Анализ экспериментальных геодинамических сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 156-162

= ИНФОРМАТИКА =

УДК 669.187

Анализ экспериментальных геодинамических сигналов

О.А. Афанасьев

Аннотация. Рассмотрена задача выделения информативных участков нестационарного дискретного экспериментального геоди-намического сигнала, используя адаптивный метод сегментации, описание однородных фрагментов сигнала, применяя процедуру быстрого вейвлет-преобразования.

Ключевые слова: структурный анализ, нестационарный сигнал, адаптивный метод, вейвлет-преобразование.

В наши дни очень активно ведется разработка новых математических моделей, позволяющих прогнозировать различные природные явления, с целью сведения к минимуму рисков крупных человеческих жертв. Наряду с этим актуальным является и использование уже существующих математических моделей.

Для практики сейсмических исследований в системах управления и регистрации данных часто возникает необходимость обработки экспериментальных сигналов. Существуют два разных подхода к их обработке. Первый — методы обработки сигнала в целом. И второй подход — структурный. Он состоит, в общем случае, в реализации следующих задач:

1) задачи сегментации, то есть выделения однородных фрагментов на реализации сигнала;

2) задачи описания однородных фрагментов;

3) задачи анализа порядка чередования разных типов фрагментов.

Исходными данными для исследований являются данные измерений

геодинамических поляризационных потенциалов в лаборатории кафедры ОТ-СиЛП (Общая теория сварки и литейного производства) Тульского государственного университета на широкополосном градиентометре. В данной статье рассмотрены первые две задачи.

Логично предположить, что рассматриваемый дискретный сигнал в данной работе — как отражение совокупного проявления различных процессов, проходящих в нутрии нашей планеты, имеет как стандартные проявления, какими сложными и «резкими» они не казались на первый взгляд, так и «нестандартный» — предвестники «болезней планеты», как правило

выражающихся в виде природных катаклизм (цунами, землетрясений) на каждом отдельно взятом промежутке реализации сигнала. В целях уменьшения объема обрабатываемой информации, и, как следствие, увеличения скорости ее обработки, а главное, повышения качество анализа, возможно подробно рассматривать не всю реализацию сигнала, а только интересующие нас участки — «нестандартные». Это можно сделать следующим образом: с помощью скользящего окна 5, захватывающего фиксированный интервал времени шириной N, и применяя процедуру экстраполяции (предсказания) по N значениям, получаем расчетную N + 1 точку. Это будет точка расчетного сигнала. Эта расчетная величина как бы показывает, как будет вести себя анализируемый сигнал (а, по сути, процессы внутри земли) в N + 1 точке отсчета, если на N +1 этапе не произойдет никаких отличных процессов от тех процессов, которые происходили на интервале 5. Итак, двигаясь вдоль всего анализируемого сигнала с шагом одно значение и фиксированным интервалом, мы получим новый расчетный сигнал, новую кривую.

Т.о., построенный выше указанным способом, экстраполированный дискретный сигнал, в каких-то точках будет совпадать с исходным, а в каких-то и различаться. В частности, такие точки совпадения показывают моменты перехода от одних «нестандартных процессов», происходящих внутри земли, к другим. Таким образом, данный подход можно использовать для сегментации исходного сигнала, для определения моментов «разладок». При этом подходе, возможно не только построение границ однородных фрагментов сигнала, но и исключение неинформативных фрагментов.

Данный подход можно отнести к адаптивным методам сегментации, который был подробно разработан Боденштайном и Преториусом (1977) и получил наибольшее распространение [1].

Нужно отметить, что свой метод сегментации Боденштейн Г., Преториус Х.М. разрабатывали для автоматического анализа клинической ЭЭГ. Предполагалось, что ЭЭГ состоит из квазистационарных участков. В нашем же случаи, мы имеем сигнал, где стационарные участки скорее исключения, чем практика.

Поэтому, для преодоления указанных недостатков, предлагается применять в качестве экстраполяции экспериментального сигнала процедуру адаптивного метода прогнозирования. Более подробно эта задача изучена в [8].

Экспоненциальная средняя часто используется для краткосрочного прогнозирования. В этом случаи предполагается, что ряд генерируется моделью

Хг = + £г,

где а\,г — варьирующий во времени средний уровень ряда; ег — случайные

неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием 2

и дисперсией а .

Прогнозная модель имеет вид

Х т (г) = а 1,г,

* / \

где Х т(г) — прогноз, сделанный в момент г на т единиц времени вперед;

*

а — оценка а^.

Средством оценки единственного параметра модели служит экспоненци-

*

альная средняя а 1,г = 5г. В частности, если 5г_1 рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед, то величина (хг — 5г_1) есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз Бг получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит существо адаптации.

Если, например, ограничиться линейной моделью (модель линейного ро*

ста Брауна), Х г = 01,г + т02,г, где т — число шагов прогноза, то коэффициенты а1, г и 0,2г оцениваются:

а1, г = с1, г_1 + 02, г_1 + (1 — в 2)ег, с2, г = с2 ,(г_1) + (1 —

*

где а — параметр сглаживания в диапазоне 0 < а < 1, Х г_1 — предыдущее сглаженное значение, (хг — Х г_1) — ошибка прогнозирования, в — коэффициент дисконтирования, характеризующий обесценение данных наблюдений за единицу времени, в = 1 — а.

Браун предложил задавать веса исходя из ряда бесконечную геометрической прогрессии. В результате подстановок и сокращений Брауном была получена очень удобная формула для краткосрочного прогноза:

**

Х г = ахг_1 + (1 — а) Х г_1 *

И только при наличии Х о можно рассчитать прогноз на следующий шаг. В качестве начального значения можно использовать арифметическую среднюю всех имеющихся точек или какой-то ее части [2]. Со временем, вес начального приближения будет уменьшаться, и после к шагов окажется равным (1 — а)к. В случаи большой выборки, вес начального приближения будет ничтожно мал. Когда число наблюдений не велико да еще и мала постоянная сглаживания, то обсуждаемый вес может быть большим, оказывающим влияние на прогнозирование.

Вопросы точности прогнозирования методом Брауна решаются, как и работе [4]:

Для некоторого значения параметра сглаживания а с первого возможного до последнего значения ряда определяются расчетные (прогнозные) значения и вычисляются ошибки ретропрогнозов по формуле:

£г = (хг — Х г).

Для разных наблюдений ошибка ведет себя по-разному, поэтому она сама мало информативна. На практике используют такие обобщенные ее

характеристики, как минимум дисперсии или минимум суммы абсолютных отклонений, которые определяются, соответственно, формулами:

N

К1 = е2, (Критерий А)

г=1

или

N

К2 = шт^^ \ег\. (Критерий В)

г=1

Будем рассматривать метод Брауна в запредельном множестве параметра сглаживания 0 < а < 2 [3]. Его называют множеством Светунькова в честь открывшего его существование профессора СПбГУЭФ С.Г. Светунькова (и многие другие работы этого профессора). Множество Светунькова является областью оптимальных значений постоянной сглаживания модели Брауна в тех случаях, когда прогнозируются нестационарные ряды.

Результаты расчетов показали [4], что при рассмотрении стандартных составляющих динамических рядов, оптимальные значения для параметра сглаживания получаются в диапазоне 0 < а < 2 (табл. 1).

Таблица 1

Оптимальные значения параметра сглаживания для стандартных составляющих динамических рядов

Модель, с помощью которой генерировался динамический ряд Оптимальное значение параметра сглаживания для (Критерия А) Оптимальное значение параметра сглаживания для (Критерия В)

Линейный рост 1,54726149 1,55401141

Линейное убывание 1,54726149 1,55401145

Экспоненциальный рост 1,85473133 1,79867905

Синусоида (три перехода) 1,49669408 1,54269965

Парабола второй степени (вогнутая) 1,47241314 1,47222224

Сумма синусоиды, параболы и экспоненты 0,27746361 0,23485528

Логарифмическая функция 1,27452774 1,45066021

Таким образом, в статье рассмотрена задача выявление нестандартных участков исследуемого сигнала, позволяющее провести не только сегментацию дискретного сигнала, но и исключить неинформативные фрагменты данного сигнала, что значительно повысит качество его дальнейшей обработки. Предложен новый метод сегментации, основанный на существующих

адаптивных методах сегментации, но позволяющий работать и с нестационарными дискретными сигналами.

Существует множество способов описания однородных фрагментов сигнала после сегментации. Но, к сожалению, большинство из них позволяют работать лишь со стационарными участками сигнала. Поэтому, предлагается новый подход в описании однородных фрагментов, позволяющий работать с нестационарными сигналами.

Для дискретных сигналов большое распространение получила процедура Быстрого вейвлет-преобразования (БВП).

При исследовании сигналов полезно их представление в виде совокупности последовательных приближений грубой (аппроксимирующей) Ат(Ь) и уточненной (детализирующей) Вт(Ь) составляющих

т

Я(Ь) = Ат(Ь)+^ В3 (Ь)

3=1

с последующим их уточнением итерационным методом.

Каждый шаг уточнения соответствует определенному масштабу ат (т.е. уровню т) анализа (декомпозиции) и синтеза (реконструкции) сигнала. Такое представление каждой составляющей сигнала вейвлетами можно рассматривать как во временной, так и частотной областях. В этом и есть суть кратномасштабного анализа (КМА) [7].

Пусть имеется непрерывный сигнал Я(Ь) € Уо. Дискретный сигнал Sd интерпретируем как последовательность коэффициентов ак, полученную в ходе КМА сигнала Я(Ь) при масштабирующих функциях фок (Ь)

Я (г) = Ао(Ь) = ^2 аок фок (Ь), к

где аок = ак = (Я(Ь), фок(Ь)) — коэффициенты аппроксимации на уровне т = = 0.

По концепции КМА сигнал Я(Ь) декомпозируется на две составляющие (принадлежащие подпространствам У1 и ^1):

Я(г) = А1(г) + Б^г) = ^ а1к ф1к (г) + ^ ^ ^к (г)-

кк

Следовательно, получены две новые последовательности а1к и ^к. Отметим, что последовательности а1к и ^к имеют половинную длину по сравнению с аок. Далее процесс декомпозиции может быть продолжен по А1(Ь) (подпространства У2 и подпространства У_1, У_2,.. .не имеют значения при принятой интерпретации). Сигнал Я(Ь) на уровне декомпозиции т будет представлен совокупностью коэффициентов атк и йтк.

Отметим, что вычисления атк и йтк по-прежнему зависят от непрерывных базисных функций ф(Ь) и ф(Ь). Как показано в [5] эти функции

однозначно определяются коэффициентами Нг:

ф(Ь)=2^2 Нгф(2Ь - I), (1)

г

т = 2^(-1У Н_г ф(2Ь - 1)=2Ц ® ф(2Ь - 1), (2)

г г

Нг = (ф(г), ф(2Ь - I), gl = (-1)г Н2и_1_г,

где I = 0,1,... ,1о = 2п - 1, п — порядок вейвлета. Вейвлеты п-го порядка существуют только на интервале длиной 2п - 1 и имеют 2п отличающихся от нуля коэффициентов Нг.

Из (1) и (2) можно получить следующие соотношения:

атк = (Я(Ь'),фтк (Ь) ^ ' Н1_2к (ф(Ь),фт_1,1(Ь) ^ ' Н1_2к а1,т_1,

г г

Атк = (Я (Ь),фтк (Ь)) = ^2 ё1_2к (ф(Ь) ,'фт_1,г(Ь)) = ^2 gl_2k ¿1,т_1 ■

г г

На практике наименьший возможный масштаб (наибольший возможный уровень разрешения по) определяется числом N дискретных значений сигнала (К = 2и0). На самом «тонком» значении масштаба (т = 0, а = 2т = 1) в качестве аппроксимирующих коэффициентов аок принимаются сами отсчеты Si сигнала Я(Ь), т.е. аок = Si, к = г, г = 0,1,...,К - 1. При переходе от текущего масштаба т к следующему т + 1 число вейвлет-коэффициентов уменьшается в два раза и они определяются по рекуррентным соотношениям:

ат+1,к 'У ' Нг_2катЬ Ат+1,к "У ' ©_2катг.

г г

Процесс останавливается после конечного числа уровней т, которое зависит от протяженности сигнала N и порядка I фильтра Нг.

Таким образом, рационально представление отдельных (информативных) участков наблюдаемого сигнала в виде векторов с параметрами, состоящих из определенного набора коэффициентов декомпозиции Атк, при применении вейвлет анализа к однородным фрагментам сигнала, используя при этом восьмиточечный фильтр, п = 4 [6].

Список литературы

1. Боденштейн Г., Преториус Х.М. Выделение признаков из электроэнцефалограммы методом адаптивной сегментации // Тр. Ин-та инженеров по электротехнике. 1977. Т. 65, №5. С.59-71.

2. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. М.: Финансы и статистика, 2003. 400 с.

3. Светуньков С.Г., Бутуханов А.В., Светуньков И.С. Запредельные случаи метода Брауна в экономическом прогнозировании. СПб.: СПбГУЭФ, 2006. 71 с.

4. Гурнович Т.Г, Косенко С.Г., Торопцев Е.Л. Практическое применение метода Брауна для краткосрочного прогнозирования динамики рынка парфюмерии и косметики // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: Куб-ГАУ, 2007. №26 (02). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2004/05/03/p03.asp, 0,6 п. л. (авт. 0,3 п. л.).

5. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика Вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999, 208 с.

6. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: СОЛОН-Р, 2002, 446 с.

7. Яковлев А.Н. Основы вейвлет преобразования сигналов. Подольск: САЙНС-ПРЕСС, 2003. 79 с.

8. Афанасьев О.А. Анализ геодинамических экспериментальных сигналов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.2. С.159-167.

Афанасьев Олег Александрович (leader-express@tula.net), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Analysis of experimental geodynamic signal O.A. Afanasiev

Abstract. The problem of selection of informative sites of nonstationary discrete geodynamic pilot signal using an adaptive segmentation method, the description of homogeneous fragments of the signal, applying the fast wavelet transform procedure.

Keywords: structural analysis, transient signal, adaptive method, the wavelet transform.

Afanasiev Oleg (leader-express@tula.net), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 14.05.2010