CC BY
45
УДК 621.37/39
Беликов Г.Г., Лапшин Э.В., Коваленко В.А.
Россия, Пенза, Пензенский государственный университет
АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ СВОЙСТВ ДВУХКАСКАДНОГО УСИЛИТЕЛЯ С ГАЛЬВАНИЧЕСКИМИ СВЯЗЯМИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Аннотация. Исследуются схемы с обратными связями в области обеспечения гарантированной устойчивости. Желательно иметь достаточно гладкую АЧХ, что обеспечивает переходную характеристику без значительных выбросов, а это позволит избежать различных искажений при усилении импульсных сигналов.
Ключевые слова: отрицательная обратная связь, коэффициент усиления, частотные свойства.
Отрицательная обратная связь (ООС) является самым мощным инструментом в аналоговой схемотехнике. Её правильное применение позволяет получить:
- необходимую стабильность коэффициента усиления К(jj) ;
- требуемые значения входного RBX и выходного Кых сопротивлений, величины которых в большинстве случаев без применения отрицательной обратной связи остаются недостижимыми;
- уменьшить линейные и интермодуляционные искажения;
- получить достаточно гладкую амплитудно-частотную характерис-тику (АЧХ) с заданным уровнем неравномерности.
Основные опасности ожидают разработчика схем с обратными связями в области обеспечения гарантированной устойчивости, так как самовозбуждение усилителя недопустимо. Во многих случаях желательно иметь достаточно гладкую АЧХ, что обеспечивает переходную характеристику без значительных выбросов, а это позволит избежать различных искажений при усилении импульсных сигналов.
Большое количество разнообразных версий схем с отрицательной обратной связью (от очень плохих до очень хороших) является доказательством, что надёжных и простых способов решения указанной проблемы не существует.
Анализ частотных свойств двухкаскадного усилителя с гальваническими связями
Для описания частотных свойств одного каскада используем однополюсную модель, в которой эквивалентное значение граничной частоты должно учитывать:
- граничную частоту собственно транзистора, включённого по схеме с общим эмиттером;
- влияние ёмкости нагрузки;
- влияние паразитной ёмкости Скб, результат учёта которой зависит от величин входных и выходных сопротивлений, которые могут иметь достаточно большой разброс значений.
Считаем, что каскады одинаковы, а их комплексная частотная характеристика (КЧХ) определяется простым соотношением:
К0 1
Kj(jffl) = K2(ja>) = т^, (1)
где K - усиление каскада в области низких частот;
X = юjю - нормированная частота.
Здесь и в дальнейшем для краткости записи будет использовано обозначение j вместо j3KB ,
которая рассматривалась выше.
Для усилителя с гальваническими связями (УГС) ная частотная характеристика (КЧХ) имеет вид:
K (jo) =
K0
1 + 2 jX - X2
(2)
состоящего из одинаковых каскадов, комплекс-
Последняя запись возможна, если величины R и R учтены при определении K .
Величина низкочастотного усиления K может иметь любые значения, поэтому в дальнейшем
удобнее рассматривать нормированный коэффициент
K
"кл
Y
а в случае обратной связи
K
Y = _CB_
св К
0 св
Конфигурация схемы с обратной связью выбирается так, чтобы при 0 имела место чисто от-
рицательная обратная связь (ООС). По мере повышения частоты усиление падает и появляется дополнительный частотозависимый фазовый сдвиг у(ю) , а UBbIX отстаёт от UBX на угол $>к = -180°-^(ю)
, поэтому ООС превращается в комплексную обратную связь (КОС). При дальнейшем повышении частоты КОС стремится превратиться в положительную обратную связь (ПОС).
Запишем выражение для коэффициента усиления Кв (jj) , предполагая, что реализован наиболее распространённый вариант отрицательной обратной связи по напряжению со сложением напряжений:
1
К0
* j) = ^W- = 1+yx-/2 =
св (J ) 1+ рк (jw) t| PK0
K,
0
1 + 2 JX - X2 +PK.
0
K
1+ PK0
1 + 2 JX - X2
K
(3)
0 св
1 -
X2
+j
2 X
X2
2 X
1+ PK0 ^ + PK0 1 - F0 +J F0
где P - действительное значение коэффициента передачи цепи обратной связи (величина р зависит от номиналов резисторов в цепи обратной связи);
петлевое усиление.
PK0 = T0 1 + T0 =1+ PK0 = F0 ,
где Fq - максимальная глубина отрицательной обратной связи при 0
К
K0 _K0
0 св 1 + PKn Fn
есть низкочастотное усиление усилителя с (4) обратной связью.
Ю *0
Запишем выражение для нормированного усиления (jw) :
F (jw)
Y (JW) = св' k
1
0 св
1-X4+j2X F0 Jf0
(5)
Соотношение (5) можно записать в виде:
F
Зв(JW) =
0
F0 - X2 + J2X
(6)
из которого получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики:
Гсв( jW)\ =
Fa
Fa
■J( F0 - X2 )2 + 4X 2 Л
2 - 2FqX2 + X4 + 4X2
(7)
F
i
X4 - 2X2(F0 - 2) + F2
Из анализа уравнения (7) следует важный вывод: пока Fq <2 , амплитудно-частотная характеристика усилителя с комплексной обратной связью монотонна. При F = 2 из выражения (4) находим
величину K
0 св
Кл
F = 2 ' F0 2
0 '
■, а уравнение (7) для относительного усиления преобразуем так:
Кв н
fa
Fa
F0 = 2
^X4 - 2X2(2 - 2) + F2
JX4 + F
= = Y . (8)
.2 1
При F = 2 амплитудно-частотная характеристика оказывается максимально плоской, то есть усилитель превращается в фильтр низкой частоты типа Баттерворта.
Для нахождения частоты среза по уровню -3 дБ преобразуем выражение (8) к виду:
Fa
Y =
1 X 4 + F2
или с учетом
(9)
1 +
X4
F
.2
72 =
0
у 1
того, что Y = —j= ,
1 72
1 (10)
X 4
1 +
сР
F2
X 4
1 +
сР
откуда XJp = 4 ,
или X | =72 ~ 1,41 . (11)
ср |F0 = 2
2
4
2
При более глубокой обратной связи (Fq >2) знак квадратичного члена в выражении (7) изменяется. Например, при Fq =20 имеем:
Y ил\ =
I CBW If = 20
F0
20
0 = 20 ^Х4 - 2X2(F - 2) + 4x4 -36X2 +
(12)
400
4 2 2
Введём обозначение: M(X) = X —2X (F —2) + F , тогда производная этого выражения будет равна:
dM (X} = 4X 3 — 4 X (F — 2) dX ( 0 )
(13)
Приравняв производную (13) к нулю, определяем частоту X
на которой располагается мак-
симум амплитудно-частотной характеристики:
X = F -2 . (14)
max V 0
Величина этого подъёма будет равна:
Fa
4F0—l
(15)
а величина подъёма оказывается равной
Так, для примера в выражении (12) X = 4,24 ;
Y = 2,294 , что неприемлемо в любом варианте. max ’ft- t-
Анализ частотных свойств двухкаскадного усилителя с гальваническими связями (УГС) с разносом граничных частот f л и f 0
р р У1 Угр2
При определении граничных частот каждого каскада необходимо учесть влияние:
- местных отрицательных обратных связей;
- паразитной ёмкости С g ;
- ёмкости нагрузки.
При определённых условиях эти различные факторы можно свести вместе и получить эквивалентные значения граничных частот.
Запишем выражения для комплексной частотной характеристики (КЧХ) каскадов:
K0 1 K0 2
K, (ja>) = —01; K (Л =
1 1 + jX 2 > 1 + jXjn
(16)
где K0 i и K0 2
X = X =
///Гр1
- низкочастотные значения коэффициентов усиления УГС. нормированная частота для первого каскада; нормированная частота для второго каскада.
X2 = X/n
Если допустить, что/^ </ 2 , то коэффициент n > 1.
Определим уравнение комплексной частотной характеристики (КЧХ) всего усилителя:
K (Л) =
К0 1К0 2
К0 1К0 2
l1 + jX )(1 + jX/n) 1 + j (X + X/n)-X2
K0n
(17)
2
n - X2 + jX (n +1)
низкочастотное усиление усилителя с гальваническими связями.
где K0 = K0 1K0 2
На основании выражения (17) определим уравнение амплитудно- частотной характеристики усилителя без отрицательной обратной связи:
K ( л)=
K0 n
K0 n
J(n - X2)2 + X2 (n + 1)2 \n2 - 2nX2 + X4 + X2 (n2 + 2n + ^
K0 n
K0 n
^X 4 + X 2 (n2 + 2n +1 - 2n) + n2 ^X4 + X 2 (n2 +1) + n2
(18)
Охватим усилитель общей отрицательной обратной связью через цепь, коэффициент передачи ^ которой есть действительная величина. Тогда выражение для комплексной частотной характеристики Kqb (Л) будет иметь вид:
Y
max
n
3
K0n
K (jw) = -Kj_ = _nzXj + VL_ =-----.
св 1 + p0K (jw) 1+ Pp K0n n - X2 + jX (n + 1) + PQ Kf
K0n
n - X2 + jX (n +1)
K0n
K0n 1 + P0K0
.(l + P0K0)-X2 + jX (n +1) n_ X2 | n + 1
1+ P0K0 1+ P0K0
K„ nF 0 св
nF - X2 + jX (n + 1)
Kn
, (19)
гДе Kn„„ =
"0
0 св 1+ P K.
низкочастотное усиление усилителя с отрицатель-ной обратной связью;
F = 1+ P K.
0^0
0K0
параметр, характеризующий глубину отрицательной обратной связи.
Используя выражение (19), запишем уравнение амплитудно- частотной характеристики (АЧХ) усилителя с отрицательной обратной связью:
Ав И=
K„ nF 0 св
<[n2F2 - 2nFX2 + X4 + X2(n + 1)2
K nF 0 св
(20)
^X4 + X2 [( n +1)2 - 2nFj + n2F2
а после деления на K ристики:
Гсв(jw=-
получим выражение для нормированной амплитудно- частотной характе-nF nF
^X4 + X2 [(n +1)2 - 2nF j + n2F2 '•IP(X)
, (21)
2 - 2nF + n2F2
где P(X) = X4 + X2 ^(n + 1)
Характер поведения усилителя по уравнению (21) определяется величиной и знаком квадратичного слагаемого. Приравняем нулю выражение в квадратных скобках уравнения (21) и найдём критическое значение глубины обратной связи F
кр
(п +1)2 -2nF = 0 , (22)
\ j кр '
р (п +1)
кР 2п
2
(23)
При F = коэффициент при X2 равен нулю, и усилитель превращается в фильтр низкой частоты
Баттерворта с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой. Но величина результирующей граничной частоты в этом случае может оказаться недостаточно высокой.
2
Если F > F , знак перед X изменяется, а на амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) по-кр
является выброс, величина которого может быть недопустимо большой. Для определения частоты X , на которой будет наблюдаться подъём усиления, вычислим производную выражения P(X) :
4X3 + 2X [ (n + 1)2 - 2nF j
(24)
dP( X) dX "
и приравняем выражение (24) нулю:
или
4X3 + 2X ^(n +1)2 - 2nF j = 0 ,
2X2 = - ^(n +1)2 - 2nF j = 2nF - (n +1)
Откуда частота X максимума на АЧХ будет равна: max
X
2nF - (n +1)2
, (25)
max « 2
а величина усиления на этой частоте (величина подъёма) принимает следующее значение:
2nF
max I X
(n + 1^/4nF - (n + 1)2
. (26)
4
Величина допустимой глубины отрицательной обратной связи в случае подъёма амплитудночастотной характеристики не более чем на 1дБ, находится, если приравнять выражение (26) значению Ymax равному, допустим 1,1:
2nF = 1,1(n + 1)^4hF — (n +1)2 . (27)
Выполним ряд преобразований для выражения (27)
4n2F2 = 1,21(n +1)2 |lnF — (n +1)2 4n2F2 — 1,21(n +1)2 4nF +1,21(n +1)2 (n +1)2 = 0,
F2 — 1,21(n +1 F + 0,3(n +1 = 0 . (28)
, n , n2
Для упрощения записи введём обозначение:
n = (n+1t , (29)
2
после чего уравнение (28) принимает вид:
F2 —1,2nF + 0,3й2 = 0 . (30)
Решение уравнения (30) даёт допустимое значение глубины отрицательной обратной связи
n
F ,
доп
которое не должно превышать:
F <0,35й . (31)
доп
Полезно также определить , когда
амплитудно-частотной характеристике. Для нение для нахождения n :
при заданной (выбранной) величине F этого приравняем нулю выражение (25),
нет выброса на что даст урав-
2 n ■ F = (n ■ +1) , min V min /
или n ■ — 2n • (F — 1) + 1 = 0 , min min4 '
откуда искомое значение nm
nmm = (F — 1)4F(F — 2) . (32)
будет определяться из соотношения:
5
