CC BY
99
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н.Э. ЬАУМЛНЛ
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл JVa ФС 77 - 48211. Государственная регистрация №(I4212Ü0025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Аналитико-оптимизационный метод аберрационного синтеза
оптических систем
# 07, июль 2012
Б01: 10.7463/0712.0442505
Пискунов Д. Е., Хорохоров А. М.
УДК 535.317
Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана piskunovde@gmail.com a.horohorov@yandex .щ
Введение
Расчёт оптических систем с высоким качеством изображения в системах автоматизированного проектирования в основном решается путём поиска минимального значения оценочной функции методами локальной оптимизации. При большом числе конструктивных параметров решение оптимизационной задачи занимает достаточно длительное время и не гарантирует оптимальности полученного решения вследствие использования локальных методов оптимизации. Поэтому ключевым моментом проектирования оптической системы является выбор начальной схемы для оптимизации. Как правило, в качестве исходной схемы выбирается либо известная из патентных и литературных источников, либо рассчитанная, исходя из минимизации аберраций третьего порядка. Теория и практика аберрационных расчетов показывают, что реальные аберрации светосильных широкоугольных оптических систем сильно отличаются от аберраций третьего порядка, поэтому для таких систем на этапе аберрационного синтеза следует учитывать аберрации высших порядков.
Для синтеза таких систем предлагается использовать аберрации третьего и пятого порядков, определяемые из расчета хода всего двух вспомогательных лучей. При синтезе системы целесообразно использовать разложение двумерных степенных функций аберраций при фиксированном угле поля зрения по полиномам Чебышева первого рода. Впервые идея разложения аберраций по полиномам Чебышева была предложена в работе [1], впоследствии изданной в США [2], развита и применена для синтеза и оптимизации оптических систем в работе [3, 4].
Целью данной работы является разработка метода, позволяющего выполнить автоматизированный аберрационный синтез оптических систем с учётом аберраций высших порядков.
Научная новина работы заключается в следующем:
- разработан аналитико-оптимизационный метод аберрационного синтеза оптических систем, предусматривающий разложение аберраций по полиномам Чебышева с последующей минимизацией коэффициентов разложения;
- получены выражения, связывающие коэффициенты разложения аберраций в степенной ряд с коэффициентами разложения по полиномам Чебышева;
- показана возможность применения разработанного метода для аберрационного синтеза систем переменного увеличения.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие научно-технические задачи:
- разработать способ вычисления аберраций высших порядков, удобный для реализации на ЭВМ;
- разработать метод определения конструктивных параметров оптической системы, при котором обеспечивается минимизация её аберраций;
- ввести критерий качества оптической системы на этапе аберрационного синтеза.
1. Разложение аберраций в степенной ряд по координатам на зрачке до членов пятого порядка включительно
При автоматизированном аберрационном синтезе коэффициенты разложения по полиномам Чебышева удобно вычислить аналитически, выразив их через коэффициенты разложения в степенной ряд, которые, в свою очередь, вычисляются через параметры двух вспомогательных лучей.
Представим меридиональную составляющую поперечной аберрации при фиксированных углах поля зрения в виде степенного ряда до членов пятого порядка малости
Ау' = а1ш + а2М + а3ш2 + а4М2 + а5 • ш • М + а6шъ + а7М3 + а8ш • М2 +
+ а9т2 • М + а10ш4 + а1^М4 + а12ш • М3 + а13ш2 • М2 + а14ш3 • М + , (1) + а15ш5 + а16ш • М4 + а17ш3 • М2 + а18, где ш, М — нормированные координаты точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка, а1...а18 — коэффициенты разложения, вычисляемые следующим образом:
а а2
а3
а4 а5
а6 а7
а
а9
I = А ■ [0,5 • Я ■ (+ Бу) + Я2ЯХ1 + Я2уБш - Я2уЯ ■ Гх]; = А ■[ЯуЯ2Бш - Я ■ ЯуЯ— ];
= А2 ■ [-ЯуБп + Я ■ Яур1х - 0,5 ■ Я/ц - Я3- ЯуЯ ■ Гш ]; = А2 ■ [-0,5 ■ ЯуБц - ЯуЯ2- ЯуЯ ■ Еущ ]; = А2 ■ [-ЯБ11 + Я ■ ВДх - 2Я2уЯЛ1 ]; = А3 ■ [0,5■ Б + Я2уГу + Я ■ -ц -Яу2-у]; = А3 ■[-ЯуЯ^у ];
= А3 ■ [0,5 ■ Б + Я2¥у + Я ■ -ц - Яу2¥уу ]; = А3 ■ [2ЯуЯ— - Я2ЯуГу ]; аш = А4 ■ [Я-ш - Яу- ];
II = А4 ■[-ЯуГц]; а12 = А4 ■[- ■ = А4 ■ [Я-ш - 2 ■ Яу ■ - ]; а14 = А4 ■ [Я-ш ];
(2)
а15 = А5 ■ —; а16 = А3 ■ —;
а17 = А5 ■ 2 ■ -; аи =-0,5 ■ ЯуЯ ■ Бу - ЯуЯ2.
В формулах (2) А — радиус входного зрачка, ,...,Бу , ^ ,•••,-—Х1 — коэффициенты разложения в степенной ряд (по координатам на зрачке и по полю) аберраций третьего и пятого порядков соответственно, рассчитываемые через параметры двух вспомогательных лучей, Яу = -^^ / И1, Яу = -^8 / £У, 8 — углы проекций луча на
меридиональную и сагиттальную плоскости с осью оптической системы, ^ — координата первого вспомогательного луча на первой поверхности [5, 6].
2. Разложение аберраций по полиномам Чебышева
Представим степенной ряд (1) в виде разложения по полиномам Чебышева
АУ = Ь1Т1т + Ь2Т1М + Ь3Т2т + Ь4Т2М + Ь5Т1тТ1М + Ь6Т3т + Ь7Т3М + Ь8Т1тТ2М +
+ (3)
+ Ь14Т3тТ1М + Ь15Т5М + Ь16Т1тТ4М + Ь17Т3тТ2М + Ь18,
где Т1т,...,Т5т , Т1М,...,Т5М — наименее отклоняющиеся от нуля полиномы Чебышева для меридионального и сагиттального сечений соответственно, Ь1,..., Ь18 — коэффициенты разложения, выражаемые через коэффициенты (2):
3 15 3 3
Ь1 = а1+4 аб + ^ а+^ а15 + 8 а16 + 8 а17;
и =31. и = 1 .
и2 а 2 + ^ а7 + 2 а9' И3 а3 + а10 + 2 а13'
1 3 3
ь4 = а4 + ап + ^ а13; и5 = а5 + 4 а12+4 а14;
7 5^7 (4)
иб = аб+4а15+2а17; и7 = а7;
И8 = а8 + а1б + 4 а17; И9 = а9;
И10 = а10; И11 = а11; И12 = а12; И13 = а13;
И14 = а14; И15 = а15; И1б = а1б; И17 = а17;
и = 113 3 1
и18 = 2а3 + 2а4 + 8 а10 + 8а11 + 4а13 + а18'
Первые пять полиномов Чебышева наименее отклоняющихся от нуля представляют в виде
3 3
Т0т = 1, Т3т = т — т,
0т ' 3т 4 '
ГГ1 ГТ1 4 2 , 1
11т = т, 14т = т - т + —,
1ш ' 4 т 8
гг 2 1 5 5 3 , 5
Т2т = т —, 15т = т — т +— т. 2 т 2 5т 4 1б
Аналогично записывают полиномы Чебышева для сагиттального сечения.
Важными аргументами в пользу целесообразности использования полиномов Чебышева являются следующие их свойства. Во-первых, из всех полиномов степени п полиномы Чебышёва в области [-1 1] имеют наименьшее отклонение от нуля. Во-вторых, область значений полиномов по модулю не превышает 1/ 2"-1.
Учитывая вышеизложенные свойства, задача расчёта объектива на этапе аналитико-оптимизационного синтеза может быть сведена к минимизации абсолютных значений коэффициентов разложения (3) по полиномам Чебышева. При этом автоматически минимизируются аберрации третьего и пятого порядков для всего зрачка. Кроме того, значения коэффициентов разложения позволяют оценить уровень этих аберраций, то есть контролировать ход процесса при автоматизированном аберрационном синтезе.
Следует отметить, что для минимизации коэффициентов (4) требуются значительно меньшие вычислительные мощности, чем для минимизации реальных
аберраций, полученных из расчёта хода лучей, поскольку для вычисления коэффициентов разложения достаточно рассчитать ход всего двух вспомогательных лучей.
3. Критерий качества оптической системы
При оптимизации необходимо не только минимизировать коэффициенты (4), но и обеспечить конструктивные ограничения: минимальные толщины линз и воздушные промежутки, габариты системы и фокусное расстояние. Для выбора наилучшей системы при оптимизации введём оценочную функцию в виде суммы квадратичных функций
К 18
ф = ф2 + ф 2 + + 4г, (5)
к=1 1=1
где — К количество поверхностей в системе, к — номер поверхности, 1 — индекс коэффициентов разложения (3), Ф1, Ф 2, Ф31 Ф 41 — оптимизируемые функции вида:
Ф1 = Ф2 = Щ (/' - /); Ф3г =Ж3А"1; Ф4г =WAИ'
Здесь Ь — текущая длина системы /', /' — текущее и заданное фокусные расстояния, йк — текущая к-я толщина компонента или воздушный промежуток, Ь1 —
коэффициенты (4), Ж1 Ж2, Ж3к, Ж41 — соответствующие весовые коэффициенты.
При выборе весовых коэффициентов ввиду вышеперечисленных свойств полиномов Чебышева следует обращать особое внимание на коэффициенты при полиномах низких порядков.
Оценочная функция (5) приведена исключительно в качестве примера. Разработчик самостоятельно выбирает её вид'
Таким образом, разработан аналитико-оптимизационный метод автоматизированного аберрационного синтеза объективов. Метод предусматривает выбор исходной схемы, назначение параметров оптимизации, определение оценочной функции, включающей конструктивные ограничения, требования к параметрам объектива, а также коэффициенты разложения аберрационной функции по полиномам Чебышева, вычисляемые аналитически, минимизацию оценочной функции. В качестве исходной схемы для оптимизации может быть выбран, например, объектив, рассчитанный на минимум аберраций третьего порядка известными методами.
Отметим, что разработанный метод может быть применён не только для расчёта систем с фиксированным фокусным расстоянием, но и для систем переменного увеличения. Для этого в оценочную функцию (5) необходимо включить оптимизируемые
функции, содержащие требования к оптическим характеристикам и конструктивным параметрам при различных увеличениях.
4. Аберрационный синтез четырёхкратного вариообъектива
На основе предложенного метода разработаны программы, позволяющие проводить аберрационный синтез объективов. В качестве примера выполнен аберрационный синтез вариообъектива с четырёхкратным перепадом фокусных расстояний. Параметры объектива представлены в таблице 1.
Таблица 1 - Параметры вариообъектива
Фокусное расстояние 25,6..103,9 мм
Размер приёмника излучения 22,3х14,9 мм
Диафрагменное число при минимальном фокусном расстоянии при максимальном фокусном расстоянии 2,8 5,6
Падение освещённости на краю поля для широкопольной позиции для телепозиции < 50% < 15%
Длина системы в рабочем режиме от первой поверхности до приёмника 165 мм
Задний фокальный отрезок 28 мм
МПФ на частоте 40 л/мм для широкопольной позиции для телепозиции > 70 % > 40 %
Дисторсия для широкопольной позиции для телепозиции <±5% <±2%
Количество подвижных компонентов 2
Оптическая схема с ходом лучей для трёх позиций компонентов (двух крайних и промежуточного) и законы перемещения в виде зависимостей фокусного расстояния разработанного вариообъектива от положения компонентов относительно первого представлены на рисунках 1 и 2 соответственно. Вариообъектив состоит из пяти групп линз, из которых две подвижные. Апертурная диафрагма неподвижна и расположена
между компонентами третьей группы. Минимизация коэффициентов разложения (4) проводилась для пяти положений компонентов, которые отмечены на рисунке 2 точками.
/' = 25.6 мм
1 —— ШйЙ
ОТ ^ и
Рисунок 1 - Схема вариообъектива для а) широкопольной позиции, б) средней и в) телепозиции
2
£
0)
=
а: к О
0) о
X
I)
?
II &
" О 20 -10 60 80 100 120 140 160 180
Положение компонентов, мм
Рисунок 2 - Законы перемещения компонентов: 1-5 — номера компонентов, ПИ — плоскость изображения
Рассчитанный вариообъектив имеет высокие оптические характеристики, что подтверждает эффективность разработанного аналитико-оптимизационного метода аберрационного синтеза оптических систем. Отметим также, что данный метод позволяет значительно сократить время расчёта объективов.
Заключение
Таким образом, разработан аналитико-оптимизационный метод аберрационного синтеза оптических систем. Метод позволяет определить конструктивные параметры оптической системы, при которых обеспечивается минимизация аберраций до пятого порядка включительно. Расчёт осуществляется с помощью параметров всего двух вспомогательных лучей, что позволяет значительно сократить время синтеза. В основе метода лежит разложение аберраций по полиномам Чебышева. Коэффициенты разложения позволяют оценить уровень аберраций для всего зрачка, таким образом, появляется возможность контролировать ход процесса при автоматизированном аберрационном синтезе. В качестве критерия качества оптической системы введена оценочная функция, в которую входят требования к минимизации коэффициентов разложения по полиномам Чебышева, к параметрам объектива и конструктивные ограничения. Метод применим для расчёта систем, как с постоянными, так и переменными оптическими характеристиками. Эффективность разработанного метода подтверждается высокими оптическими характеристиками рассчитанных систем, а также значительным сокращением времени оптимизации.
Список литературы
1. Пахомов, И.И., Цибуля А.В. Расчёт оптических систем лазерных приборов. М.: Радио и связь, 1986, 150 с.
2. Pachomov I.I., Tsibulya A.B. Computational Methods for Laser Optical Systems Design // Journal of Soviet Laser Research. 1988. V.9, №3. P. 321-429.
3. Пахомов, И.И., Хорохоров А.М. Использование полиномов Чебышева для синтеза и оптимизации оптических систем // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 1995. №3. С. 69-73.
4. Автоматизированный аберрационный синтез объективов / И. И. Пахомов, Д. Е. Пискунов, М.Е. Фролов, А. М. Хорохоров, А. Ф. Ширанков // Труды 9 Международной конференции «Прикладная оптика - 2010». СПб, 2010. Т. 2. С. 279282.
5. Гальперн Д. Ю. Исследования по геометрической оптике: автореф. дис. ... доктор техн. наук. Л., 1959. 23 с.
6. Шейнис Н. В., Вычисление аберраций высших порядков // Труды ГОИ, т. XXXVII, вып. 167, Л.: Машиностроение, 1970. С. 124-143.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTÜ
SCIENCE and EDUCATION
EL JV® FS 77 - 4821 1. №0421200025. ISSN 1994-0408 electronic scientific and technical journal
Analytical and optimization method of aberration synthesis
in optical systems
# 07, July 2012
DOI: 10.7463/0712.0442505
Piskunov D.E., Horohorov A.M.
Russia, Bauman Moscow State Technical University
piskunovde@gmail.com a.horohorov@yandex .ru
The authors proposes an analytical and optimization method of aberration synthesis in optical system to allow automated analysis of lenses with fifth-order aberrations. The method is based on expansion of lateral aberration into Chebyshev polynomials, followed by minimization of the expansion coefficients.
Publications with keywords:aberrations, aberration synthesis, combined analytical and optimization method, synthesis of optical systems, Chebyshev polynomials Publications with words:aberrations, aberration synthesis, combined analytical and optimization method, synthesis of optical systems, Chebyshev polynomials
References
1. Pakhomov I.I., Tsibulia A.V. Raschet opticheskikh sistem lazernykhpriborov [Calculation of the optical systems of laser devices]. Moscow, Radio i sviaz' Publ., 1986. 150 p.
2. Pachomov I.I., Tsibulya A.B. Computational Methods for Laser Optical Systems Design. Journal of Soviet Laser Research, 1988, vol. 9, no. 3, pp. 321-429.
3. Pakhomov I.I., Khorokhorov A.M. Ispol'zovanie polinomov Chebysheva dlia sinteza i optimizatsii opticheskikh sistem [The use of Chebyshev polynomials for synthesis and optimization of optical systems]. VestnikMGTUim. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie [Herald of the Bauman MSTU. Ser. Instrumentation], 1995, no. 3, pp. 69-73.
4. Pakhomov I.I., Piskunov D.E., Frolov M.E., Khorokhorov A.M., Shirankov A.F. Avtomatizirovannyi aberratsionnyi sintez ob"ektivov [Automated aberrational synthesis of lens]. «Prikladnaia optika - 2010». Tr. 9 Mezhdunar. konf. ["Applied Optics - 2010". Proc. 9* Int. Conf.]. St. Petersburg, 2010, vol. 2, pp. 279-282.
5. Gal'pern D.Iu. Issledovaniiapo geometricheskoi optike. Diss. dokt. tekhn. nauk. Aftoref. [Investigations on geometrical optics. Dr. tech. sci. diss. Synop.]. Leningrad, 1959. 23 p.
6. Sheinis N.V. Vychislenie aberratsii vysshikh poriadkov [The calculation of higher-order aberrations]. Trudy GOI [Proc. Vavilov State Optical Inst.], 1970, vol. 37, no. 167, pp. 124-143.
