Анализ естественной освещенности при управлении системой электроснабжения осветительных установок Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621316 И. Н. КРАСНОКУЦКИЙ

А. В. БУБНОВ Д. С. ОСИПОВ Е. В. ПЕТРОВА

Омский государственный технический университет

АНАЛИЗ

ЕСТЕСТВЕННОЙ ОСВЕЩЕННОСТИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ СИСТЕМОЙ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ОСВЕТИТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК_________________________

В статье рассматриваются вопросы обработки естественной освещенности при управлении системой электроснабжения осветительных установок. Для выделения тренда предлагается алгоритм экспоненциального сглаживания. Результаты экспериментальных наблюдений обрабатываются методами спектрального анализа.

Ключевые слова: система электроснабжения, осветительная установка, естественная освещенность, экспоненциальное сглаживание.

В управлении системой электроснабжения осветительных установок ключевым параметром, по которому принимается решение, является естественная освещенность. При получении ее измеренных значений от датчика возможно появление ошибок, которое приведет к неверному принятию решения. Простейшей операцией уменьшающей их влияние является усреднение или вычисление математического ожидания. Введем следующие обозначения. Допустим, что исследуется непрерывный сигнал u(n) и известны его значения и(п), полученные из u(t) с шагом дискретизации Т, а результатом обработки или вычислений являются дискретные величины х(п). Под u(n) понимается процесс изменения освещенности E(t) и ее постоянная составляющая E0(t). Оценка математического ожидания или среднее значение вычисляется по формуле:

1 N

x(N) = — X “(пЬ (1)

^ п = 1

где N — объем обрабатываемой информации или количество измерений.

Выражение (1) можно записать и в рекуррентном виде:

x(п) = x(п - 1) + — и(п); x(0) = 0; п = . (2)

N

Операция усреднения или простейшая процедура сглаживания является частным случаем более общей цифровой фильтрации, описываемой разностным уравнением:

p

x(п) + X a(k) ■ x(п - k) =

k = 1

= Ь(0) ■ и(п) +Х Ь(k) ■ и(п - k) . (3)

k = 1

Если коэффициенты а(к) при к = 1, р и Ь(к), k = 1, д постоянные, то модель (3) и соответствующий цифровой фильтр линейны и можно записать передаточную функцию через коэффициенты в виде:

вд + х т ■ z -к

ИЩ = Б^ =-----------к=1------------------

А^) . + ^/14 -к (4)

у ’ 1 + X а(к) ■ z к

к=1

или через импульсную характеристику:

И^) = X Щк) ■ z~к . (5)

к=0

В частном случае при а(к) = 0 и к = 1, д формулы (4) и (5) определяют следующие выражения передаточной функции:

И(^ = Б^) = X Ь(к) ■ z-к =Х Л(к) ■ z-к . (6)

к=0 к=0

Импульсная характеристика будет конечной и такие цифровые устройства называют КИХ-фильт-рами и для них справедливо, что Ь(к)=Л(к), к = 0, д . В общем случае в формулу (5) входит бесконечное число значений h(k) и передаточная функция (4) описывает БИХ-фильтр.

Основной частотной характеристикой является амплитудная, для которой выполняется

\И(/)\2 = \И^) И^-1)и ]2рИ. (7)

Частотные характеристики дискретных процессов и систем периодичны с периодом, равным частоте дискретизации /0=1/Т, поэтому, как правило, они рассматриваются либо в основной полосе /е [/0/2; /0/2], или — полуполосе /е [0; /0/2]. Вводится нормированная частота / при Т=1 и для нее / е [0; 0,5].

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012

Рис. 1. Зависимость параметра у алгоритма экспоненциального сглаживания

Г ---------------*■

Рис. 2. Спектральная плотность мощности полного сигнала

При проектировании сглаживающих фильтров вводится идеальная амплитудная частотная характе-

ристика

нn(f)

значение которой в полосе пропус-

Ца ь) = £

HІ Г, а, Ь

и решается задача минимизации:

(а, Ь) = агдтіп L(a, Ь).

(8)

(9)

х(п) =ух(п — 1)+(1—у)и(п),

(10)

0<у<1,

(11)

но, если сравнивать (10) с формулой(2), то численное значение у следует ожидать более близким к единице.

Передаточная функция для уравнения (10) имеет

вид:

Н0^) =

1 -7

кания равно единице, а остальные — нулю. Для M значений нормированной частоты ^ е [0; 0,5] вводится квадратичный функционал:

1 - 7 ■ z

(12)

Дискретными моделями экспоненциального сглаживания (10) и (12) соответствует непрерывный аналог в виде простейшего фильтра нижних частот (ФНЧ) с передаточной и весовой функциями:

ад =

1

Tф ■ s + 1

1 -Т

w(t) = —є ф . 1ф

Как правило, одним из численных методов оптимизации функции Ца, Ь) находятся вектора а=|а(1), а(2) а(Р)Г и Ь=|Ь(1), Ь(2) Ь(р)|г.

Простейшими являются модели КИХ-фильтров и их коэффициенты Ь(к) определяют веса, с которыми учитываются значения входного сигнала и(п—к), к = 1, д в формировании выхода х(п). Если все коэффициенты одинаковы, то алгоритм аналогичен формуле (4) вычисления среднего значения. Более естественным является выбор коэффициентов Ь(к) таким образом, чтобы ближайшие к х(п) значения и(п—к) учитывались с большим весом. В качестве такой убывающей функции может быть выбрана экспонента, поэтому предлагается использовать известный алгоритм экспоненциального сглаживания

Характеристика w(t) изменяется по экспоненциальному закону. Можно показать, что параметры передаточных функций Н0^) и ^^) связанны следующим выражением:

7=

Тф + т

(13)

Введем в рассмотрение относительные постоянную времени фильтра Тф = Тф / Т и частоту сопряжения fф = 1/ Тф, тогда формулу (13) можно переписать в виде:

7=

1

(14)

который, как и рекуррентная процедура (2), является простейшим БИХ-фильтром первого порядка. При обработке экспериментальной информации коэффициент у выбирается из диапазона:

для которой график зависимости параметра у от ^ для основной полуполосы нормированной частоты f е [0; 0,5] приведен на (рис. 1).

В соответствии с рис. 2 диапазон (11) изменения коэффициента изменится и будет определяться неравенством:

0,67<у<1.

(15)

На этапе предварительных исследований динамических процессов можно выбрать середину основ-

2

Нп\І,

і = 0

и

ф

f-

Рис. 3. Спектральная плотность мощности тренда

Рис. 5. Спектральная плотность мощности тренда за сутки

ной полуполосы f = 0,25 и соответствующее ему значение параметра экспоненциального сглаживания у = 0Д

Анализ процесса изменения естественной освещенности E(t) позволяет выбрать в качестве математической модели аддитивную зависимость вида:

E(t) = E0(t) + E(t). (16)

В выражении (16) под E0(t) понимается трендовое изменение освещенности, а E(t)— её случайная составляющая. Аналогичную модель можно записать и для дискретных значений:

E(n) = E 0(n) + E (n). (17)

Для более полного изучения процесса изменения естественной освещенности проводится оценка спектральной плотности мощности, которая в общем виде для дискретного случайного процесса x(n) вычисляется по формуле [1]:

_ L _

S(f) = T X R(m)ehj2pfmT). (18)

m =_ L

Спектральные плотности мощности S(f) для процессов естественной освещенности E(t) и тренда E0(t) показаны на рис. 2 и рис. 3. Для автоматизации расчетов использовалась процедура psd(x,nfft,Fmax) системы MathLab, описанная в [2].

Простой визуальный анализ приведенных графиков показывает, что для оценок S(f) необходимо

осуществлять процедуру сглаживания. Предлагается использовать параметрический подход, который основан на рассмотрении математических моделей исследуемых случайных процессов, как правило, заданного или определенного класса из которых можно выделить группу методов, получивших название «авторегрессионных» [1]. В этом случае моделью временного ряда является линейное разностное уравнение вида:

р

х(п) + X а(к) ■ х(п - к) =

к = 1

= Ь(0) ■ и(п) +Х Ь(к) ■ и(п - к) . (19)

к=1

Входным возбуждающим процессом и(п) является белый шум с нулевым математическим ожиданием и некоторой конечной дисперсией ри выходной случайный процесс х(п) должен иметь спектральную плотность С(Р) близкую или теоретически совпадающую с исходной спектральной плотностью £(/) исследуемого сигнала. В методах цифровой обработки сигналов [3] разностное уравнение (19) описывает рекурсионный или БИХ-фильтр (с бесконечной импульсной характеристикой). В методах статистического анализа это модель авторегрессии-скользя-щего среднего или АРСС (р, д) [4 — 6], частными случаями которой является авторегрессия АР(р), если Ь(к)=0 при к = 1, д и скользящего среднего СС (д), если а(к)=0 при к = 1, д. Под р и д понимается порядок АР или СС. При проведении спектрального

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012

анализа используется разностное уравнение АР (р), отсюда и название этой группы методов. Простейшим является метод Юла-Уолкера, когда составляется матричное уравнение:

Я *а = Я . (20)

XX и ' '

Здесь матрица состоит из (р+ 1)х(р+ 1) эле-

ментов, являющихся значениями автокорреляционной функции Я(т), причем т выбирается из те[—р; р ]. Вектор йц = |р„ 0 ...0|Т. Неизвестный вектор коэффициентов а = |1 а(1) а(1) ... а (р)|Т определяется путем решения уравнения Юла-Уолкера (20) в матричной форме:

а = й-1 . (21)

Автокорреляционная матрица является тёпли-

циевой, и вместо решения уравнения Юла-Уолкера (20) или обращения матрицы (21) разработан рекурсивный алгоритм Левинсона, который связывает АР-параметры выражением

ар(п)= ар-1(п)+ кр ар(р-п), (22)

где п = 1, р - 1.

В работе предлагается применять параметрический авторегрессионный гармонический алгоритм Берга. После вычисления коэффициентов ар(п),

п = 1, р формируется вектор а, и спектральная плотность мощности определяется по формуле [1]:

С(Г) = Т-Р»- (23)

еТ (/) ■ аТв(/)

где вектор е(^ состоит из элементов ек (/) = в-'2ШТ,

к = 0р .

Вычисления спектральной плотности мощности С(/) процессов естественной освещенности Е(^ и её тренда Е0(^ производились с использованием стандартных средств пакета МЛТЪЛБ. Графики соответствующих зависимостей приведены на рис. 4 и 5.

Анализ приведенных зависимостей на рис. и 5 подтверждает, что для полного сигнала Е(^ и тренда Е0(^ метод Берга дает достаточно хороший результат. Это объясняется тем, что практические результаты параметрических методов, в том числе и аналитические выражения (20) — (22), получены в [1] только для моделей авторегрессии, т.е. для инерционных цифровых фильтров, обрабатывающих сигнал белого шума. Исходные спектральные плотности мощности £(/) полной освещенности и ее тренда, показанные на рис. 3 и 4, являются характеристиками фильтров нижних частот, поэтому и обработка их инерционным фильтром АР(1) приводит к аналогичным

спектральным плотностям мощности вида G(f), которые приведены на рис. 4 и 5. Поэтому предлагается для оценивания спектральных плотностей мощности полного сигнала и тренда использовать метод Берга.

Таким образом, в работе на основе спектрального анализа подтверждена необходимость выделения тренда из процесса изменения естественной освещенности. В качестве алгоритма обработки экспериментальных данных предложено экспоненциальное сглаживание и обосновано оптимальное значение его параметра g. Постоянная составляющая E 0( t), выделенная из общего сигнала E (i), используется в автоматизированной информационно-измерительной системе управления наружным освещением для принятия решения о необходимом режиме включения.

Библиографический список

1. Марпл.-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С. Л. Марпл.-мл. ; пер. с англ. — М. : Мир, 1990. - 584 с.

2. Лазарев, Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB / Ю. Лазарев. — СПб. : Питер ; Киев : Издательская группа BHV, 2005. — 512 с.

3. Оптенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оптен-гейм, Р. Шафер. — М. : Техносфера, 2007. — 856 с.

4. Статистика / Под ред. И. И. Елисеевой. — М. : Высшее образование, 2006. —565 с.

5. Трояновский, В. М. Информационно-управляющие системы и прикладная теория случайных процессов / В. М. Трояновский. — M. : Гелиос APB, 2004. — 304 с.

6. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов / Дж. Бендат, А. Пирсол. — М. : Издательство МИР, 1974. — 464 с.

КРАСНОКУЦКИЙ Иван Николаевич, аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

БУБНОВ Алексей Владимирович, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий», заведующий секцией «Промышленная электроника». ОСИПОВ Дмитрий Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ПЕТРОВА Елена Владимировна, инженер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий». Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 23.12.2011 г.

© И. Н. Краснокуцкий, А. В. Бубнов, Д. С. Осипов,

Е. В. Петрова