CC BY
0
Логические исследования 2024. Т. 30. № 2. С. 11-22 УДК 16
Logical Investigations 2024, Vol. 30, No. 2, pp. 11-22 DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-2-11-22
Символическая логика
Symbolic Logic
В.И. МАРКИН
Аналитико-табличное исчисление, адекватное логике суждений существования
Владимир Ильич Маркин МГУ им. М.В. Ломоносова.
Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д. 27, корп. 4. E-mail: markin@philos.msu.ru
Аннотация: В [Маркин, 2021] была построена логическая теория, предназначенная для анализа рассуждений, посылками и заключениями которых являются суждения существования и их булевы комбинации. В ее языке содержится неопределенно-местная константа существования, простые формулы образуются сочленением этой константы с произвольной конечной последовательностью общих терминов — положительных (простых) и отрицательных, сложные формулы образуются с помощью пропозициональных связок. Для этого языка были сформулированы естественная семантика и адекватное ей аксиоматическое исчисление. В данной работе предлагается аналитико-табличный вариант исчисления суждений существования: постулируются правила редукции для формул с константой существования и их отрицаний, вводится понятие аналитической таблицы как последовательности конфигураций, формулируются критерии замкнутости таблицы. Формула A доказуема в данном исчислении, если и только если существует замкнутая аналитическая таблица, первой конфигурацией которой является семейство {{-A}}. Доказываются метатеоремы о корректности и полноте данного исчисления относительно семантически построенной логики суждений существования. Предлагается процедура, позволяющая эффективно решать вопрос о доказуемости или недоказуемости произвольной формулы A. Особенность этой процедуры состоит в следующем. Выделяется список T положительных терминов, содержащий все такие термины P, что P или P' (отрицательный термин, противоречащий P) входят в состав A. В состав последней конфигурации входят только множества, элементами которых являются атомарные формулы и их отрицания, причем последовательность терминов после константы существования содержит P или P' для любого P из T. Доказывается метатеорема о разрешимости аналитико-табличного исчисления суждений существования.
Ключевые слова: суждения существования, атрибутивные суждения, силлогистика, логическое исчисление, семантика, погружающая операция
Для цитирования: Маркин В.И. Аналитико-табличное исчисление, адекватное логике суждений существования // Логические исследования / Logical Investigations. 2024. T. 30. № 2. С. 11-22. DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-2-11-22
© Маркин В.И., 2024
1. Введение
В [Маркин, 2021] была построена логическая теория, предназначенная для анализа рассуждений, посылками и заключениями которых являются суждения существования и их булевы комбинации. Под суждением существования понимается простое суждение, логическим сказуемым которого является термин «существует», рассматриваемый как знак особой онтологической характеристики индивидов. Логическим подлежащим в этих суждениях является Ь-компонентная последовательность (к > 1) общих терминов — положительных или отрицательных. Например, в качестве субъектов этих суждений могут выступать следующие языковые конструкции: «умный (человек)» (положительный общий термин), «необщительный» (отрицательный общий термин), «умный, необщительный, добрый» (тройка общих терминов).
Логика суждений существования, по аналогии с современными системами силлогистики, строится на базе классической логики высказываний. В алфавите ее языка содержатся: бесконечный список простых (положительных) общих терминов (будем использовать для них метапеременные 5, Р, М, б!,...), символ терминного отрицания ('), предназначенный для образования отрицательных терминов, неопределенно-местная константа существования (Т), а также пропозициональные связки и скобки.
Общими терминами являются: (1) произвольный положительный общий термин, (2) выражение вида Б', где 5 — положительный общий термин. Б и Б' будем называть противоречащими терминами. В качестве метапеременных по любым общим терминам (как положительным, так и отрицательным) используются символы X, 2, Х\,...
Атомарными формулами языка являются выражения вида ТХ1Х2...Хк (к > 1), где Х1,Х2,...,Хк — общие термины. Формула ТХ1Х2...Хк фиксирует логическую форму суждения существования «Х1Х2...Хк существуют». Например, логической формой суждения «Умный, необщительный, добрый (человек) существует» будет формула ТБР 'М.
Сложные формулы образуются из других формул с помощью пропозициональных связок.
Исходной семантической конструкцией при построении логики суждений существования является модель - пара (Ю, ф), где Ю = 0, а ^(Б) С Ю для любого положительного общего термина Б. Определяется функция ф, сопоставляющая значение каждому общему термину (включая отрицательные) в модели (В,^>): ф(Б) = р(Б),ф(Б') = Ю \ ^>(5). Вводится понятие У-значимости формулы А в модели (Ю— определяется предикат зна-
чимости V(A, D, ф). Условия значимости атомарных формул задаются следующим образом:
V(TXlX2...Xk, D, ф), е.т.е. ф(Хг) П ф(Х2) П ... П ф(Хк) = 0.
Условия значимости формул, образованных с помощью пропозициональных связок, в точности те же, что и в классической логике высказываний.
Формула A называется значимой в модели (D,^), е.т.е. V(A, D,^>). Формула A общезначима, е.т.е. A значима в каждой модели. Из формул Ai, A2,..., An логически следует формула B, е.т.е. в каждой модели (D, ф), в которой значимы формулы Ai, A2,..., An, формула B также является значимой.
Пара (р,ф) является моделью множества формул А, е.т.е. V(C, D,^>) для любой формулы C из А. Будем говорить, что множество формул А имеет модель, е.т.е. существует (D,^), которая является моделью А.
В [Маркин, 2021] было доказано, что класс общезначимых формул аксиоматизирует исчисление CT, которое содержит схемы аксиом классического исчисления высказываний и шесть дополнительных схем аксиом:
Y1. Yuv D (YuM' V YMv), Y2. -YSS',
Y3. YuXZv D YuZXv,
Y4. YuX D YuXX,
Y5. YwX D Yw, Y6. YS V YS',
где u и v — пустые или конечные последовательности общих терминов (в Y1 по крайней мере одна из них непуста), w — непустая конечная последовательность общих терминов, S и M — положительные общие термины, X и Z — произвольные общие термины.
Единственное правило вывода в исчислении CT — modus ponens. Понятия доказательства и теоремы обычные.
В [Маркин, 2022] был предложен аналитико-табличный вариант исчисления суждений существования и сформулирована процедура проверки формул на общезначимость. Цель данной статьи — показать, что аналитико-табличное исчисление (несколько модифицированное по сравнению с [Там же]) является адекватной формализацией логики суждений существования. Будут доказаны метатеоремы о корректности, полноте и разрешимости этого исчисления.
2. Аналитико-табличное исчисление
Дадим сначала строгую формулировку аналитико-табличного исчисления суждений существования.
Конфигурацией называется семейство непустых множеств формул языка.
Аналитической таблицей называется последовательность конфигураций, в которой каждая последующая конфигурация получается из непосредственно предыдущей заменой некоторого множества формул по одному из правил вывода.
В качестве правил вывода постулируются стандартные (пропозициональные) правила редукции для формул видов (А Л В), —(А Л В), (А V В), —(А V В), (А Э В), —(А Э В), ——А, а также дополнительные правила:
Г
(т»)
Г и{ТМ}|Г и{ТМ'}
(т) Ти{Гп} {—Г)_ Ти{—Ти}
Ги{ТиМ}|Г и {ТиМ'} " Г и {—ТиМ, —ТиМ'}
(Т)Ги!-1Г1, (—т)ги{—Тп}
Ги{Т[п]} ' 7 Г и{—Т[п]>
где и — произвольная последовательность общих терминов, [и] — последовательность, содержащая без повторений все термины из и, причем (1) каждый положительный термин в ней предшествует каждому отрицательному, (2) положительный термин Б предшествует в ней положительному термину Р, е.т.е. Б предшествует Р в алфавите языка, (3) отрицательный термин Б' предшествует в ней отрицательному термину Р', е.т.е. Б предшествует Р в алфавите языка.
Множество формул замкнуто, е.т.е. оно содержит формулы вида С и —С или его элементом является формула Тп, причем в состав и входит как некий термин Б, так и противоречащий ему термин Б'.
Конфигурация замкнута, е.т.е. все множества формул в ее составе замкнуты.
Аналитическая таблица замкнута, е.т.е. ее последняя конфигурация замкнута.
Формула А доказуема в данном исчислении, е.т.е. существует замкнутая аналитическая таблица, первой конфигурацией которой является семейство {{—А}}.
3. Корректность аналитико-табличного исчисления
Покажем сначала, что построенное исчисление корректно относительно логики суждений существования, т.е. каждая доказуемая в нем формула общезначима. Для этого предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Если некоторая конфигурация в аналитической таблице содержит множество А, имеющее модель, то следующая конфигурация в этой таблице также будет содержать множество, имеющее модель.
Доказательство. Допустим, что конфигурация на шаге п построения аналитической таблицы содержит множество А, имеющее модель. Если на шаге п + 1 множество А не заменялось (а заменялось какое-то иное множество формул), то конфигурация на этом шаге будет снова содержать имеющее модель множество, а именно А. Рассмотрим далее случай, когда на шаге п + 1 произошла замена множества А. Эта замена могла быть произведена только по одному из правил вывода.
Из пропозициональных правил рассмотрим в качестве примера правила {Л} и {—Л} (для остальных правил такого рода обоснование проводится сходным образом).
Правило {Л}. А = Г и{А Л В}. Поскольку А имеет модель, то формула А Л В в этой модели значима. В силу семантики конъюнкции, обе формулы — А и В — также значимы в этой модели. Следовательно, множество А = Г и {А, В} имеет модель, причем ту же самую, что и А .
Правило {—Л}. А = Г и {—(А Л В)}. Поскольку А имеет модель, то формула —(А Л В) в этой модели значима. Следовательно, формула А Л В не значима в данной модели. Последнее, в силу семантики конъюнкции, означает, что хотя бы одна из формул — А или В — не значима в данной модели. Отсюда, в силу семантики пропозиционального отрицания, вытекает, что по крайней мере одна из формул — —А или —В — значима в этой модели. Таким образом, какое-то из множеств следующей конфигурации — Г и {—А} или Г и {—В} — имеет модель.
Правило {Тг}. А = Г. Хотя бы одно из множеств — Г и {ТЫ} или Ги{ТЫ'} — имеет модель {Ю, ф}, причем ту же самую, что и множество Г. Это обусловлено тем, что Ю = 0, а значит, ф(Ы) = 0 или ф(Ы') = 0, поэтому по крайней мере одна из формул — ТЫ или ТЫ' — значима в данной модели.
Правило {Т}. А = Г и {Ти}. Пусть {} является моделью для этого множества формул. Следовательно, формула Ти значима в {Ю, ф}. Пусть и есть последовательность общих терминов Х\Х2-..Хк. В силу условия значимости атомарных формул ф(Х\) П ф(Х2) П ... П ф(Хк) = 0. Поскольку Ю = 0, хотя бы одно из множеств — ф(Х\) Пф(Х2) П ... Пф(Хф) П ф(Ы) или ф(Х\) П ф(Х2) П ... П ф(Хк) П (Ю \ ф(Ы) — непусто, откуда вытекает, что ТиЫ или ТиЫ' значима в {Ю,ф}.
Правило {—Г}. А = Г и {—Ти}. Пусть {} является моделью для этого множества формул. Следовательно, формула Ти не значима в {Ю, ф}, то есть ф(Х\) П ф(Х2) П ... П ф(Хк) = 0. Поскольку пересечение пустого
множества с любым множеством является пустым, формулы ТиМ и ТиМ' не значимы в (П,ф). Следовательно, отрицания этих формул — —ТиМ и —ТиМ' — значимы в этой модели.
Правило (Ти). А = Г и {Ти}. Пусть (Ю, ф) является моделью для этого множества формул. Последовательности и и [и] могут различаться лишь порядком терминов в их составе и отсутствием дубликатов терминов во второй последовательности. Формула Т[и] значима в (Ю,ф) (как и Ти) в силу условия значимости атомарных формул, законов коммутативности и идемпотентности для операции П.
Правило (—Ти). Рассматривается аналогично предыдущему.
Таким образом, мы установили, что при применении любого правила вывода, заменяющего имеющее модель множество формул А в составе конфигурации на некотором шаге построения аналитической таблицы, в следующей конфигурации также найдется множество, имеющее модель. ■
Лемма 2. Никакое замкнутое множество формул не имеет модели.
Доказательство. Множество формул замкнуто в двух случаях: (1) когда оно содержит формулы вида С и —С; (2) когда его элементом является формула Ти, причем в состав и входит как некий термин Б, так и противоречащий ему термин Б'.
Случай (1) очевиден: формулы вида С и —С не могут быть значимыми в одной и той же модели, так как —С значима в (Ю, ф), е.т.е. С не значима в (Ю,ф).
В случае (2) формула Ти, где и содержит термины Б и Б', не значима ни в одной модели, поскольку ф(Б) П (Ю \ ф(Б)) = 0, а пересечение пустого множества с любым пусто. I
Теорема 1. (Теорема о корректности) Если формула А доказуема, то А общезначима.
Доказательство. Рассуждаем от противного. Допустим, что формула А доказуема, но не общезначима. Доказуемость формулы А означает существование замкнутой аналитической таблицы, первая конфигурация которой содержит единственный элемент — множество {—А}. Из факта необщезначимости формулы А следует, что существует модель, в которой она не является значимой. В силу семантики пропозиционального отрицания из этого вытекает, что в данной модели значима формула —А. Тогда множество {—А} имеет модель, то есть первая конфигурация в замкнутой таблице, свидетельствующей о доказуемости формулы А, содержит множество (а именно {—А}), имеющее модель. Согласно Лемме 1, каждая следующая
конфигурация также содержит множество, имеющее модель. В том числе, будет иметь модель и какое-то множество в последней конфигурации. Но это невозможно, поскольку последняя конфигурация содержит только замкнутые множества, а в силу Леммы 2 такие множества не имеют моделей. В рассуждении получено противоречие. I
4. Разрешающая процедура. Т-таблицы
Сформулируем процедуру, позволяющую, как будет показано дальше, в конечное число шагов решать вопрос о доказуемости произвольной формулы А.
Предварительно выделяется список Т положительных терминов, содержащий все такие Р, что Р или Р' входят в состав формулы А.
1. Первая конфигурация содержит единственное множество — {—А}.
2. Применяются пропозициональные правила (Л), (—Л), (V), (—V), (э), (— э), (——) до тех пор, пока в каждом множестве в составе конфигураций не останутся лишь формулы видов Ти и —Ти.
3. Применяется правило (Тг) по одному разу относительно каждого положительного термина М из списка Т .
4. Применяются правила (Т) и (—Т) относительно любой формулы вида Ти и —Ти, где и не содержит противоречащих друг другу терминов, и любого положительного термина М из списка Т такого, что ни М, ни М' не входят в и.
5. Применяются правила (Ти) и (—Ти) относительно всех формул вида Ти и —Ти таких, что и в них не совпадает с [и].
По завершении процедуры имеем аналитическую таблицу, которую назовем Т-таблицей. Т-таблицы имеют следующую специфику: в состав последней конфигурации входят такие множества, элементами которых являются лишь формулы видов Т[и] и —Т[и], причем [и] содержит М или М' для любого термина М из списка Т.
В последней конфигурации Т-таблицы либо все множества формул замкнуты (и тогда формула А доказуема, по определению), либо по крайней мере одно из множеств незамкнуто (такое множество назовем Т-незамкнутым ).
Любое Т-незамкнутое множество обладает важным свойством: существует модель, в которой каждая формула из этого множества значима. Докажем это утверждение.
Лемма 3. Т-незамкнутое множество имеет модель.
Доказательство. Элементами Т-незамкнутого множества могут быть формулы двух видов — Т[и] или —Т[и]. При этом если [и] содержит противоречащие термины, то Т[и] не может быть элементом данного множества, так как в таком случае оно было бы замкнутым. В принципе, в состав Т-незамкнутого множества могут входить формулы вида —Т[и], где [и] содержит противоречащие термины, но такого рода формулы значимы в любой модели. Остальные элементы Т-незамкнутого множества имеют вид Т[и] или —Т[и], причем для любого термина Ы из списка Т верно, что либо Ы, либо Ы' (но не оба вместе) входят в [и].
Заметим, что по крайней мере одна формула Т[и] входит в Т-не-замкнутое множество. Это обусловлено спецификой описанной выше процедуры, требующей обязательного применения, во-первых, правила {Тг} относительно каждого положительного термина из списка Т, во-вторых, правила {Т} относительно любой формулы вида Ти и любого положительного термина Ы из списка Т. Тогда в силу незамкнутости рассматриваемого множества всегда найдется такая последовательность [и], что —Т[и] не содержится в Т-незамкнутом множестве.
Сопоставим произвольному Т-незамкнутому множеству А следующую модель {В*,ф*}: Б* = {[и] : Т[и] € А}, ф*(Б) = {[и] : Т[и] € А и 5 содержится в [и]}. Пара {Ю*,ф*} удовлетворяет всем условиям, предъявляемым к моделям логики суждений существования. Поскольку, как отмечалось выше, Т-незамкнутое множество содержит хотя бы одну формулу вида Т[и], Ю* является непустым. Функция ф* задана так, что ф*(Б) Q О*.
Покажем, что любая формула, входящая в А, значима в {Ю*,ф*}.
Рассмотрим сначала те формулы из А, которые имеют вид Т[и]. Тогда [и] есть последовательность типа 51 Б2...БпР1Р2...Рф, где п > 0, т > 0, п + т > 1, причем никакой Бг не совпадает ни с каким Р' (в последовательности отсутствуют противоречащие термины), и для любого положительного термина Ы из Т верно, что в [и] содержится Ы либо Ы'.
Атомарная формула вида Т[и] значима в модели {Ю*,ф*}, е.т.е. ф*(Б1)П ф*№) П ... П ф*(Бп) П ф*(Р1) П ф*(Р2) П ... П ф*(Р^) = 0. Последнее утверждение, согласно определению функции ф, эквивалентно следующему: ф*(51)Пф*(52)П ... Пф*(Бп)П(В\ф*(Р1))П(В\ф*(Р2))П ... П(Ю\ф*(Рт)) = 0. Очевидно, что для каждого Бг верно, что [и] € ф*(Бг), поскольку Т[и] € А и Бг содержится в [и]. А для каждого Pj верно, что [и] € Ю* \ ф*(Р'), ведь [и] является элементом Ю* (так как Т[и] € А, но при этом Pj не содержится в [и] (в эту последовательность входит отрицательный термин Р'). Таким образом, [и] является общим элементом каждого множества ф*(Бг) и каждого множества Ю* \ ф*(Р'), поэтому пересечение этих множеств непусто, а формула Т[и] значима в модели {Ю*,ф*}.
Рассмотрим далее формулы из А, которые имеют вид —Т[и]. Если в [и] входят противоречащие термины М и М', то в любой модели Т[и] не является значимой, так как ф(М)П(Ю\ф(М)) = 0 в каждой модели, а пересечение пустого множества с любым пусто. Следовательно, —Т[и] общезначима, в частности она значима и в (Ю*, ф*).
Пусть [и] не содержит противоречащих терминов и имеет вид Б\Б2---БПР[Р2■■■Р'т с теми же ограничениями, что и ранее. Допустим, что формула — Т[и] не значима в (Ю*, ф*), тогда в данной модели значима формула Т[и]. Это означает, что ф*(Б{) П ф*^) П ■■■ П ф*(Бга) П (Б* \ ф*(Р{)) П (Ю*\ф*(Р2))П ■■■ П(Ю*\ф*(Рт)) = 0. Тогда существует последовательность [ад] € Ю* (то есть, такая последовательность, что Т[ад] € А), для которой верно, что [ад] принадлежит каждому множеству ф*(Бг) и каждому множеству Ю* \ ф*(Р3).
Очевидно, что последовательность [ад] не совпадает с [и], поскольку в этом случае А содержало бы не только —Т[и], но и Т[и], а по условию Леммы, А — незамкнутое множество. Тогда возможны два не исключающих друг друга случая: (а) по крайней мере один положительный термин Бг из [и] отсутствует в [ад], и вместо него в [ад] входит термин Б'; (Ь) по крайней мере один отрицательный термин Р' из [и] отсутствует в [ад], и вместо него в [ад] входит термин Р .
В случае (а) [ад] € Ф*(Бг), поскольку [ад] содержит не термин Бг, а термин Б'. В случае (Ь) [ад] € ф*(Р'), а значит [ад] € Ю* \ Ф*(Р'). Таким образом, любая последовательность из Ю* не принадлежит какому-то ф*(Бг) или какому-то Ю*\ф*(Р'). Поэтому множество ф*(Б1)Пф*(Б2)П■■■ Пф*(Бп)П (Ю* \ ф*(Р1)) П (Ю* \ ф*(Р2)) П ■■■ П (Ю* \ Ф*(Рт)) пусто, и формула Т[и] не является значимой в (Ю*,ф*). Последнее противоречит принятому допущению. Следовательно, формула — Т[и] значима в данной модели.
Мы показали, что все формулы, входящие Т-незамкнутое множество А, значимы в модели (Ю*,ф*).
I
5. Полнота и разрешимость аналитико-табличного
исчисления
Для демонстрации полноты нашего аналитико-табличного исчисления докажем еще две леммы.
Лемма 4. Пусть (Ю,ф) — модель множества формул А, входящего в некоторую конфигурацию аналитической таблицы. Если А получено по некоторому правилу вывода заменой множества Л в составе предшествующей конфигурации, то (Ю,ф) является моделью множества Л.
Доказательство. Осуществляем разбор случаев применения всех возможных правил вывода, в результате которых произошла замена Л на А.
Правило {Л}. Л = Г и {А Л В}, а А = Г и{А,В}. Поскольку из А, В логически следует А Л В, любая модель А является также моделью Л.
Правило {—Л}. Л = Ги{—(АЛВ)}, а А есть либо Ги{—А}, либо Ги{—В}. Поскольку —(А Л В) логически следует как из —А, так и из —В, любая модель А является также моделью Л.
Остальные пропозициональные правила вывода рассматриваются аналогично. Искомый тезис обосновывается с использованием верных мета-утверждений: А V В логически следует как из А, так и из В; из —А, —В логически следует —(А V В); А Э В логически следует как из —А, так и из В; из А, —В логически следует —(А Э В); из А логически следует ——А.
Правило {Тг}. В этом случае А есть либо Л и {ТЫ}, либо Л и {ТЫ'}. Поскольку Л С А, любая модель А является моделью и Л.
Правило {Т}. Л = Г и {Ти}, а А есть либо Г и{ТиЫ}, либо Г и{ТиЫ'}. Несложно установить, что Ти логически следует как из ТиЫ, так и из ТиЫ'. Поэтому любая модель А является также моделью Л.
Правило {—Г}. Л = Г и {—Ти}, а А = Г и {—ТиЫ, —ТиЫ'}. Несложно установить, что из —ТиЫ, —ТиЫ' логически следует —Ти. Поэтому любая модель А является также моделью Л.
Правило {Тп}. Л = Г и {Ти}, а А = Г и{Т[и]}. Очевидно, что формулы Ти и Т[и] логически эквивалентны (следуют друг из друга). Поэтому и в этом случае утверждение леммы верно.
Правило {—Тп}. Рассматривается аналогично предыдущему. ■
Лемма 5. Если Т-таблица, построенная по списку Т всех положительных терминов, входящих в формулу А, содержит в своей последней конфигурации незамкнутое множество, то множество {—А} имеет модель.
Доказательство. Пусть Т-таблица начинается с конфигурации {{—А}} и заканчивается конфигурацией, содержащей Т-незамкнутое множество формул А. Согласно Лемме 3, А имеет модель, а именно определенную в процессе доказательства леммы пару {Ю*,ф*}.
Находим ту конфигурацию, в которой множество А появилось в результате применения некоторого правила вывода, заменяющего множество Л в предшествующей конфигурации. Согласно Лемме 4, {Ю*,ф*} является моделью и для множества Л. Далее ищем конфигурацию, в которой уже множество Л появилось в результате применения правила, заменяющего некое другое множество формул, и снова используем Лемму 4. Повторяем указанные действия нужное число раз. В силу конечности Т-таблицы в
итоге окажется, что единственное множество в составе первой конфигурации — множество {—А} — имеет модель, а именно (Ю*,ф*). I
Теорема 2. (Теорема о полноте) Если формула А общезначима, то А доказуема.
Доказательство. Рассуждаем от противного. Допустим, что формула А общезначима, но не доказуема. Поскольку формула А не является доказуемой, не существует замкнутой аналитической таблицы, начинающейся с конфигурации {{—А}}. В частности, незамкнута и Т-таблица с первой такой конфигурацией. То есть существует Т-незамкнутое множество формул в последней конфигурации Т-таблицы. Тогда, согласно Лемме 5, множество {—А} имеет модель. В этой модели значима —А, а значит, формула А значимой не является. Но, поскольку А общезначима, она должна быть значимой и в данной модели. Пришли к противоречию. I
Покажем, что описанная выше процедура построения Т-таблицы является разрешающей, то есть эта процедура позволяет в конечное число шагов решать вопрос о том, доказуема или нет произвольная формула.
Теорема 3. (Теорема о разрешимости) Сформулированное ранее аналитико-табличное исчисление, адекватное логике суждений существования, разрешимо.
Доказательство. Любая формула имеет конечную длину, поэтому список положительных терминов, входящих в ее состав, конечен. Процедура организована так, что число применений правил вывода ограничено списком Т. Поэтому в Т-таблице имеется последняя конфигурация, содержащая конечное число конечных множеств формул.
В последней конфигурации Т-таблицы либо все множества формул замкнуты, либо по крайней мере одно из множеств незамкнуто. В первом случае формула А доказуема, по определению. Во втором случае, в силу Леммы 5, множество {—А} имеет модель. Тогда формула А не является общезначимой, а значит, в силу Теоремы о корректности, А недоказуема.
I
Литература
Маркин, 2021 - Маркин В.И. Логика суждений существования и силлогистика //
Логические исследования. Т. 27. № 2. С. 31-47. Маркин, 2022 - Маркин В.И. Логика суждений существования как средство представления знаний и автоматической проверки умозаключений // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. Т. 26. № 1. С. 422-426.
Vladimir I. Markin
An analytic tableaux calculus adequate for the logic of existence propositions
Vladimir I. Markin
Lomonosov Moscow State University,
27/4 Lomonosovskiy prospect, Moscow, 119991, Russian Federation. E-mail: markin@philos.msu.ru
Abstract: In [Markin, 2021] we set out the formal system for logical analyses of reasonings with existence judgements and their Boolean combinations. Its language contains the constant of existence, atomic formulas are formed by the concatenation of this constant with any finite sequence of general terms (positive and negative), complex formulas are formed by means of propositional connectives. We formulated a natural semantics and an adequate axiomatic calculus for this language. In this paper we construct an analytic tableau version of the calculus of existential judgements. We postulate the rules of expansion of a tableau for the formulas with the constant of existence and their negations, define analytic tableau as a sequence of families of sets of the formulas and formulate the criterion for the tableau closure. A formula A is provable in this calculus iff there exists a closed analytic tableau with the root {{-A}}. We prove soundness and completeness theorems for the analytic tableau calculus of existential judgements. The effective procedure, which makes it possible to answer the question whether a formula is provable, is proposed in the paper. We prove decidability theorem for the analytic tableau calculus.
Keywords: existential judgement, logical calculus, analytic tableau, semantics, soundness theorem, completeness theorem, decision procedure
For citation: Markin V.I. "Analitiko-tablichnoe ischislenie, adekvatnoe logike suzh-denii sushchestvovaniya" [An analytic tableaux calculus adequate for the logic of existence propositions], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2024, Vol. 30, No. 2, pp. 1122. DOI: 10.21146/2074-1472-2024-30-2-11-22 (In Russian)
References
Markin, 2021 - Markin, V.I. "Logika suzhdenij sushhestvovaniya i sillogistika" [Logic of existence judgements and syllogistics], Logicheskie issledovaniya [Logical Investigations], Vol. 27, No. 2, pp. 31-47. (In Russian) Markin, 2022 - Markin, V.I. "Logika suzhdenij sushhestvovaniya kak sredstvo pred-stavleniya znanij i avtomaticheskoj proverki umozaklyuchenij" [Logic of existence judgements as an instrument of knowledge representation and automatic inference verification], Intellektual'nye sistemy. Teoriya i prilozheniya [Intellectual systems. Theory and applications], Vol. 26, No. 2, pp. 422-426. (In Russian)
