CC BY
136
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника
УДК.621.373
АНАЛИЗ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ФАПЧ СИНТЕЗАТОРОВ ЧАСТОТ
Г.Н. ПРОХЛАДИН
Статья представлена доктором технических наук, профессором Логвиным А.И.
Проведен анализ динамики нелинейной системы ФАПЧ синтезаторов частот. Показано влияние нелинейности характеристики общего коэффициента усиления петли ФАПЧ на процессы установления.
Ключевые слова: ФАПЧ, система, следящая система, радиоустройства.
Введение
Анализ динамики нелинейных систем автоматического регулирования (САР) не теряет своей актуальности, так как выдержать линейность коэффициентов передач отдельных звеньев данных структур особенно в условиях эксплуатации практически нереально. Причем весьма важно, что в синтезаторах частот с петлей фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которая является разновидностью САР, переход с одной частоты на другую является рабочим режимом, поэтому переходным процессам в этих устройствах уделяется особое внимание. А так как петля ФАПЧ по своей структуре является нелинейным устройством, так как содержит разностное звено - фазовый дискриминатор, то для их анализа используются различные модели, позволяющие с достаточной точностью провести исследования процессов установления [1,2]. Однако найденные аналитические решения для данных режимов определяются достаточно сложными математическими выражениями даже при линейности коэффициентов передач отдельных звеньев. Поэтому актуальным является нахождение упрощенных алгоритмов для анализа динамики системы ФАПЧ с нелинейными коэффициентами передач отдельных звеньев с допустимой точностью.
Нелинейная система ФАПЧ
Обобщенная структурная схема, являющаяся универсальной для анализа всех следящих радиосистем и радиоустройств и позволяющая осуществлять их моделирование с единых позиций, представлена на рис. 1 а [3].
В этом случае в непрерывную часть петли ФАПЧ, в соответствии со структурой синтезатора частот, объединены: фильтр нижних часто (ФНЧ); генератор, управляемый напряжением (ГУН); делитель с переменным коэффициентом деления (ДПКД). Тогда эквивалентная ей расчетная схема с нелинейным звеном будет иметь вид, изображенный на рис. 1 б.
а Рис. 1
В данном рисунке нелинейное звено представляется безынерционным нелинейным элементом, а остальные звенья входят в состав непрерывной части.
Решение для системы с неизменяемыми коэффициентами передач отдельных
звеньев
Если характеристика дискриминатора и крутизна ГУН описываются линейными уравнениями, то коэффициент передачи нелинейного звена можно принять равным единице, тогда функция передачи разомкнутого кольца системы ФАПЧ с астатизмом второго порядка определяется как [4]
К(р) = К(1 + рТі)/р2(1 + рТ2) , (1)
где К - коэффициент усиления разомкнутого кольца (дискриминатор, ДПКД, ГУН); Т1 и Т2 -постоянные интегрирования ФНЧ; р - оператор Лапласа.
Для замкнутой структуры составим систему уравнений (рис. 2)
У1(р) = Х(р) - У(р) , (2)
У(р) = У1(р)-К(р).
Вследствие этого
^'(р) = У(р)/Х(р) = К(1 + рТ1)/[ К(1 + рТ1) + р2(1 + рТ2)] . (3)
Для построения переходных характеристик с желаемой точностью применим метод численного интегрирования, используя явное преобразование Эйлера. В этом случае необходимо провести замену р = (2 -1)/Д1 в выражении (3). Далее, проведя операции приведения к общему знаменателю и группировки подобных членов, получим соотношение в виде дробнорациональной дроби [6]
W(z) = ^ =--Б^2 + В 3\ 3------------ , (4)
X (z) 1- А^"1 -А2 ^ — А3 z
которое имеет решение в виде рекуррентного уравнения
у[п] = А1-у[п - 1] + А2-у[п - 2] + А3-у[п - 3] + Б2-х[п - 2] + Б3-х[п - 3], (5)
где А1 = 3 - Д1/Т2; А2 = 2Д1/Т2 - 3 - КТШ2/Т2; А3 = 1- Д1/Т2 + КТ1Д12/Т2 - КД13/Т2; Б2 = КТ1Д12/Т2; Б3 = КД12(Д1 - Т1)/Т2.
Для построения процессов по (4) после входных воздействий необходимо задаться величинами К, Т1, Т2. Для этого воспользуемся результатами работы [5], в которой найдены безразмерные величины К, Т1, Т2 для заданной неравномерности частотной характеристики и запасу устойчивости данной системы. Они соответственно равны К = 0,292; Т1 = 3,44; Т2 = 0,59.
Моделирование по (5) для Д1 = 0,1 приведено на рис. 2. Эпюра, построенная для Д1 = 0,01, имеет незначительные отклонение.
Рис. 2
Анализ системы ФАПЧ с нелинейным коэффициентом передачи
Как следует из рис. 1 б, нелинейность коэффициента передачи системы ФАПЧ можно представить единым нелинейным безынерционным элементом, объединяющим все нелинейности отдельных звеньев. Сложность в решении проблемы заключается в представлении достоверной аппроксимации реальной нелинейности ее математическими аналогами. Так как провести анализ всевозможных разновидностей нелинейных цепей достаточно сложно, а для синтезаторов частот функции передач отдельных звеньев стараются максимально линеаризировать, то рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды нелинейностей.
На начальном этапе проведем анализ системы ФАПЧ с линейно изменяемым коэффициентом передачи, относительно которой рассмотрим другие разновидности нелинейностей.
Рис. 3
Примем, что коэффициент усиления К на краях диапазона перестройки меняет свое значение в два раза. Тогда К будет изменяться в пределах 0,146.. .0,292. При линейном изменении усиления К он будет определяться соотношением
К(п) = 0,146 + п-Дп, (6)
где п = 0,1,2.; Дп = (0,292 - 0,146)/Ы; N - общее количество отсчетов, равное 15-102. Тогда (6) отобразится прямой «1», представленной на рис. 3.
Рис. 4
Результат моделирования процесса установления в петле ФАПЧ с изменяемым коэффициентом усиления показан на рис. 4 (кривая 1). Для сравнения на данной диаграмме приведен случай с постоянным коэффициентом усиления (кривая 2), рассчитанный по (5).
Как следует из диаграммы, коэффициент перерегулирования уменьшился, однако при этом увеличилась длительность процесса установления.
Представим коэффициент усиления в виде соотношения
Q(n) = 0,146 + n0 5 • 3,8 -10-3. (7)
Соответствующая данному выражению кривая показана штрих-пунктирной линией (рис. 3
- кривая 2). Усложним функционал коэффициента передачи и представим его периодической функцией
S(n) = 0,146 + n2,05 • 5 • 10-8 + 0,05 • sin (я- n/250). (8)
Такая зависимость представится кривой (пунктирная линия 3), изображенной на рис. 3.
Рис. 5
Построенные для данных коэффициентов процессы установления показаны на рис. 4 (1- линейное изменение; 2- показательное изменение; 3 - периодическое изменение).
Рис. 6
Изменение характеристики коэффициента усиления посредством сдвига фазы периодической кривой 3 на 180° (рис. 2) приводили к повышению коэффициента перерегулирования кривой 3 (рис. 4). Таким образом, снижение коэффициента усиления на начальной стадии переходного процесса снижает устойчивость.
Заменим выпуклую кривую 2 (рис. 2) на вогнутую, как показано на рис. 6. Моделирование показывало незначительные расхождения кривых 2 и 3 на начальных стадиях процесса и полное совпадение в завершающей стадии.
Снижение периода колебаний изменения коэффициента усиления на порядок, как показано на рис. 7, приближали переходной процесс к линейному изменению (кривые 1 и 2 рис. 4).
0.4
.4
0.35
0.3
К(п) 0.25
0.2
Я(п)
Р(п) 0.15 0.1 0.05
0
3 / І' Iі! 1\
1 / / , А Л ^ А. ■ч А ^ )1 1/ ^
г Л .V ні V’' '*! < 1 ”
ТО /НЙ ТО ТО V'/1 1/ 'І
ТО то 1/1^ V и ^ и 1 2
150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500
п
Рис. 7
1.510'
Изменения начального значения периодически изменяемого коэффициента усиления на 180° не влияли на конечный результат.
Моделирование линейно спадающими, вогнутой и периодической характеристиками изменения коэффициента усиления петли показало:
- системы с постоянными параметрами и с линейно спадающим коэффициентом усиления имели незначительные расхождения, однако, общее время переходного процесса уменьшилось;
- спад коэффициента усиления вначале формирования процесса установления повышает коэффициент перерегулирования, увеличивая время установления;
- при колебательном характере усиления с начальным повышением перерегулирование уменьшается, однако, время установления также увеличивается, причем изменение начального значения колебательного коэффициента усиления на 180° приводило к повышению перерегулирования;
- замена изменения коэффициентов усиления, когда вогнутая линия заменена на выпуклую, практически не сказывалась на перерегулировании;
- повышение частоты колебательного изменения усиления на порядок приводило к выравниванию характеристик переходных процессов для апериодического и колебательного изменения усиления, причем изменение начальной фазы при увеличении частоты колебаний практически не влияло на переходные характеристики, как и в предыдущих примерах.
Заключение
0
В статье представлен метод анализа динамики системы ФАПЧ с астатизмом второго порядка синтезаторов частот, имеющий нелинейные характеристики отдельных звеньев. Результаты моделирования показывают, что при увеличении коэффициента усиления на октаву с линейным законом приращения величина перерегулирования незначительно снижается, однако, при этом увеличивается длительность переходного процесса. Показательный и периодический характер приращения незначительно влияет на процесс установления относительно линейного изменения. Во всех случаях повышение коэффициента усиления на начальных участках характеристики приводит к снижению величины перерегулирования. Анализ характеристик с такими законами изменения коэффициента усиления петли ФАПЧ может иметь место при эксплуатации устройства, когда изменяются: температура окружающей среды, напряжения источников питания и т. д.
ЛИТЕРАТУРА
1. Прохладин Г.Н. Оптимизация параметров системы ИФАПЧ с фильтром второго порядка по быстродействию // Радиотехника, 1997, № 3. - С. 55-58.
2. Прохладин Г.Н. Модель нелинейной системы ИФАПЧ с фильтром второго порядка // Радиотехника, 1999, № 8. - С 32.
3. Борисов Ю. П., Цветнов В. В. Математическое моделирование радиотенических систем и устройств. - М.: Радио и связь, 1985.
4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975.
5. Прохладин Г.Н. Моделирование шумовых характеристик синтезаторов частот на основе систем ИФАПЧ // Радиотехника, 2006, № 2. - С. 37.
6. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. - М.: Сов. Радио, 1971.
7. Шахтарин Б.И., Прохладин Г.Н., Иванов А. А., Быков А.А., Чечулина А. А., Гречищев Д.Ю. Синтезаторы частот: учебное пособие. - М.: Г орячая линия. - Т елеком, 2007.
THE ANALYSIS OF DYNAMICS OF NONLINEAR SYSTEM PLL OF SYNTHESIZERS
OF FREQUENCIES
Prokhladin G.N.
The analysis of dynamics of nonlinear system PLL of synthesizers of frequencies is carried out. Influence of nonlinearity of characteristics of entering links on establishment processes is shown.
Сведения об авторе
Прохладин Геннадий Николаевич, 1945 г.р., окончил МИРЭА (1972), доцент МГТУ ГА, автор 35 научных работ, область научных интересов - анализ и синтез систем цифровой обработки сигналов, фазовые системы синхронизации, синтезаторы частот.
