ^ и ветвей схемы; Ар -{тр х п) -мерная матрица инциденций узлов множества ^ и ветвей схемы; О, Р -те -мерные векторы расходов и давлений в узлах множества ^ ; Р, О - тр -мерные векторы расходов и давлений в узлах множества ^ .

Линеаризуем эту модель потокораспределения в точке МО ГУ О = (ОТ,РТ)Т, что дает взаимосвязь между отклонениями этих условий и отклонениями искомых параметров потоко-распределения:

Ло^х -4ОО = 0; (2)

Лр^Х = 0; (3)

АО^РУ + ЛР^РО у = 0; (4)

£у = & - (5)

где , £ра - отклонения узловых расходов и давлений, входящих в состав ГУ; £ег, - отклонения неизвестных узловых расходов и давлений; , £ - отклонения неизвестных расхо-

дов и потерь давления на ветвях; / - (п х п) -мерная диагональная матрица с элементами д/ / дхг на диагонали.

Для получения явной зависимости отклонений искомых параметров режима от откло-

дУ

нений в исходных данных £ «—£а осуществим следующие преобразования:

дО

Подставим выражение (5) для нахождения £ в (4) и выразим

^x = (£Г1 4ÏPY + 1APÏPG ■

(6)

Используя полученное выражение (6), исключим £х из (2) и (3):

О

дРг

£ +дЯор -£ = 0 ■

bPY ^ bPG bQG

дР

dQre , д Q

дР.

£ + -£ =0 bPY ^ ~,тл Ърв bQY " >

дР

(7)

(8)

где дО1 = Aq (f)-1 AT ■

Q

дРп

= Aq (f)-1 AT ■

Q

dPY

= Ap(fX) 1 AT ■

dQL = At f )-1 AT ■

дР

1У О ШУ О

Из (7) получим выражение для £рт, правая часть которого зависит только от отклонений в ГУ:

дР

дРг

£PY ^^ £QG ^ bPG'

д QG

дРп

(9)

так как

дР\

дQG

КдР )

дРт

дРy

дР

V дР Y ) дР G

дР

Обратным ходом подставим выражение £ш в (8), откуда

к = д° g £ty ^^ £tg ,

дОв

(10)

и, подставив его в (6), получим выражение для £х:

_ дх дх

£x = £qg ^ £Рв ,

дТв Q дРв

(11)

где

дх

дОв

f\-1 .fT U±Y

= (fX) 1 AT

дРг

д Qc

f = f )-1AQ Ц + f)-1 A

1 AT

T ■

И, наконец, подставив £x из (11) в (5), получим:

et Öx

, dx

ЕУ fx^s^ EQG + EPG ■

Ö Qg

ÖP,

(12)

В итоге имеем следующую явную зависимость отклонений искомых параметров режима от отклонений в ГУ:

(Е \

Ьрг

Ех

EQY \ЕУ J

ÖPY ÖPY

ÖPg ÖQg

Öx Öx

ÖPg ÖQg

0 ÖQy

ÖQg

Öx Öx

ÖPG xöQg

EPG

Е......

QG

Отсюда можно получить конечные соотношения для КМ: 1) неизвестных узловых давлений

т дРг

CpY — E[EpyEPY ] Ä CPG

r ÖR л

дР

ÖP

KÖPG J

+ öQg Cqg

r ÖR ^

\ÖQg J

2) расходов на ветвях

Cx — Щ£хЕ ] Aqg

f Öx ^

ÖQ0 Q lÖQ

^G J

+ ÖR Cp

С Öx ^

ÖP

V G J

3) неизвестных узловых расходов

Сдт - Е1 \_Eqy , Л ] :

ÖQLr

öqg Cqg

iÜQiy

yÖQa J

4) неизвестных потерь давления

Су - E Лу

^ Öx ^ 1 £, Öx Y ( Öx ^

ÖP

V G J

ÖQg

ÜG J

f'+ f^z. с

x x ÖP '

PG

fx ^ fx Cxfx

(13)

В этих формулах учтено, что - (.

Численный пример

Проиллюстрируем возможности предлагаемого подхода на примере условной схемы водопроводной сети, представленной на рисунке. Здесь т -16, п - 22, те -14, тр - 2, се-

рым выделены узлы с заданным давлением и приведены численные значения МО и среднеквадратичных отклонений (СКО) для всех узловых ГУ.

Из условия получения требуемого количества воды в час максимального водопотреб-ления в данном примере в узлах с 1 по 14 задано одинаковое значение (18 м вод. ст.) минимально допустимого давления (Р;тт)4. Расчеты выполнялись предложенным методом и традиционным методом Монте-Карло (ММК). В табл. 1 и 2 представлены результаты вероятностного расчета гидравлического режима по узлам и ветвям соответственно.

Расчетная схема сети и исходные данные по узлам: I - узел с заданным расходом (МО/СКО); II - узел с заданным давлением (МО/СКО);

III - ветвь-трубопровод Calculation model and initial data by nodes: I - node with specified flow rate ( mean value/standard deviation); II - node with specified pressure (mean

value/ standard deviation); III - branch-pipeline

В табл. 1 представлены результаты гидравлического расчета, где

TTMMK тэ _MMK _

с с j

д ,. =-=—-1 , Ö^ = ■

P, j pMMK ' aP, j MMK

Как видно из этих таблиц, отличия в результатах расчета, полученные разными методами, пренебрежимо малы. Однако время расчета (в среде Maple) составило: ММК (5000 реализаций) - 97,5 минут; ММК (1000 реализаций) - 18 минут; предлагаемым методом - 5 секунд. Видно, что последний метод имеет высокое быстродействие.

4Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для вузов. 3-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2000. 366 с. / Ventsel E.S., Ovcharov L.A. Problems and exercises in probability theory: Learning aids for Higher Schools. 3rd ed., Stereotyped. М: Higher School Publ., 2000. 366 p.

Таблица 1

Результаты вероятностного гидравлического расчета по узлам

Table 1

Results of probabilistic hydraulic calculation by nodes_

Узел j / Node j Результаты расчета ММК / Calculation results by Monte-Carlo method Результаты расчета / Calculation results by the proposed method Относительная погрешность / Relative error

МО / Mean value СКО / Standard deviation

P P Sv ö*pj

1 18,7 1,7 18,9 1,7 0,02 0,00

2 19,2 0,9 19,2 0,9 0,00 0,00

3 18,9 0,6 18,9 0,5 0,00 0,00

4 19,9 0,5 18,9 0,5 0,00 0,00

5 20,8 0,4 20,8 0,4 0,00 0,00

6 20,3 0,4 20,3 0,4 0,00 0,00

7 21,0 0,6 21,0 0,6 0,00 0,00

8 21,0 0,8 21,0 0,7 0,00 0,00

9 24,2 0,3 24,2 0,3 0,00 0,00

10 23,7 0,3 23,7 0,3 0,00 0,00

11 21,6 0,4 21,8 0,4 0,01 0,00

12 21,8 0,3 21,4 0,3 0,04 0,00

13 24,4 0,2 24,4 0,2 0,00 0,00

14 25,6 0,1 25,6 0,1 0,00 0,00

Предложенный подход расчета статистических параметров режима работы ТПС обеспечивает возможность получения вероятностных оценок практически любых показателей функционирования ТПС, зависящих от их режимов, по известным формулам теории вероятности5 [15]. Так, оценка вероятности принадлежности у-го параметра режима заданному диа-

пазону [ Я™", Ятях ] вычисляется по формуле

1 [ (Я, - Ё )2 , Ря, =-^ I ехР\-( ; 2;) [dЯ], (14)

где Я - случайная реализация параметров режима; Я; - МО Я.; ак. - СКО Я;; ря - вероятность реализации Я; в заданном диапазоне; Ятах, Я"1" - верхняя и нижняя границы этого

диапазона, которые могут принимать бесконечные значения в случае односторонних границ.

В табл. 3 представлены результаты расчета избыточных давлений, вычисляемых как ротег = р -р1™", а также вероятностей нарушения нижних границ допустимого давления в узлах по формуле (14).

Один из основных показателей достаточной пропускной способности сети при анализе режима детерминированными методами - Р > Р™" для всех у е . Из табл. 3 видно, что в

точке МО это условие выполняется, однако вероятность его нарушения в узлах разная. Так, при одинаковой величине избыточных давлений в узлах 1, 3, 4 имеем весьма существенное значение р(р < Р™") = 0,3. Это иллюстрирует ограниченность детерминированного анализа по сравнению с вероятностным.

Таблица 2

Исходные данные и результаты вероятностного гидравлического расчета по ветвям

Table 2

Initial data and results of probabilistic hydraulic calculation by branches_

Ветвь i / Branch, i Исходные данные/ Initial data Результаты расчета ММК (5000 реализаций) / Calculation results by Monte Carlo method (5000 implementations) Результаты расчета / Calculation results by the proposed method Относительная погрешность / Relative error

Сопротивление i-й ветви / Resistance of branch i МО / Mean value СКО / Standard deviation

— MMK xi MMK a ,,■ xi " x,i д x ,г дax ,i

1 0,000025 235,0 6,5 235,1 6,5 0,00 0,01

2 0,000054 148,5 5,1 148,6 5,1 0,00 0,01

3 0,005751 21,4 0,7 21,4 0,8 0,00 0,03

4 0,000750 60,1 2,7 61,0 2,6 0,02 0,04

5 0,002273 14,9 1,0 14,9 0,9 0,00 0,06

6 0,000263 84,2 4,7 84,2 4,6 0,00 0,01

7 1,146865 1,4 0,1 1,4 0,1 0,00 0,00

8 0,000193 119,9 4,8 120,0 4,7 0,00 0,02

9 0,002253 9,1 1,8 9,1 1,8 0,00 0,02

10 0,001670 56,0 1,8 56,0 1,8 0,00 0,00

11 0,004145 27,7 2,3 27,8 2,1 0,00 0,08

12 0,085265 0,7 1,7 0,6 1,8 0,09 0,08

13 0,000496 74,0 4,6 74,1 4,7 0,00 0,01

14 0,000229 74,0 3,5 74,3 3,4 0,00 0,03

15 0,458178 1,0 0,2 1,0 0,1 0,01 0,07

16 0,001766 23,3 1,3 23,3 1,3 0,00 0,01

17 0,009992 14,8 3,6 14,5 3,4 0,02 0,04

18 0,199824 1,2 1,8 1,2 1,9 0,04 0,08

19 0,002935 24,4 2,6 24,8 2,6 0,02 0,01

20 0,000517 51,5 2,9 51,7 2,8 0,00 0,04

21 0,012947 1,7 0,9 1,7 1,0 0,01 0,02

22 0,010800 13,3 0,7 13,3 0,7 0,00 0,05

Вместо формулы (14) для условной вероятности нарушения допустимой границы одним параметром (когда остальные находятся в окрестности МО), целесообразно определять совместные вероятности принадлежности режима допустимой области. Такая вероятность вычисляется по формуле5 [15]

^шах ^шах

Р =ТгЬ=1 ^ ^ £хр{"2"^ "Ж" ' (15)

у1(2ж) д™" I 2 J

5Журба М.Г. Водоснабжение. Проектирование систем и сооружений. Системы распределения и подачи воды: науч.-метод. рук-во: в 3 т.: Вологда-М.: ВоГТУ, 2001. Т. 3. 188 с. / Zhurba M.G. Water supply. Design of systems and structures. Water distribution and supply systems: scientific and methodological manual in 3 volumes: Vologda-M.: VSTU Publ., 2001. V. 3. 188 p.

где Я - /--мерный вектор МО Я ; Ск - (г х г) - мерная КМ для Я ; - вероятность принадлежности Я заданному диапазону [Ятп, Ятах ], где Ятах = [Я™",..., Я™"]1, Ятт _ [Ятт,..., Ят1"]1 - векторы верхних и нижних границ допустимого диапазона компонент Я .

Таблица 3

Результаты расчета нарушений допустимых границ по узловым давлениям

Table 3

Calculated violations of admissible boundaries by nodal pressures_

Узел jl Node j P pmm ^rjover p( Pj < PT)

1 18,9 18 0,9 0,3

2 19,2 18 1,2 0,1

3 18,9 18 0,9 0,0

4 18,9 18 0,9 0,0

5 20,8 18 2,8 0,0

6 20,3 18 2,3 0,0

7 21,0 18 3,0 0,0

8 21,0 18 3,0 0,0

9 24,2 18 6,2 0,0

10 23,7 18 5,7 0,0

11 21,8 18 3,8 0,0

12 21,4 18 3,4 0,0

13 24,4 18 6,4 0,0

14 25,6 18 7,6 0,0

Формулу (15) также можно использовать для оценки допустимости режима работы любого подмножества элементов ТПС по одному или нескольким параметрам (давлением, расходы и др.). При этом матрица С формируется из полной КМ параметров режима вычеркиванием ненужных строк и столбцов. Так, для условий численного примера вероятность нарушения нижних границ допустимого давления по всем узлам будет равной 0,03.

Заключение

Исследования вероятностного моделирования гидравлических режимов ТПС показали прикладную актуальность специального рассмотрения и разработки аналитических методов, когда в роли граничных условий выступают узловые расходы или давления.

Приведена математическая постановка и общая схема решения данной задачи. Выведены конечные соотношения для ковариационных матриц искомых параметров режимов для данного случая задания ГУ, обеспечивающие возможность аналитического представления модели вероятностного потокораспределения в целом.

На численном примере показана высокая вычислительная эффективность предложенного метода по сравнению с традиционными методами типа «Монте-Карло», достигаемая практически без потери адекватности получаемых результатов.

Показаны преимущества вероятностных методов по отношению к традиционным детерминированным методам анализа пропускной способности ТПС и допустимости режимов их работы. Раскрыта техника расчета условных и совместных вероятностей принадлежности допустимой области режимов работы любого подмножества элементов ТПС по одному или нескольким параметрам.

В целом применение предложенного метода обеспечит качественно новый уровень надежности анализа и количественного обоснования решений по организации режимов работы ТПС при их проектировании и эксплуатации.

Библиографический список

1. Todini, E. Unmetodo del gradiente per la verificadelleretiidrauliche // BollettinodegliIngegneridella. Toscana. 1979. Vol. 11. P. 11-14.

2. Todini E., Pilati S. A gradient algorithm for the analysis of pipe networks // John Wiley & Sons, London. 1988. P. 1-20.

3. Todini, E.A. Unifying view on the different looped pipe network analysis [Electronic resource]. URL: http:// www.nitu.ru (28.05.2017).

4. Giustolisi O., Kapelan Z., Savic D. Extended period simulation analysis considering valve shutdowns // Journal of water resources planning and management. 2008. 134 (6). Р. 527-537.

5. Giustolisi, O. New Tools for More Realistic Network Simulation and Reliability Assessments [Electronic resource]. URL: http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet/EN2manual (28.05.2017).

6. Андрияшев М.М. Техника расчета водопроводных сетей. М.: Сов. Законодательство, 1932. 62 с.

7. Лобачев В.Г. Новый метод увязки колец при расчете водопроводных сетей // Санитарная техника. 1934. № 2. С. 8-12.

8. Меренков А.П., Хасилев В.Я., Сидлер В.Г., Сеннова Е.В., Сумароков С.В., Такайшвили М.К., Светлов К.С., Меренкова Н.Н., Ощепкова Т.Б., Храмов А.В. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985. 280 с.

9. Карамбиров С.Н. Математическое моделирование систем подачи и распределения воды в условиях много-режимности и неопределенности // Мелиорация и водное хозяйство, 2004. № 6. С. 19-21.

10. H.A. Kretzmann, J.E., Van Zyl and J. Haarhoff. Stochastic analysis of water supply systems using MOCASIM II: Proceedings of the 2004 Water Institute of Southern Africa (WISA) Biennial Conference (Cape Town, 2 -6 May 2004). Cape Town, 2004. 1132-1142. (Africa) ISBN: 1-920-01728-3

11. Cutore P., Campisano A., Kapelan Z., Modica C., Savic D. Probabilistic prediction of urban water consumptionм using the SCEM-UA algorithm // Urban Water Journal. 2008. V. 5. No. 2. P. 125-132.

12. Новицкий Н.Н., Вантеева О.В. Моделирование стохастики потокораспределения в гидравлических цепях // Известия РАН. Энергетика. 2011. № 2. С. 122-131.

13. Novitsky N.N., Vanteyeva O.V. Modeling of stochastic hydraulic conditions of pipeline systems // Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM). 2014. No. 1. P. 95-108.

14. Новицкий Н.Н., Вантеева О.В. Задачи и методы вероятностного моделирования гидравлических режимов трубопроводных систем // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2008. № 1. С. 68-75.

15. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 2001. 575 с.

References

1. Todini, E. Unmetodo del gradiente per la verificadelleretiidrauliche. BollettinodegliIngegneridella. Toscana. 1979, vol. 11., рр. 11-14.

2. Todini E., Pilati S. A gradient algorithm for the analysis of pipe networks. London: John Wiley & Sons. 1988, рр. 1 -20.

3. Todini, E.A. Unifying view on the different looped pipe network analysis algorithms // Computing and Control for the water Industry. 1999, рр. 63-80 [Electronic resource]. URL: http:// www.nitu.ru (accessed 28 May 2017)

4. Giustolisi O., Kapelan Z., Savic D. Extended period simulation analysis considering valve shutdowns // Journal of water resources planning and management. 2008, 134(6), рр. 527-537.

5. Giustolisi, O. New Tools for More Realistic Network Simulation and Reliability Assessments [Electronic resource]. URL: http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet/EN2manual (28.05.2017).

6. Andriyashev M.M. Tekhnika rascheta vodoprovodnyh setej [Calculation methods of water supply networks]. Мoscow, Soviet legislation Publ., 1932, 62 p. (In Russian)

7. Lobachev V.G. Novyj metod uvyazki kolec pri raschete vodoprovodnyh setej [A new method of linking rings in the calculation of water supply networks]. Sanitarnaja tehnika. [Sanitary engineering]. 1934, no. 2, рр. 8-12. (in Russian)

8. Merenkov A.P., Khasilev V.Y. Teoriya gidravlicheskikh tsepey [Theory of hydraulic circuits]. Мoscow, Nauka Publ., 1985, 280 p. (in Russian)

9. Karambirov S.N. Matematicheskoe modelirovanie sistem podachi i raspredeleniya vody v usloviyah mnogorezhim-nosti i neopredelennosti [Mathematical modeling of water supply and distribution systems under conditions of multimodes and uncertainty]. Мoscow, MGUP Publ., 2004, 197 p. (in Russian)

10. H.A. Kretzmann, J.E., Van Zyl and J. Haarhoff. Stochastic analysis of water supply systems using MOCASIM II: Proceedings of the 2004 Water Institute of Southern Africa (WISA) Biennial Conference (Cape Town, 2 -6 May 2004). Cape Town, 2004, рр. 1132-1142. ISBN: 1-920-01728-3_

11. Cutore P., Campisano A., Kapelan Z., Modica C., Savic D. Probabilistic prediction of urban water consumptionM using the SCEM-UA algorithm. Urban Water Journal. 2008, vol. 5, no. 2, pp. 125-132.

12. Novickij N.N., Vanteeva O.V. Modelirovanie stohastiki potokoraspredelenija v gidravlicheskih cepjah [Modeling flow distribution stochastics in hydraulic circuits] // Izvestija RAN. Jenergetika [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Power Engineering]. 2011, no. 2, pp. 122-131. (in Russian)

13. Novitsky N.N., Vanteyeva O.V. Modeling of stochastic hydraulic conditions of pipeline systems // Chaotic Modeling and Simulation (CMSIM). 2014, no. 1, pp. 95-108.

14. Novickij N.N., Vanteeva O.V. Zadachi i metody verojatnostnogo modelirovanija gidravlicheskih rezhimov trubo-provodnyh sistem [Problems and methods of probabilistic modeling of hydraulic modes of pipeline systems]. Nauchno-tehnicheskie vedomosti SPbGTU [St. Petersburg Polytechnic University Journal of Engineering Science and Technology]. 2008, no. 1, pp. 68-75. (in Russian)

15. Vencel' E.S. Teorija verojatnostej [Probability theory]. Moscow, High school Publ., 2001, 575 p. (in Russian)

Критерии авторства

Новицкий Н.Н. и Вантеева О.В. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответ-

Authorship criteria

Novitsky N. N., Vanteeva O.V. have equal authors' rights and bear equal responsibility for plagiarism.

ственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Статья поступила 30.05.2017 г.

The article was received 30 May 2017