CC BY
10
ботающих в экстремальных условиях. Трение и изнс. 2004, т.25, №3, с.316-336.
3. Маленков М.И., Каратушин С.И., Тарасов В.М. Конструкционные и смазочные материалы космических механизмов. Балт. Гос. Техн. Ун-т, СПб., 2007, с.
4. Хопин П.Н. Комплексная оценка работоспособности пар трения с твёрдосмазочными покрытиями в различных условиях функционирования. М., МАТИ, 2012, 256с.
5. Тёмкин И.В. Применение графита и дисульфида молибдена в качестве твёрдых смазок. М., 1966, 28с.
6. Мур Д. Основы и применения трибоники. Пер. с англ. М., Мир, 1978, 488с.
7. Диняева Н.С. Конструирование механизмов антенн. М., МАИ, 2002.
8. Завалов О.А. Конструкция вертолётов. М., МАИ, 2004, 316с.
АНАЛИЗ ЭКСПЛУАТАЦИОННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ, ВЛИЯЮЩИХ НА РАБОТОСПОСОБНОСТЬ УЗЛОВ
ТРЕНИЕ АГРЕГАТОВ С ТСП
Пак Хоссейн
АННОТАЦИЯ
К статье Пак Хоссейна «анализ эксплуатационно-технологических факторов, влияющих на работоспособность узлов трения агрегатов с твёрдосмазочными покрытиями»
Проанализированы основные факторы, влияющие на работоспособность пар трения с композиционными твёрдосмазочными покрытиями (ТСП) на основе антифрикционных наполнителей и связующих.
Представлен анализ влияние состава ТСП, основных технологических факторов (твёрдость образца и контртела), режимов нанесения и других. Рассматривается влияние эксплуатационных факторов (контактной нагрузки, скорости скольжения, температуры), условий фреттинг-корозии, влияние окружающей среды (вакуума, радиации) на работоспособность ТСП в парах трения.
ABSTRACT
To the article Pak Hossein "Analysis of operational and technological factors affecting the operation of friction units with solid lubricant coatings"
It analyzes the main factors influencing the performance of friction pairs with composite solid lubricant coatings on the basis of anti-friction fillers and binders.
The analysis of the effect of solid lubricant coatings composition, the main technological factors (the hardness of the sample and the opposing member), application modes, and others. The influence of operational factors (contact load, sliding speed, temperature), the conditions of fretting corrosion, the impact of the environment (vacuum, radiation) on the solid lubricant performance in friction pairs.
Ключевые слова: Твёрдосмазочные покрытия, Технологические и эксплуатационные факторы.
Keywords: Solid lubricating coating, technology and operational factors.
Качество TCП, нанесенного на детали узлов трения, определяется в основном долговечностью работы сопряжения, антифрикционными свойствами (йтр.) и температурной стойкостью в зависимости от большого числа факторов, касающихся как вопросов технологической подготовки поверхности трения и нанесения ТС11, так и воздействия эксплуатационных факторов (нагрузка контакте, скорость скольжения и др.) и влияния внешней среды.
1.3. Влияние технологических факторов на работоспособность твердосмазочных покрытий в парах трения ЛА
К технологическим факторам, влияющим на работоспособность пар трения ЛА с ТСП, необходимо отнести состав наносимого покрытая, качество контактных поверхностей трения (вид и режимы предварительной термохимической и механической обработки материала основы и контртела), режимы нанесения ТСП (перемешивание суспензии перед напылением и сам процесс нанесения покрытий), а также качество поверхности получаемого покрытия (толщина ТСП. волнистость, погрешность формы и др.). 1.3.1. Состав покрытия
Выбор ТСП из ассортимента покрытий типа ВНИИ НП произ-водится на основе анализа условий эксплуатации, соответствующих области применения покрытия, которая в свою очередь в значительной мере определяется составом ТСП, а, следовательно, и типом пленкообразующего вещества, так как наполнителем для покрытий типа ВНИИ НП и ВАП в основном служит MoS2.
Согласно данным различных исследователей наиболее долговечными как на воздухе, гак и в вакууме оказались покрытия с органическими пленкообразователями — моче-виноформальдегидной (ВНИИ НП 212) и эпоксидной смолой (ВНИИ НП 230), менее долговечными — покрытия с кремнийорганическими полимерами (ВНИИ НП 209,213). Наиболее существенное влияние на работоспособность связующих веществ оказывали повышенные температуры, которые после превышения определенного уровня приводили к деструкции и полимеризаций пленкообразователей. Так например, предельная температура для органических пленкоо-бразующих не превышает 200—250 оС, а для эле-
ментоорганических (например, кремнийорганических) — 500—600 оС.
1.3.2. Качество контактных поверхностей трения
Методы и режимы предварительной обработки подложки для пар трения с использованием ТСП регламентируются инструкцией. Согласно данным различных исследователей наибольшую долговечность указанных фрикционных сопряжений обеспечивает пескоструйная обработка материала основы до шероховатости металлической поверхности RZ = 1,6—3,2 мкм. Отмечается также (см. табл. 1), что твердость материала основы незначительно влияет на износостойкость рассматриваемых пар трения. Вместе с тем следует отметить, что приведенные в табл. 1. экспериментальные результаты обнаруживают некоторое возрастание долговечности пары трения при твердости подложки HRC = 29-31 ед. и HRC = 51 ед. По данным других исследователей повышенная твердость материала основы (достигнутая, например, путем термодиффузионного хромирования с после-дующей нитридизацией для нержавеющих сталей), приводит к улучшению антифрикционных характеристик пар трения с ТСП.
Согласно работе для стальных поверхностей эффективной предварительной обработкой перед нанесением покрытий на основе MoS2, работоспособных до 250 °С, является оксидное фосфатирование или последнее вместе с кадми-рованием. Для высокотемпературных покрытий на основе
Влияние твердости образцов на долгов
графита рекомендовано никелирование. Работоспособность ТСП на титановой основе обеспечивается обезжириванием, химическим никелированием или металлизацией молибденом с последующим пескоструением.
При работе узлов трения в контакте находятся две сопряженные поверхности. Эффективность ТСП на основе MoS2, нанесенного на одну из них, естественно будет определяться и комплексом физико-механических свойств ответной поверхности, на которой при скольжении также образуется смазочная пленка MoS2.
Исследование влияния шероховатости контртела на ра-бото-способность пар трения с применением MoS2 показало, что наилучше антифрикционные характеристики обнаруживаются при трении по шлифованной поверхности. Этот результат был подтвержден также и другими исследователями.
Зависимость износостойкости фрикционного сопряжения с ТСП от твердости контртела исследовалась в работе. Полученные данные (см. табл. 1) обнаруживают увеличение долговечности пары трения с ТСП с увеличением твердости сопрягаемой детали (неподвижный ролик) при неизменной твердости материала основы.
1.3.3. Режимы нанесения
В условиях производства наибольшие затруднения возникают на одном из самых ответственных этапов — при нанесении суспензии, образующей ТСП.
Таблица 1
шость пары трения с ТСП ВНИИ НП-212
Твердость, [ед.ЖС] Долговеч-нось,т, час. Твердость, [ед.ЖС] т,[час.]
подвижный образец неподвижный образец подвижный образец неподвижнй образец
9-11 60-62 19 48 60-62 19
20-22 60-62 20 51 60-62 24
29-31 60-62 24 60-62 9-11 7
32-36 60-62 21 60-62 30-33 15
40-42 60-62 20
До настоящего времени в подавляющем большинстве случаев в промышленности нанесение суспензий, образующих ТСП, производится вручную. В известной литературе не дается рекомен-даций по вопросам, связанным с технологией механизированного нанесения ТСП.
В то же время в работе отмечается необходимость тщательного контролирования техники нанесения ТСП со связующими для обеспечения равномерной толщины и хорошей адгезии покрытия к поверхности.
1.3.4. Качество поверхности ТСП
Согласно данным различных исследователей оптимальная толщина ТСП, обеспечивающая наибольшую дол-го-вечность фрикционного сопряжения, составляет 20—3D мкм для покрытий с органическим, кремнийорганическим и фторорганическими пленкообразователями и 8—10 мкм — для неорганических связующих. Отмечается также, что для ТСП, нанесенных без связующих веществ, толщина смазочной пленки в начале установившегося режима трения составляет 2—4 мкм, а в период задира — 0,4—0,6 мкм. Аналогичные результаты были получены для ТСП, образованных путем натирания пористым контртелом, пропитанным MoS2.
Несомненный интерес представляет также сопоставление долговечности пар трения с ТСП, нанесенным на обе поверх-ности трения, с фрикционным сопряжением, в котором покрытие нанесено лишь на одну поверхность. Поданным проф. Р.М. Матвеевского покрытие поверхностей трения вала и подшипника при возвратно — вращательном движении подшипника увеличивает долговечность пары трения с ТСП в 2—3 раза по сравнению с долговечностью той же пары, но при нанесении покрытия только на одну из рабочих поверхностей. В другой работе отмечается, что при нанесении ТСП ВНИИ НП 209 на оба ролика долговечность фрикционного сопряжения увеличилась примерно вдвое. К сожалению, на практике нанесение покрытий на обе контактные поверхности часто бывает затруднено вследствие сложности напыления ТСП на внутренние поверхности деталей (как, например, для пары трения «вал-втулка»).
1.4. Влияние эксплуатационных условий на работоспособность пар трения ЛА с ТСП
Помимо факторов технологического порядка работоспособность пар трения ЛА с ТСП на основе MoS2 со связующими веществами в значительной степени определяется условиями функционирования реальных сопряжений и, в
первую очередь, контактной нагрузкой, скоростью скольжения, температурой и воздействием окружающей среды. 1.4.1. Влияние контактной нагрузки
По данным большинства исследователей для пар трения с применением ТСП с увеличением контактной нагрузки наблюдается снижение коэффициента трения (йтр.) (рис. 1).
И2x100, [МП]
Рис. 1. Изменение йтр. MoS„ в зависимости от контактного давления Рконт:1- при однократном ходе ползуна; 2 — при многократных проходах ползуна; 3 — по данным Бойда и Робертсона
Причем согласно результатам исследований, приведенных в табл. 2, несмотря на увеличение йтр. с понижением нагрузки в 5,7 раза долговечность данного фрикционного сопряжения возрастает почти в 10 раз. Некоторые исследователи приводят данные, свидетельствующие о наличии оптимального значения контактной нагрузки, соответствующего максимальной долговечности рассматриваемых пар трения. Данный эффект, вероятно, связан со степенью при-работанности фрикционных сопряжений с использованием ТСП. Так, в первом случае приработка пар трения, вероятно, не проводилась (в приведенной выше работе упоминание
о приработанности фрикционного сопряжения отсутствует), что при малых контактных нагрузках могло привести к абразивному износу неприработанного слоя ТСП, так как значение контактной температуры трения вследствие незначительной нагрузки было недостаточным для создания на поверхности трения смазочной пленки. Аналогичными причинами можно объяснить сложный характер подобной зависимости, приведенной в работе, так как приработка в этом случае осуществлялась при незначительной скорости скольжения (V = 0,04 м/с).
Таблица 2.
Влияние нагрузки на работоспособность пары трения с ТСП ВНИИ НП 230
[Н] т [мин.] [М] тр.
600 10 780 ,028
00 730 3420 ,031
80 810 0530 ,107
1.4.2. Влияние скорости скольжения Другим важным параметром, определяющим работоспособность пар трения с ТСП на основе MoS2, является скорость скольжения. Согласно результатам исследований, представленных на рис. 2, для рассматриваемых пар трения при Рконт. = 0,4 МПа вначале с увеличением скорости скольжения до V = 1,5 м/с наблюдалось снижение йтр., а при скорости, превы-шающей указанное выше значение, происходило ухудшение антифрикционных характеристик.
Проведение параллельного измерения йтр. и температуры контактной поверхности позволило обнаружить тесную корреляцию антифрикционных характеристик ТСП и теплового режима трения. Аналогичные результаты были получены и другими исследователями. Согласно экспериментальным данным, полученным авторами работы и представленным в табл. 3, с увеличением скорости скольжения долговечность пары трения с применением ТСП ВНИИ НИ 212 снижается.
а) б)
Рис. 2. Изменение йтр. MoS2 в зависимости от скорости скольжения (а) и температуры поверхности трения (б)
а) б)
Рис. 3. Зависимости йтр. = й(Т) (а) и долговечности (б) ТСП на основе MoS2 различными ТСП и пленкообразователями от температуры: Верхний рисунок: 1 - ВНИИ НП212; 2 - ВНИИ ШНП213; Нижние рисунки: 1 — органический; 2 — неорганический; 3 — кремнийорганический; 4 — фторорганический
Таблица 3.
Влияние скорости скольжения на долговечность пары трения с ТСП (машина трения МИ, N=1600 Н, пара ЭИ-347 — ЭИ-347)
Скорост скольжения, [м/с] Т, ,[мин] и[М] йтр.
0,42 860 1600 0,031
0,59 560 9700 0,034
0,66 440 7700 0,028
0,76 290 3800 0,028
0,92 280 5500 0,025
1.4.3. Влияние фреттинг-коррозии
В подавляющем большинстве случаев узлы трения с ТСП работают в условиях возвратно-поступательного или реверсивного движения контактирующих поверхностей. Имеются сведения о существенном влиянии знакопеременного режима движения на долговечность таких покрытий. Так например, при испытании по роликовой схеме были получены результаты, представленные в табл. 4.
Как видно изданных табл. 4, переход к реверсивному движению привел к существенному снижению долговечности е, которое носит избирательный характер и зависит от природы и типа связующего компонента покрытия. Долговечность лучшего покрытия ВНИИ НП 230 на основе органического связующего снизилась в 8 раз, покрытия ВНИИ
НП 250 на основе кремнийорганического связующего — в 16 раз и покрытия ВНИИ НП 229 на неорганической основе — более чем в 30 раз. В группе покрытий на органической основе различие в степени изменения долговечности имеет более чем двукратное значение. Наибольшую стабильность к измененным условиям работы и максимальную долговечность в режиме колебательного движения показало покрытие ВНИИ НП 230 на основе органического связующего. С переходом к новому виду движения выявилась особая «чувствительность» проявилась у ТСП ВНИИ НП 212 с органическим связующим. Степень снижения его долговечности (в 20 раз) характерна для покрытий на кремнийорганической и неорганической основах.
Таблица 4.
Результаты испытания ТСП (макс = 7500 кгс/см2, комнатная температура)
Тип ТСП Путь трения Lскольж.при скольжени,п=200 об/мин [м] Путь трения Lколеб..прире-версивнм движенииД=200 колеб./мин, <а=10°,[м] Изменение долговечности =Ьскольж/ Lколеб..
ВНИИ НП 230(органиче ская связка) 60000 7540 8
ВНИИ НП 212(органиче ская связка) 26800 1380 20
ВНИИ НП 250 (кремнийор-ганическая связка) 16400 1010 16
ВНИИ НП 229(силикат натрия) 6700 200 34
1.4.4. Влияние температуры
Исследования, проведенные под руководством проф. Р. М. Матвеевского (см. рис. 3) показали, что нагрев до 100— 150 °С приводит, как правило, к снижению значения f пар трения с ТС11. При дальнейшем возрастании температуры испытаний коэффициент трения данных фрикционных сопряжений начинает возрастать.
Согласно приведенной на рис. 3б зависимости наибольшая долговечность рассматриваемых пар трения наблюдалась при температурах 100—150 °С, что согласуется с ранее приведенными данными (рис. 2). Наличие области оптимальных температур большинство исследователей объясняет размягчением при этой температуре связующих веществ ТСП и улучшением условий для ориентирования частиц MoS2 в направлении трения. Разрушение ТСП при высоких температурах объясняется деструкцией пленкообразующих веществ. Большинство ТСП на основе MoS2 со связующими веществами сохраняют работоспособность и при пониженных температурах. В работе указывается, что ТСП ВНИИ НП 212 оказалось работоспособным при криогенной температуре Т = —196 °С (испытания осуществлялись в условиях вакуума при р = 1,33х10-5 — 1,33х10-6 Па. Причем значение йтр во время эксперимента было практически постоянным. По другим данным антифрикционные свойства MoS2 в условиях вакуума (р = 1,33х10-5 Па) при температуре Т = —193 оС несколько ухудшаются(й = 0,039 по сравнению с йтр= 0,025, полученным при нормальной температуре).
1.4.5. Воздействие окружающей среды
Поданным большинства исследователей окисление MoS2 кисло-родом воздуха происходит при 300—350 °С, однако в условиях трения, по мнению Е^ Брейтуэйта, частичное окисление MoS , до МоО3 начинается уже при 150—170 °С.
йр. Дт =0.5ч. Дт =2ч.
Эти данные подтверждены также и другими исследователями. При иссле-довании влияния длительности неподвижного контакта (Дт) на ftp. пары о ТСП на основе MoS2 в работе впервые было отмечено возрастание ftp. при возобновлении скольжения (рис. 4). Это явление было названо «стоп-эф-фектом». На основании прове-денных исследований был сделан вывод о том, что возрастание ftp. в 2 раза после возобновления скольжения не зависит от продолжительности остановки узла трения (для Дт = 0,5 часа и более). Авторы объясняют этот эффект тем, что в процессе трения MoS2 на воздухе возможно образование трехокиси молибдена МоО3, которая при остановках узла трения вследствие гидрофиль-ности может поглощать влагу из воздуха. В результате этого и происходит возрастание ftp. до 0,28—0,3 при возобновлении скольжения. В дальнейшем в процессе наработки вследствие фрикционного нагрева влага с поверхности трения удаляется и ftp. снижается до своего установившегося значения. Если в период остановки нагревать зону контакта до 60—80 оС, то возрастания ftp. при возобновлении скольжения не происходит. Однако этот эффект наблюдался также и при испытаниях в вакууме, где вследствие разряженности атмосферы окисление MoS2 затруднено, чем и была вызвана необходимость более подробного изучения описанного явления. К тому же до настоящего времени недостаточное внимание уделялось методам борьбы с ним. Кроме описанного выше нагревания зоны контакта в рассмотренной литературе был обнаружен еще лишь один способ воздействия на окислительную смазочную структуру MoS2 о целью предотвращения «стоп-эффекта». Бэллоу и Россом предложили проводить обработку гидрофильного слоя МоО3 при помощи гидроокиси аммония и газообразного H2S при 125 оС.
Дт =6 . Дт =24ч. Дт =48ч.
Рис. 4. Влияние продолжительности неподвижного контакта на коэффициент трения MoS2 на воздухе (Рконт =0,4 МПа, V = 0,7 м/с)
При проведении испытаний пар трения с ТСП на основе MoS2 в условиях глубокого вакуума многими исследователями отмечалось снижение коэффициента трения в 2 раза и более.
График изменения йр. MoS2 и графита для вакуумных условий в зависимости от температуры приведен в работах (рис. 5).
Автор отмечает, что при комнатной температуре трение дегази-рованного в вакууме MoS2 меньше, чем графита (йр.] 0,6). Даже после нагревания в вакууме до температур
[800 °С у MoS2 в проти-воположность графиту увеличения трения не наблюдается. Коэффи-циент трения практически не возрастает до температуры ~800 °С, при которой уже начинается разложение MoS2.
В реальных условиях космического пространства при испытании твердыхсмазокнаосновеМо52наамериканском-спутнике «Рейнджер-1» наблюдалось снижение коэффициента трения по сравнению с его величиной, полученной в лабораторном вакууме.
Согласно данным работы наибольшую долговечность в условиях вакуума обнаруживают покрытия рассматриваемого типа с использованием в качестве пленкообразователя мочевиноформальдегидного (ТСП ВНИИ НП 212) и эпоксидного полимеров (ВНИИ НП 230), меньшую износостойкость проявляют покрытия с кремнийорганическим связующим (ТСП ВНИИ НП 209, 213).
Следует также отметить, что, несмотря на большое количество исследований, комплексному изучению влияния различных факторов на работоспособность рассматриваемого фрикционного сопряжения до последнего времени уделялось недостаточное внимание. В рассмотренной литературе найдены лишь 2 работы, посвященные этому вопросу. В статье приводится двухфакторная модель зависимости срока службы пары с ТСП ВНИИ НП 212 от нагрузки и скорости скольжения для условий вакуума (р = 13,3 мкПа). Однако практическое использование данного уравнения затруднено по ряду причин. Нагрузочный фактор входит в формулу в абсолютном выражении, в то время как при расчетах реальных пар трения используется универсальный параметр контактного давления. К тому же в качестве параметра оптими-зации выбран срок службы ТСП, выраженный в количестве циклов взаимодействий, что также затрудняет использование данной модели в конструкторской практике.
В другой работе на основе спланированного экспе-ри-мента получены модели зависимости коэффициента трения й от контактного давления Р, скорости скольжения V и шерохова-тости контртела Ra для ТСП ВНИИ НП 212 и 230. Однако данные модели, полученные позднее опубликованных автором настоящей монографии зависимостей [см. Хопин П. Н. Исследование влияния эксплуатационно-технологических факторов на работоспособность узлов трения летательных аппаратов с применением твёрдосмазочных покрытий на основе дисульфида молибдена. Автореферат диссерт. на соиск. уч. ст.к.т.н. М., МАТИ, 1982, 20 с.], охватывают узкие диапазоны варьирования факторов Р= 0,8-2,2 МПа, V = 0,065-0,38 м/с, что затрудняет их практическое применение.
В работе [92] разрабатывается возможность оценки ресурса работы ТСП ВНИИ НИ 212 и 230 для условий вакуума (Р = 1,33x10-4 Па) с использованием парйметра ин-тенсив-ности изнашивания. Такой подход не учитывает физической сущности процессов, происходящих при трении ТСП, т. к. основан на усталостном разрушении шероховатости контртела. Не учиты-ваются оптимальные условия адгезии ТСП к основе, обеспечи-ваемые соответствующей обработкой материала основы и самим составом ТСП, как композиционного материала, куда обязательно входит плёнкообразующая полимерная смола. С конструкторской точки зрения расчёт ресурса с помощью интенсивности износа не учитывает также конкретной скорости скольжения, ока-зы-вающей наиболее существенное влияние на ресурс. К
тому же расчёт по этой методике даёт разброс до 4,3 раз и существенно зависит от точности измерения толщины ТСП.
Существенным фактором для летательных аппаратов, функци-онирующих в условиях вакуума при интенсивном облучении, является воздействие радиации. Согласно результатам исследо-ваний, представленным в работе, при проведении испытаний на трение пар с ТСП на основе MoS2 с различными плёнкообразователями, подвергнутых воздействию радиации, их триботехнические параметры практически не изменялись.
Известный интерес представляет также открытие в 1969 году эффекта сверхнизкого трения на полиэтилене и полипропилене после бомбардировки их ускоренными атомами гелия, объясня-емого интенсивным очищением поверхностей тремя от загрязнений. Авторы открытия продолжили исследования в этом направлении, но уже с MoS2, синтезированном на молибденовой подложке в виде слоя толщиной 50 мкм, полученного по технологии ВНИИОФИ. В результате проведенных экспериментов было установлено, что в указанных условиях значение йтр. для этого материала может быть снижено до величины йтр.~ 10-3 . Однако в обоих случаях эффект исчезал после выключения источника обучения или при напуске в камеру атмосферы. Описанное явление не наблю-далось при испытаниях композиционного материала типа «аман» (MoS2 с органическим связующим) и графита АГ-600. Практическое использование данного эффекта затруднено по ряду причин как конструкционного (необходимость вакуумирования и применения специальных источников облучения для пар, функционирующих в нормальных атмосферных условиях и подверженных вследствие этого интенсивному окислению), так и технологического порядка (описанный эффект наблюдался лишь для определенной модифи-кации смазочного материала из MoS2, в то время как в реальных парах трения по технологическим, прочностным и ряду других харак-теристик использование данного материала не всегда возможно).
Учитывая перспективность применения в указанных экстре-мальных условиях самосмазывающихся материалов (СМ), были осуществлены сравнительные исследования, позволившие выявить оптимальный вид ТСП или СМ для конкретных условий функциони-рования как в нормальных атмосферных условиях, так и в вакууме.
Литература
1. Брейуэйт Е.Р. Твёрдые смазочные материалы и антифрикционные покрытия. М., Химия, 1967, 320с.
2. Ковалёв Е.П., Игнатьев М.Б., Семёнов А.П. и др. Твёрдосмазочные покрытия для машин и механизмов, работающих в экстремальных условиях. Трение и изнс. 2004, т.25, №3, с.316-336.
3. Маленков М.И., Каратушин С.И., Тарасов В.М. Конструкционные и смазочные материалы космических механизмов. Балт. Гос. Техн. Ун-т, СПб., 2007, с.
4. Хопин П.Н. Комплексная оценка работоспособности пар трения с твёрдосмазочными покрытиями в различных условиях функционирования. М., МАТИ, 2012, 256с.
5. Тёмкин И.В. Применение графита и дисульфида молиб-дена в качестве твёрдых смазок. М., 1966, 28с.
6. Мур Д. Основы и применения трибоники. Пер. с англ. М., Мир, 1978, 488с.
7. Диняева Н.С. Конструирование механизмов антенн. М, МАИ, 2002.
8. Завалов О.А. Конструкция вертолётов. М., МАИ, 2004, 316с.
ОДНОМЕРНАЯ И ДВУМЕРНАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ УПАКОВКА
Ромм Яков Евсеевич, Назарьянц Елена Геворговна
доктор технических наук, профессор, член Европейской Академии Естествознания (EuANH) от 21 января 2011 г.,
сертификат № 0002365, заведующий кафедрой информатики, аспирантка кафедры информационных систем и прикладной информатики г.Таганрог, ТИим. А.П. Чехова (филиал) ФГБОУВО "РГЭУ (РИНХ)"
АННОТАЦИЯ
Представлены параллельные алгоритмы решения задач одномерной и двумерной упаковки, которые основаны на видоизменении формул Виета для выражения коэффициентов многочлена по его корням с целью генерации сочетаний. Кроме того используется максимально параллельная форма сортировки подсчетом. Алгоритмы являются детерминированными, их временная сложность на модели неветвящихся параллельных программ имеет полиномиальную оценку за счет роста количества процессоров.
ABSTRACT
There are presented parallel algorithms for solving of one-dimensional and two-dimensional packaging, which are based on the modification of the Vieta formulas to express the polynomial coefficients for its roots to generate combinations. Also there are used the maximum parallel form of counting by sorting. The algorithms are determini^ic, their time complexity on the Sraight-line model of parallel programs has a polynomial e^imation due to growth in the number of processors.
Ключевые слова: одномерная и двумерная упаковка, детерминированные параллельные алгоритмы, полиномиальная временная сложность
Keywords: one-dimensional and two-dimensional packing, determini^ic parallel algorithms , polynomial time complexity
Задача одномерной упаковки. Рассматривается традиционная постановка задачи о рюкзаке: имеется набор из п предметов, каждый предмет имеет вес w и цену р;,
i = 1,2,..., п , требуется собрать набор с максимальной ценой таким образом, чтобы он имел вес не больше w, где w- вместимость рюкзака [1]. Формальная запись постановки задачи:
f (x) = Z Pi X ^
Z wi xi - w
i=i
x.
e{0,l), 1 - i - n.
Pn (x) = dnxn + dn-1xn-1 + dn-2x"-2 +... + d1x + d0 его корни в виде [1]:
d-i 0 0
d0 0 0
1 0 0
x.-2 1 0
0 x.-2 \
0 0 ■ n 0 ............1
0 0 xt
0 x-.-x 0
1 0 0
x2 1 0
0 x2 1
0 0 x 2
где - ьй корень многочлена, i = 0,1, ..., п — 1,
предполагается, что dn = 1.
Формулы Виета для коэффициентов того же многочлена имеют вид:
dn-1 =- О 0 + x1 + x 2 + ... + x n-1)
dn-2 = ( x 0 • x1) + (x 0 • x2 ) + ... + ( x 0 • x n-1) + ... + ( x n-2 • x n-1 ) dn-3 = -(x0 • x1 • x2 + x0 • x1 • x3 + ... + xn-3 • xn-2 • xn-1)
dn-l = (-1)n-1 • (x0 • x1 • x2 • x3... • xl-1 + ... + xn-l-1 • ... • xn-1)
Алгоритм выборки всех возможных сочетаний слагаемых для решения задачи о рюкзаке
Построение алгоритма опирается на структуру матричной формулы восстановления коэффициентов многочлена по его корням с точностью до выполнения операций, при этом непосредственно в исходном виде арифметические операции не выполняются. Коэффициенты многочлена
d0 = (-1)n • (x0 • x1 • x2
• x n-1)
(2)
выражаются через
Левые части равенств (1) и (2) одинаковы, соответственно равны правые части. В правых частях (2) - всевозможные сочетания корней, которые не повторяются, поэтому формула (1) порождает алгоритм генерации всех возможных сочетаний, если не принимать во внимание операции умножения и сложения. Если веса предметов в задаче о рюкзаке интерпретировать как корни многочлена, то из (1) следуют все возможные сочетания весов из п по т. В этой интерпретации произведение всех весов в сочетании заменяется на их сумму и не принимается во внимание знак слагаемых. Аналогично, в (2) следует заменить знак умножения на знак сложения, знак суммы - на любой знак, обозначающий сочетание элементов (в таком качестве ниже выбрано логическое «ИЛИ»). С этими поправками по ходу умножения матриц (1) на момент окончания процесса получаются все сочетания из п по т предметов с заданными весами.
dn = 1
x
n-2
1 0
x, 1
d. 1 0 x
1 0
n + 1
x I x, 1 |x
0x
00
