Анализ алгоритмических проблем при исследовании чувствительности дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62.50

Т. А. Акунов, С. А. Сударчиков, А. В. Ушаков

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

АНАЛИЗ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Рассматриваются алгоритмические проблемы, возникающие при исследовании чувствительности дискретных объектов и систем к вариациям параметров матричных компонентов их векторно-матричного модельного представления. Показывается, что эта задача может быть решена с привлечением функций чувствительности собственных значений и собственных векторов матрицы состояния непрерывного объекта управления.

Алгоритмические проблемы, возникающие при исследовании чувствительности дискретных объектов и систем, рассмотрим на примере аппарата траекторной чувствительности

Аппарат функций траекторной чувствительности в своей первичной постановке [4, 6] строился так, чтобы обеспечить разработчикам возможность наблюдать дополнительное движение динамической системы, порожденное вариациями параметров ее функциональных компонентов относительно их номинальных значений, и оценивать влияние этого движения на качественные показатели системы.

Для введения аппарата траекторной чувствительности рассмотрим линейную (локально линейную) дискретную динамическую систему (объект), которая характеризуется вектором

состояния х е Яп, вектором выхода у е Ят, а также вектором д квазистационарных параметров (д(к+1)-д(к) = 0) , имеющим представление д = д0 +Ад, д еЯр , здесь д0 — номинальное значение д; к — дискретное время, выраженное числом интервалов дискретности длительностью &, так что ^ = к (Аг). С тем чтобы обеспечить прозрачность трактовки результатов

будем использовать безразмерную форму представления элементов д^ , ] = 1, р, вектора параметров д .

Полное движение дискретной динамической системы (объекта) при произвольном значении вектора д параметров по состоянию и выходу может быть представлено в виде

[1—7].

х(к, д = д0 +Ад) = х(к)+Ах(к, д0, Ад) ; у (к, Ч = Ч0 +Ад) = у (к)+Ау (к, 40, Ад),

(1) (2)

А А

где х(к) = х(к, до), у(к) = у(к, до); х(к) и у(к) — номинальные траектории движения дискретной динамической системы (объекта) соответственно по состоянию и выходу; Ах (к, до, Ад) и Ау (к, до, Ад) — дополнительные движения системы по состоянию и выходу, определяемые вариацией Ад, а также номинальным значением до вектора параметров.

Будем полагать справедливыми две гипотезы: первая — о малости нормы ||Ад|| вариации Ад вектора параметров, вторая — о непрерывной дифференцируемости по вектору параметров д в точке д = до траекторий х (к, д) и у (к, д) в каждый дискретный момент времени к . Тогда выражения (1) и (2) примут следующий вид:

х (к, д ) = х (к )+

у (к, д)=у (к)+

дх ( к, д )

дд

ду (к, д)

д=д0 Ад + 01 (Ад);

дд

д=д0 Ад+° (Ад)

(3)

(4)

где выполняются соотношения

Нш

°х2 (Ад)

=о,

Нш

°у(Ад)

=о.

1НЬ° II Ад ' ||АдЬо ||Ад|| Воспользовавшись уравнениями (3), (4), для дополнительных движений Ах (к, до, Ад) и Ау (к, до, Ад) параметрически возмущенной системы можно записать

Ах (к, до, Ад ) = Е( к )Ад, (5)

Ау (к, до, Ад ) = Н( к )Ад. (6)

Матрицы Якоби вида Е(к) и Н(к) называются матрицами траекторной чувствительности

дискретного объекта (системы) соответственно по состоянию и выходу, столбцовая форма записи которых имеет вид

Е(к) = row <! ау (к)=-

Адх( к, д)

Н(к) = row Ь / (к) =

дду А Аду(к, д)

; у=1, Р \

дд,

д=до

; ]=1, Р \,

где а у (к) и п у (к) — функции траекторной чувствительности первого порядка (далее —

просто функции траекторной чувствительности) по состоянию и выходу.

Заметим, что если известны матрицы чувствительности Е( к) и Н( к) дискретной динамической системы для любого к , то основные задачи анализа параметрической неопределенности в традиционной постановке могут быть решены полностью. При этом если решение задачи (в экстремальной постановке) в форме мажорант и минорант дополнительных движений является достаточным, то эффективным инструментом будет сингулярное разложение [8] матриц траекторной чувствительности Е(к) и Н(к) . В пространстве траекторий для любого

к максимальное а (*)тах (к) и минимальное а (*)т^ (к) сингулярные числа матрицы (*)(к)

задают значение нормы максимальной и минимальной полуосей эллипсоидных покрытий дополнительных движений (5) и (6), порожденных сферой ||Ад|| = 1, а элементы правого сингу-

Анализ алгоритмических проблем при исследовании чувствительности дискретных систем 19

лярного базиса сингулярного разложения матрицы (*)( k) задают сочетания вариаций параметров, порождающие максимальную и минимальную полуоси этого покрытия.

Конструирование модели траекторной чувствительности проиллюстрируем на примере линейного дискретного объекта управления (ОУ), матричные компоненты модельного представления которого зависят от вектора параметров q:

х(k+1, q) = Ad (q)x(k, q)+Bd (q)u(k); x(0,q) = x(0); y (k,q) = Cd (q)x(q)(k,q) , (7) где u — r-мерный вектор управления; Ad — п*п-матрица состояния, Bd — п*г-матрица управления, Cd — дахп-матрица выхода дискретного ОУ.

Продифференцируем выражения (7) поj-му компоненту qy вектора параметров q в точке q = qo, тогда для j-й модели траекторной чувствительности (МТЧ) получим представление

а у (k+1) = Ad a j (k)+Adqx (k)+Bdqu (k); а у (0) = 0; Пу (k ) = Cd а у (k)+Cdqx (k), (8)

где

Adq} -

ÔAd (q)

dq,

% -

dBd ( q )

q-qo

dq,

C —

dq,

dCd (q )

q—qo

dq,

j-i, p ;

(9)

q—qo

Ad (q)\r_% = Ad; Bd (q)|4=4o =Bj, Q (q)^ =Q. Очевидно, МТЧ (9) будет генерировать функции траекторной чувствительности a j ( k ) по состоянию и nj (k) по выходу, если ее дополнить моделью номинального ОУ, полученной из уравнений (7) при q = q0 :

x (k+1) = Adx ( k )+Bdu (k) ; x ( 0) ; y (k) = Cdx (k) . (10)

Для структурного анализа параметрической чувствительности дискретных объектов и систем следует сформировать агрегированную систему с составным вектором Xj = col {x, a j}

размером dim x = 2n, которая путем объединения выражений (8) и (10) получает векторно-матричное модельное представление (ВММП)

xj (k+1) = Ad} Xj (k )+Bd] u (k ); Xj (0) = col{x(0), 0} ;

x(k)-CdxXj(k); y(k)-CdXj(k); aj(k)-Cda,xj(k); nj(k)-Cdn (k^

где

А, =

С= [[пхп 0пхп ]; = [С, 0тхп ]; ст^ = [0пхп 1пхп ]; ^ =

здесь I — единичная матрица.

В настоящее время в связи с включением микропроцессоров и микроконтроллеров в состав систем управления непрерывными техническими объектами [5] под дискретным ОУ понимается дискретная по времени с интервалом дискретности АI выборка из непрерывных процессов по состоянию х () и выходу у (^) в моменты ^ = к (А ^) в предположении, что на

интервале времени к (А ^ )< ^ <(к+1)(А ^) управление непрерывным ОУ оказывается фиксированным на уровне значения и () = и (к (А I)). Таким образом, если непрерывный ОУ имеет ВММП

Bd -

Bd

Bdq

Cd

Cd

х(г) = Ах()+Ви(г); х(о); у (г) = Сх(г), (11)

где А — п*п-матрица состояния, В — п*г-матрица управления, С — да*п-матрица выхода непрерывного ОУ, то матричные компоненты ВММП (1о) дискретного объекта при номинальных значениях параметров [5] принимают вид

Ad = е^АГ), Bd = ( -1)1 B, Cd = C. (12)

Если дФдо, то матричные компоненты ВММП (7) параметрически возмущенного дискретного ОУ в полном соответствии с выражениями (12) получают представления

Ad (д) = еА(д)(АГ}, Ва (д) = (Ad (д)-1) А"1 (д)В(д), Cd (д) = С(д). (13)

В связи с представлением (13) при построении МТЧ дискретного ОУ в форме (8) возникают алгоритмические проблемы вычислительного характера, обусловленные необходимостью вычисления матриц чувствительности (9). При этом ключевой проблемой оказывается вычисление матрицы чувствительности

Adq, -

dAd (q)

d q,

eA(q )(A t)

d qj

q-qo J

q-qo

которая согласно (13) содержится в матрице чувствительности Bdq . Вследствие того, что

Ad (q)-eA(q)(At) представляет собой бесконечный матричный ряд, непосредственное дифференцирование по скалярному параметру q, результата не дает.

Если положить, что А — матрица простой структуры, которая может быть приведена к диагональной форме Л, то, воспользовавшись свойствами матричной функции от матрицы [8], возникшую проблему можно решить с помощью следующего алгоритма.

1. Построить ВММП исходного непрерывного объекта при номинальных значениях параметров (11) с тройкой матриц (A, B, C) .

2. Вычислить алгебраический спектр собственных значений а {A}-{^ :det (XI - A)-0; i -1, n} и собственных векторов : -Xi} матрицы A .

3. На элементах алгебраического спектра собственных значений сконструировать диагональную матрицу Л-diag{Хг-; i-1, n}.

4. На собственных векторах построить матрицу M - row {Mi ; i -1, n} приведения

матрицы A к диагональному виду в силу матричного уравнения подобия MЛ-AM .

5. Решить матричное уравнения подобия (п. 4) относительно матрицы A, записав его в

форме A -M diag {Xi; i -1, n} M_1.

6. Назначить интервал дискретности A t и построить ВММП дискретного объекта (10) при номинальных значениях параметров с тройкой матриц (Ad, Bd, Cd ), формируемых с помощью соотношений (12).

7. На основе свойства матричной функции от матрицы сохранять матричное отношение подобия вычислить матрицу состояния дискретного объекта Ad :

Ad - eA(At) -Mdiag {eXiAt; i -Щ}M-1.

8. Положить q ^ qo и определить Ad (q) в виде

Ad (q)-eA(q)(At) -M(q)diag{eX(q)At; i-1^}M(q)-1.

A

Анализ алгоритмических проблем при исследовании чувствительности дискретных систем 21

9. Вычислить матрицу чувствительности Adq. к вариацииу'-го компонента ду, ' = 1, р, вектора параметров д путем прямого дифференцировании по ду в точке д = до выражения, полученного в п. 8:

\ -AMrqM-1 ^{Лц'Аг; I=1, и)М1.

10. Следуя работе [3], вычислить функции чувствительности Лгд собственных значений матрицы состояния А непрерывного объекта с помощью соотношений Лг„ =((-1 Aq М) ,

i = 1, n; j = 1, p, и собственных векторов Miq , образующих матрицу чувствительности Mq, = row {Miq,; i = 1, n} , согласно выражениям

Miqj =E yjiMi; Yj = 0; Yj =(m -1 AqM (X, -X,)-1; l Ф i: yj = 0. / ф

11. На основе пп. 9, 10 сформировать матрицу чувствительности Adq,.

12. На основе выражений (13) и п. 11 вычислить матрицу чувствительности Bdq,:

Bdq] = AdqA~1B-(Ad - /) A-1 Aq/-1B+(Ad - /) A-1 Bqj.

13. Построить МТЧ дискретного объекта в форме (8) .

14. Провести исследование чувствительности дискретного объекта или дискретной системы с помощью модели траекторной чувствительности.

список литературы

1. Акунов Т. А., Ушаков А. В. Оценка функций траекторной чувствительности систем управления при внешнем конечномерном воздействии // Изв. вузов. Электромеханика. 1992. №1.

2. Корчагин С. Г., Сударчиков С. А., Ушаков А. В. Технологии траекторной чувствительности в задаче ранжирования варьируемых параметров непрерывных и дискретных объектов управления // Современные технологии: Сб. статей / Под ред. С. А. Козлова и В. О. Никифорова. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002.

3. Никифоров В. О., Ушаков А. В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002.

4. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981.

5. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В. В. Григорьев, В. Н. Дроздов, В. В. Лаврентьев, А. В. Ушаков. Л.: Машиностроение, 1983.

6. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Сов. радио, 1972.

7. Eslami M. Theory of Sensitivity in Dynamic Systems. An Introduction. Berlin: Springer Verlag, 1994.

8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 04.10.07 г.