Линзовые концентрические системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИМ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ март-апрель 2016 Том 16 № 2 ISSN 2226-1494 http://ntv.i1mo.ru/

SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS March-April 2016 Vol. 16 No 2 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/en

УДК 535.317

ЛИНЗОВЫЕ КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ К.В. Ежоваа, В.А. Зверев3, Т.В. Точилинаа

а Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация Адрес для переписки: tvtochilina@mail.ru Информация о статье

Поступила в редакцию 21.12.15, принята к печати 05.02.16

doi:10.17586/2226-1494-2016-16-2-224-236

Язык статьи - русский

Ссылка для цитирования: Ежова К.В., Зверев В.А., Точилина Т.В. Линзовые концентрические системы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2016. Т. 16. № 2. С. 224-236. doi: 10.17586/2226-1494-2016-16-2-224-236

Аннотация

Предмет исследования. Рассматриваются теоретические основы синтеза линзовых концентрических систем различного назначения на основе теории аберраций 3-го порядка. Основным отличием концентрических линзовых систем, помимо особенной геометрии самой системы, является сферическая форма поверхности изображения, радиус которой равен фокусному расстоянию всей системы. Для оптических систем такого рода необходима компенсация не только угловой сферической аберрации, но и хроматизма положения. Метод. В работе определен математический аппарат, позволяющий определить конструктивные параметры концентрических линзовых систем. Введены коэффициенты, определяющие взаимосвязь радиусов кривизны поверхностей концентрических оптических систем, что позволило преобразовать полученные аналитические соотношения в систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Показано, что существование решения системы уравнений определяется оптическими константами выбранного материала линз. Основные результаты. Результаты анализа условий коррекции хроматической аберрации положения и рассмотренная последовательность получения системы уравнений позволили создать теоретическую базу инженерного метода параметрического синтеза линзовых концентрических систем и построить математическую модель расчета такого рода систем. Практическая значимость. Несомненная практическая значимость работы заключается в представленных примерах расчета конкретных систем с различными возможными конструкциями построения и определением угловой сферической аберрации и хроматизма положения для каждой рассчитанной системы. Ключевые слова

система концентрических поверхностей, сферическая аберрация, хроматическая аберрация положения, первичные аберрации

CONCENTRIC LENS SYSTEMS K.V. Ezhovaa, V.A. Zvereva, T.V. Tochilinaa

a ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russian Federation Corresponding author: tvtochilina@mail.ru Article info

Received 21.12.15, accepted 05.02.16 doi:10.17586/2226-1494-2016-16-2-224-236 Article in Russian

For citation: Ezhova K.V., Zverev V.A., Tochilina T.V. Concentric lens systems. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2016, vol. 16, no. 2, pp. 224-236. doi:10.17586/2226-1494-2016-16-2-224-236

Abstract

Subject of Research. The paper discusses theoretical foundations of synthesis of concentric lens systems for various applications based on the 3rd order aberration theory. The main difference of concentric lens systems, in addition to the special geometry of the system, is an image spherical surface shape with the radius equal to the focal length of the entire system. For such optical systems compensation is required not only of corner spherical aberration, but also of chromaticity position. Method. The paper presented mathematical apparatus that allows determining the design parameters of the concentric lens systems. The coefficients were introduced determining interrelationship of the radii of curvature for the surfaces of concentric optical systems that gave the possibility to transform the obtained analytical relations in the system of two equations with two unknowns. It is shown that the existence of solutions of the system is determined by the optical constants of the selected lens material. Main Results. The results of correction conditions analysis of the chromatic aberration of position and the sequence of the resulting system of equations have provided theoretical basis for the engineering method of a parametric synthesis of concentric lens systems and developed a mathematical model for the calculation of such systems. Practical Relevance. The undoubted practical significance of the work lies in the examples of

specific systems calculation with different possible designs of construction and defining the angular spherical aberration and

chromatic aberration of position calculated for each system.

Keywords

system of concentric surfaces, spherical aberration, chromatic aberration of position, primary aberrations

Введение

Зеркальные и зеркально-линзовые системы, в том числе и системы концентрических поверхностей, при сравнительно высокой светосиле имеют малое угловое поле изображаемого пространства [1]. В линзовых концентрических системах угловое поле принципиально ограничено только допустимым падением освещенности в изображении внеосевых точек по сравнению с освещенностью в изображении осевой точки. Освещенность в изображении внеосевых точек, образованном системой концентрических поверхностей, пропорциональна косинусу полевого угла ю. При этом при допустимом падении освещенности в два раза угловое поле равно 2ю = 120°. Однако поверхность изображения имеет форму сферы, радиус кривизны которой равен фокусному расстоянию системы. В изображении, образованном системой, кроме сферической аберрации, необходимо компенсировать и хроматическую аберрацию положения.

Определение угловой сферической аберрации линзовой концентрической системы

Для определения выражения, описывающего угловую сферическую аберрацию линзовой концентрической системы, рассмотрим ход луча через одиночную сферическую поверхность.

Рис. 1. Ход действительного луча через преломляющую поверхность

Обратимся к рис. 1, на котором показан путь действительного луча через преломляющую поверхность сферической формы. На этом рисунке N,0 = г; Р, - точка пересечения падающего на поверхность луча или его продолжения с нормалью к нему, опущенной из центра кривизны поверхности; Р', - точка пересечения преломленного на поверхности луча или его продолжения с нормалью к нему из центра кривизны той же поверхности. Обозначим СР, = т,; СР', = т' ,= СР+1 = т,+1. Из рисунка следует, что угол у, = О, - 8, = о;- 8' , (1)

где о' - угол, образованный преломленным лучом с оптической осью (на рисунке не показан). Выражение (1) удобно представить в виде

о; - о, = 8' - 8,. (2)

Тогда из выражения (2) для оптической системы из к концентрических точек С поверхностей будем иметь

о; - О1 = 8; - 81,

а' - а. = 8' - 8.,

Сложив левые и правые части этих выражений и учитывая, что а'i = а i+1, получаем:

i =к i =к

°к -+Zе'-Еsi• (3)

i=1 i=1

В соответствии с рис. 1 синус угла падения луча на i-ю преломляющую поверхность равен m

sin 8 i =--L, (4)

ri

а синус угла преломления

m

sin е; = —^. (5)

' r '

В соответствии с законом преломления

n n m

I i ■ i i

sin E; = —— sin s t =--'—-. (6)

n'+l nMr¡

Из выражений (5) и (6) находим, что для системы концентрических поверхностей справедлив следующий инвариант:

nimi = n2 m2 =... = nm = n,+im,+i... = nkmt = n+im+i = R. (7)

Таким образом, каждый луч, падающий в точку N. поверхности или его продолжение, касается ок-

n.m.

ружности с центром в точке C, радиус кривизны которой m' = m.+i = ——'-. Применив формулы (4)-(7),

' ' n+i

формулу (3) можно представить в виде

'=k r i=k r

o'k - oi = V arcsin--V arcsin-. (8)

'=i nr '=i n+ir

При oi = 0 фокусное расстояние рассматриваемой системы равно

m

f '=-m^T. (9)

sin ok

При m ^ 0 фокусное расстояние f ' ^ f0'. Заметим, что в рассматриваемом случае главные плоскости совмещены и проходят через центр кривизны поверхностей системы. При этом фокусное расстояние f0 системы равно расстоянию от центра кривизны поверхностей до осевой точки образованного изображения. Исходя из этого, можно считать, что продольная сферическая аберрация изображения, образованного системой концентрических поверхностей, равна As' = f ' - f0'. Дифференцируя выражение

(9) и заменяя дифференциалы конечными разностями, при m = const получаем Af ' = As' = - m COs C So '.

sin o '

Тогда поперечная сферическая аберрация определится выражением Sg' = As ' • tgo ' = f • So'. При этом сферическая аберрация в угловой мере (или угловая сферическая аберрация [2, 3]) определится отношением 5ст ' = Sg'/ f, где So ' = o0 - o '.

m

В соответствии с формулой (9) угол ok = arcsin f. При малой величине x угол arcsin x = x . В

рассматриваемом случае при малой величине mi (m ^ 0) величина f ' ^ f0'. Полагая в формуле (8) при oi = 0 величину m малой, получаем

'=k i ( i i А

П n+i j

(i0)

1 ^ 1

Фо = / = п1 Ь г

/о

Функцию аггат х можно представить степенным рядом:

1 3 3 5 5 7

штатх = х+— х +--х +--х +....

6 40 112

Ограничиваясь в разложении в степенной ряд членами не выше третьего порядка, формулу (8) при = 0 можно представить как

; ^ i ( i i А i з з v i ( i i А

ok = nm V----+7 nmV— — —— . (ii)

...... 6 "

'=i 'i V4

'=i Ч V ' i n3+i J

„ 1 ( 1 1 1 m, . , ^ ^ , . m, m, 1 m.3 ^ Выражение n1ml > —---= — = sinck0. При этом из (11) ck = arcsin—L= —+---у. Полу-

,=i r y n n+1) f0 f' fo 6 f

ченные соотношения позволяют выражение, определяющее угловую сферическую аберрацию, представить в вид:

i=k

S ' ' ' i mi3 i з з v i ( i i

So = o0k -ok = 6f77 - 6nimi V — I "T--T

6 f0 6 '=i r \ n n+i

или

к 1 (

5о ' = 6 П1Ч3 ~

1 1

,=1 и V' +1

и.3, п3

,=к 1 ( I1

,=1 г V п1+1

1 1

п+ п

(12)

Аберрационные свойства концентрической линзы

В простейшем случае для образования линзы необходимы две преломляющие поверхности.

С С

\

%

Рис. 2. Форма линз, образованных двумя концентрическими преломляющими поверхностями,

при: г;/г2 > 0 (а), (б); г;/г2 < 0 (в), (г)

При г1 /г2 > 0 и при ё = г1 - г2 линза имеет вид концентрического мениска, как показано на рис. 2, а, б. При гх1 г2 < 0 и при ё = г1 - г2 имеем двояковыпуклую концентрическую линзу, как показано на рис. 2, в. При г1 = -г2 линза имеет вид шара, как показано на рис. 2, г. Рассмотрим аберрационные свойства концентрической двояковыпуклой линзы, математическую модель которой можно представить в следующем виде:

п1 = 1

ё = г1 - г2

"Уг1

и3 = 1,

где коэффициент у > 0 . В соответствии с формулой (10) оптическая сила рассматриваемой линзы равна п-11+у

Ф0 =-

пг1 у При Ф0 = 1: г =

1 + у п -1 у п

(13)

(14)

п п п - п

Применив последовательно к поверхностям линзы формулу Аббе---=-, находим, что при

5 5 г

5 =<» задний фокальный отрезок равен

5'= 5' = /' 1 -(п - 1)У

Л2 ~ ' ~ Jo ■

п

Положив в выражении (15) величину /0' = 1, получаем

У = -

1 - т'г п -1

(15)

(16)

При = 0 величина у =-. Отсюда следует, например, что при п = 2 величина у = 1. Заметим,

п-1

что выражение (16) вполне определяет конструктивные параметры линзы [4, 5]. Выражение (13) удобно переписать в виде

' = пг1 /0 1 , 1 . 1 + у п -1

Дифференцируя выражение (17), получаем

(17)

б

а

в

г

/' = - ^ (V (18)

1 + У (п -1)2

Средняя дисперсия п(Х1)-п(Х3), как правило, мала. Тогда, положив п(Х1)-п(Х3) = 5п , а п = п (Х2), выражение (18) можно представить как

/0хр =-—/', (19)

иц

п (Х2)-1

где 5/0 хр - хроматическая аберрация положения; ц - коэффициент дисперсии, ц = у ' —-.

П (^ )-П (X. )

Вполне очевидно, и это легко проверить, что 5/0'хр = 5я'р хр.

Определение параметров концентрической линзы

Угловая сферическая аберрация изображения, образованного концентрическими оптическими системами, определяется формулой (12) [5]. В соответствии с этой формулой в рассматриваемом случае кон-

1 3

5 , 1 т

центрической линзы получаем 5о ' =---— у3, где

^ =(п3 -1)1 -3 - ^ -(п -1)

6 п3

Л V1 1Л

(20)

Учитывая, что г2 = -уг1, выражение (20) можно преобразовать:

„ п -11 2 п2 - П +1

¥3 = 3п -2-2- 1у2--у +1| . (21)

У г1 V П )

Из выражения (21) следует, что первичная сферическая аберрация изображения отсутствует, если выполняется условие

у2 - у +1 = 0. (22)

п

Решение уравнения (22) можно представить в виде

и2 -п +1 ±л/п4 - 2и3 -п2 - 2п +1

у = -

2п

Фокусное расстояние, мм 100,00

Диафрагменное число 1,400

Угловое поле 2ю 120°00'

Положение предмета относительно первой поверхности, мм бесконечность

Положение изображения относительно последней поверхности, мм -23,591

Диаметр входного зрачка, мм 71,4000

Положение входного зрачка относительно первой поверхности, мм 123,600

Положение выходного зрачка относительно последней поверхности, мм -123,600

Основная длина волны, нм 3906,00

Конструктивные параметры

Номер поверхности Радиусы, мм Б, мм Марки стекол Показатели преломления Световые диаметры, мм Стрелки, мм

1,000000

1 123,600 247,20 ИКС29 2,618000 229,80 78,05

2 -123,600 1,000000 218,33 -65,64

Остаточные аберрации (Я ' = -100 мм)

50 5'0 /0 V 5'

123,6 -123,6 -23,60 99,995 1,000 -23,59

ст=0 т 1йст' 5*' W п%

35,7 0,0273 0,382 0,0104 -0,95 10-7 0

25,2 -0,0038 0,261 -0,98-10-3 -0,0855 0

Таблица 1. Концентрическая двояковыпуклая линза

Отсюда находим, что уравнение (22) имеет действительное решение при п > 2,618 . При п = 2,618 коэффициент у = 1. Подставив эти величины в выражения (14) и (15), при /0'= 1 мм получаем г1 = -г2 = 1,236 мм; ^ = -0,236 мм. Заметим, кстати, что показатель преломления п = 2,618 имеет бескислородное инфракрасное стекло ИКС29 при длине волны излучения X = 3,906 мкм, что вполне укладывается в окно прозрачности атмосферы. Параметры полученной системы и остаточные аберрации приведены в табл. 1.

Хроматическая аберрация изображения, образованного линзой, определяется формулой (19). Линза, определяемая параметрами, приведенными в табл. 1, образует мнимое изображение, и возможность ее применения неочевидна [6, 7]. Однако важно заметить, что параметры линзы определены из условия компенсации первичной сферической аберрации. И, тем не менее, при достаточно высокой светосиле линза образует изображение высокого качества.

Примеры расчета концентрических линзовых систем с компенсацией остаточной сферической

аберрации и хроматизма положения

Для компенсации остаточной сферической аберрации и хроматической аберрации положения дополним концентрическую линзу концентрическим мениском, образовав следующую систему:

п1 = 1

4 = г - г2

а 2 = г2 - Г3

П4 = 1,

где у; > 1; у2 > 0 . Подставив параметры системы в формулу (10) и преобразовав ее, находим, что оптическая сила системы равна

Ф0 = 1ГПт-1 Ы. + Пг-11+Ъ |. (23)

Г2 I Пт 71 П1 7 2

При Ф0 =1

„ = Пт - 11 - 71 , П - 11 + 72

71

7 2

(24)

Продифференцировав выражение (23), получаем

а Ф0 =

1 - 71 апт , 1 + 7 2

\

71 пт 7 2 П ;

Полагая дифференциалы показателей преломления материала линз равными их средней диспер-

сии, преобразуем полученное выражение к виду а ф0хр = —

1 - 71 пт - 1 , 1 + 72 п1 - 1

71

п2 ц

т г т

7 2 п Ц

;

при а Ф0хр = 0

1 л 2

1 + 72 71 _пт -1 ЩЦ

72 71 -1 п-1 п1 цт

_! = пт - 1 71 -1

п -1 п1 ц

-1.

(25)

(26)

72 п -1 п„цт 71

Угловую сферическую аберрацию изображения, образованного рассматриваемой системой, опре-

делим выражением (12). Учитывая, что г1 = у1г2,

? 1 1 3 3

оо = — п1 т1 у3, где 6

г3 = -у2 г2, путем преобразований получаем

^3 =

п1 -1 73 -1 п3 -11 + 72 | пт -1 71 -1 п -11 + 72

71

72

(27)

В результате получили, что при = 0 уравнение (27) в сочетании с выражением (25) образует систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными: у; и у2.

Г2 =

1

Подставив выражение (26) в выражение (27), в результате преобразований при у3 = 0 получаем уравнение

Ay12 + By1 + C = 0 ,

где

(28)

A =

пт -1 п3 -1

q (П q2 - 3пд+3)-

п„ -1

Пт

у

(1 - п)3;

в = -

Пт -1 п3 -1

п=-

IЩ .

ПтЩт

Ч =

q2 (2пд - 3) + 2

Пт - 1 _Л_

К - 1 Пт

(

т /

пт -1V,- Ч3 „ пт -1

(1 - п)3; с = ^-(п3 - 1)ч3 -п

( -1 ^

(1 - п)3;

Вполне очевидно, что параметры выбранных материалов линз должны удовлетворять условиям

пт > П ; Щт < Щ .

Пусть, например, в качестве материала для мениска выбрано стекло марки ТФ4 (пе = 1,74632; щ = 27,94), а для двояковыпуклой линзы - стекло марки ЛК5 (пе = 1,47990 ; щ = 65,44). Подставив показатели преломления и коэффициенты дисперсии стекол в выражения, определяющие коэффициенты, и выполнив соответствующие вычисления, находим, что А = -2,7206 ; В = 11,2188; С = -11,4882 . Поделив коэффициенты В и С на коэффициент А, получаем уравнение (28) в виде

у! - 4,12367, + 4,2227 = 0.

В результате решения этого уравнения имеем: у11 = 2,23 ; у12 = 1,8935 .

Пусть, например, у1 = 2,23 . При этом из выражения (26) находим, что у2 = 2,2584 . Подставив значения коэффициентов у1 и у 2 в выражение (24), при соответствующих параметрах выбранных стекол получаем г2 = 0,2322 мм. Тогда гх = у,г2 = 0,5178 мм; г3 = -у2 г2 =-0,5244 мм.

В результате выполненного расчета получаем оптическую систему, параметры которой при /0' = 100 мм и остаточные аберрации образованного изображения приведены в табл. 2, а схема системы представлена на рис. 3.

Рис. 3. Схема оптической системы, состоящей из двояковыпуклой линзы и концентрического мениска

Дополним концентрическую двояковыпуклую линзу, имеющую форму шара, двумя концентрическими менисками, образовав систему:

п1 = 1

Г = УЛ

4 = г - г2

ё2 = Г2 - Г3 = 2г2 п3 = п1

"У 2 Г2

ё 3 = гъ - г4

п5 = 1.

т

2 =

Фокусное расстояние, мм 100,015

Диафрагменное число 4,000

Положение предмета относительно первой поверхности, мм бесконечность

Положение изображения относительно последней поверхности, мм 47,6233

Основная длина волны, нм 546,070

Диапазон ахроматизации, нм 486,130-643,800

Конструктивные параметры

Номер поверхности Радиусы, мм Б, мм Марки стекол Показатели преломления Световые диаметры, мм Стрелки, мм

1,000000

1 51,780 28,56 ТФ4 1,746231 69,42 13,36

2 23,220 75,66 ЛК5 1,479904 35,98 8,54

3 -52,440 1,000000 61,24 -9,87

Остаточные аберрации (Д' = 0,048 мм; Я' = -99,87 мм)

50 5' 0 V 5 5 0(1-0) 5' 0(2-0) 5' 0(2-1)

51,78 -52,44 47,575 100,02 1,000 47,623 0,044019 0,034062 -0,009957

ст=0 т Д5 1йст' 5% W п% о%' (1-0) 5%' (2-0) 5%' (2-1)

12,5 0,101 0,126 0,0128 -0,4110-3 0 0,00204 0,00804 0,00600

10,8 0,0330 0,109 0,00359 -0,234 0 0,00254 0,00612 0,00358

8,84 0,0133 0,0887 -0,0012 -0,263 0 0,00269 0,00432 0,00163

6,25 0,0397 0,0626 -0,0025 -0,162 0 0,00233 0,00259 0,00025

Таблица 2. Вариант линзовой концентрической системы

В этом случае коэффициенты у1 > 1. Подставив параметры системы в формулу (10) и преобразовав ее, находим, что оптическая сила системы равна

Ф0 =-

1

п, -1 пт -1

1 - У1 +1 - Т2

У:

У 2

При Ф0 =1

Г2 = 2

п1 - 1 , пт - 1 I 1 - 71 , 1 - 7

71

72

(29)

(30)

Продифференцировав выражение (29) и заменив дифференциалы показателей преломления мате-

риала линз их средними дисперсиями, получаем а ф0 = —

п, -1 11 - у1 +1 - у2 ^ пт -1

п,2д,

71

72

п1 Ц т

при а Ф0ХР = 0

1 + ^ = 2'

71 7 2

1 -

п, -1 п2 ц

I__тГ т

пт - 1 п)ЦI

(31)

Для определения первичной угловой сферической аберрации изображения, образованного рассматриваемой системой, применим выражение (12). В результате преобразований получаем

5 ' 1 3 3

5о = — т1 у3,

6

где

( „3

Г>3 = 2

пт -1 п3 -1

пт -1

ч ;

—+—

71 72

пт -1

Л

1 1

—+—

71 72;

I п, -1 V1

7172

1 - тг~т

V п,Ц,

(32)

Выполнив в полученном выражении (32) замену величин в соответствии с выражением (31), в результате последующих преобразований приводим его к следующему виду:

Г3¥3 = 2(( -М,)-8Мтд3 +12Мтц2-1 -6Мтд-1 + 8

71 71

I п -1 V

(1 - п)3

2

где Ыт = Ы, = ^ ; п = ИтМ,; д =1_П^ИП,ц.

пт Щ Щ V, пт _ 1 щ

При Уз = 0 получаем квадратное уравнение:

Ау3 = 02 + Бу1 + С = 0, (33)

Г и _1 V 3

где А = 2( _Ы;)_8Ытд3 + 8 (1 _п) ; Б = 12Мтд2; С = _6Ыт? .

I п, )

Подставив параметры выбранного материала менисков и средней линзы в выражения коэффициентов и решив уравнение (33), находим значение коэффициента у1. Выражение (31) позволяет найти значение коэффициента у2. Применив выражение (30), находим величину г2. В результате получаем значения конструктивных параметров рассчитываемой системы. Вполне очевидно, что в качестве материала менисков следует выбирать флинтовое стекло, а средней линзы - кроновое. Однако далеко не каждая пара таких стекол определяет получение действительного решения уравнения (33). В связи с этим представляет интерес найти более наглядное условие пригодности выбранной пары стекол для решения поставленной задачи [8].

П (33) _Б±4Б2 _4АС О

Представим решение уравнения (33) в виде у, =-. Отсюда следует, что уравнение

2 А

(33) имеет действительные решения при условии Б2 _ 4АС > 0. При Ытд > 0 это условие можно преоб-

Ыт _ Ы ,

разовать к виду —^--+ 4

Г Щ _ 1 ^

3 / \3

Г щ _1 А

(1 _ п) ^ д3. Выражение 4 —— (1 _ п) ^ 0 и, как показывает опыт

расчетов, определяет достаточно малую величину. Исходя из этого, приведенное условие существования действительных решений уравнения (33) можно усилить: д < 3 Ыт-_ Ы' . Заменив величину д опреде-

т

ляющим ее выражением, преобразуем это условие: Мт V,

Q < , (34)

где Q =

пт _1 и,2 Г. 1Ыт _ Ы,

Щ _1 п1

1 _ 3

Ыт ,

Пусть, например, в качестве материала линз выбраны стекла марок ТФ4 (пе = 1,74623, це = 27,94)

и К8 (Пе = 1,51829, це = 63,87). Для этой пары стекол величина Q = 0,5507 > — = 0,4375 , т.е. эта пара

стекол не годится для решения рассматриваемой задачи. Заменим стекло марки ТФ4 стеклом марки ТБФ3 (пе = 1,76021, це = 40,87), т.е. стеклом с примерно равным показателем преломления, но с существенно

большей величиной коэффициента дисперсии. В этом случае величина Q = 0,5452 > = 0,6399, т.е.

V,

удовлетворяет условию решаемой задачи. При выбранном материале линз коэффициенты А = _0,2521; Б = 1,6763 ; С = _2,0265 . При этом получаем уравнение

у,2 -6,6493у1 + 8,0385 = 0. (35)

В результате решения этого уравнения имеем: у11 = 1,58833 ; у12 = 5,06096 .

Пусть, например, у1 = 1,58833 . При этом из выражения (26) находим, что у2 = 5,06096. Подставив значения коэффициентов у1 и у2 в выражение (24), при соответствующих параметрах выбранных стекол получаем г2 = 0,1762 мм. Тогда г1 = у1г2 = 0,27987 мм; г4 =_ у2 г2 =_0,89174 мм.

В результате выполненного расчета получаем оптическую систему, конструктивные параметры которой при /' = 100 мм и остаточные аберрации образованного изображения приведены в табл. 3, а схема

системы представлена на рис. 4.

Заметим, что второе решение уравнения (35) определяет ту же систему, но повернутую на 180°. Увеличим коррекционные возможности рассматриваемой системы, дополнив ее еще одной парой концентрических симметрично расположенных менисков. В результате этого получаем систему, состоящую из базовой линзы в виде шара и окружающих ее двух концентрических менисков:

Г2 = У2 Г3

а1 = Г - Г2

а2 = Г2 - Г3

п1 = 1

а 3 = г3 - г4 = 2г3 п4 = п,

а4 = Г4 - Г5 = а2 п5 = пт2

а5 = Г5 - Г = а1 п6 = пт

п7 = 1.

Рис. 4. Схема оптической системы объектива, состоящей из двояковыпуклой линзы (шара)

и двух концентрических менисков

Фокусное расстояние, мм 100,000

Диафрагменное число 5,000

Положение предмета относительно первой поверхности, мм бесконечность

Положение изображения относительно последней поверхности, мм 10,8868

Основная длина волны, нм 546,070

Диапазон ахроматизации, нм 480,000-643,800

Конструктивные параметры

Номер поверхности Радиусы, мм Б, мм Марки стекол Показатели преломления Световые диаметры, мм Стрелки, мм

1,000000

1 27,987 10,37 ТБФ3 1,760217 41,63 9,28

2 17,620 35,24 К8 1,518296 28,58 7,31

3 -17,620 71,55 ТБФ3 1,760217 24,37 -4,89

4 -89,174 1,000000 90,87 -12,44

Остаточные аберрации (Д' = 0,062 мм; Я' = -100,00 мм)

50 5', 5' 0 V, 5' 5' 0(1-0) 5' 0(2-0) 5' 0(2-1)

27,99 -89,17 10,825 100,00 1,000 10,887 0,045244 0,042677 -0,002567

ст=0 т Д5' 5%' W п% 5%' (1-0) 5%' (2-0) 5%' (2-1)

10,0 0,131 0,100 0,0131 0,334 10-7 0 0,00362 0,00584 0,00223

8,66 0,0424 0,0868 0,00368 -0,192 0 0,00328 0,00476 0,00148

7,07 0,0170 0,0709 -0,0012 -0,215 0 0,00283 0,00362 0,000786

5,00 0,0508 0,0501 -0,0025 -0,133 0 0,00212 0,00235 0,000226

Таблица 3. Вариант линзовой концентрической системы

Г3 =

Практический смысл имеют значения коэффициентов у1 > у2; у2 > 1. Оптическая сила рассматриваемой системы в соответствии с формулой (10) определяется выражением

2

Ф0 = —

_11

У:

_1

_ 1

При ф0 =1:

1 п . _ 11

,. _ т 1

_ 1

т 2 )

_ 11 1

1 п, _1 —+—--

У 2 щ

_ 1

(36)

_ 1 п, _ 1

^ I II ■ (37)

2 пт1 71 I пт1 пт 2 ) У 2 I пт 2 п1

Продифференцировав выражение (36) и заменив дифференциалы показателей преломления материала линз их средними дисперсиями, получаем

Л Ф0хр =

пт1 _ 1 1

птМ т1 У1

(

пт1 _ 1

пт2 _ 1

2М т 2

У 2

( ,

пт 2М т

п _ 1 п,2м,

при Л Фехр = 0

— = (1 _а)— + а(1 _ в ),

У1 У 2

(38)

где а = -

_! п^Мт! . в = п, _! пт2Мт2

пт1 _ 1 пт2 Мт 2

в =

,_1 п,2ц,

Для определения первичной угловой сферической аберрации изображения, образованного рассматриваемой системой, применим выражение (12). В результате преобразований получаем

5с -=_ пт

3г3

¥3 =

(39)

где

Ы, =

Ы

¥3 =

У1

п,3 _1

Ыт2 _ Ыт

у2

- + Ы; _ Ыт2 _ 4

1 1 _пт

У1 У2

_ пт (1 _ п, )

Ы =

т1 3

Ы =

т2 3

; пт =

пт2 _1 пт1

пт1 _! пт2

; п, =

п1 _ 1 пт 2 пт 2 _! п,

При у3 = 0

1 + Ыт2 _ Ыд1

..3 Л г ..3

У1

Ы„

1 + Ы _ Ыш2

У2

Ыт

Ыт

пт1 _ 1

т1 )

_1_

У1

1 _ пт

У2

_ пт (1 _ п, )

(40)

Итак, при выбранных материалах линз уравнения (38) и (40) образуют систему из двух уравнений с двумя неизвестными величинами у1 и у2. В основу выбора материала линз положим следующие соображения.

Известно, что хроматическая аберрация положения изображения, образованного двояковыпуклой линзой, определяется отрицательной величиной. В изображении, образованном предыдущей системой, как следует из таблицы остаточных аберраций (табл. 3), хроматическая аберрация определяется положительной величиной, т.е. перекомпенсирована. Следовательно, можно попытаться компенсировать хроматическую аберрацию путем выбора материала менисков с более высоким коэффициентом дисперсии. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае компенсация хроматической аберрации принципиально возможна, если в качестве материала наружных менисков выбрать стекло кроновых марок.

Выберем для примера в качестве материала двояковыпуклой линзы (шара) стекло марки К8, для следующей пары менисков - стекло марки ТФ4, для наружных менисков - стекло марки ТК14. Применив формулы (38)-(39), при выбранных материалах линз находим: у2 = 1,46578, у1 = 2,02540. Подставив значения соответствующих величин в формулу (37), получаем г3 = 0,2675. Тогда г2 = _г5 =у2г3 =0,39210 мм; г1 =_г6 =у1г3 =0,54179 мм. В результате получаем систему, параметры которой и остаточные аберрации образованного изображения приведены в табл. 4, а схема системы представлена на рис. 5.

В изображении, образованном полученной системой, можно считать, что хроматическая аберрация положения практически отсутствует, при этом хроматическая аберрация определяется вторичным спектром, примерно равным 0,04 мм.

п

3

Рис. 5. Схема оптической системы объектива типа «Сферогон», состоящей из двояковыпуклой линзы

(шара) и двух пар концентрических менисков

Фокусное расстояние, мм 100,00

Диафрагменное число 4,0000

Угловое поле 2ю 60°00'

Положение предмета относительно первой поверхности, мм бесконечность

Положение изображения относительно последней поверхности, мм 45,8501

Диаметр входного зрачка, мм 25,0000

Положение входного зрачка относительно первой поверхности, мм 54,1800

Положение выходного зрачка относительно последней поверхности, мм -54,1800

Основная длина волны, нм 546,070

Диапазон ахроматизации, нм 480,000-643,800

Конструктивные параметры

Номер поверхности Радиусы, мм Б, мм Марки стекол Показатели преломления Световые диаметры, мм Стрелки, мм

1,000000

1 54,180 14,97 ТК14 1,615506 71,87 13,63

2 39,210 12,46 ТФ4 1,746231 54,77 11,15

3 26,750 53,50 К8 1,518296 40,15 9,07

4 -26,750 12,46 ТФ4 1,746231 36,09 -7,00

5 -39,210 14,97 ТК14 1,615506 48,37 -8,35

6 -54,180 1,000000 62,68 -9,98

Остаточные аберрации (Д' = 0,031 мм; Я ' = -100,00 мм)

50 5, 5, 5' 0 /' V, 5' 5' 0(1-0) 5' 0(2-0) 5' 0(2-1)

54,18 -54,18 45,819 99,999 1,000 45,850 0,040846 0,038800 -0,002046

ст=0 т Д5' 1йст' 5%' W п% 5%' (1-0) 5%' (2-0) 5%' (2-1)

12,5 0,0637 0,126 0,00802 -0,0032 0 0,00161 0,00910 0,00749

10,8 0,0209 0,109 0,00227 -0,151 0 0,00217 0,00693 0,00476

8,84 -0,0085 0,0887 -0,76-10-3 -0,169 0 0,00240 0,00490 0,00250

6,25 -0,0255 0,0626 -0,0016 -0,104 0 0,00213 0,00294 0,00081

Таблица 4. Линзовая концентрическая система объектива типа «Сферогон»

Заключение

Основные результаты работы определяют теоретическую базу инженерного метода параметрического синтеза линзовых концентрических оптических систем, построенного на основе полученных математических соотношений и изложенных соображений по выбору материала линз. Такой метод позволяет на основе анализа условий коррекции хроматической аберрации положения получить конкретные линзовые концентрические оптические системы для нескольких конструктивных решений. Представлены конструктивные параметры и таблицы остаточных аберраций рассчитанных оптических систем, которые подтверждают возможность достижения высокой степени коррекции угловой сферической аберрации и хроматизма положения.

Показана возможность компенсации хроматической аберрации путем выбора материала менисков с более высоким коэффициентом дисперсии. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае компенсация хроматической аберрации принципиально возможна, если в качестве материала наружных менисков выбрать стекло кроновых марок.

Литература

1. Zverev V.A., Kovaleva A.S., Timoshchuk I.N. Analysis and parametric synthesis of the optical systems of a mirror-lens concentric objective // Journal of Optical Technology. 2012. V. 79. N 1. Р. 1-5. doi: 10.1364/JOT.79.000001

2. Попов Г.М. Концентрические оптические системы и их применение в оптическом приборостроении. М.: Наука, 1969. 135 с.

3. Mahajan V.N. Aberration Theory Made Simple. 2nd ed. SPIE Press, 2011. 208 p.

4. Ezhova K.V., Zverev V A., Van Luen N. Aberrational properties of a thin component as the basic element in a variable magnification optical system // Journal of Optical Technology. 2013. V. 80. N 12. Р. 738-740. doi: 10.1364/J0T. 80.000738

5. Ковалева А.С. Метод расчета концентрических зеркальных, зеркально-линзовых и линзовых систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56. № 11. С. 55-61.

6. Русинов М.М. Техническая оптика. 2-е. изд. СПб.: Книжный дом «Либриком», 2011. 487 с.

7. Грамматин А.П., Романова Г.Э., Балаценко О.Н. Расчет и автоматизация проектирования оптических систем. СПб.: НИУ ИТМО, 2013. 128 с.

8. Zverev V A., Timoshchuk I.N. Aberrational properties of a thin mirror-lens component in a convergent pencil of rays // Journal of Optical Technology. 2015. V. 82. N 4. P. 227-230. doi: 10.1364/J0T. 82.000227

Ежова Ксения Викторовна

Зверев Виктор Алексеевич Точилина Татьяна Вячеславовна

кандидат технических наук, доцент, доцент, Университет ИТМО,

Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ezhovakv@aco.ifmo.ru

доктор технических наук, профессор, post_vaz@rambler.ru

кандидат технических наук, доцент, доцент, Университет ИТМО,

Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, tvtochilina@mail.ru

Ksenia V. Ezhova

Victor A. Zverev Tatiana V. Tochilina

PhD, Associate professor, Associate professor, ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russian Federation, ezhovakv@aco.ifmo.ru D.Sc., Professor, post_vaz@rambler.ru

PhD, Associate professor, Associate professor, ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russian Federation, tvtochilina@mail.ru