Научная статья на тему 'ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ХёРСТА НА ПРИМЕРЕ РОССИЙСКИХ И АМЕРИКАНСКИХ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ'

ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ХёРСТА НА ПРИМЕРЕ РОССИЙСКИХ И АМЕРИКАНСКИХ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
365
105
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Прикладная эконометрика
Scopus
ВАК
Область наук

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Злотник Андрей Александрович

Статья посвящена исследованию устойчивости поведения показателя Хёрста во времени как для российских, так и для американских активов. Для этого разработана специальная методика анализа изменения этого показателя. Предлагается также метод группировки активов в соответствии с фрактальными свойствами данных финансовых временных рядов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по экономике и бизнесу , автор научной работы — Злотник Андрей Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

An Empirical Study of the Stability of Hurst Exponent Behavior Applied to Russian and American Stock Markets

In the paper we study the stability of Hurst exponent behavior for Russian and American financial indicators. A specific technique is developed for analysis of its performance. A grouping method is suggested built on financial time series fractal properties.

Текст научной работы на тему «ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЯ ХёРСТА НА ПРИМЕРЕ РОССИЙСКИХ И АМЕРИКАНСКИХ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ»

Nb 1(5) 2007

А. А. Злотник

Эмпирическое исследование устойчивости поведения

показателя Хёрста

К/Б-анализ подтверждает и значительно усиливает спектральный анализ: общее правило гласит, что экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу, ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать главы по истории экономики.

Статья посвящена исследованию устойчивости поведения показателя Хёрста во времени как для российских, так и для американских активов. Для этого разработана специальная методика анализа изменения этого показателя. Предлагается также метод группировки активов в соответствии с фрактальными свойствами данных финансовых временных рядов.

Существующие эконометрические модели описания рынка основаны на гипотезе эффективного рынка (EMH)1 [Малюгин (2003)], которая предполагает мартингальность цен финансовых активов [Ширяев (2004)]. Примерно водно время с EMH появилась гипотеза фрактального рынка (FMH)2 [Петерс (2004)], которую можно считать обобщением гипотезы эффективного рынка.

Показатель Херста (H):

• используется как альтернативная волатильности мера риска финансовых активов. То есть иследуемые активы ранжируются в соответствии с абсолютным значением показателя Хёрста [Петерс (2000)];

• связан с фрактальным показателем [Ширяев (2004)]3 d (fractional differencing parameter d) в моделях ARFIMA и FIGARCH с модификациями4:

1 Effective Market Hypothesis.

2 Fractal Market Hypothesis.

3 Ширяев пишет, что термин фрактальный «принят по соображениям благозвучия». Притом fractional переводится как дробный. Устоявшимися можно считать следующие термины (они широко употребляются как в статьях, приведенных в списке литературы, так и в «Основах стохастической финансовой математики»: фрактальное броуновское движение (fractional Brownian motion), фрактальный белый шум (fractional white noise), фрактальный процесс (fractional process). Распространенный в литературе по R/S-анализу термин фрактальный анализ (fractal analysis) можно рассматривать как рекламную акцию, т.к., по сути, речь идет о наборе статистических методов пригодных для исследования процессов, отличных от случайного блуждания.

4 Модель FIGARCH [Baillie et al. (1996)], FIEGARCH [Bollerslev et al. (1999)].

Бенуа Мандельброт. «Фракталы, случай и финансы»

Фрактальная статистика указывает на беспорядочность и сложность жизни, но многое таит и в себе.

Эдгар Петерс. «Хаос и порядок на рынках капитала»

Введение

20

Не 1(5) 2007

ё = Н - -. 2

В настоящей работе предлагается методика исследования устойчивости5 показателя Хёр-ста во времени на примере российских и американских активов: сначала мы получаем ряд значений показателя Хёрста для исходного ряда цен актива, затем для ряда цен за исключением первого года, потом за исключением первых двух лет и т.д. Для реализации этой методики была написана программа на языке САиББ, текст которой приводится в Приложении6.

В рамках исследования:

• устанавливается, что выбор точки отсчета влияет как на абсолютное значение показателя Хёрста, так и на поведение траектории его изменения;

• показывается, что траектории изменения показателя Хёрста сохраняются при изменении частоты снятия данных (день, неделя, месяц);

• выделяются группы компаний со сходным поведением показателя Хёрста.

Методика исследования показателя Хёрста7

Пусть {Рг} — ряд цен актива.

Рассмотрим накопленную доходность актива:

Уг = у1 +...+у{, Г е N,

I Р< 8 где у, = 1п--доходность актива8.

Р,-1

Степень отклонения от случая постоянной доходности:

Р!г = тах| У, --У, I-тт[ У, --У, | = 1п

¡-Г I , I ¡-г

г

тахР,

¡-г \ Р,

Ро 1 г

т1пР,

¡- { Рг

Ро 11

(1)

Пропорциональное изменение цен | У, = -Уг | на рис. 1 показано пунктирной линией. Пусть далее:

1 Г 1 г

52 = £(у, - у, )2 = £

1 ,=1 1 ¡=1

( Л2

щР- - !пГ Р-11

Р, -1 I Ро I

I

(2)

5 Под устойчивостью будем понимать сохранение абсолютного значения показателя Херста и поведения его траектории независимо от выбора точки отсчета.

6 Находящийся в свободном доступе пакет программ РгаЛап 4.4 позволяет рассчитывать показатель Херста только для ряда в целом; при этом расчеты с их помощью отличаются от результатов нашей программы втысячных. Достоверность программы, предложенной Петерсом [Петерс (2004)], вызывает сомнения и выдает неверные значения показателя Херста.

7 Об истоках К/Б-анализа [Мандельброт (2004)], [Петерс (2000)].

8 Р Р

В действительности величина 1п—1- приблизительно равна доходности актива:—11—1.

РГ-1 Р,-1

21

Na 1(5) 2007

2500 Время

Рис. 1. Отклонение от случая пропорционального изменения цен на примере значений индекса РТС

— выборочная дисперсия;

и £

I

м §

0 с

1

03

о с

U

0 §

1 £ <ъ S

ig 03

о

5 5

и S

и <ъ

Qt

нормализованныи размах накопленных сумм9.

maxi У, --Yt |- mini Y --Yt | , max|i (-Yt) - (-У, )|+ max|i Yt - Y,

q _ _ i<-t V t ) j<t К t ) _ t -2 V t_) j<t V t

(3)

Sr

i

t2

X(У' -y<)

maxi- (-Yt) - (-Y,

X( У' - yt )■

maxi -Yt - Y j

< v t

Ъ(У> - Уt)21 !Z(y, - yt)

_ k-y + k; ,

где — статистика Колмогорова-Смирнова10. Ширяев [Ширяев (2004)] пишет, что простой визуальный анализ статистики —р часто приводит к весьма содержательным статистическим

выводам. t2

Из формул (1)—(3) следует, что величина Qt инвариантна относительно преобразований у, ^ ц(у, + р), / е N и не зависит от математического ожидания и дисперсии величин {у^,

Э. Ло [1_о (1991)] предложил модифицировать знаменатель дроби, однако в настоящей работе рассматривается стандартная версия модели.

10 О статистике Колмогорова-Смирнова [Гаек, Шидак (1971)].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

t

t

22

Не 1(5) 2007

что означает непараметричность статистикиQt.Это свойство позволяет проверять гипотезу о случайном блуждании цен, которая лежит в основе концепции эффективного рынка [Ширяев (2004)].

Феллер [Feller (1951)] показал, что для независимых и одинаково распределенных случайных величин {yt} имеем:

^ ~ ct {

St

где c — константа.

R

Хёрст [Hurst (1951)] обнаружил, что на практике вместо ожидаемых значений — получились следущие значения: St

R,

-L ~ ctH <=> In— ~ Inc + HInf,

St

St

I

о

s

4

1

где Н (показатель Хёрста) значимо отличается от—.

Рассмотрим ряд показателей Хёрста для ежедневных значений индекса Доу-Джонса (ОЛ)11. Рассчитаем сначала ряд показателей Хёрста за период12 с 1 октября 1928 года по 30 декабря 2005 года13 — всего 19 397 значений. Затем рассчитаем ряд показателей Хёрста за период с 1929 года по 2005 год и т. д.

HDJI1928 -----HDJI1980

HDJI1940 -----HDJI2000

HDJ11960

Время

Рис. 2. Траектории поведения показателя Хёрста для ежедневных значений индекса Dow-Jones

(шаг в 20 лет)

11 Данные по американским активам доступны на сайте YAHOO! Finance: http://finance.yahoo.com

12 Минимальное количество данных для расчета показателя Херста должно составлять 300 значений [Петерс (2004)].

13 Первое значение индекса, доступное на сайте YAHOO! Finance, и последнее значение в 2005 году соответственно.

23

На 1(5) 2007

Полученные при этом значения показателя Хёрста различаются как по абсолютному значению, так и по тенденции изменения, причем эти различия достаточно существенны.

Проверим теперь устойчивость траекторий показателя Хёрста в случае изменения частоты снятия данных (неделя, месяц).

и t

i <s

м §

0 с

1

if 03

о с

и

0 §

J

1 £

<ъ S

¡S

03

о if 5

и S

U

5 0,6-

HDJIW1928 -----HDJIW1980

HDJIW1940 -----HDJIW 2000

HDJIW1960

■р-п-г-р

4000 Время

Рис. 3. Траектории поведения показателя Хёрста для еженедельных значений индекса Dow-Jones

(шаг в 20 лет)

5 0,7-

HDJIM 1928 -----HDJIM 1980

HDJIM 1940 -----HDJIM 2000

HDJIM 1960

Время

Рис. 4. Траектории поведения показателя Хёрста для ежемесячных значений индекса Dow-Jones

(шаг в 20 лет)

24

N91(5)2007

Для разных частот снятия данных абсолютные значения показателя Хёрста разнятся, а траектории остаются почти неизменными. Заметим, что, несмотря на различие абсолютных значений, ряд остается стабильно персистентным14.

По мнению Ширяева [Ширяев (2004)], существуют два основных объяснения того факта, что показатель Хёрста отличается от — (случай показателя Хёрста, равного— соответствует случайному блужданию): 2 2

• исходные данные — независимые устойчивые случайные величины с индексом устои-

1

чивости а = —, где H — показатель Херста;

H 1

• показатель Херста может отличаться от — в случае нормально распределенных зависимых величин. 2

В некоторых источниках [Петерс (2000), (2004)] не приводится примеров стабильно анти-персистентного ряда среди финансовых активов, из чего может сложиться ошибочное впечатление, что таких рядов на пратике не существует. В качестве примера возьмем курс акциИ компании ALCOA15.

Как видно из рис. 5 и 6, значения показателя Херста для большинства траектории стабильно антиперсистентны.

2000

Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 1

4000 6000 8000

- HALC0A1962 -----HALC0A1990

- HALC0A1970 -----HALCOA2000

- HALC0A1980

10000 Время

Рис. 5. Траектории поведения показателя Хёрста для ежедневных значений курса акций компании ALCOA

(шаг в 10 лет)

14 Персистентный процесс (черный шум, H >2) имееттенденцию следовать по направлению тренда исходного ряда. Персистентные временные ряды имеют «долгую память» — долговременную корреляцию между событиями. Антиперсистентный процесс (розовый шум, H< 2) имееттенденцию быстро перемежаться в последовательных значениях. Антиперсистентный временной ряд реверсирует чаще, чем случайный ряд. Случайный процесс (белый шум, H = 1) не тенденциозен. Первые два процесса — разновидности фрактального. Ради общности рассуждения мы склонны относить и случайный процесс к фрактальным. В литературе встречается противопоставление фрактального и случайного процессов (фрактальный — неслучайный).

15 Метод расчета тот же, что и для индекса Dow-Jones, данные со 2 января 1962 года по 30 декабря 2005 года, всего — 11 076 значений.

25

Mb 1(5) 2007

1,0

5 0,6

1000 1500

HALCOAW1962 -----HALCOAW1990

HALCOAW1970 ----------HALCOAW2000

HALCOAW 1980

Время

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

u t

i <s

M §

0 с

1

if 03

о с

u

0 §

J

1 £

<ъ s

iB

03

о

if S3

u s

<ъ §

u <u

Рис. 6. Траектории поведения показателя Хёрста для еженедельных значений курса акций компании ALCOA

(шаг в 10 лет)

Группировка российских компаний

Теперь перейдем к анализу российских активов, в качестве которых рассматриваются обыкновенные акции16.

Таблица 1

Анализируемые активы

Компания Период Ряд

РАО ЕЭС 01.09.1995-30.12.2005 HEESR

Норильский никель 06.06.2001-30.12.2005 HGMKN

Лукойл 01.09.1995-30.12.2005 HLKOH

Мосэнерго 05.09.1995-30.12.2005 HMSNG

Ростелеком 01.09.1995-30.12.2005 HRTKM

РТС 01.09.1995-30.12.2005 HRTSI

Сбербанк 29.01.1997-30.12.2005 HSBER

Сибнефть 05.09.1997-30.12.2005 HSIBN

Сургутнефтегаз 05.01.1997-30.12.2005 HSNGS

ЮКОС 18.06.1997-30.12.2005 HYUKO

Началом периода будет первое изменение цены (то есть, если первые несколько дней цена не менялась, то данные начинают считываться с последнего из них).

Применяя методику, предложенную в предыдущем разделе, анализируемые активы группируем потрем критериям.

' Данные по российским активам доступны на сайте Российской Торговой Системы: http://www.rts.ru

26

N91(5)2007

1. Постоянство тенденции изменения показателя Хёрста. Изменение траектории может свидетельствовать о фундаментальных переменах в свойствах исследуемого актива.

Группировка рядов по постоянству процесса

5

Таблица 2

Характеристика процесса Ряд

Постоянен17 ИБЕБР, Н1_КОН, НРТКМ, ИРТБ!

Редко постоянен НСМЩ НМБМС^БЫСБ

Непостоянен НБВЕР Н5!ВЫ, НУУКО

2. Уровень волатильности показателя Хёрста18. Чем меньше волатильность, тем надежнее актив.

Таблица 3

Группировка рядов по степени волатильности

Характеристика процесса Ряд

Не очень часто сверхволатилен НЕЕБР НМБЫС, НРТКМ, НРТБ!

На грани НСМЩ Н5!ВЫ

Очень часто сверхволатилен Н_КОН, НБВЕР НБЫСБ, НУУКО

3. Фрактальные свойства актива — персистентность, антиперсистентность, случайность.

Таблица 4

Группировка рядов по предсказуемости

Характеристика процесса Ряд

Стабильно персистентен НЕЕБР НСМКЫ, НМБЫС, НБВЕР

Персистентен19 НРТКМ, НРТБ!

Значения как персистентны,так и антиперсистентны Н_КОН, Н5!ВЫ, НБЫСБ, НУУКО

Результат группировки в целом соответствует действительности. Например, непостоянство, сверхволатильность и резкие различия фрактальных свойств ряда показателей Хёрста ЮКОСа связаны с изменением ситуации вокруг компании в 2002 году. С другой стороны, РАО ЕЭС известен как надежный актив, поэтому показатель Хёрста будет стабильно персистен-тен, постоянен и его волатильность не так высока.

Выводы и перспективы

В работе показано, что выбор точки отсчета существенно влияет на устойчивость показателя Хёрста.Таким образом, использование его абсолютныхзначений для ранжирования активов сомнительно. В то же время траектории поведения показателя Хёрста сохраняются при изменении частоты снятия данных.

17 Постоянен в некотором подходящем смысле, то есть, когда колебания незначительны.

18 Стандартное отклонение ряда показателей Херста.

19 Как правило, персистентен, однако встречаются антиперсистентные значения.

27

и

Щ

Ne 1(5) 2007

В соответствии с предложенной методикой анализа выделены группы российских компаний.

Выполненное исследование ведет к установлению оптимального периода расчета показателя Хёрста. Для этого необходимо определить критерии, по которым данный период может быть рассчитан. Это улучшит методы группировки активов и позволит использовать показатель Хёрста во фрактальных моделях ARCH-семейства.

Список литературы

Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.: Наука, 1971.

Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа/Учеб. пособие. М.: Дело, 2003.

Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы/Пер. с англ. М., Ижевск: НИЦ «Регулярная хаотическая динамика», 2004.

Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка/Пер. с англ. М.: Мир, 2000.

Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике/Пер. с англ. М.: Интернет-трейдинг, 2004.

Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.Т. 1: Факты и модели. М.: ФАЗИС, 2004.

Baillie R. Long Memory Processes and Fractional Integration in Econometrics// Journal of Econometrics. 1996, № 73.

Baillie R., Bollerslev T., Mikkelsen H. Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional He-teroskedasticity// Journal of Econometrics. 1996. №74.

¡3 Bollerslev T., Mikkelsen H. Long — term equity anticipation securities and stock market volatility dyna-

^ mics// Journal of Econometrics. 1999. №92.

§ Feller W. The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables/Annals of

¡5 Mathematical Statistics. 1951. № 22.

to

g Hurst H. Long term storage capacity of reservoirs/Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951. № 116.

с Lo A. W. Long-term memory in stock market prices//Econometrica. 1991. №59.

! Приложение

ta

о /* Программа PSAXIS.gauss

Входной файл: <Input_file>.prn содержит столбец цен P_i

§ * Выходной файл: <Output_File>.out содержит столбец показателей Хёрста H_i

| * Вспомогательные файлы: ln(RS).prn, ln(t).prn хранят промежуточные данные, необходимые для

£ корректной работы программы/ щ

s

¡S

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

03

о if 5

и S

<ъ g

<5 h = (ln(price[2:n]./price[1:n-1])); ф j

ц

5 output file = test\ln(RS).prn reset; s

^ output file = test\ln(t).prn reset;

new; #lineson;

load sret[] = <Input_file>.prn;

pricel = sret[.,1]; n = int(Rows(price1)); starting_point=1; // starting_point -точка отсчета price = price1[starting_point:n]; n = int(Rows(price));

n = int(Rows(h)); //эквивалентно n = n-1

output file = <Output_File>.out reset;

28

Не 1(5) 2007

t = 2; //При t=1: St[1]\equivü => In(Rt/St) == бесконечность §

// При t=2: Rt[2]=St[2] => In(Rt/St) == ü |

do whiIe t<=n; ¡Sc

i = 1; middIe = ü;

do whiIe i<=t; middIe = middIe+h[i]; i = i+1; endo;

middIe = middIe/t;

U

j = 1; p

St = 0; //соответствует случаю j = 1 Ч

max = 0; min = 0; HUpper = 0; // соответствует случаю j = t 3

do while j<=t;

HUpper = HUpper+h[j]; if HUpper-j*middle>max; max = HUpper-j*middle;

endif;

if HUpper-j*middIe<min; min = HUpper-j*middIe;

endif;

St = St+(h[j]-middle)A2; j = j+1;

endo;

Rt = max-min; St = (St/t)A(1/2);

output file = test\ln(RS).prn on; print ln(Rt/St); output file = test\ln(t).prn on; print ln(t); t = t+1; endo;

load vector[] = test\ln(RS).prn; Y = vector[.,1]; load vector[] = test\ln(t).prn; X = vector[.,1];

j = 3;

//приj = 1 получаем H=0 //при j = 2 ols выдает ошибку n = rows(Y); //эквивалентно n = rows(X);

do while j<=n; Y1 = Y[1:j]; X1 = X[1:j]; //вызываем функцию ols _output = 0;

{vnam,m,b,stb,vc,stderr,sigma,cx,rsq,resid,dwstat}=ols(0,Y1,X1); output file=<Output_File>.out on; print b[2]; //оценка показателя Хёрста j = j+1; endo; end.

29

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.