CC BY
6Логические исследования 2021. Т. 27. № 2. С. 9-30 УДК 162.2
Logical Investigations 2021, Vol. 27, No. 2, pp. 9-30 DOI: 10.21146/2074-1472-2021-27-2-9-30
Философия и логика
Philosophy and logic
М.М. Легейдо
Интенсиональные семантики для некоторых систем позитивной силлогистики*
Мария Михайловна Легейдо МГУ им. М.В. Ломоносова.
Российская Федерация, 119991, г. Москва, Ломоносовский пр-т, д. 27, корп. 4. E-mail: legeydo.mm@philos.msu.ru
Аннотация: Статья посвящена рассмотрению интенсиональных семантик для некоторых систем позитивной силлогистики: фундаментальной силлогистики и ее подсистем, силлогистики С2 и силлогистики Больцано.
Интенсиональные семантики, представленные в статье, строятся на основе синтаксического подхода, предложенного В.И. Шалаком и далее развитого В.И. Маркиным, при котором общим терминам приписываются формулы пропозиционального языка, а значимость силлогистических констант определяется через отношение классического, а потом и релевантного следования.
В первом разделе статьи содержится описание уже имеющихся интенсиональных семан-тик с релевантным следованием для фундаментальной силлогистики и ее подсистемы ИФС, а также предлагаются две новые системы (промежуточные между ФС и ИФС), для одной из которых доказана адекватность семантики исчислению.
Второй и третий разделы посвящены двум другим известным силлогистическим системам: силлогистике С2 и силлогистике Больцано. Для обеих систем представлена интенсиональная семантика с классическим и релевантным следованием, доказаны адекватность данных семантик соответствующим исчислениям.
Предложенные семантики расширяют выразительные возможности силлогистики, а также представляются интересными в свете развивающегося интенсионального подхода к трактовке силлогистических семантик. Также в статье обозначены еще нерешенные проблемы в данной области: предложены возможные семантики для некоторых систем, поиск аксиоматизаций для которых представляет дальнейший интерес.
Ключевые слова: силлогистика, интенсиональная семантика, формализация, аксиоматическое исчисление, логическое следование, релевантное следование
Для цитирования: Легейдо М.М. Интенсиональные семантики для некоторых систем позитивной силлогистики // Логические исследования / Logical Investigations. 2021. T. 27. № 2. С. 9-30. DOI: 10.21146/2074-1472-2021-27-2-9-30
* Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-311-90043.
© Легейдо М.М.
Введение
В современной силлогистике преобладает понимание категорических суждений как выражающих информацию об отношениях между множествами объектов, а общие термины (субъект и предикат) трактуются как знаки этих множеств. Например, суждение SaP предлагается понимать как «все элементы множества S являются элементами множества P».
Существует и другой подход к пониманию силлогистических суждений, предложенный впервые Г.В. Лейбницем [Лейбниц, 1982, т. 3, с. 514— 523] и названный впоследствии интенсиональным, согласно которому отношения между общими терминами трактуются как отношения между содержаниями понятий, которые понимаются как множества общих признаков (свойств) элементов объемов этих понятий. Данный подход был развит с помощью средств современной символической логики, например, В.И. Маркиным [Маркин, 2001; Маркин, 2002].
Следующий шаг в развитии такого подхода был сделан В.И. Шалаком [Шалак, 2015], который предложил приписывать общим терминам формулы языка классической пропозициональной логики, а силлогистические константы интерпретировать через отношение классической выводимости с использованием константы ложности f. Такую семантику можно развить, используя вместо отношения выводимости отношение классического логического следования, а затем и релевантного в системе FDE [Маркин, 2016a; Маркин, Легейдо, 2019].
1. Интенсиональная фундаментальная силлогистика и ее подсистемы
Адекватные релевантизированные семантики для систем фундаментальной силлогистики (система ФС) и интенсиональной фундаментальной силлогистики (система ИФС) были предложены В.И. Маркиным [Маркин, 2016а]. Приведем их здесь.
Напомним, что схемами аксиом системы ФС являются:
ФС0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;
ФС1. (MaP Л SaM) D SaP; ФС5. SiP D SiS;
ФС2. (MeP Л SaM) D SeP; ФС6. SoP D SiS;
ФС3. SeP D PeS; ФС7. SeP = -SiP.
ФС4. SaS; ФС8. SoP = -SaP.
Единственным правилом вывода в ФС является правило modus ponens.
Для оценки силлогистических формул при той или иной интерпретации общих терминов вводится функция 5, сопоставляющая каждому общему
термину формулу языка классической логики высказываний (который содержит в качестве исходных связки —, Л, V), и задается двухместный мета-предикат (например, для системы ФС им будет Ф для семантики с классическим следованием и V — для семантики с релевантным). Запись V(A, ö) означает: «силлогистическая формула A значима при интерпретации общих терминов ö».
Условия значимости для атомарных формул в системе ФС с классическим следованием определяются следующим образом:
Определение 1.
Ф(БаР,0) & ö(S) И ö(P);
Ф(БеР,0) & ö(S) И —ö(P);
Ф^Р,0) & ö(S) Р —ö(P);
Ф(SoP, ö) & ö(S) Р ö(P).
Формула A называется Ф-общезначимой, если и только если V0Ф( A, ö).
При замене следования с классического на релевантное меняются и условия значимости атомарных формул в семантике ФС:
Определение 2.
V(SaP, ö) & ö(S) Иге1 ö(P) V ö(S) Рrei —ö(S);
V(SeP, ö) & ö(S) Hrei —ö(P) V ö(S) Иге1 —ö(S) V ö(P) Иге1 —ö(P);
V(SiP, ö) & ö(S) Рrei —ö(P) Л ö(S) Рrei —ö(S) Л ö(P) Рrei —ö(P);
V(SoP, ö) & ö(S) Рrei ö(P) V ö(S) Hrei —ö(S).
Формула A называется V-общезначимой, если и только если VöV(A, ö).
Система ИФС получается путем отбрасывания ФС5 и ФС6 и содержит следующие схемы аксиом:
ИФС0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;
ИФС1. (MaP Л SaM) D SaP; ИФС4. SaS;
ИФС2. (MeP Л SaM) D SeP; ИФС5. SeP = —SiP.
ИФС3. SeP D PeS; ИФС6. SoP = —SaP.
Единственным правилом вывода в ИФС является правило modus ponens.
В.И. Маркиным [Маркин, 2016a] было доказано, что данная система адекватна следующей семантике, для построения которой введем новый предикат значимости Vi:
Определение 3.
Vi(SaP, 5) & 5(S) hrel 5(P); Vi(SeP, 5) & 5(S) hrei -5(P); Vi (SiP,5) & 5(S) Prei -5(P); Vi(SoP, 5) & 5(S) Prei 5(P).
Системы ИФС и ФС схожи, однако условия истинности для общих высказываний в системе ФС более слабые, чем в ИФС, а для частных — более сильные.
Если комбинировать различные условия значимости для атомарных формул, то можно получить еще две системы, которые будут промежуточными между ФС и ИФС.
Одна из них — ИФС2, где константы e и i трактуются как в ФС, а константы a и o — как в ИФС. Класс общезначимых формул в такой семантике аксиоматизирует исчисление, полученное из ФС путем отбрасывания аксиомы ФС6 (SoP D SiS):
ИФС20. Схемы аксиом классического исчисления высказываний; ИФС21. (MaP Л SaM) D SaP; ИФС25. SiP D SiS; ИФС22. (MeP Л SaM) D SeP; ИФС26. SeP = -SiP. ИФС23. SeP D PeS; ИФС2Т. SoP = -SaP.
ИФС24. SaS;
Единственным правилом вывода в ИФС2 является правило modus ponens.
Понятие значимости формул определим для данной системы следующим образом (будем использовать здесь символ W2 для метапредиката значимости):
Определение 4.
W2(SaP,5) & 5(S) Kei 5(P);
W2(SeP,5) & 5(S) hrei -5(P) V 5(S) l=rei -5(S) V 5(P) l=rei -5(P); W2(SiP, 5) & 5(S) Prei -5(P) Л 5(S) Prei -5(S) Л 5(P) Prei -5(P); W2(SoP,5) & 5(S) Prei 5(P).
Для сложных формул W2 задается стандартно.
Зададим перевод п из силлогистики ИФС2 в ее подсистему ИФС:
Определение 5.
n(SaP) = SaP; n(SeP) = (SeP V SeS) V PeP;
n(SiP) = (SiP Л SiS) Л PiP; n(SoP) = SoP;
n(-A) = -n(A); n(A V B) = n(A) Vn(B).
Теорема 1. Перевод п погружает ИФС2 в ИФС, т.е.
^А(ИФС2 b A & ИФС b п(А)).
Доказательство. Данная теорема будет доказываться с использованием следующего критерия погружаемости одного исчисления в другое, в основе которого лежит известный критерий В.А. Смирнова [Смирнов, 2021, с. 121122] (нам потребуется простой вариант этого критерия для случая, когда оба исчисления строятся в одном и том же языке):
«Исчисление Si погружается в исчисление S2 посредством функции ф1, если и только если (1) для каждой формулы A имеет место: Si b A ^ S2 b ф1 (А), и существует такая функция ф2, что (2) для каждой формулы А имеет место: S2 b A ^ Si b ф2(А), и (3) для каждой формулы A имеет место: S1 b A = ф2(ф1(А))».
Во-первых, покажем, что п-переводы (см. опр. 5) всех теорем системы ИФС2 доказуемы в исчислении ИФС. Во-вторых, укажем функцию y такую, что (а) Y-переводы всех теорем ИФС доказуемы в ИФС2 и (b) для любой формулы A верно, что формула A = Y(n(A)) доказуема в исчислении ИФС2.
Предварительно нам потребуется продемонстрировать доказуемость в системе ИФС формул следующего типа: Т1. (MeM Л SaM) D SeS.
1. (MeM Л SaM) D SeM ИФС2
2. SeM D MeS ИФС3
3. (MeS Л SaM) D SeS ИФС2
4. (MeM Л SaM) D SeS 1, 2, 3; ЛВ (логика высказываний)
Покажем справедливость первой части критерия погружаемости, а именно:
^(ИФС2 b A ^ ИФС b n(A)).
Для обоснования этого утверждения достаточно доказать, что п-переводы всех аксиом ИФС2 доказуемы в ИФС и что если п-переводы посылок правила modus ponens доказуемы в ИФС, то в этой системе доказуем и п-перевод его заключения.
ИФС2О. Переводы аксиом классического исчисления высказываний также являются пропозициональными тавтологиями и поэтому доказуемы в ИФС.
ИФС21. n((MaP Л SaM) D SaP) = (MaP Л SaM) D SaP. Аксиома ИФС1 системы ИФС.
ИФС22. n((MeP Л SaM) D SeP) = ((MeP V MeM) V PeP) Л SaM) D (SeP V SeS V PeP).
1. (MeP Л SaM) D SeP ИФС2
2. (MeM Л SaM) D SeS Т1
3. (PeP Л SaM) D PeP ИФСО
4. (((MeP V MeM) V PeP) Л SaM) D (SeP V SeS V PeP) 1, 2, 3; ЛВ
ИФС2З. n(SeP D PeS) = (SeP V SeS V PeP) D (PeS V PeP V SeS). Выводится непосредственно из ИФС3. (SeP D PeS) с использованием законов ЛВ.
ИФС24. n(SaS) = SaS. Аксиома ИФС4 системы ИФС.
ИФС25. n(SiP D SiS) = (SiP Л SiS Л PiP) D (SiS Л SiS Л SiS). Пропозициональная тавтология (ИФС0).
ИФС26. n(SeP = —SiP) = (SeP V SeS V PeP) = —(SiP Л SiS V PiP).
1. SeP = —SiP ИФС5
2. SeS = —SiS ИФС5
3. PeP = —PiP ИФС5
4. (SeP V SeS V PeP) = —(SiP Л SiS V PiP) 1,2,3; ЛВ
ИФС2Т. n(SoP = —SaP) = (SoP = —SaP). Аксиома ИФС7 системы ИФС.
Modus ponens
Допустим, что n(A D B) и n(A) доказуемы в ИФС. Поскольку n(A D B) = n(A) D n(B), формула n(A) D n(B) является теоремой ИФС. Но n(A) тоже теорема этой системы. Следовательно, n(B) доказуема в ИФС.
Итак, мы показали, что n-переводы всех теорем системы ИФС2 доказуемы в ИФС.
Перейдем к доказательству второй части критерия погружаемости. В качестве обратной функции (перевода из ИФС в ИФС2) рассмотрим тождественное преобразование 7: 7(А) = А.
Поскольку ИФС является подсистемой ИФС2, 7-переводы всех теорем ИФС2 доказуемы в ИФС:
VА(ИФС Ь А ^ ИФС2 Ь 7(А)).
Остается обосновать следующее утверждение:
VА(ИФС2 Ь (А = 7(п(А)))).
Его доказательство осуществляем индукцией по числу пропозициональных связок в силлогистической формуле А. Базис включает четыре случая.
I. А - 5аР. Тогда 7(п(А)) = п(^аР) = 5аР.
Формула 5аР = 5аР является тавтологией, а потому и аксиомой (ИФС20) системы ИФС2.
II. А - 5еР. Тогда 7(п(А)) = п(5еР) = 5еР V V РеР.
1. 5еР э (5еР V V РеР) ИФС20
2. 5гР э ИФС25
3. 5еР = —5гР ИФС26
4. = —ИФС26
5. э 5еР 2, 3, 4; ЛВ
6. Рг5 э РгР ИФС25
7. Ре5 = —Рг5 ИФС26
8. РеР = -РгР ИФС26
9. РеР э Ре£ 6, 7, 8; ЛВ
10. Ре5 э 5еР ИФС23
11. РеР э 5"еР 9, 10; ЛВ
12. 5еР = (5еР V V РеР) 1,5,11; ЛВ
III. А - 5гР. Тогда 7(п(А)) = п(5гР) = 5гР Л Л РгР.
IV. А - 5оР. Тогда 7(п(А)) = п(5оР) = 5оР.
Эти два случая сводятся, соответственно, к случаям II и I в силу схем аксиом ИФС26 и ИФС27.
При обосновании индуктивного перехода принимаем допущение, что для любой формулы Б, содержащей меньше пропозициональных связок, чем А, верно, что В = 7(п(В)) доказуема в системе ИФС2.
V. А - -В.
Согласно индуктивному допущению, ИФС2 Ь В = 7(п(В)). По законам логики высказываний отсюда вытекает: ИФС2 Ь (—В = —7(п(В))). По определению переводов п и 7 имеем: 7(п(—В)) = 7(—п(В)) = —7(п(В)). Следовательно, ИФС2 Ь (—В = 7(п(—В))).
VI. А - В э С.
Согласно индуктивному допущению, формулы В = 7(п(В)) и С = 7(п(С))
доказуемы в ИФС2. Отсюда по законам логики высказываний вытекает, что и формула (В э С) = (7(п(В)) э 7(п(С))) доказуема в этой системе. Но по определению переводов п и 7 7(п(В э С)) = 7(п(В) Э п(С)) = 7(п(В)) э 7(п(С)). Следовательно, ИФС2 Ь (В э С) = 7(п(В э С)). Другие случаи, когда Л есть сложная формула, рассматриваются сходным образом. ■
Теорема 2. Произвольная силлогистическая формула Л Ш2-общезна-чима, если и только если ее перевод п(Л) Уг-общезначим.
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию 5, сопоставляющую общим терминам формулы пропозиционального языка в сигнатуре {-, Л, V}. Покажем, что ^2(А, 5) ^ У^(п(А),5) (см. опр. 3 и 4) для любой формулы Л языка силлогистики.
Снова будем использовать возвратную индукцию по числу пропозициональных связок в составе Л.
I. А - 5аР. ^(5аР, 5) ^ 5(5) 1=ге1 5(Р) ^ У*(5аР, 5) ^ У*(п(5аР), 5).
II. А - 5еР.
^(5еР,5) ^ 5(5) 1=^ -5(Р) V 5(5) 1=^ -5(5) V 5(Р) 1=^ -5(Р) ^ Уг(5еР,5) V Уг(5е5,5) V Уг(РеР,5) ^ У*(5еР V 5е5 V РеР,5) ^ Уг(п(5еР), 5).
III. А - 5гР.
IV. А - 5оР.
Эти два случая сводятся, соответственно, к случаям II и I в силу того, что условия их ^2-значимости и У^-значимости противоречат соответствующим условиям значимости атомарных формул 5еР и 5аР.
Далее рассматриваем случаи, когда Л — сложная формула. Используем индуктивное допущение: для любой формулы В с меньшим, чем у Л, числом пропозициональных связок верно, что ^2(В,5) ^ Уг(п(В),5).
V. А - -В.
^2(-В, 5) ^ -Уг(п(В), 5) ^ Уг(-п(В), 5) ^ Уг(п(-В), 5).
VI. А - (В э С).
^(В э С) ^ -^2(В, 5) V ^(С,5) ^ -Уг(п(В),5) V Уг(п(С),5) ^ Уг((п(В) э п(С), 5) ^ Уг(п(В э С), 5).
Остальные случаи индуктивного перехода рассматриваются аналогично.
Таким образом, мы обосновали следующее метаутверждение:
УАУ5(^г(А, 5) ^ Уг(п(А), 5)). Из него по законам первопорядковой логики следует: УА(У5^г(А, 5) ^ У5У,(п(А), 5)).
Последнее означает, что произвольная формула А ^2-общезначима в том и только в том случае, когда ^¿-общезначим ее перевод п(А). ■
Теорема 3. Для произвольной силлогистической формулы А верно, что П(А) доказуема в ИФС, если и только если п(А) — У^-общезначимая формула.
Доказательство. Семантические непротиворечивость и полнота силлогистики ИФС доказаны в [Маркин, 2016а]: произвольная формула языка силлогистики доказуема в данной системе, если и только если она У^-обще-значима (см. опр. 3). Поскольку п-перевод (см. опр. 5) любой формулы силлогистического языка также принадлежит этому языку, то указанная
равносильность (доказуемости и общезначимости) имеет место и для него.
■
Теорема 4. Произвольная силлогистическая формула А доказуема в исчислении ИФС2, если и только если А Ш2-общезначи,ма.
Доказательство. Согласно Теореме 1, доказуемость произвольной формулы А в системе ИФС2 равносильна доказуемости ее перевода п(А) (см. опр. 5) в системе ИФС. Согласно Теореме 3, доказуемость п(А) в ИФС равносильна У^-общезначимости п(А) (см. опр. 3). Наконец, согласно Теореме 2, У^-общезначимость п(А) равносильна ^2-общезначимости формулы А (см. опр. 4). ■
Таким образом, адекватная релевантизированная семантика для силлогистики ИФС2 построена.
2. Интенсиональная семантика силлогистики С2
Рассмотрим систему С2, предложенную В.А. Смирновым. Ее схемами аксиом являются:
А0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний;
А1. (MaP Л SaM) D SaP; А5. SiP D SaS;
А2. (MeP Л SaM) D SeP; А6. SeP = -SiP.
А3. SeP D PeS; А7. SoP = -SaP.
А4. SaP D SiP;
Единственным правилом вывода в С2 является правило modus ponens. Перевод x, погружающий исчисление С2 в исчисление ФС, задается следующим образом [Бочаров, Маркин, 2010, с. 87-89]:
Определение 6.
х(5аР) = 5аР Л х(5еР) = 5еР;
х(ЗгР) = 5гР; х(^оР) = 5оР V ;
Х(-А) = -х(А); х(А VВ) = х(А) Vх(В).
Адекватную семантику в духе В.И. Шалака для системы С2 предложил В.И. Маркин [Маркин, 2016Ь]. Условия значимости простых формул задаются следующим образом:
Определение 7.
д'(5аР, ¿) ^ ¿(5) И ¿(Р) Л ¿(5) Р -¿(5); д'(5еР,5) ^ ¿(5) И -¿(Р); д'(5гР,5) ^ ¿(5) Р -¿(Р); д'(5оР, ¿) ^ ¿(5) Р ¿(Р) V ¿(5) И -¿(5).
Формула А называется д'-общезначимой, если и только если V ¿д' (А, ¿).
Для доказательства адекватности данной семантики исчислению С2 необходимо сначала доказать следующую метатеорему:
Теорема 5. Произвольная силлогистическая формула А д'-общезначима, если и только если ее перевод х(А) Ф-общезначим (см. опр. 1).
Доказательство. Для этого докажем предварительно следующее утверждение:
^^А^/¿(д '(А, ¿) ^ Ф(х(А), ¿)).
Будем использовать возвратную индукцию по числу пропозициональных связок в А.
I. А - 5аР.
д'(5аР, ¿) ^ ¿(5) И ¿(Р) /Л ¿(5) Р -¿(5) ^ Ф(5аРЛ¿) ^ Ф(х(5аР^¿).
II. А - 5еР.
д'(5еР, ¿) ^ ¿(5) И -¿(Р) ^ Ф(5еР, ¿) ^ Ф(х(5еР), ¿).
III. А - 5гР.
д'(5гР, ¿) ^ ¿(5) Р -¿(Р) ^ Ф(5гР, ¿) ^ Ф(х(5гР), ¿).
IV. А - 5оР.
д'(5оР, ¿) ^ ¿(5) Р ¿(Р) V ¿(5) И -¿(5) ^ Ф(5оР V 5е5, ¿) ^ Ф(5оР V ¿) ^ Ф(х(5оР), ¿).
V. А - -В.
д'(-в,¿) ^ -д'(в,¿) ^ -ф(х(в),¿) ^ ф(-(х(в)),¿) ^ ф(х(-в),¿).
VI. А - В э С.
ф'(В э С, 5) ^ -д'(В, 5) V ф'(С, 5) ^ -Ф(х(В), 5) V Ф(х(С), 5) ^ Ф(х(В) э х(С),5) ^ Ф(х(В э С), 5).
Другие случаи, когда Л есть сложная формула, обосновываются аналогично.
Эквивалентные преобразования в трех базисных пунктах осуществляются на основе определений предикатов Q/ (см. опр. 7) и Ф (см. опр. 1) и операции х (см. опр. 6), в индуктивном переходе используется также индуктивное допущение о том, что утверждение леммы верно для формул с меньшим, чем у А, числом пропозициональных связок.
Из только что доказанного утверждения УАУ5^'(А,5) ^ Ф(х(А),5)) по законам первопорядковой логики следует:
VА(У5Q/(А, 5) ^ V5Ф(х(А), 5))).
Последнее означает, что произвольная формула Л Q/-общезначима в том и только в том случае, когда Ф-общезначима формула х(А). ■
Докажем теперь теорему об адекватности предложенной семантики исчислению С2.
Теорема 6. Произвольная формула Л доказуема в исчислении С2, если и только если формула Л Q'-общезначима.
Доказательство. Данная теорема является элементарным следствием трех утверждений:
(1) произвольная формула Л доказуема в исчислении С2, если и только если ее перевод х(А) (см. опр. 6) доказуем в исчислении ФС;
(2) произвольная формула Л Q/-общезначима (см. опр. 7), если и только если ее перевод х(А) является Ф-общезначимым (см. опр. 1);
(3) для любой формулы Л верно, что х(А) доказуема в исчислении ФС, если и только если х(А) Ф-общезначима.
Утверждение (1) справедливо в силу того, что перевод х погружает С2 в ФС. Утверждение (2) доказано выше (Теорема 5). Утверждение (3) следует из доказанной В.И. Шалаком [Шалак, 2015] адекватности синтаксической интерпретации формул стандартного силлогистического языка системе ФС. ■
Покажем далее, что адекватная релевантизированная семантика для системы С2 определяется следующими условиями значимости для атомарных силлогистических формул (для сложных формул они обычные). В качестве метапредиката значимости будем использовать символ Q:
Определение 8.
Q(5aP, 5) ^ 5(5) 1=^ 5(Р) Л 5(5) ^ -5(5); Q(5eP,5) ^ (5(5) 1=^ -5(Р) V 5(5) 1=^ -5(5)) V 5(Р) 1=^ -5(Р); Q(5гP, 5) ^ (5(5) -5(Р) /Л 5(5) -5(5)) /Л 5(Р) ^ -5(Р); Q(5oP, 5) ^ 5(5) РГе1 5(Р) V 5(5) ^ -5(5).
Зададим перевод ц из силлогистики С2 в систему ИФС:
Определение 9.
ц(5аР) = 5аР Л 5г5; ц(5еР) = 5еР V 5е5 V РеР;
ц(5гР) = 5гР Л 5г5 Л РгР; ц(5оР) = 5оР V -5г5;
ц(-А) = -ц(А); ц(а V В) = ц(А) Vц(В).
Покажем, что он погружает С2 в ИФС.
Для этого сначала зададим перевод ¿, погружающий систему ФС в ее подсистему ИФС [Маркин, 2016Ь]:
Определение 10.
¿(5аР) = 5аР V 5е5; ¿(5еР) = (5еР V 5е5) V РеР;
¿(5гР) = (5гР Л 5г5) Л РгР; ¿(5оР) = 5оР Л 5г5;
¿(-А) = -¿(А); ¿(А V В) = ¿(А) V¿(В).
Теорема 7. Перевод ц погружает С2 в ИФС, т.е.
VА(С2 Ь А ^ ИФС Ь ц(А)).
Доказательство. Так как исчисление С2 погружается в исчисление ФС с помощью функции х (см. опр. 6), а исчисление ФС погружается в ИФС с помощью функции ¿, то С2 погружается в ИФС посредством композиции переводов х и ¿, т.е.
VА(С2 Ь А ^ ИФС Ь ¿(х(А))).
Остается доказать, что композиция переводов х и ¿ для произвольной формулы равносильна ее ц-переводу в системе ИФС:
VА(ИФС Ь ц(А) = ¿(х(А))).
Доказательство ведется возвратной индукцией по числу пропозициональных связок в формуле Л.
Базис содержит четыре случая:
I. А - 5аР.
Необходимо доказать, что ИФС Ь ^(5аР) = ф(х(5аР)), то есть что формула (5аР Л £¿5) = ((5аР V 5е5) Л £¿5 Л £¿5 Л £¿5) доказуема в ИФС.
1. ((5аР) Л 5г5) Э ((5аР V 5е5) Л Л Л 5г5) АО
2. ((5аР V 5е5) Л Л Л ) Э АО
3. = А7
4. ((5аР V 5е5) Л Л Л ) Э 5аР 3; ЛВ
5. ((5аР V 5е5) Л Л Л ) Э (5аР Л ) 2, 4; ЛВ
6. (5аР Л ) = ((5аР V 5е5) Л Л Л 1, 5; ЛВ
II. А - 5еР.
Необходимо доказать, что ИФС Ь ^(5еР) = ф(х(5еР)), то есть что формула (5еР V 5е5 V РеР) = (5еР V 5е5 V РеР) доказуема в ИФС. Она является законом логики высказываний, то есть одной из аксиом АО.
III. А - 5гР.
Необходимо доказать, что ИФС Ь ^(5гР) = ф(х(5гР)).
IV. А - 5оР.
Необходимо доказать, что ИФС Ь ^(5оР) = ф(х(5оР)).
Эти два случая сводятся, соответственно, к случаям II и I в силу схем
аксиом ИФС5 и ИФС6 системы ИФС.
Индуктивный переход обосновывается с помощью тех пунктов определений функций х и ф (см. опр. 5, 6, 10), которые связаны с их применением к сложным формулам.
Итак, мы показали, что формулы ^(А) и ф(х(А)) логически эквивалентны в ИФС. Поскольку композиция переводов х и ф погружает С2 в
ИФС, то перевод ^ также является операцией, погружающей С2 в ИФС.
■
Теорема 8. Произвольная силлогистическая формула А д-общезначима, если и только если ее перевод ^(А) Уi-общезначим, т.е.
VА(д(А, ¿) ^ У;(^(А), ¿)).
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию ¿, сопоставляющую общим терминам формулы пропозиционального языка в сигнатуре {-, Л, V}. Покажем, что д(А, ¿), если и только если У;(^(А), ¿) (см. опр. 3 и 5), для любой формулы А языка силлогистики.
Снова будем использовать возвратную индукцию по числу пропозициональных связок в составе А. I. А - 5аР.
д(5аР, ¿) ^ ¿(5) Игег ¿(Р) Л ¿(5) РГе1 -¿(5) ^ У;(5аР^) Л ^
У;(5аР Л ¿) ^ У;(^(5аР), ¿).
II. А - 5еР.
Q(SeP, 5) ^ 5(5) 1=^ -5(Р) V 5(5) 1=^ -5(5) V 5(Р) 1=^ -5(Р) ^ У^(5еР,5) V У^(5е5,5) V У^(РеР,5) ^ У*(5еР V 5е5 V РеР,5) ^ Уг(ц(5еР), 5).
III. А - 5гР.
IV. А - 5оР.
Эти два случая сводятся, соответственно, к случаям II и I в силу того, что условия их Q-значимости (см. опр. 8) и ^¿-значимости противоречат соответствующим условиям значимости атомарных формул 5еР и 5аР. Индуктивный переход доказывается аналогично Теореме 2. ■
Теорема 9. Для произвольной силлогистической формулы Л верно, что ц(А) доказуема в ИФС, если и только если ц(А) — У;-общезначимая формула.
Доказательство. Семантические непротиворечивость и полнота силлогистики ИФС доказаны в [Маркин, 2016а]: произвольная формула языка силлогистики доказуема в данной системе, е.т.е. она У^-общезначима (см. опр. 3). Поскольку ц-перевод (см. опр. 5) любой формулы силлогистического языка также принадлежит этому языку, то указанная равносильность (доказуемости и общезначимости) имеет место и для него. ■
Теорема 10. Произвольная силлогистическая формула Л доказуема в исчислении С2, е.т.е. Л Q-общезначима.
Доказательство. Согласно Теореме 7, доказуемость произвольной формулы Л в системе С2 равносильна доказуемости ее перевода ц(А) (см. опр. 5) в системе ИФС. Согласно Теореме 9, доказуемость ц(А) в ИФС равносильна У^-общезначимости ц(А) (см. опр. 3). Наконец, согласно Теореме 8, У^-общезначимость ц(А) равносильна Q-общезначимости формулы Л (см. опр. 8). ■
3. Интенсиональная семантика силлогистики Больцано
Другая интерпретация категорических высказываний была предложена чешским математиком Бернардо Больцано: при экстенсиональном подходе она подразумевает непустоту субъекта в истинных высказываниях (как общих, так и частных). Данная силлогистическая теория не является аристотелевской, в ней не принимаются некоторые законы логического квадрата, обращения для е и два модуса IV фигуры силлогизма.
Схемами аксиом системы СБ — одной из возможных формализаций этой теории — являются:
СБ0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний; СБ1. (MaP Л SaM) D SaP; СБ5. SiP D SaS; СБ2. (MeP Л SaM) D SeP; СБ6. SeP = -SiP Л SiS. СБ3. SiP D PiS; СБ7. SoP = -SaP Л SiS.
СБ4. SaP D SiP;
Единственным правилом вывода в СБ является правило modus ponens. Перевод p, погружающий исчисление СБ в исчисление ФС, задается следующим образом [Бочаров, Маркин, 2010, с. 78-82]:
Определение 11.
p(SaP) = SaP Л SiS; p(SeP) = SeP Л SiS;
p(SiP) = SiP; p(SoP) = SoP;
p(-A) = -p(A); p(A V B) = p(A) V p(B).
Построим адекватную семантику в духе В.И. Шалака для системы СБ. Условия значимости простых формул задаются следующим образом:
Определение 12.
R'(SaP, 5) ^ 5(S) И 5(P) Л 5(S) Р -5(S); R'(SeP, 5) ^ 5(S) И -5(P) Л 5(S) Р -5(S); R'(SiP, 5) ^ 5(S) Р -5(P); R'(SoP,5) ^ 5(S) Р 5(P).
Формула A называется R'-общезначимой, если и только если V5R'(A, 5). Для доказательства адекватности данной семантики исчислению СБ необходимо сначала доказать следующую метатеорему:
Теорема 11. Произвольная силлогистическая формула A R'-общезначима, если и только если ее перевод p(A) Ф-общезначим (см. опр. 1).
Доказательство. Для этого докажем предварительно следующее утверждение:
VAV5(R'(A, 5) ^ Ф^^), 5)).
Будем использовать возвратную индукцию по числу пропозициональных связок в A.
I. A - SaP.
R'(SaP, 5) ^ 5(S) И 5(P) Л 5(S) Р -5(S) ^ Ф(SaP Л SiS, 5) ^ Ф(p(SaP), 5).
II. A - SeP.
R'(SeP, 5) ^ 5(S) И -5(P) /Л 5(S) Р -5(S) ^ Ф(SeP Л SiS, 5) ^ Ф(p(SeP), 5).
III. A - SiP.
R'(SiP, 5) ^ 5(S) P -5(P) ^ #(SiP, 5) ^ #(p(SiP), 5).
IV. A - SoP.
R'(SoP, 5) ^ 5(S) P 5(P) ^ #(SoP, 5) ^ #(p(SoP), 5).
Случаи, когда A есть сложная формула, и дальнейшее доказательство рассматриваются аналогично Теореме 5. ■
Докажем теперь теорему об адекватности предложенной семантики исчислению СБ.
Теорема 12. Произвольная формула A доказуема в исчислении СБ, если и только если формула A R'-общезначима.
Доказательство. Данная теорема является элементарным следствием трех утверждений:
(1) произвольная формула A доказуема в исчислении СБ, если и только если ее перевод р(А) (см. опр. 11) доказуем в исчислении ФС;
(2) произвольная формула A R'-общезначима (см. опр. 12), если и только если ее перевод р(А) является Ф-общезначимым (см. опр. 1);
(3) для любой формулы A верно, что р(А) доказуема в исчислении ФС, если и только если р(А) Ф-общезначима.
Утверждение (1) справедливо в силу того, что перевод р погружает СБ в ФС. Утверждение (2) доказано выше (Теорема 11). Утверждение (3) следует из доказанной В.И. Шалаком [Шалак, 2015] адекватности синтаксической интерпретации формул силлогистического языка системе ФС. ■
Покажем теперь, что адекватная релевантизированная семантика для системы СБ определяется следующими условиями значимости для атомарных силлогистических формул (для сложных формул они обычные). В качестве метапредиката значимости будем использовать символ R:
Определение 13.
R(SaP, 5) ^ 5(S) Nrei 5(P) Л 5(S) Prei -5(S); R(SeP, 5) ^ (5(S) hrei -5(P) V 5(P) l=rei -5(P)) Л 5(S) Prei -5(S); R(SiP, 5) ^ (5(S) Prei -5(P) Л 5(S) Prei -5(S)) Л 5(P) Prei -5(P); R(SoP, 5) ^ 5(S) Prei 5(P) V 5(S) Prei -5(S).
Покажем, что множество теорем исчисления СБ совпадает с классом R-общезначимых формул. Будем использовать тот же метод, что и в предыдущем разделе.
Зададим перевод т из силлогистики СБ в систему ИФС:
Определение 14.
т(5аР) = 5аР Л 5г5; т(5еР) = (5еР V РеР) Л 5г5;
т(5гР) = (5гР Л 5г5) Л РгР; т(5оР) = 5оР Л 5г5;
т(-А) = -т(А); т(А VВ) = т(А) Vт(В).
Покажем, что т-перевод погружает СБ в ИФС. Теорема 13. Перевод т погружает СБ в ИФС, т.е.
VА(СБ Ь А ^ ИФС Ь т(А)).
Доказательство. Так как исчисление СБ погружается в исчисление ФС посредством функции р (см. опр. 11), а исчисление ФС погружается в ИФС посредством функции ф (см. опр. 10), то СБ погружается в ИФС посредством композиции переводов р и ф.
Остается доказать, что композиция переводов р и ф для произвольной формулы равносильна ее т-переводу в системе ИФС:
VА(ИФС Ь т(А) = ф(р(А)).
Доказательство этого метаутверждения ведется индукцией по числу пропозициональных связок в формуле Л. Базис содержит четыре случая:
I. А - 5аР.
Необходимо доказать, что ИФС Ь т(5аР) = ф(р(5аР)), то есть что формула (5аР Л 5г5) = ((5аР V 5е5) Л 5г5 Л 5г5 Л 5г5) доказуема в ИФС. Доказательство приведено в предыдущем разделе.
II. А - 5еР.
Необходимо доказать, что ИФС Ь т(5еР) = ф(р(5еР)), то есть что формула ((5еР V РеР) Л 5г5) = (5еР V 5е5 V РеР) Л 5г5 Л 5г5 Л 5г5 доказуема в ИФС.
1. ((SeP V PeP) Л SiS) D ((SeP V SeS V PeP)Л
SiS Л SiS Л SiS) A0
2. ((SeP V SeS V PeP) Л SiS Л SiS Л SiS) D SiS A0
3. SiS = -SeS A7
4. ((SeP V SeS V PeP) Л SiS Л SiS Л SiS) D
(SeP V PeP) 3; ЛВ
5. ((SeP V PeP) Л SiS) = ((SeP V SeS V PeP)Л
(SiS Л SiS Л SiS)) 1, 4; ЛВ
III. A - SiP.
Необходимо доказать, что ИФС Ь т(SiP) = ^(p(SiP)), то есть что формула ((SiP Л SiS) Л PiP) = ((SiP Л SiS) Л PiP) доказуема в ИФС. Она
является законом логики высказываний и, следовательно, одной из аксиом А0. IV. А - SoP.
Необходимо доказать, что ИФС Ь т(SoP) = ^(p(SoP)), то есть что формула (SoP Л SiS) = (SoP Л SiS) доказуема в ИФС. Она является законом логики высказываний и, следовательно, одной из аксиом А0.
Обоснование индуктивного перехода ведется совершенно аналогично тому, как это делалось при доказательстве Теоремы 7 предыдущего раздела.
Мы показали, что формулы т(А) и ф(р(А)) логически эквивалентны в ИФС. Поскольку композиция переводов р и ф погружает СБ в ИФС, то перевод т также является операцией, погружающей СБ в ИФС. ■
Теорема 14. Произвольная силлогистическая формула A R-общезна-чима, если и только если ее перевод т(А) Vi-общезначим, т.е.
УА^(А,5) ^ ^(т(А), 5)).
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию 5, сопоставляющую общим терминам формулы пропозиционального языка в сигнатуре {-, Л, V}. Покажем, что R^, 5), если и только если ^¿(т(А), 5) (см. опр. 13 и 3), для любой формулы A языка силлогистики.
Снова будем использовать возвратную индукцию по числу пропозициональных связок в составе A.
I. А - SaP.
R(SaP, 5) ^ 5(S) Кег 5(P) Л 5(S) P-5(S) ^ Vi(SaP,5) Л Vi(SiS,5) ^ Vi (SaP Л SiS, 5) ^ ^(т (SaP), 5).
II. А - SeP.
R(SeP, 5) ^ (5(S) hrei -5(P) V 5(P) Kei -5(P)) Л 5(S) Prei -5(S) ^ (Vi(SeP, 5) V Vi(PeP,5)) Л V(SiS,5) ^ V((SeP V PeP) Л SiS, 5) ^ V^ (SeP), 5).
III. А - SiP.
R(SiP, 5) ^ (5(S) Prei -5(P) Л 5(S) Prei -5(S)) Л 5(P) Prei -5(P) ^ (Vi(SiP,5) Л Vi (SiS, 5)) Л Vi(PiP,5) ^ V((SiP Л SiS) Л PiP, 5) ^ ^¿(т (SiP), 5).
IV. А - SoP.
R(SoP, 5) ^ 5(S) Prei 5(P) V 5(S) Prei -5(S) ^ Vi (SoP, 5) Л Vi (SiS, 5) ^ Vi (SoP Л SiS, 5) ^ ^(т (SoP), 5).
Случаи, когда A — сложная формула, и дальнейшее доказательство рассматриваются аналогично тому, как это делалось при доказательстве Теоремы 2 первого раздела. ■
Теорема 15. Для произвольной силлогистической формулы Л верно, что т(А) доказуема в ИФС, если и только если т(А) — У^-общезначимая формула.
Доказательство. Семантические непротиворечивость и полнота силлогистики ИФС доказаны в [Маркин, 2016а]: произвольная формула языка силлогистики доказуема в данной системе, е.т.е. она У;-общезначима (см. опр. 3). Поскольку т-перевод (см. опр. 14) любой формулы силлогистического языка также принадлежит этому языку, то указанная равносильность (доказуемости и общезначимости) имеет место и для него. ■
Теорема 16. Произвольная силлогистическая формула Л доказуема в исчислении СБ, е.т.е. Л Я-общезначима.
Доказательство. Согласно Теореме 13, доказуемость произвольной формулы Л в системе СБ равносильна доказуемости ее перевода т(А) (см. опр. 14) в системе ИФС. Согласно Теореме 15, доказуемость т(А) в ИФС равносильна ^-общезначимости т(А) (см. опр. 3). Наконец, согласно Теореме 14, ^-общезначимость т(А) равносильна Я-общезначимости формулы Л (см. опр. 13). ■
Заключение
В свете построенных семантик остается несколько вопросов, решение которых является дальнейшей задачей.
Кроме ИФС2, у ФС есть и другая подсистема — силлогистика ИФС1, где константы а и о трактуются как в ФС, а константы е и г — как в ИФС.
Понятие значимости формул определим для данной системы следующим образом (будем использовать здесь символ для метапредиката значимости):
Определение 15.
^(5аР, 5) ^ 5(5) ^ 5(Р) V 5(5) -5(5);
^(5еР,5) ^ 5(5) ^ -5(Р);
^(5гР,5) ^ 5(5) -5(Р);
^(5оР, 5) ^ 5(5) РГе1 5(Р) V 5(5) ^ -5(5).
Для сложных формул задается стандартно.
Можно предположить, что класс общезначимых формул в такой семантике аксиоматизирует исчисление, полученное из ФС путем отбрасывания
аксиомы ФС5 £гР Э £г£. Однако доказать это утверждение тем же методом, который использовался выше для системы ИФС2, не удалось. Проблема остается открытой.
Еще один вопрос кажется интересным для дальнейшего развития данного подхода: изменятся ли множество теорем систем С2 и СБ, если заменить в их интенсиональных семантиках классическое следование на релевантное?
Как и для системы ИФС1, можно лишь предположить, какие именно исчисления будут аксиоматизировать данные семантики. Например, в обоих случаях можно показать общезначимость переводов, но показать погружаемость используемым выше способом не удалось: для релевантных фрагментов С2 и СБ не проходят аксиомы А5 и СБ5 соответственно: £гР Э £а£. Проблема также остается открытой.
Литература
Бочаров, Маркин, 2010 - Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории.
М.: Прогресс-Традиция, 2010. 333 с. Лейбниц, 1982 - Лейбниц Г.В. Соч.: В 4 т. М.: Мысль, 1982-1989. Маркин, 2001 - Маркин В.И. Интенсиональная семантика традиционной силлогистики // Логические исследования. Вып. 8. М.: Наука, 2001. С. 82-91. Маркин, 2002 - Маркин В.И. Фундаментальная силлогистика с интенсиональной точки зрения // Логические исследования. Вып. 9. М.: Наука, 2002. С.119-130.
Маркин, 2016а - Маркин В.И. Интерпретация категорических высказываний в терминах релевантного следования // Логические исследования. 2016. Т. 22. №1. С. 70-81.
Маркин, 2016Ь - Маркин В.И. Семантика позитивных силлогистик и релевантное следование // Логико-философские штудии. 2016. Т. 13. №2. С. 34-39. Маркин, Легейдо, 2019 - Маркин В.И., Легейдо М.М. Интенсиональная семантика логики классов Дж. Венна // Логические исследования. 2019. Т. 25. №2. С. 114-137.
Смирнов, 2021 - Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.:
ЛЕНАНД, 2021. 264 с. Шалак, 2015 - Шалак В.И. Синтаксическая интерпретация категорических атрибутивных высказываний // Логические исследования. 2015. Т. 21. №1. С. 60-78.
Maria M. Legeydo
Intensional semantics for some positive syllogistic systems
Maria M. Legeydo
Lomonosov Moscow State University,
27/4 Lomonosovskiy prospect, Moscow, 119991, Russian Federation. E-mail: legeydo.mm@philos.msu.ru
Abstract: The article is devoted to the consideration of intensional semantics for some systems of positive syllogistics: fundamental syllogistics and its subsystems, C2 syllogistics and Bolzano syllogistics.
The intensional semantics presented in the article are based on the syntactic approach proposed by V. Shalak and further developed by V. Markin, in which the formulas of the propos-itional language are attributed to general terms, and the significance of syllogistic constants is determined through the relation of classical, and then relevant, entailment.
The first section of the article contains a description of the already existing intensional semantics with a relevant entailment for fundamental syllogistics and its IFS subsystem, and also offers two new systems (intermediate between FS and IFS), for one of which the adequacy of semantics to calculus is proved.
The second and third sections are devoted to two other well-known syllogistic systems: C2 syl-logistics and Bolzano syllogistics. For both systems, an intensional semantics with classical and relevant entailment is presented, and the adequacy of these semantics to the corresponding calculi is proved.
The proposed semantics expand the expressive power of syllogistics, and are also interesting in the light of the developing intensional approach to the interpretation of syllogistic semantics. The article also identifies problems that have not yet been solved in this area: possible semantics for some systems are proposed, the search for axiomatizations for which is of further interest.
Keywords: syllogistic, intensional semantics, formalization, axiomatic calculus, logical en-tailment, relevant entailment
For citation: Legeydo M.M. "Intensional'nye semantiki dlya nekotorykh sistem pozitivnoi sillogistiki" [Intensional semantics for some positive syllogistic systems], Logicheskie Issledo-vaniya / Logical Investigations, 2021, Vol. 27, No. 2, pp. 9-30. DOI: 10.21146/2074-14722021-27-2-9-30 (In Russian)
Acknowledgements. The reported study was funded by RFBR, project number 20-311-90043.
References
Bocharov, Markin, 2010 - Bocharov, V.A., Markin, V.I. "Sillogisticheskie teorii" [Syllogistic theories]. Moscow: Progress-tradition, 2010. 333 pp. (In Russian) Leibniz, 1982 - Leibniz, G. Sochineniya v 4-h tomah [Writings in 4 volumes]. Moscow:
Mysl', 1982-1989. (In Russian) Markin, 2001 - Markin, V.I. "Intensional'naya semantika tradicionnoj sillogistiki" [In-tensional semantics for traditional syllogistic], in: Logicheskie issledovaniya [Logical investigations], Vol. 8. Moscow: Nauka, 2001, pp. 82-91. (In Russian) Markin, 2002 - Markin, V.I. "Fundamental'naya sillogistika s intensional'noj tochki zreniya" [Fundamental syllogistic from the intensional standpoint], in: Logicheskie issledovaniya [Logical investigations], Vol. 9. Moscow: Nauka, 2002, pp. 119-130. (In Russian)
Markin, 2016a - Markin, V.I. "Interpretaciya kategoricheskih vyskazyvanij v termi-nah relevantnogo sledovaniya" [Interpretation of categorical propositions in terms of relevant entailment], Logicheskie issledovaniya [Logical investigations], 2016, Vol. 22, No. 1, pp. 70-81. (In Russian) Markin, 2016b - Markin, V.I. "Semantika pozitivnyh sillogistik i relevantnoe sle-dovanie" [Semantics of positive syllogistics and relevant entailment], Logiko-filosof-skie shtudii [Logical and philosophical studies], 2016, Vol. 13, No. 2, pp. 34-39. (In Russian)
Markin, Legeydo, 2019 - Markin, V.I., Legeydo, M.M. "Intensional'naya semantika logiki klassov Dzh. Venna" [Intensional Semantics for J. Venn's Logic of Classes], Logicheskie issledovaniya [Logical investigations], 2019, Vol. 25, No. 2, pp. 114137. (In Russian)
Shalack, 2015 - Shalack, V.I. "Sintaksicheskaya interpretaciya kategoricheskih at-ributivnyh vyskazyvanij" [Syntactic interpretation of categorical attributive propositions], Logicheskie issledovaniya [Logical investigations], 2015, Vol. 21, No. 1, pp. 60-78. (In Russian) Smirnov, 2021 - Smirnov, V.A. "Logicheskie metody analiza nauchnogo znaniya" [Logical methods of the analyses of scientific knowledge]. Moscow: LENAND, 2021. 264 pp. (In Russian)
