Анализ динамики показателя Херста для временных рядов скорости ветра в ионосфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

Анализ динамики показателя Херста для временных рядов скорости ветра в ионосфере Абдуллин А. В.1, Филинёв П. А.2, Салахиев Р. Г.3, Шаропов М. М.4

1Абдуллин Алмаз Вагизович /Abdullin Almaz Vagizovich - студент;

2Филинёв Павел Александрович /Filinev Pavel Aleksandrovich - студент;

3Салахиев Руслан Гаптенурович / Salahiev Ruslan Gaptenurovich - студент;

4Шаропов Марсель Маратович / Sharopov Marsel'Maratovich - студент, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева, Зеленодольский институт машиностроения и информационных технологий (филиал), г. Зеленодольск, Республика Татарстан

Аннотация: в данной статье говорится об анализе динамики показателя Херста для временных рядов скорости ветра в ионосфере. При этом период учета этого показателя равен одному месяцу.

Ключевые слова: показатель Хёрста, ионносфера Земли.

Экспонента Хёрста, показатель Хёрста или коэффициент Хёрста — мера, используемая в анализе временных рядов. Эта величина уменьшается, когда задержка между двумя одинаковыми парами значений во временном ряду увеличивается. Впервые это понятие использовалось в гидрологии в практических целях для определения размеров плотины на реке Нил в условиях непредсказуемых дождей и засух, наблюдаемых в течение длительного времени. Название «Экспонента Херста» или «Коэффициент Херста» дано в честь Гарольда Эдвина Хёрста (англ.) русск. (1880—1978) — ведущего исследователя того времени в этой области. Стандартное обозначение H также дано в честь него [1].

Ионосфера, в общем значении — это слой атмосферы планеты, сильно ионизированный вследствие облучения космическими лучами. У планеты Земля — это верхняя часть атмосферы, состоящая из мезосферы, мезопаузы и термосферы, главным образом ионизированная облучением Солнца.

Ионосфера Земли состоит из смеси газа нейтральных атомов и молекул (в основном азота N2 и кислорода О2) и квазинейтральной плазмы (число отрицательно заряженных частиц лишь примерно равно числу положительно заряженных). Степень ионизации становится существенной уже на высоте 60 километров [2].

Рассмотрим основные понятия и термины, относящиеся к динамическому (детерминированному) хаосу. Детерминированность системы означает наличие однозначной причинно-следственной связи в её поведении, а хаосу соответствует случайный процесс.

Временные последовательности можно исследовать с помощью эмпирического закона Хёрста, методом нормированного размаха или методом Хёрста. Временные последовательности характеризуются показателем Хёрста Н. Персистентными (сохраняющими имеющуюся тенденцию) называются временные последовательности, для которых Н больше 0.5. Если приращения были положительными в течение некоторого времени в прошлом, то и в будущем в среднем будет происходить увеличение. Для процесса с Н > 0.5 тенденция к увеличению в прошлом означает тенденцию к увеличению в будущем. Тенденция к уменьшению в прошлом означает продолжение уменьшения в будущем. Чем больше показатель Хёрста, тем сильнее тенденция. В случае Н=0.5 никакой тенденции процесса не обнаружено. Антиперсистентным называется случай Н < 0.5 - рост в прошлом означает уменьшение в будущем, а тенденция к уменьшению в прошлом делает вероятным увеличение в будущем. Чем больше модуль показателя Хёрста, тем больше эта

вероятность. В антиперсистентных процессах после возрастания переменной происходит её уменьшение, а после уменьшения - возрастание.

Для обработки временных рядов в работе [3] использована программа FRACTAN 4.4. [http://impb.psn.ru/~sychyov/fractan/fractan.zip] Программа рисует отсчёты, автокорреляционную функцию, среднюю взаимную информацию, траекторию в фазовом пространстве, корреляционную энтропию или зависимость нормированного размаха для расчёта показателя Хёрста. Результаты обработки файла данных записываются в три текстовых файла:

1) файл корреляционной размерности (*.dim);

2) файл корреляционной энтропии (*.ent);

3) файл показателя Херста (*.exp).

Гарольд Эдвин Хёрст, составляя алгоритм движения воды из Нильских резервуаров, открыл закономерность подъема и спуска уровня воды в Ниле и доказал, что этому процессу, как и многим другим природным явлениям, соответствует тренд с шумом. Для таких нелинейных процессов Хёрст вывел эмпирическое уравнение:

K = 22H-1 -1

где K - мера корреляции, а Н - показатель Хёрста.

В работе [3] временные ряды скорости ветра были исследованы с помощью закона Хёрста, методом нормированного размаха или методом Хёрста. Параметр Хёрста H определяется для временного ряда Xk, k=1,2,K N соотношением

R / S = (aN)H,

в котором разность R=max(xk) - min(xk) - размах отклонения; R/S - нормированный

размах;

S =

1 N

k x) - стандартное отклонение,

N - число членов временного ряда, а - константа.

Наклон аппроксимирующей прямой даёт оценку Н. Для западного ветра Н =1.2430 ± 0.2902. Так как показатель Н не может быть больше 1, учитывая погрешность, полагаем H ~ 1. Для северного ветра на Н=0.9094 — 0.1499.

Поскольку H> 0.5, исследованные временные ряды относятся к персистентным, т. е. обладающим длительной памятью, и являются самоподобными или сохраняющими имеющуюся тенденцию. Возможно прогнозирование или предсказание будущих значений данного временного ряда по настоящим и прошлым значениям.

Во всех обработанных файлах северного (5 файлов) и западного (8 файлов) ветра минимальное значение показателя Хёрста не опускается ниже H = 0.66, т. е. исследованные временные ряды являются самоподобными. Рассчитанные значения показателя Хёрста представлены ниже.

Значения показателя Хёрста для западного ветра: 860214Hurst = 1.2430 ± 0.2902 860216Hurst = 1.2090 ± 0.3915 860218Hurst = 1.1778 ± 0.3672 860220Hurst = 1.1799 ± 0.2055 860223Hurst = 1.0641 ± 0.3011 860226 Hurst = 0.9057 ± 0.2505 860301 Hurst = 0.9791 ± 0.1711 860303 Hurst = 0.6657 ± 0.1354 Значения показателя Хёрста для северного ветра: • 860308 Hurst = 0.9094 ± 0.1499

• 860309 Hurst = 1.0517 ± 0.1668

• 861114 Hurst = 0.6631 ± 0.3087

• 861115 Hurst = 1.0002 ± 0.1954

• 861120 Hurst = 1.2065 ± 2239

14.02 16.02 18.02 20.02 23.02 26.02 01.03 03.02

Дата

Рис. 1. График показателя Хёрста западного ветра

По этим значениям построены графики с помощью программы Excel, на Рис. 1 представлен график изменения показателя Хёрста для западного ветра. Как видно из рисунка 1, наблюдается понижение показателя Хёрста от зимы к весне. Возможно, это объясняется сезонными изменениями. Во многих работах по исследованию ВГВ (внутренних гравитационных волн) отмечались более благоприятные условия распространения ВГВ в ионосфере в зимний период. В частности, сезонные вариации амплитуд ВГВ характеризуются их увеличением в зимний период на средних и высоких широтах.

Можно предположить, что динамический хаос возникает в конце зимнего периода времени в результате смещения земной оси наклона со стороны южного полушария в северный. Соответственно тот же самый показатель скорости ветра увеличивается в южном полушарии и держится стабильно на своём определённом уровне, в зависимости от географического расположения точки, где измеряется скорость ветра.

Литература

1. Показатель Хёрста Калуш Ю. А., Логинов В. М. Показатель Хёрста и его скрытые свойства // Сиб. журн. индустр. матем. 2002. Т. 5, вып. 4. С. 29-37. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.ru.wikipedia/

2. Ионосфера Земли Ерухимов Л. М. Ионосфера Земли как космическая плазменная лаборатория — СОЖ, 1998, № 4, с. 71-77.[Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.ru.wikipedia/

3. Чезганова С. Г. Исследование различных типов внутренних гравитационных колебаний и волн в ионосфере методами нелинейной динамики Казань: Изд-во «Бриг» , 2015 - 112 с.