Анализ систем, описываемых числовыми рядами с помощью показателя Херста Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Литература

1. Peters E. E. Fractal Market Analysis. Wiley, New York, 1994.

2. Петерс Э. Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на

циклы, цены и изменчивость рынка. Мир, 2000. 336 с.

Analysis of the systems described by the numeric series

via Hurst exponent 1 2 Shishkov V. , Alymov A. (Russian Federation)

Анализ систем, описываемых числовыми рядами с помощью

показателя Херста 12 Шишков В. В. , Алымов А. С. (Российская Федерация)

'Шишков Владислав Валерьевич / Shishkov Vladislav - студент; 2Алымов Алексей Сергеевич /Alymov Alexey - студент, кафедра информационных технологий и систем, Институт информационных технологий Московский государственный технический университет радиотехники электроники и автоматики, г. Москва

Аннотация: в статье рассматривается способ различения случайного и фрактального числовых рядов с помощью показателя Херста.

Abstract: in the article we described a way of identify differences between normally distributed and fractal distributed numerical series using Hurst index.

Ключевые слова: анализ, показатель Херста, числовые ряды, нормальное распределение, фрактальный анализ.

Keywords: analysis, Hurst index, numerical series, normal distribution, fractal analysis.

Существует множество различных систем (от солнечных пятен, среднегодовых значений выпадения осадков и до финансовых рынков, временных рядов экономических показателей) и зачастую числовые ряды, описывающие их характеристики, не являются нормально-распределенными или близкими к ним. Для анализа таких систем Херстом [1] был предложен метод Нормированного размаха (RS-анализ). Главным образом данный метод позволяет различить случайный и фрактальный временные ряды, а также делать выводы о наличии непериодических циклов, долговременной памяти и т.д.

1) Дан исходный ряд St. Рассчитаем логарифмические отношения:

ЛГ 1 St

Nt = ln- (1)

St -1 ()

2) Разделим ряд N на A смежных периодов длиной n. Отметим каждый период как Ia, где a = 1,2,...,А. Определим для каждого Ia среднее значение:

1 п

E (Ia ) = - Ё Nk, a (2) п k=1

3) Рассчитаем отклонения от среднего значения для каждого периода Ia:

X*,- = Z (N,- - E(4))

(3)

г =1

4) Рассчитаем размах в пределах каждого периода:

Ra = mx( Хк а ) - min( Х^ ) (4)

5) Рассчитаем стандартное отклонение для каждого периода Ia:

Ü! =

6) Каждый Ri делим на S i . Далее рассчитываем среднее значение R/S:

II

S

1 и

- Z (N- E(Ia ))2 ntí

(5)

Ё Д / s (

д / S (n) = ■a=1-

(6)

7) Увеличиваем п и повторяем шаги 2-6 до тех пор, пока П <: Л/ /2

8) Строим график зависимости 1од(й./Б^п))) от 1од(п) и с помощью МНК находим регрессию вида:, 1од(Р1 /5(/?)) = Н ■ 1од(п) + С, где Я - показатель Херста (см. рисунок). [2]

Log Eni

Рис. 1. График зависимости log (R / S ( Л?) ) ) ""'

Экспонента Хёрста, показатель Хёрста или коэффициент Хёрста — мера, используемая в анализе временных рядов. Эта величина уменьшается, когда задержка между двумя одинаковыми парами значений во временном ряду увеличивается. Впервые это понятие использовалось в гидрологии в практических целях для определения размеров плотины на реке Нил в условиях непредсказуемых дождей и засух, наблюдаемых в течение длительного времени. Название «Экспонента Херста» или «Коэффициент Херста» дано в честь Гарольда Эдвина Хёрста — ведущего исследователя того времени в этой области. Стандартное обозначение H также дано в честь него [3].

Далее проверяем полученный результат на значимость. Для этого проверяем гипотезу о том, что анализируемая структура является нормально-распределенной. R/S являются случайными переменными, нормально распределенными, тогда можно предположить, что H также распределены нормально. Асимптотическим пределом для независимого процесса является показатель Херста равный 0.5. Энис и Ллойд [4], а также Петере [5] предложили использовать следующие ожидаемые показатели R S:

Для и наблюдений находим ожидаемый показатель Херста: Е(/V). Ожидаемая дисперсия будет следующей: D(/7) = 1/7", где Т — количество наблюдений в выборке.

Выборочная статистика: Z = -—у—• (8)

Сравниваем ее с критическим значением нормированного нормального распределения.

Если выборочное значение меньше критического, то гипотезу о нормальном распределении системы не отвергаем на данном уровне значимости. Структура случайна и имеет нормальный закон распределения.

Литература

1. Херст Г. Э. Долгосрочная вместимость водохранилищ. Труды Американского

общества гражданских инженеров, 1951. 116 с.

2. Habrahabr.ru. RS-анализ (анализ фрактальной структуры временных рядов).

[Электронный ресурс]. URL: https://habrahabr.ru/post/256381.

3. Калуш Ю. А., Логинов В. М. Показатель Хёрста и его скрытые свойства. Сиб. журн.

индустр. Матем, 2002. т. 5, вып. 4. 29-37 с.

4. Anis A. A., Lloyd E. H. The expected value of the adjusted rescaled Hurst range of

independent normal summands. Biometrica 63, 1976. 283-298 c.

5. Peters E. E. Fractal Market Analysis. Wiley. New York, 1994.