Nb 1(5) 2007
А. А. Злотник
Эмпирическое исследование устойчивости поведения
показателя Хёрста
К/Б-анализ подтверждает и значительно усиливает спектральный анализ: общее правило гласит, что экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу, ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать главы по истории экономики.
Статья посвящена исследованию устойчивости поведения показателя Хёрста во времени как для российских, так и для американских активов. Для этого разработана специальная методика анализа изменения этого показателя. Предлагается также метод группировки активов в соответствии с фрактальными свойствами данных финансовых временных рядов.
Существующие эконометрические модели описания рынка основаны на гипотезе эффективного рынка (EMH)1 [Малюгин (2003)], которая предполагает мартингальность цен финансовых активов [Ширяев (2004)]. Примерно водно время с EMH появилась гипотеза фрактального рынка (FMH)2 [Петерс (2004)], которую можно считать обобщением гипотезы эффективного рынка.
Показатель Херста (H):
• используется как альтернативная волатильности мера риска финансовых активов. То есть иследуемые активы ранжируются в соответствии с абсолютным значением показателя Хёрста [Петерс (2000)];
• связан с фрактальным показателем [Ширяев (2004)]3 d (fractional differencing parameter d) в моделях ARFIMA и FIGARCH с модификациями4:
1 Effective Market Hypothesis.
2 Fractal Market Hypothesis.
3 Ширяев пишет, что термин фрактальный «принят по соображениям благозвучия». Притом fractional переводится как дробный. Устоявшимися можно считать следующие термины (они широко употребляются как в статьях, приведенных в списке литературы, так и в «Основах стохастической финансовой математики»: фрактальное броуновское движение (fractional Brownian motion), фрактальный белый шум (fractional white noise), фрактальный процесс (fractional process). Распространенный в литературе по R/S-анализу термин фрактальный анализ (fractal analysis) можно рассматривать как рекламную акцию, т.к., по сути, речь идет о наборе статистических методов пригодных для исследования процессов, отличных от случайного блуждания.
4 Модель FIGARCH [Baillie et al. (1996)], FIEGARCH [Bollerslev et al. (1999)].
Бенуа Мандельброт. «Фракталы, случай и финансы»
Фрактальная статистика указывает на беспорядочность и сложность жизни, но многое таит и в себе.
Эдгар Петерс. «Хаос и порядок на рынках капитала»
Введение
20
Не 1(5) 2007
ё = Н - -. 2
В настоящей работе предлагается методика исследования устойчивости5 показателя Хёр-ста во времени на примере российских и американских активов: сначала мы получаем ряд значений показателя Хёрста для исходного ряда цен актива, затем для ряда цен за исключением первого года, потом за исключением первых двух лет и т.д. Для реализации этой методики была написана программа на языке САиББ, текст которой приводится в Приложении6.
В рамках исследования:
• устанавливается, что выбор точки отсчета влияет как на абсолютное значение показателя Хёрста, так и на поведение траектории его изменения;
• показывается, что траектории изменения показателя Хёрста сохраняются при изменении частоты снятия данных (день, неделя, месяц);
• выделяются группы компаний со сходным поведением показателя Хёрста.
Методика исследования показателя Хёрста7
Пусть {Рг} — ряд цен актива.
Рассмотрим накопленную доходность актива:
Уг = у1 +...+у{, Г е N,
I Р< 8 где у, = 1п--доходность актива8.
Р,-1
Степень отклонения от случая постоянной доходности:
Р!г = тах| У, --У, I-тт[ У, --У, | = 1п
¡-Г I , I ¡-г
г
тахР,
¡-г \ Р,
Ро 1 г
т1пР,
¡- { Рг
Ро 11
(1)
Пропорциональное изменение цен | У, = -Уг | на рис. 1 показано пунктирной линией. Пусть далее:
1 Г 1 г
52 = £(у, - у, )2 = £
1 ,=1 1 ¡=1
( Л2
щР- - !пГ Р-11
Р, -1 I Ро I
I
(2)
5 Под устойчивостью будем понимать сохранение абсолютного значения показателя Херста и поведения его траектории независимо от выбора точки отсчета.
6 Находящийся в свободном доступе пакет программ РгаЛап 4.4 позволяет рассчитывать показатель Херста только для ряда в целом; при этом расчеты с их помощью отличаются от результатов нашей программы втысячных. Достоверность программы, предложенной Петерсом [Петерс (2004)], вызывает сомнения и выдает неверные значения показателя Херста.
7 Об истоках К/Б-анализа [Мандельброт (2004)], [Петерс (2000)].
8 Р Р
В действительности величина 1п—1- приблизительно равна доходности актива:—11—1.
РГ-1 Р,-1
21
Na 1(5) 2007
2500 Время
Рис. 1. Отклонение от случая пропорционального изменения цен на примере значений индекса РТС
— выборочная дисперсия;
и £
I
<в
м §
0 с
1
03
о с
U
0 §
1 £ <ъ S
ig 03
о
5 5
и S
<ъ
и <ъ
Qt
нормализованныи размах накопленных сумм9.
maxi У, --Yt |- mini Y --Yt | , max|i (-Yt) - (-У, )|+ max|i Yt - Y,
q _ _ i<-t V t ) j<t К t ) _ t -2 V t_) j<t V t
(3)
Sr
Q±
i
t2
X(У' -y<)
maxi- (-Yt) - (-Y,
X( У' - yt )■
maxi -Yt - Y j
< v t
Ъ(У> - Уt)21 !Z(y, - yt)
_ k-y + k; ,
где — статистика Колмогорова-Смирнова10. Ширяев [Ширяев (2004)] пишет, что простой визуальный анализ статистики —р часто приводит к весьма содержательным статистическим
выводам. t2
Из формул (1)—(3) следует, что величина Qt инвариантна относительно преобразований у, ^ ц(у, + р), / е N и не зависит от математического ожидания и дисперсии величин {у^,
Э. Ло [1_о (1991)] предложил модифицировать знаменатель дроби, однако в настоящей работе рассматривается стандартная версия модели.
10 О статистике Колмогорова-Смирнова [Гаек, Шидак (1971)].
t
t
22
Не 1(5) 2007
что означает непараметричность статистикиQt.Это свойство позволяет проверять гипотезу о случайном блуждании цен, которая лежит в основе концепции эффективного рынка [Ширяев (2004)].
Феллер [Feller (1951)] показал, что для независимых и одинаково распределенных случайных величин {yt} имеем:
^ ~ ct {
St
где c — константа.
R
Хёрст [Hurst (1951)] обнаружил, что на практике вместо ожидаемых значений — получились следущие значения: St
R,
-L ~ ctH <=> In— ~ Inc + HInf,
St
St
I
о
s
4
1
где Н (показатель Хёрста) значимо отличается от—.
Рассмотрим ряд показателей Хёрста для ежедневных значений индекса Доу-Джонса (ОЛ)11. Рассчитаем сначала ряд показателей Хёрста за период12 с 1 октября 1928 года по 30 декабря 2005 года13 — всего 19 397 значений. Затем рассчитаем ряд показателей Хёрста за период с 1929 года по 2005 год и т. д.
HDJI1928 -----HDJI1980
HDJI1940 -----HDJI2000
HDJ11960
Время
Рис. 2. Траектории поведения показателя Хёрста для ежедневных значений индекса Dow-Jones
(шаг в 20 лет)
11 Данные по американским активам доступны на сайте YAHOO! Finance: http://finance.yahoo.com
12 Минимальное количество данных для расчета показателя Херста должно составлять 300 значений [Петерс (2004)].
13 Первое значение индекса, доступное на сайте YAHOO! Finance, и последнее значение в 2005 году соответственно.
23
На 1(5) 2007
Полученные при этом значения показателя Хёрста различаются как по абсолютному значению, так и по тенденции изменения, причем эти различия достаточно существенны.
Проверим теперь устойчивость траекторий показателя Хёрста в случае изменения частоты снятия данных (неделя, месяц).
и t
i <s
м §
0 с
1
if 03
о с
и
0 §
J
1 £
<ъ S
¡S
03
о if 5
и S
<ъ
U
<ъ
5 0,6-
HDJIW1928 -----HDJIW1980
HDJIW1940 -----HDJIW 2000
HDJIW1960
■р-п-г-р
4000 Время
Рис. 3. Траектории поведения показателя Хёрста для еженедельных значений индекса Dow-Jones
(шаг в 20 лет)
5 0,7-
HDJIM 1928 -----HDJIM 1980
HDJIM 1940 -----HDJIM 2000
HDJIM 1960
Время
Рис. 4. Траектории поведения показателя Хёрста для ежемесячных значений индекса Dow-Jones
(шаг в 20 лет)
24
N91(5)2007
Для разных частот снятия данных абсолютные значения показателя Хёрста разнятся, а траектории остаются почти неизменными. Заметим, что, несмотря на различие абсолютных значений, ряд остается стабильно персистентным14.
По мнению Ширяева [Ширяев (2004)], существуют два основных объяснения того факта, что показатель Хёрста отличается от — (случай показателя Хёрста, равного— соответствует случайному блужданию): 2 2
• исходные данные — независимые устойчивые случайные величины с индексом устои-
1
чивости а = —, где H — показатель Херста;
H 1
• показатель Херста может отличаться от — в случае нормально распределенных зависимых величин. 2
В некоторых источниках [Петерс (2000), (2004)] не приводится примеров стабильно анти-персистентного ряда среди финансовых активов, из чего может сложиться ошибочное впечатление, что таких рядов на пратике не существует. В качестве примера возьмем курс акциИ компании ALCOA15.
Как видно из рис. 5 и 6, значения показателя Херста для большинства траектории стабильно антиперсистентны.
2000
Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 111 Ч 1
4000 6000 8000
- HALC0A1962 -----HALC0A1990
- HALC0A1970 -----HALCOA2000
- HALC0A1980
10000 Время
Рис. 5. Траектории поведения показателя Хёрста для ежедневных значений курса акций компании ALCOA
(шаг в 10 лет)
14 Персистентный процесс (черный шум, H >2) имееттенденцию следовать по направлению тренда исходного ряда. Персистентные временные ряды имеют «долгую память» — долговременную корреляцию между событиями. Антиперсистентный процесс (розовый шум, H< 2) имееттенденцию быстро перемежаться в последовательных значениях. Антиперсистентный временной ряд реверсирует чаще, чем случайный ряд. Случайный процесс (белый шум, H = 1) не тенденциозен. Первые два процесса — разновидности фрактального. Ради общности рассуждения мы склонны относить и случайный процесс к фрактальным. В литературе встречается противопоставление фрактального и случайного процессов (фрактальный — неслучайный).
15 Метод расчета тот же, что и для индекса Dow-Jones, данные со 2 января 1962 года по 30 декабря 2005 года, всего — 11 076 значений.
25
Mb 1(5) 2007
1,0
5 0,6
1000 1500
HALCOAW1962 -----HALCOAW1990
HALCOAW1970 ----------HALCOAW2000
HALCOAW 1980
Время
u t
i <s
M §
0 с
1
if 03
о с
u
0 §
J
1 £
<ъ s
iB
03
о
if S3
u s
<ъ §
u <u
Рис. 6. Траектории поведения показателя Хёрста для еженедельных значений курса акций компании ALCOA
(шаг в 10 лет)
Группировка российских компаний
Теперь перейдем к анализу российских активов, в качестве которых рассматриваются обыкновенные акции16.
Таблица 1
Анализируемые активы
Компания Период Ряд
РАО ЕЭС 01.09.1995-30.12.2005 HEESR
Норильский никель 06.06.2001-30.12.2005 HGMKN
Лукойл 01.09.1995-30.12.2005 HLKOH
Мосэнерго 05.09.1995-30.12.2005 HMSNG
Ростелеком 01.09.1995-30.12.2005 HRTKM
РТС 01.09.1995-30.12.2005 HRTSI
Сбербанк 29.01.1997-30.12.2005 HSBER
Сибнефть 05.09.1997-30.12.2005 HSIBN
Сургутнефтегаз 05.01.1997-30.12.2005 HSNGS
ЮКОС 18.06.1997-30.12.2005 HYUKO
Началом периода будет первое изменение цены (то есть, если первые несколько дней цена не менялась, то данные начинают считываться с последнего из них).
Применяя методику, предложенную в предыдущем разделе, анализируемые активы группируем потрем критериям.
' Данные по российским активам доступны на сайте Российской Торговой Системы: http://www.rts.ru
26
N91(5)2007
1. Постоянство тенденции изменения показателя Хёрста. Изменение траектории может свидетельствовать о фундаментальных переменах в свойствах исследуемого актива.
Группировка рядов по постоянству процесса
5
Таблица 2
Характеристика процесса Ряд
Постоянен17 ИБЕБР, Н1_КОН, НРТКМ, ИРТБ!
Редко постоянен НСМЩ НМБМС^БЫСБ
Непостоянен НБВЕР Н5!ВЫ, НУУКО
2. Уровень волатильности показателя Хёрста18. Чем меньше волатильность, тем надежнее актив.
Таблица 3
Группировка рядов по степени волатильности
Характеристика процесса Ряд
Не очень часто сверхволатилен НЕЕБР НМБЫС, НРТКМ, НРТБ!
На грани НСМЩ Н5!ВЫ
Очень часто сверхволатилен Н_КОН, НБВЕР НБЫСБ, НУУКО
3. Фрактальные свойства актива — персистентность, антиперсистентность, случайность.
Таблица 4
Группировка рядов по предсказуемости
Характеристика процесса Ряд
Стабильно персистентен НЕЕБР НСМКЫ, НМБЫС, НБВЕР
Персистентен19 НРТКМ, НРТБ!
Значения как персистентны,так и антиперсистентны Н_КОН, Н5!ВЫ, НБЫСБ, НУУКО
Результат группировки в целом соответствует действительности. Например, непостоянство, сверхволатильность и резкие различия фрактальных свойств ряда показателей Хёрста ЮКОСа связаны с изменением ситуации вокруг компании в 2002 году. С другой стороны, РАО ЕЭС известен как надежный актив, поэтому показатель Хёрста будет стабильно персистен-тен, постоянен и его волатильность не так высока.
Выводы и перспективы
В работе показано, что выбор точки отсчета существенно влияет на устойчивость показателя Хёрста.Таким образом, использование его абсолютныхзначений для ранжирования активов сомнительно. В то же время траектории поведения показателя Хёрста сохраняются при изменении частоты снятия данных.
17 Постоянен в некотором подходящем смысле, то есть, когда колебания незначительны.
18 Стандартное отклонение ряда показателей Херста.
19 Как правило, персистентен, однако встречаются антиперсистентные значения.
27
и
Щ
Ne 1(5) 2007
В соответствии с предложенной методикой анализа выделены группы российских компаний.
Выполненное исследование ведет к установлению оптимального периода расчета показателя Хёрста. Для этого необходимо определить критерии, по которым данный период может быть рассчитан. Это улучшит методы группировки активов и позволит использовать показатель Хёрста во фрактальных моделях ARCH-семейства.
Список литературы
Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.: Наука, 1971.
Малюгин В. И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа/Учеб. пособие. М.: Дело, 2003.
Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы/Пер. с англ. М., Ижевск: НИЦ «Регулярная хаотическая динамика», 2004.
Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка/Пер. с англ. М.: Мир, 2000.
Петере Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: применение теории хаоса в инвестициях и экономике/Пер. с англ. М.: Интернет-трейдинг, 2004.
Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики.Т. 1: Факты и модели. М.: ФАЗИС, 2004.
Baillie R. Long Memory Processes and Fractional Integration in Econometrics// Journal of Econometrics. 1996, № 73.
Baillie R., Bollerslev T., Mikkelsen H. Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional He-teroskedasticity// Journal of Econometrics. 1996. №74.
¡3 Bollerslev T., Mikkelsen H. Long — term equity anticipation securities and stock market volatility dyna-
^ mics// Journal of Econometrics. 1999. №92.
§ Feller W. The asymptotic distribution of the range of sums of independent random variables/Annals of
¡5 Mathematical Statistics. 1951. № 22.
to
g Hurst H. Long term storage capacity of reservoirs/Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951. № 116.
с Lo A. W. Long-term memory in stock market prices//Econometrica. 1991. №59.
! Приложение
ta
о /* Программа PSAXIS.gauss
Входной файл: <Input_file>.prn содержит столбец цен P_i
§ * Выходной файл: <Output_File>.out содержит столбец показателей Хёрста H_i
| * Вспомогательные файлы: ln(RS).prn, ln(t).prn хранят промежуточные данные, необходимые для
£ корректной работы программы/ щ
s
¡S
03
о if 5
и S
<ъ g
<5 h = (ln(price[2:n]./price[1:n-1])); ф j
ц
5 output file = test\ln(RS).prn reset; s
^ output file = test\ln(t).prn reset;
new; #lineson;
load sret[] = <Input_file>.prn;
pricel = sret[.,1]; n = int(Rows(price1)); starting_point=1; // starting_point -точка отсчета price = price1[starting_point:n]; n = int(Rows(price));
n = int(Rows(h)); //эквивалентно n = n-1
output file = <Output_File>.out reset;
28
Не 1(5) 2007
t = 2; //При t=1: St[1]\equivü => In(Rt/St) == бесконечность §
// При t=2: Rt[2]=St[2] => In(Rt/St) == ü |
do whiIe t<=n; ¡Sc
i = 1; middIe = ü;
do whiIe i<=t; middIe = middIe+h[i]; i = i+1; endo;
middIe = middIe/t;
s§
U
j = 1; p
<ъ
St = 0; //соответствует случаю j = 1 Ч
max = 0; min = 0; HUpper = 0; // соответствует случаю j = t 3
do while j<=t;
HUpper = HUpper+h[j]; if HUpper-j*middle>max; max = HUpper-j*middle;
endif;
if HUpper-j*middIe<min; min = HUpper-j*middIe;
endif;
St = St+(h[j]-middle)A2; j = j+1;
endo;
Rt = max-min; St = (St/t)A(1/2);
output file = test\ln(RS).prn on; print ln(Rt/St); output file = test\ln(t).prn on; print ln(t); t = t+1; endo;
load vector[] = test\ln(RS).prn; Y = vector[.,1]; load vector[] = test\ln(t).prn; X = vector[.,1];
j = 3;
//приj = 1 получаем H=0 //при j = 2 ols выдает ошибку n = rows(Y); //эквивалентно n = rows(X);
do while j<=n; Y1 = Y[1:j]; X1 = X[1:j]; //вызываем функцию ols _output = 0;
{vnam,m,b,stb,vc,stderr,sigma,cx,rsq,resid,dwstat}=ols(0,Y1,X1); output file=<Output_File>.out on; print b[2]; //оценка показателя Хёрста j = j+1; endo; end.
29